平面向量中三点共线定理的应用与推广
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
向量三点共线定理等于1的几何意义
向量三点共线定理等于1的几何意义向量三点共线定理是高中数学中的一个重要定理，它描述的是三个点在平面上共线的几何条件。
这个定理是在向量的基础上得出的，所以我们首先要了解什么是向量，向量的性质和运算规则，然后再来讨论向量三点共线定理的几何意义。
首先，向量是数学中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的一个点到另一个点的位移。
向量通常用箭头表示，箭头的方向表示位移的方向，箭头的长度表示位移的大小。
向量有一些重要的性质，比如零向量的长度为0，且方向无所谓；两个向量相等当且仅当它们的长度相等且方向相同；向量的加法满足交换律和结合律等等。
在向量的基础上，我们可以定义向量的数量积和向量的叉积，这两种积在几何上有着重要的意义。
数量积是一个标量，它可以用来计算向量的夹角和长度，而叉积是一个向量，它可以用来表示一个平行四边形的面积。
通过向量的数量积和叉积，我们可以定义出两个向量的夹角、平行和垂直等几何性质。
接下来，我们来讨论向量三点共线定理的几何意义。
向量三点共线定理的表述是：三个点A、B、C在平面上共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB=k*向量AC。
这个定理意味着如果三个点在平面上共线，那么它们的位移向量之间存在一定的线性关系。
几何上，这个定理的意义可以通过向量的线性组合来描述。
假设三个点A、B、C在平面上共线，则它们的位移向量可以表示为向量AB和向量AC。
根据向量三点共线定理，存在实数k，使得向量AB=k*向量AC。
这意味着向量AB和向量AC是线性相关的，它们的方向是一致的，只是长度不同。
也就是说，从A到B的位移是从A到C的位移的k倍，这就是三点共线的几何意义。
进一步地，我们可以将向量三点共线定理应用到实际问题中。
比如，如果我们知道一个平面上的三个点共线，可以利用这个定理来求出它们的线性关系，进而解决一些几何问题。
另外，向量三点共线定理还可以用来证明一些三角形的性质和定理，比如中垂线定理、垂径定理等等。
在日常生活中，我们也会经常遇到向量三点共线的情况。
平面向量中的三点共线结论的应用
若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线⇒m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立⇒A 、B 、P 三点共线．
【证明】（1）由三点共线⇒m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1⇒A 、B 、P 三点共线．
若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-．
则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】 因为1212121(4)()233
AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。
点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
第 1 页共 2 页高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数
m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线
m+n=1，且OP mOA nOB 成立；（2）上述条件成立
A 、
B 、P 三点共线．【证明】（1）由三点共线m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数使AP AB ，即()OP OA
OB OA ，∴(1)OP OA OB ．令1m ，n=，则OP mOA nOB 且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1
A 、
B 、P 三点共线．若OP mOA nOB 且m+n=1，则(1)OP mOA m OB ．
则()OP OB m OA OB ，即BP mBA ．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e ，12BC e e ，1269CD e e ，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】因为121212
1(4)()233AC AB BC e e e e e e CD ，所以AC 与CD 共线．。
共线向量定理的推论的推广及其应用
共线向量定理的推论的推广及应用贵州织金一中 龙瑞华最近几年的高考试题中，很多题目都是以向量知识为背景，向量知识成高考的热点。
在高二下册B 版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。
下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。
一、推论的叙述及变式。
如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式：(1)OP OA ta=+在l 上取AB a =，则（1）式可化为OP OA t AB =+因为AB OB OA =- ∴(1)(2)OP t OA tOB=-+由（2）式可看出等号的左边向量OP 的系数1刚好等于右边的向量OA 与OB 的系数之和1-t +t ，由推论易知此时A 、B 、P 三点同在一条直线上。
O 为直线外一点，即P 为△OAB 边AB 上的点，线段OB 、OP 、OA 是有共同端点的三条线段，另外的三个端点都在同一条线上。
