美国数学课程标准
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◆ 应用众多的策略去解决问题，并使各种策
略适应新的情况；
◆ 对在解决问题中的数学思维进行监控和反
思。
13
标准7：推理和证明
14
数学教学纲要应当集中精力学会将推理和
证明作为理解数学的一部分，以便所有学
生－
◆ 承认推理和证明是数学的本质和有力的
部分；
◆ 提出和考察数学猜想；
◆ 发展和评价数学争论与证明；
57
Flexible and Resourceful Problem Solvers
在 8X8棋盘上有几个矩形？（含正方 形。 只计算边在格子上的矩形） Count only those rectangles (including squares) whose sides lie on grid lines.
28
更强的基础
要求学生进一步理解和运用—
• 有理数 • 线性函数 • 比例
29
有理数的理解
这一段 表示总长的3/4.
画出以下长度的各段： 1/2, 2/3, 4/3, and 3/2. 证实你所画是正确的。
30
理解有理数的除法
如果将5码长的橡皮筋分成小5段， 每段的 3/4可做一张弓。 那么可以做几张弓？
给定坐标为a,b,c,d,e,f,g,h d To c ? To 1/f ? 点， 哪一点最接近ab? To h ? To e ?
说明理由。
2
2
a -1
b c 0
de
f 1
g
h 2
56
In Grades 9–12
Developing Flexible Problem Solvers—
• Builds and deepens UNDERSTANDING of mathematical concepts • Builds and promotes “more and better mathematics” • Builds and strengthens “stronger basics” • Builds and enhances flexible use of representations • Develops through regular experiences with interesting, challenging problems
23
更多更好 的数学
Grades 6–8
• 对有理数更好多理解和掌握 • 进一步的代数和几何 • 各单元间的密切结合
24
有理数的灵活运用
一群学生有60元可用来置办午餐。 他们知道， 在菜单上的价钱， 还要加25%的税和小费。他 们要点多少钱的菜和饭才能使总花费为60元？
$60
食物费用
税.小费
25
题
7
标准4：测量
8
数学教学纲要应当包括对于测量的注意， 使得学生能够 ◆ 理解物体可测量的属性、测量单位 和测量系统； ◆ 应用各种技巧、工具和公式进行测 量。
9
标准5：数据分析，统计和概率
10
数学教学纲要应关注数据分析，统计和 概率从而使学生 ◆ 提出问题并搜集，整理和表示数据来 解决提出的问题；
式来加以使用
17
标准9： 联系
18
数学教学纲要应强调联系以培养对数学的
理解从而所有学生－
◆ 在不同数学概念识别和运用联系；
◆ 理解数学概念是如何层层递进地建立以
形成一个整体的；
◆ 识别，使用和学习数学以外的情景中的
数学。
19
标准10： 表示
20
数学教学纲要应该重视数学表示以促进对 数学的理解使全体学生－ ◆ 创造和应用表示来组织、记录和交流 数学思想； ◆ 发展数学表示所需的能有意义地、灵
46
More and Better Mathematics
Grades 9–12 • • • • 对有意义的情景做代数模型。 增加对数据处理的关注。 将代数、几何、数据处理联系起来 离散数学
47
Interplay of Algebra and Geometry
c a b b a–b
a–b
a
b
c2
B (- 4, 7) C (- 8, 5) A (- 5, 1) (1, - 5) A’ (7, - 4) B’
C’ (5, - 8)
60
几何模型 如何画出第三根电线杆？
(a) The two telephone poles
(b) The vanishing point, the horizon, and the center of the rectangle
$9.00 $13.50 $18.00 $22.50
33
其他方法
无月租 y = .45x
cost
有月租 y = 20 + .10x
# of minutes
34
理解比例
怎样买合算？
12 张票 $15.00 or 20 张票 $23.00
Solve by scaling:
12 张票 $15 60 张票 $75. 20 张票 $23 60 张票 $69.