线段OP 刚好是三条线段中的中间一条，它所表示的向量(1)OP t OA tOB =-+，在等式中，左边系数之和=右边系数之和。
图（一）a二、推论的推广由共线向量定理的推论，我们可以得到如下结论： 结论一：在△ABC 中，D 为BC 边上的点，如果BD x =DCy，则以A 点为起点的三个向量的中间一个向量AD =AC AB x y x y x y+++。
证明：BD BC,BD=AD AB,BC=AC-AB xx y=-+即可证明。
结论二：共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上，那么用其中二个向量表示另一个向量时，左边系数之和等于右边系数之和。
结论三：在结论一中如果点D 不在边BC ，是在三角形ABC 的内部或外部，在图（三）中，AD=xAC+yAB ，则 1x y +<，在图（四）中AD AC AB x y =+，则 1x y +>，证明先找到AD 与BC 的交点，转化为第一种情形，即三点在同一条直线上，再应用向量共线定理a b λ=进行转化。
向量中有关三点共线的一个结论的简单应用
2021年第07期总第500期数理化解题研究向量中有关三点共线的一个结论的简单应用孙红(浙江省青田中学；2；900)摘 要：向量具有几何和代数的双重属性，它是沟通几何与代数的桥梁，注重运用向量解决数学问题,体现了几何与代数的融合，有利于培养学生的数学思维能力，有利于提升数学学科核心素养.本文结合具体的实例，探讨了向量中三点共线的一个结论的简单应用•关键词：向量；三点共线；应用中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：；008 -0333(202；)07 -0049 -03向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是 解决解析几何的有力工具,有着丰富的实际背景和深刻 的几何背景.向量来源于物理，并且兼有”数”和”形”的特点，坐标表示使平面内的向量和坐标建立了一一对应的 关系，将“数”与“形”紧密结合起来’从而将图形的基本性 质转化为向量的运算体系•在平面向量的解题中涉及到三点共线时经常用到下面的结论,我们一起来探讨一下•结论 已知0，A ,B ，C 四点共面，若0C 二入°4 + “ OB(入，“ e R ),则A ,B ,C 三点在同一条直线上的充要条件是 入 + “ - 1.证明 (先证必要性) 若A ,B , C 三点在同一条直 线上，则存在t e R ,使得A C - t AB.所以O B - 04 -t ( O B - B ).即 B - (1 - t )04 + t 0B -入 B + /zO B .则r -；-t ，此时入+“-1.z 二t ,(再证充分性)若入+ z - 1,则0C -入04 + z 0B - (1 -z )0B + z 0B .所以0B - 0B -z (0B - 0B ).即A C -/zA B .所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.综上所述,A ,B , C 三点在同一条直线上的充要条件 是入+ z — ； •点评平面向量三点共线结论中三个向量04,0B , 0B 必须是同起点，其中蕴含了一个几何特征，即三点共线 和一个代数结论入+ z -1 •上述结论中包含了两个方面：(；)若A ,B ,C 三点在同一条直线上，则入+ z -1； (2)若入+ z -；,则A , B , C 三点在同一条直线上•在向量解题中 要注意灵活应用,即结论的正用和逆用,下面一起来看一 下结论的简单应用.题1在A ABC 中,D ,E 分别是线段BC 上(除端点外)的两个动点,B + B -% A b + yA c ,求丄+ 4的最小值.%y分析因为B ,D ,C 三点共线，所以存在m E R ，使得A 力-mA B + (1 - m )A C . ①同理，由B , E , C 三点共线，则存在n e R ,使得A B -nA B + (1 - n )AC.②所以AD + AE - (m + n )A B + (2 - m - n )AC - % A B +% - m + n , “ …y AC ,即｛解得 % + y -2•y - 2 - m - n ,又分别是线段BC 上的两个动点,所以0 < m <1,0 < n < 1.2% - 3、时等号成立.4y -；所以 0 <%,y <2.所以丄+ -y -I I 1 +%y 2 V %/5+2 弹・4% ]-9,V %y 丿2,'% + y -2,当且仅当y 4%即V %y ,:0( %+y )-2 f 5 + % +4；所以丄+ ~~的最小值为刍.% y 2点评 本题条件不多，解题时要充分利用已知条件找到%,y 满足的关系式•上述解题过程中利用了平面向量 三点共线的一个结论’根据B ,D ,C 三点共线和B ,E ,C 三点共线可得到等式①和②，结合已知条件可得% + y -2,因此 本题就转化为在% + y -2和0<%,y <2的条件下，求丄+ 土%y收稿日期：2020 -12 -05作者简介:孙红(1979 -)，女，安徽省宿县人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.— 49—数理化解题研究2021年第07期总第500期的最小值问题，利用1的代换容易求出最小值题2 已知0为△ 4BC 所在平面内的一点,0》—4 0》,0力—1 0》,4D 与BC 交于点M ,设0》—a , 0》—b .用a ,b 表示0》.分析这是学生作业本上的一道习题，学生拿到这道题可能会感觉无从下手,题目中涉及的向量比较多，事 实上,根据题目条件4,M ,D 三点共线，存在m e R ,使得而—m 0》+ (1 - m )0》—m a +辽％①同理B ,M ,C 三点共线，存在n e R ,使得》—n0》+ (1 - n )0》—a + (1 - n )b .②一n m 二才，由等式①和②可得，解得＜1 - m v4n — .1 ；所以0M — 7 a + 7 b .当然本题也可以利用平面图形的几何性质来解决. 过点》作04交BC 于点N ,根据题意容易得到，DN—1 0C — 1 C4.所以》M — 1 M4,—1》》—2 6 6 77 (0》-0》)—7 卜-1 bj— ； a -[[b .所以0》—0》+—；a + 7 b .题3 已知0为△ 4BC 外接圆的圆心,4B —6,4C —15,40 — % 4》+ y 4》,2% +3y — 1,求 cosZ B4C 的值.分析 40 — % 4》+ y 4C — 2% x 2 4》 + 3 y x ； 4》,令4》丁 — 1 4》,4C ； — 1 4》,贝V 40 —2% 4》；+ 3y 4C ；.因为 2%+ 3y — 1,所以0,B',C '三点共线•又0为厶4BC 外接圆的圆心,B ；是线段4B 的中点,所以B'C ；是线段4B 的中垂 线•在 RtA 4B'C ；中，有 4B ； — 1 4B —3,4C ； — ； 4C — 5,4B ；cos/B'4C ‘ — 4》3—5 •即 cosZ B4C35点评 上述解题过程利用了平面向量中三点共线的 结论，因为题目条件中给出等式2% +3y — 1,有时我们会 想能否利用三点共线的结论,而要利用结论必须要出现 系数2%和3y ,因此需要对已知等式进行恒等变形，即40—%4》+ y4》—2% x 2 4》+ 3y x ； 4》,这时只需令4》—1 4》,4》—；4》,贝V 4》—2% 4》+3y4》.又 2% +3y — 1, 容易得到0,B ；,C ；三点共线,这是三点共线结论的逆用, 通过对已知等式进行恒等变形，结合已知条件构造三点共线进行解题，这种解题思路在向量解题中经常运用.题4给定两个长度为1的平面向量0》和0》,它们的夹角为120°,点C 在以0为圆心的圆弧4B 上变动，若0C — % 0》+ y 0》(% ,y e R )，求% + y 的最大值•分析 连接4B 交0C 于点》，因为4,B ,》三点共线,则存在 m , n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1(m ,n e R ).又0,》,C 三点共线,所以存在t e R ,使得0》 -t0》 — tm 0》 + tn 0》—% 0》+ y 0》.即｛，解得 % + y — t ( m + n ) — t.y — tn.又t俑—嵩，当0》丄4B 时」轨占此时t唤—2,即% + y 的最大值为2 •点评 上述解题过程中利用了 4,B ,》三点共线，存 在m ,n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1,以及0, D , C 三点共线，存在t e R ,使得0》—t 0》,从而得到等式% +y — t.又t — 0》— J ,因此要求% + y 的最大值，即求|0》 |0》0》的最小值,结合图形容易求得答案•事实上，假若%+ y — 1,则4,B ,C 三点共线，但是因为点C 在圆弧4B 上运动，因此只需将直线4B 平移至4'B ‘，使得直线4'B ；与圆 弧4B 有交点,即为点C.根据等和线定理容易得到,% + y —-p0》l — 10》|•又'0》e [t ，1 ]，所以%+ y 的最大值为2 ,此时直线4'B ‘与圆弧4B 相切，切点为点C.思路1根据平面向量分解定理，按照向量加法的几何意义及平行四边形法则,等式0》—%0》+ y 0》表明了 将0》向0》和0》方向上进行分解，在0》和0》方向上的投影分别是%,y ,因此我们可以利用余弦定理得到等式%2 + y 2- %y — 1,然后再结合基本不等式知识或△法求解% + y 的最大值.思路2引入变量Z C0B — a ,利用正弦定理将% + y的最大值问题转化为关于a 的三角函数的最值问题.思路3建立平面直角坐标系，将本题转化为向量的代数运算.比如以0》所在直线为%轴，以点0为坐标原点建立平面直角坐标系，容易得到4 (1,0),B设C (cos 0,sin 0)〔0三0三；n )根据0C — % 0》+ y 0》.将 % + y 的最大值问题转化为关于0的三角函数的最值问题.变式 若本题的其他条件不变，求2% + y 的最大值. 上述几种方法同样适用，若用到等和线定理,则需将—50—2021年第07期总第500期数理化解题研究已知等式进行恒等变形•事实上’OC-%04+y O B-2%X ；04+y O B,令O M-；04,即M为线段OA的中点，则OC-2%O M+y O B.连接MB交OC于点N，假设2%+y -1,则C,M,B三点共线,但是因为点C在圆弧AB上运动,根据等和线定理,只需将直线MB平移至M'B，,使得直线M‘B，与圆弧相切’切点为点C,此时(2%+y)喰-临-侖，根据图形可得OC丄M'B',MB〃MW.所以OC丄MB,即ON丄MB,在△ABM中利用面积法可求得O/V•题5(2019年浙江高考卷)已知点F(1,0)为抛物线y2-2p%(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得A ABC的重心G在%轴上，直线AC交%轴于点Q,且点Q在点F的右侧，记A AFG,△CQG的面积分别是S；,S2•(1)求卩的值及抛物线的准线方程；S(2)求S；的最小值及此时点G的坐标.S2分析解析几何是高考重点考查的内容之一,本题考查的是抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系,同时考查了学生的转化与化归能力、数形结合能力、运算求解能力,以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力,考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养•(；)抛物线的标准方程为y2-4%；(2)思路1设点法•设点A(t2,21),写出直线AF的方程，联立抛物线方程可求得点B的坐标(用t表示),结S合已知条件从而求得点C,G,Q的坐标,进而得到S；的表S2达式，可写成关于变量t的函数，最后利用换元法以及基本不等式等知识求得函数的最小值.