Number of Bows
1 0 1
2
3 2
4 3
5
6 4
2 3
5
31
线性函数
保持接触 即兴电话
月租 $20
每分钟1角
每分钟 4角5分
32
学生的答案
通话时间（分） 有月租 无月租
0
10
20
30
40
50
$20.00 $21.00 $22.00 $23.00 $24.00 $25.00
$0.00
$4.50
第三章 美国数学课程标准
1
标准1：数和运算
2
数学教学纲要应促进对数和运算的感觉
（以下简称"数感"）的发展，为此全体
学生应—— ◆ 理解数，数的表示法，数之间的关系； ◆ 理解运算的意义及各种运算之间如何 联系； ◆ 熟练地运用计算工具和策略并恰当地 进行估计。
3
标准2：模式、函数和代数
4
数学教学纲要应包括关注模式、函数、符 号和数学模型，以便所有学生能够—— ◆ 理解各种类型的模式和函数关系； ◆ 使用符号形式表示和分析数学情形和结 构；
Reasoning in Geometry
• 四边形情形呢？What happens with a quadrilateral?
54
Reasoning in Geometry
五边形呢？What happens with a pentagon?
55
关于数的性质的推理Reasoning about properties of Numbers
活地、适当地使用的全部技能；
◆ 运用表示对物理、社会、和数学的现
象进行建模与解释。
21
年级 6–8
如果中年级学生， 在课堂中既能感受挑战 又能得到指导， 那么他们就会热爱数学。
中年级学生的特征
Grades 6–8
• 因感受挑战和得到指导而热爱数学 • 把数学看作迷人的、有用的、创新 的学科。 • 将从丰富和整合的数学教学中获益
在室内投掷， 哪个飞得远?
相对频率
比较两种纸飞机的飞行距离： 用一个回形针； 用两个回形针。
30%
20%
10%
15 18 21 24 27 30 33 飞行距离（英尺）
37
块状数据表示
一回形针飞机
两回形针飞机
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 飞行距离（英尺）
3
4
5
6
7
8
9 10
27 比5稍大， 因为 52 = 25 99 比10 稍小， 因为 102 = 100
44
灵活使用比例
一棒球队在80场比赛中赢了48场。 在今后的50场 比赛中， 要继续保持这一比例， 需要赢多少场？
比 48:32 — simplify to 3:2
比例 48/80 = x/50
For example, there are nine rectangles on a 2 x 2 board as shown below.
1 3
2 4
5 7 6
58
8
9
对所有学生都是挑战的题目
e4x = 4e2x + 3
作代换 u = e2x
u2 = 4u + 3
59
代数和几何的结合
三角形 ABC的顶点为 A = (–5, 1), B = (–4, 7), and C = (–8, 5). 关于 y = x 作反射变换得到 三角形A’B’C’ 决定变换矩阵M ， 将A、B、C 变为A’、B’、C’. 解释 矩阵M的特性.
百分比、 小数 48/80 — 比值 = 60%; 50 场的 60% ; 小数表示： 0.600
45
More and Better Mathematics
Grades 9–12
• 要学习四年。 • 要体验数学的共同基础 • 在基本要求之上，会进一步学习数学,通过
–在基础课程中加深。
–增修课程
–在四年级选修大学课程
◆ 应用数学模型以及分析在实际和抽象的
背景下的数学模型变化。
5
标准3：几何与空间观念
6
数学教学纲要应关注几何与空间观念，从 而使所有学生 ◆ 分析二维和三维几何物体的特征和性质
◆ 选择和使用不同的表示方法，包括坐标
几何和图论
◆ 在分析数学情形时认识变换和对称的用
处
◆ 使用想象和空间推理解决数学内外的问
◆ 用数据分析方法解释数据；
◆ 形成并评价基于数据的推理，预测和
争论；
◆ 理解和应用机会和概率的基本术语。
11
标准6：问题解决
12
数学教学纲要应注重于问题解决，使之成为 理解数学的一部分，从而使所有学生－ ◆ 通过他们在问题上的努力学习新的数学知
识；
◆ 养成在数学内外建立公式、表达、抽象、
一般化的倾向；
代数和几何的互动
用语言、数、表格直观地加以 解释，并用符号 表示各种长、宽尺寸的游泳池所需瓷砖的数目.