思路2设出直线AB的方程，如Z AB:%-my+ 1,将直线AB的方程与抛物线方程联立,设A(%；,y；),B(%2,y2),利用韦达定理，结合题目条件容易求得点C,G,Q的坐标, S从而得到S；的表达式，因此问题就转化为求函数的最小S2值问题•这两种方法都比较好,但解题中计算量非常大，很难将解题进行到底，解决此题需要一定的综合解题的能力.思路3有些同学是利用向量知识进行求解，相比较而言计算量较小，在解题过程中利用了平面向量中三点共线的一个结论，及三角形中的重心的性质等知识,最终S将S；最大值问题转化为求函数的最大值问题•下面是利S2用向量法求解本题的部分解析•因为点G是A ABC的重心，则S△agb-S△agc.令A F-入A V,AQ-/zAC(0<入，“<1),贝卩S；-S“G-^S△ABG，S2-S△CQG-(1-z)S△AGC.所以-；—延长AG 交BC于点M,则A M-；(A F+A C),AG-；A M-；(A B+A C).又F,G,Q三点共线，所以存在t e R,使A F -tAF+(1-t)AQ-入tAB+z(；-t)A C-；(AB+AC).即｛入t-V，解得入二2"[•门、13"-；z(；-1)二亍又0<入,z<；,所以2<z<；•A A所以S；二入__S21-z(3z-；)(；-仏)-3^z2+4z-；■3--1+孚——；、三3z+^丿+4-23+4当且仅当｛”-丄,z；；；C T+7-3,即｛\3+3入二6时等号成立.73“-；所以的最小值为；+£•(点G的坐标求解略)解析几何中有关面积最值或范围问题是高考的热点和难点之一，一般来讲有两种常见的解题思路：(1)构造关于所求量的函数,将有关面积的最值或范围问题转化为函数的最值或范围问题；(2)构造关于所求量的不等式来求解最值或范围.解题过程中经常将直线方程与圆锥曲线方程联立,利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离、基本不等式等知识•解析几何作为高考解答题之一，常作为压轴题,解答题重视数学思想、数学方法的理解、掌握与灵活运用，综合性强，难度较大，体现了对学生数学素养的考查.对于本题相比较前面涉及到的三种解题方法中，利用向量法求解本题计算量较少,容易求解.参考文献:[1]何振华.例谈高中数学一题多解的“套路”[J].福建中学数学,2018(12)：38-40.[责任编辑:李璟]—51—。
平面向量中三点共线定理的推广及应用
平面向量中三点共线定理的推广及应用
三点共线定理是指在平面向量中，三个点A，B，C，如果向
量AB与向量AC的夹角为0°或180°，则三点A，B，C共线。
三点共线定理的推广及应用主要有以下几点：
1. 平面向量中四点共线定理：在平面向量中，如果四个点A，B，C，D满足向量AB与向量AC的夹角为0°或180°，向量BC与向量CD的夹角也为0°或180°，则四点A，B，C，D共线。
2. 平面向量中多点共线定理：在平面向量中，如果n个点A，B，C，D，…，P满足，任意两个相邻的向量的夹角为0°或180°，则n个点共线。
3. 平面向量中两点共线定理：在平面向量中，如果两个点A，B满足向量AB的夹角为0°或180°，则两点A，B共线。
4. 平面向量中多边形共线定理：在平面向量中，如果n边形的每两个相邻边的夹角都为0°或180°，则n边形共线。
5. 平面向量中多角形共线定理：在平面向量中，如果n角形的每两个相邻边的夹角都为0°或180°，则n角形共线。
6. 平面向量中多条直线共线定理：在平面向量中，如果n条直线的每两条直线的夹角都为0°或180°，则n条直线共线。
以上是平面向量中三点共线定理的推广及应用，它们在几何图形中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析几何图形。
平面向量中三点共线定理的应用
平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。
高考数学100个热点题型秒解技巧之三点共线定理及其推论的妙用
1化 难 为 易 化 繁 为 简四大特色助快速解题◎ 100个秒解技巧 ◎ 80个精妙二级结论 ◎ 10年高考真题为例◎ 700个例题深入剖析2019年4月版秒解高考数学100招—— 选择、填空篇 ——◆ 例（2016山东理7）函数)cos sin 3()(x x x f +=)sin cos 3(x x -的最小正周期是( )A.2πB.πC.23π D.π2 【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知x x cos sin 3+以及x x sin cos 3-的周期均为π2,则)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f -+=的周期为π,选B .目录 CONTENTS1、集合⇒利用特值逆代法速解集合运算题 (2)2、集合⇒利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………3、集合⇒运用补集运算公式简化集合计算………………………………………4、简易逻辑⇒利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………5、简易逻辑⇒借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………6、复数⇒利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………7、复数⇒利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………8、复数⇒利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………9、复数⇒利用公式快速解决一类复数问题………………………………………10、三视图⇒柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