26
Student Responses
池的 长度 1 2 池的 宽度 1 1 瓷砖 数目 8 10 宽度
3
3 3 3
1
2 3 4
12
14 16 18
长度
27
学生的回答
1) T = 2(L + 2) + 2W 2) 4 + 2L + 2W 3) (L + 2)(W + 2) – LW
=
(a –
b)2
1 + 4 2 ab
=
a2 +
b2
ห้องสมุดไป่ตู้
48
较强的基础
• 代数式恒等变换 • 熟悉各种函数 • 会猜想和证明
49
代数式变换例
f (x) = x 2 – 2x – 3
-3 -2 -1 -1 -2
2
1 1 2 3 4 5 6
f (x) = (x – 1)2 – 4
f (x) = (x – 3) (x + 1)
◆ 选择和使用各种适当的推理形式和证明
方法。
15
标准8：交流
16
数学教学纲要应该利用交流这一手段来加 强对数学的理解，以便所有的学生能够－ ◆ 组织和强化他们的数学思维以便与他人
交流
◆ 连贯而清楚地向同伴、老师及其他人表
达数学想法
◆ 通过思考他人的想法和策略扩展他们自
己的数学知识
◆ 将数学语言作为一种数学表达的精确方
38
勾股定理的动态表示
39
40
进一步：
41
要求学生灵活思考的有关有理数的问题
在数轴上画出 1/2, 2 1/2, and 1/4.
1
1 12
42
有理数的灵活思考题
用尽可能多的方法表示并论证 75% = 3/4. 如果你喜欢， 可以在下列图中重新加以表示。
43
画出平方数的位置
27
99
0
1
2
算单张票价
$15买 12 张 每张 $1.25 $23. 买 20 张， 每张 $1.15
35
6–8年级
灵活的问题解决者
• • • • • 更多更好的数学基础 学习更好的数学 灵活地运用“表示” 加深数学概念的理解 通过解有趣的、挑战性的问题的体验获得发展
36
数据分析的灵活性
一个回形针纸飞机的飞行距离 50% 40%
-3
-4
50
代数式变换
要求
• 心算 Mentally • 手算 By hand • 用计算机代数系统 algebra system
Using a computer
51
几何推理
三角形与其中线所成三角形的面积之比
52
Reasoning in Geometry
Jake’s Solution
Since the base of each of the four small triangles is a midline, each side of the midpoint triangle should be half as long as the parallel side of the large triangle. Each midline cuts the altitude in half, so the height of each small triangle is half that of the large triangle. Dividing each of these lengths by 2 divides the area by 4, so the area of the small triangle is onefourth the area of the large one.
略适应新的情况；
◆ 对在解决问题中的数学思维进行监控和反
思。
13
标准7：推理和证明
14
数学教学纲要应当集中精力学会将推理和
证明作为理解数学的一部分，以便所有学
生－
◆ 承认推理和证明是数学的本质和有力的
部分；
◆ 提出和考察数学猜想；
◆ 发展和评价数学争论与证明；
57
Flexible and Resourceful Problem Solvers
在 8X8棋盘上有几个矩形？（含正方 形。 只计算边在格子上的矩形） Count only those rectangles (including squares) whose sides lie on grid lines.
28
更强的基础
要求学生进一步理解和运用—
• 有理数 • 线性函数 • 比例
29
有理数的理解
这一段 表示总长的3/4.
画出以下长度的各段： 1/2, 2/3, 4/3, and 3/2. 证实你所画是正确的。
30
理解有理数的除法
如果将5码长的橡皮筋分成小5段， 每段的 3/4可做一张弓。 那么可以做几张弓？
给定坐标为a,b,c,d,e,f,g,h d To c ? To 1/f ? 点， 哪一点最接近ab? To h ? To e ?