………11、三视图⇒利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………12、不等式⇒利用逆代法巧解求不等式解集问题………………………………13、不等式⇒利用特值法速解比较大小问题……………………………………14、不等式⇒利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………15、不等式⇒用代入法速解f型不等式选择题…………………………………16、不等式⇒利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………17、不等式⇒利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………18、不等式⇒利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………19、不等式⇒利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………20、不等式⇒利用柯西不等式速解最值问题……………………………………21、线性规划⇒利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………22、线性规划⇒高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………23、程序框图⇒程序框图高效格式化解题模式…………………………………24、排列组合⇒排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………25、排列组合⇒利用公式法速解相间涂色问题…………………………………26、排列组合⇒速解排列组合之最短路径技巧…………………………………27、二项式定理⇒二项式定理常见题型大汇总…………………………………28、二项式定理⇒利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………29、平面向量⇒特殊化法速解平面向量问题……………………………………30、平面向量⇒利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………31、平面向量⇒三点共线定理及其推论的妙用…………………………………32、平面向量⇒平面向量等和线定理的妙用……………………………………33、平面向量⇒向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………34、平面向量⇒三角形四心的向量表示及妙用…………………………………35、平面向量⇒利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………36、空间几何⇒利用折叠角公式速求线线角……………………………………37、空间几何⇒求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………38、空间几何⇒空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…39、空间几何⇒利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………40、空间几何⇒利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………41、函数⇒用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………42、函数⇒数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………43、函数⇒数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………44、函数⇒函数的周期性的重要结论的运用……………………………………45、函数⇒利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………46、函数⇒通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………47、函数⇒利用结论速解“奇函数＋C”模型问题……………………………48、函数⇒利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………49、函数⇒巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………50、函数⇒利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………51、函数⇒巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………52、函数⇒构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………53、导数⇒特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………54、导数⇒极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………55、导数⇒用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………56、导数⇒隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………57、三角函数⇒利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………58、三角函数⇒利用结论速求三角函数周期问题………………………………59、三角函数⇒巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