说明理由。
2
2
a -1
b c 0
de
f 1
g
h 2
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In Grades 9–12
Developing Flexible Problem Solvers—
• Builds and deepens UNDERSTANDING of mathematical concepts • Builds and promotes “more and better mathematics” • Builds and strengthens “stronger basics” • Builds and enhances flexible use of representations • Develops through regular experiences with interesting, challenging problems
23
更多更好 的数学
Grades 6–8
• 对有理数更好多理解和掌握 • 进一步的代数和几何 • 各单元间的密切结合
24
有理数的灵活运用
一群学生有60元可用来置办午餐。 他们知道， 在菜单上的价钱， 还要加25%的税和小费。他 们要点多少钱的菜和饭才能使总花费为60元？
$60
食物费用
税.小费
25
题
7
标准4：测量
8
数学教学纲要应当包括对于测量的注意， 使得学生能够 ◆ 理解物体可测量的属性、测量单位 和测量系统； ◆ 应用各种技巧、工具和公式进行测 量。
9
标准5：数据分析，统计和概率
10
数学教学纲要应关注数据分析，统计和 概率从而使学生 ◆ 提出问题并搜集，整理和表示数据来 解决提出的问题；
式来加以使用
17
标准9： 联系
18
数学教学纲要应强调联系以培养对数学的
理解从而所有学生－
◆ 在不同数学概念识别和运用联系；
◆ 理解数学概念是如何层层递进地建立以
形成一个整体的；
◆ 识别，使用和学习数学以外的情景中的
数学。
19
标准10： 表示
20
数学教学纲要应该重视数学表示以促进对 数学的理解使全体学生－ ◆ 创造和应用表示来组织、记录和交流 数学思想； ◆ 发展数学表示所需的能有意义地、灵
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More and Better Mathematics
Grades 9–12 • • • • 对有意义的情景做代数模型。 增加对数据处理的关注。 将代数、几何、数据处理联系起来 离散数学
47
Interplay of Algebra and Geometry
c a b b a–b
a–b
a
b
c2
B (- 4, 7) C (- 8, 5) A (- 5, 1) (1, - 5) A’ (7, - 4) B’
C’ (5, - 8)
60
几何模型 如何画出第三根电线杆？
(a) The two telephone poles
(b) The vanishing point, the horizon, and the center of the rectangle
$9.00 $13.50 $18.00 $22.50
33
其他方法
无月租 y = .45x
cost
有月租 y = 20 + .10x
# of minutes
34
理解比例
怎样买合算？
12 张票 $15.00 or 20 张票 $23.00
Solve by scaling:
12 张票 $15 60 张票 $75. 20 张票 $23 60 张票 $69.
Number of Bows
1 0 1
2
3 2
4 3
5
6 4
2 3
5
31
线性函数
保持接触 即兴电话
月租 $20
每分钟1角
每分钟 4角5分
32
学生的答案
通话时间（分） 有月租 无月租
0
10
20
30
40
50
$20.00 $21.00 $22.00 $23.00 $24.00 $25.00
$0.00
$4.50
第三章 美国数学课程标准
1
标准1：数和运算
2
数学教学纲要应促进对数和运算的感觉
（以下简称"数感"）的发展，为此全体
学生应—— ◆ 理解数，数的表示法，数之间的关系； ◆ 理解运算的意义及各种运算之间如何 联系； ◆ 熟练地运用计算工具和策略并恰当地 进行估计。
3
标准2：模式、函数和代数
4
数学教学纲要应包括关注模式、函数、符 号和数学模型，以便所有学生能够—— ◆ 理解各种类型的模式和函数关系； ◆ 使用符号形式表示和分析数学情形和结 构；
Reasoning in Geometry
• 四边形情形呢？What happens with a quadrilateral?
54
Reasoning in Geometry
五边形呢？What happens with a pentagon?
55
关于数的性质的推理Reasoning about properties of Numbers
活地、适当地使用的全部技能；
◆ 运用表示对物理、社会、和数学的现
象进行建模与解释。
21
年级 6–8
如果中年级学生， 在课堂中既能感受挑战 又能得到指导， 那么他们就会热爱数学。
中年级学生的特征
Grades 6–8
• 因感受挑战和得到指导而热爱数学 • 把数学看作迷人的、有用的、创新 的学科。 • 将从丰富和整合的数学教学中获益
在室内投掷， 哪个飞得远?
相对频率
比较两种纸飞机的飞行距离： 用一个回形针； 用两个回形针。
30%
20%
10%
15 18 21 24 27 30 33 飞行距离（英尺）
37
块状数据表示
一回形针飞机
两回形针飞机
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 飞行距离（英尺）
3
4
5
6
7
8
9 10
27 比5稍大， 因为 52 = 25 99 比10 稍小， 因为 102 = 100
44
灵活使用比例
一棒球队在80场比赛中赢了48场。 在今后的50场 比赛中， 要继续保持这一比例， 需要赢多少场？
比 48:32 — simplify to 3:2
比例 48/80 = x/50
For example, there are nine rectangles on a 2 x 2 board as shown below.