………60、三角函数⇒海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………61、三角函数⇒借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………62、三角函数⇒特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………63、三角函数⇒齐次式中弦切互化技巧…………………………………………64、三角函数⇒利用射影定理秒解解三角形问题………………………………65、三角函数⇒三角形角平分线定理的妙用……………………………………66、三角函数⇒三角形角平分线长公式的妙用…………………………………67、三角函数⇒三角形中线定理及其推论的妙用………………………………68、三角函数⇒利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………69、三角函数⇒利用公式法速解三角函数平移问题……………………………70、数列⇒利用公式法速解等差数列n a与nS……………………………………71、数列⇒利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………72、数列⇒用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………73、数列⇒等差数列性质及其推论的妙用………………………………………74、数列⇒观察法速解一类数列求和选择题……………………………………75、数列⇒巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………76、数列⇒代入法速解数列选项含n型选择题…………………………………77、数列⇒一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………78、统计与概率⇒估算法速解几何概型选择题…………………………………79、直线与圆⇒利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………80、直线与圆⇒利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………81、直线与圆⇒利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………82、圆锥曲线⇒利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………83、圆锥曲线⇒用点差法速解有关中点弦问题…………………………………84、圆锥曲线⇒用垂径定理速解中点弦问题……………………………………85、圆锥曲线⇒用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………86、圆锥曲线⇒焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………87、圆锥曲线⇒利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……88、圆锥曲线⇒用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………89、圆锥曲线⇒巧用通径公式速解离心率等问题………………………………90、圆锥曲线⇒巧用三角形关系速求离心率……………………………………91、圆锥曲线⇒构造相似三角形速解离心率……………………………………92、圆锥曲线⇒用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………93、圆锥曲线⇒利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………94、圆锥曲线⇒利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………95、圆锥曲线⇒椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………96、圆锥曲线⇒双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………23⇒⇒97、圆锥曲线 ⇒ 离心率与焦点三角形底角公式的妙用………………………… 98、圆锥曲线 ⇒ 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………99、圆锥曲线 ⇒ 用特值法巧解圆锥曲线选填题………………………………… 100、圆锥曲线 ⇒ 用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………31、平面向量 ⇒ 三点共线定理及其推论的妙用 【结论】（1）向量三点共线定理：在平面中C B A 、、三点共线的充要条件是：（为平面内任意一点）,其中.(证明略)特别地,当2=x )2OC +时,点A 为BC 的中点. （2）向量三点共线定理拓展：如果为平面内直线BC 外任意一点,则 ①当时A 与点在直线BC 同侧,②当时, A 与点在直线BC 的异侧.◆ 例1 （2014全国I 理15）已知C B A 、、是圆上的三点,若,则与的夹角为 .【秒解】为中点,为圆的直径与的夹角为.◆ 例2 (2006江西理7) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若OC a OA a OB 2001+=且C B A 、、三点共线（该直线不过原点）,则=200S （ ） A.100 B.101 C.200 D.201【秒解】由平面三点共线的向量式定理可知：12001=+a a ∴,选A.◆ 例3 已知P 是的边BC 上的任一点,且满足 则的最小值是 . 【秒解】由平面三点共线的向量式定理, ∴, 当时取“=”,又, ∴符合题意.∴最小值为9..O A xOB yOC =+O 1x y +=O 1x y +<O 1x y +>O O 1()2AO AB AC =+AB AC 1()2AO AB AC =+⇒O BC BC ⇒AB AC 090O 10022002001200=+=）（a a S ABC ∆R y x AC y AB x AP ∈+=,,yx 41+1=+y x 954))(41(41≥++=++=+yx x y y x y x y x yx x y 4=1=+y x 32,31==y x y x 41+4AAA◆ 例4 (2007江西理15)如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则的值为 ．【秒解1】∵是BC 的中点,连接AO ,由向量加法的平行四边形法则可知∵ ∴, 又M,O,N 三点共线,∴, 【秒解2】由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知1,1==n m ,故◆ 例5（2006湖南文10） 如图：AB OM //,点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且,则实数对)(y x ，可以是( ) A. B. C. D.【秒解】根据向量三点共线定理拓展结论,点P 点与点Ｏ在直线AB 同侧,则 ,又根据平行四边形法则,要使即用 来表示,需反向延长OA,∴,选C.◆ 例6(2006湖南理15) 如图, ,点P 在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动,且,则的取值范围是 .当时,的取值范围是 .ABC △O BC O AB AC M N ，AB mAM =AC nAN =m n +O ）（AC AB AO +=21AN n AC AM m AB ==,AN nAM m AN n AM m AO 22)(21+=+=122=+nm m n +2=m n +2=OB y OA x OP +=)43,41()32,32(-43,41(-57,51(-10<+<y x OB y OA x OP +=OB OA 、OP 0x <AB OM //OM OB AB OP xOA yOB =+x 12x =-y5【秒解】根据向量加法平行四边形法则及扩展定理,则有：,且当,有：,即,答案：,（,）◆ 练1（2007全国II 理5）在中,D 是AB 边上一点,=2,=,则λ=( ) A.B. C.－ D.－【答案】A◆ 练2（2015全国I 理7）设为所在平面内一点,则( ) A. B.C. D.【答案】A◆ 练3（2008广东理8）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 是OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若则( )A. B. C. D. 【答案】B0x <12x =-1O x y <+<1131222O y y <-+<⇒<<0x <1232ABC ∆AD DB CD CB CA λ+3132313132D ABC ∆3BC CD =1433AD AB AC =-+1433AD AB AC =-4133AD AB AC =+4133AD AB AC =-,,b BD a AC ===AF b a 2141+b a 3132+b a 4121+b a 3231+。
平面向量中“三点共线定理”妙用讲解学习
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量中三点共线
知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且OP xOA yOB =+。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >>当点P 在线段AB 之外时，0xy <典例剖析例1、 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是 分析：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例2、在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211分析：,,B P N三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+8111m ∴+=311m ∴=，故选C例3、在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+ 又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=变式、直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M 。
三点共线向量表示形式的应用举例
三点共线向量表示形式的应用举例三点共线的充要条件：已知o、a、b是不共线的三点，且存在实数x，v使得op=xoa+yob，则a、b、p三点共线的充要条件是x+y=1。
这是三点共线的一个充要条件，主要以向量形式表述，用其来解决一些与三点共线有关的问题，显得非常简便和巧妙。
举例如下：一、解决与三点共线有关的求值问题如图中△abc，an=13ac，p是bn上的一点，若ap=mab+211ac，则m的值为.解：∵an=13ac，∴ap=mab+211ac=mab+611an又b、p、n三点共线，∵m+611=1∴m=511本题直接利用三点共线的向量式中x+y=1来解决.2.△abc中，o点是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab、ac 于不同的两点m、n。