1 3
2 4
5 7 6
58
8
9
对所有学生都是挑战的题目
e4x = 4e2x + 3
作代换 u = e2x
u2 = 4u + 3
59
代数和几何的结合
三角形 ABC的顶点为 A = (–5, 1), B = (–4, 7), and C = (–8, 5). 关于 y = x 作反射变换得到 三角形A’B’C’ 决定变换矩阵M ， 将A、B、C 变为A’、B’、C’. 解释 矩阵M的特性.
百分比、 小数 48/80 — 比值 = 60%; 50 场的 60% ; 小数表示： 0.600
45
More and Better Mathematics
Grades 9–12
• 要学习四年。 • 要体验数学的共同基础 • 在基本要求之上，会进一步学习数学,通过
–在基础课程中加深。
–增修课程
–在四年级选修大学课程
◆ 应用数学模型以及分析在实际和抽象的
背景下的数学模型变化。
5
标准3：几何与空间观念
6
数学教学纲要应关注几何与空间观念，从 而使所有学生 ◆ 分析二维和三维几何物体的特征和性质
◆ 选择和使用不同的表示方法，包括坐标
几何和图论
◆ 在分析数学情形时认识变换和对称的用
处
◆ 使用想象和空间推理解决数学内外的问
◆ 用数据分析方法解释数据；
◆ 形成并评价基于数据的推理，预测和
争论；
◆ 理解和应用机会和概率的基本术语。
11
标准6：问题解决
12
数学教学纲要应注重于问题解决，使之成为 理解数学的一部分，从而使所有学生－ ◆ 通过他们在问题上的努力学习新的数学知
识；
◆ 养成在数学内外建立公式、表达、抽象、
一般化的倾向；
代数和几何的互动
用语言、数、表格直观地加以 解释，并用符号 表示各种长、宽尺寸的游泳池所需瓷砖的数目.
26
Student Responses
池的 长度 1 2 池的 宽度 1 1 瓷砖 数目 8 10 宽度
3
3 3 3
1
2 3 4
12
14 16 18
长度
27
学生的回答
1) T = 2(L + 2) + 2W 2) 4 + 2L + 2W 3) (L + 2)(W + 2) – LW
=
(a –
b)2
1 + 4 2 ab
=
a2 +
b2
ห้องสมุดไป่ตู้
48
较强的基础
• 代数式恒等变换 • 熟悉各种函数 • 会猜想和证明
49
代数式变换例
f (x) = x 2 – 2x – 3
-3 -2 -1 -1 -2
2
1 1 2 3 4 5 6
f (x) = (x – 1)2 – 4
f (x) = (x – 3) (x + 1)
◆ 选择和使用各种适当的推理形式和证明
方法。
15
标准8：交流
16
数学教学纲要应该利用交流这一手段来加 强对数学的理解，以便所有的学生能够－ ◆ 组织和强化他们的数学思维以便与他人
交流
◆ 连贯而清楚地向同伴、老师及其他人表
达数学想法
◆ 通过思考他人的想法和策略扩展他们自
己的数学知识
◆ 将数学语言作为一种数学表达的精确方
38
勾股定理的动态表示
39
40
进一步：
41
要求学生灵活思考的有关有理数的问题
在数轴上画出 1/2, 2 1/2, and 1/4.
1
1 12
42
有理数的灵活思考题
用尽可能多的方法表示并论证 75% = 3/4. 如果你喜欢， 可以在下列图中重新加以表示。
43
画出平方数的位置
27
99
0
1
2
算单张票价
$15买 12 张 每张 $1.25 $23. 买 20 张， 每张 $1.15
35
6–8年级
灵活的问题解决者
• • • • • 更多更好的数学基础 学习更好的数学 灵活地运用“表示” 加深数学概念的理解 通过解有趣的、挑战性的问题的体验获得发展
36
数据分析的灵活性
一个回形针纸飞机的飞行距离 50% 40%
-3
-4
50
代数式变换
要求
• 心算 Mentally • 手算 By hand • 用计算机代数系统 algebra system
Using a computer
51
几何推理
三角形与其中线所成三角形的面积之比
52
Reasoning in Geometry
Jake’s Solution
Since the base of each of the four small triangles is a midline, each side of the midpoint triangle should be half as long as the parallel side of the large triangle. Each midline cuts the altitude in half, so the height of each small triangle is half that of the large triangle. Dividing each of these lengths by 2 divides the area by 4, so the area of the small triangle is onefourth the area of the large one.