若ab=mam，ac=nan，则m+n=.解：∵ao=12ab+12ac又ab=mam，ac=nan∴ao=m2am+n2an又o、m、n三点共线，∴m2+n2=1即m+n=23.变式：△abc中，点o是bc的中点，k为ao上一点，且ao=2ak.过点k的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n。
若ab=mam，ac=nan，则m+n=.解：∵ao=12ab+12acab=mam，ac=nan∴ao=m2am+n2an，又ao=2ak∴2ak=m2am+n2an∴ak=m4am+n4an又k、m、n三点共线，∴m4+n4=1即m+n=4以上两题实质都是以ao为桥梁，利用三点共线的充要条件整体求值，体现了三点共线的向量式x+y=1中在求值问题（尤其是整体求值）中的重要作用.二、在向量的表示中的应用4.△abc中，点e在ab边上，f在边ac上，且ae=2eb，af=13fc，bf与ce交于点m，设am=xae+yaf，则x+y=.解法一：∵e、m、c三点共线，∴设am=mae+（1-m）ac又ac=4af∴am=mae+4（1-m）af①∵b、m、f三点共线∴设am=nab+（1-n）af又ab=32ae∴am=32nae=（1-n）af②又ae，af又不共线，∴32n=m1-n=4（1-m）解得m=910n=35，∴am=910ae+410af∴x+y=1310此种解法主要通过两组三点共线的向量式设定系数，用同一组基底来表示向量am，再结合平面向量基本定理求解系数。
平面向量三点共线定理和等和线定理(学生用)
平面向量三点共线定理与等和线定理（方法素养·助学培优）【考情分析】平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学命题的一个热点，向量三点共线和等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数式运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现。
平面向量三点共线定理和等和线定理在近些年高考及各省市的模拟考试相继出现，这类问题综合性较强，难度稍大，学生在解决此类问题大多会思路不清晰，解题繁琐，得分率不高，通过三点共线和等和线定理的研究学习为求解此类问题打开崭新的解题空间。
【考点知识回顾】1.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.2.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．【考点探究·题型突破】▶▶▶思考1 如图所示，在平面内，已知C在直线AB上（即A,B,C三点共线），= ，若点C在线段AB 上，则。
▶▶▶引申探究，则A,B,C三点一定共线吗？★★★1.三点共线定理：已知为平面内两个不共线的向量且，是A,B,C三点共线的充要条件。
2.已知，若A,B,C三点共线且点C在线段AB 上，则（系数交叉对应）。
3.特别地：当C为AB的中点时，.☛☛☛练习1 如图，在☛ABC中，D为BC的中点，E在线段AD上，且AE=2ED,则( )▶▶▶思考2如图所示，在平面内，已知，，若点C在直线AB外，则=★★★等和线定理：平面内一组基底及任一向量,,若点C在直线AB上或者平行与AB的直线上，则且，反之也成立。
（直线AB以及直线AB平行的直线称为等和线）。
性质：（1）；（2）当等和线恰为直线AB时，；（3）当等和线在O和直线AB之间时，；（4）当直线AB在点O和等和线之间时，；（5）当等和线过O点时，。
有关平面向量三点共线问题的求解
有关平面向量三点共线问题的求解
三点共线向量公式：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。
三点共线指的是三点在同一条直线上。
可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。
三点共线证明方法：
方法一：挑两点奠定一条直线，排序该直线的.解析式.代入第三点座标看看与否满足用户该解析式（直线与方程）。
方法二：设三点为a、b、c，利用向量证明：λab=ac（其中λ为非零实数）。
方法三：利用点差法求出来ab斜率和ac斜率，成正比即为三点共线。
方法四:用梅涅劳斯定理。
方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面存有一个公共点，那么它们存有且只有一条过该点的公共直线”.所述：如果三点同属两个平行的平面则三点共线。
方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。
2023届高三数学一轮复习专题 平面向量的表示、三点共线研究 讲义 (解析版)
高三第一轮复习专题 平面向量表示、三点共线研究 一、平面向量基本定理：设12,e e 是同一平面内两个不共线向量，a 是这一平面内的任一向量。
在平面内任取一点O ，作12,,OA e OB e OC a ===，过C 作OB 的平行线，交直线OA 于M ；过C 作OA 的平行线，交直线OB 于N 。
因OM 与OA 共线，则存在实数1λ，使得：11OM e λ=；因ON 与OB 共线，则存在实数2λ，使得：22ON e λ=； OC OM ON =+1122a e e λλ∴=+也即，任一向量a 都可表示成1122e e λλ+的形式。
平面向量基本定理：若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得：1122a e e λλ∴=+。
（也可称为a 用12,e e 表示出来）不共线向量12,e e 称为表示这一平面内所有向量的一组基底，12,e e 称为基向量。
例1。
ABCD 两条对角线交于O ，AB a =，AD b =，用a 、b 表示OA 、OB 、OC 、OD 。
2e2ea解：AC AB AD a b =+=+，DB AB AD a b =-=-O ABCD 为两条对角线的交点()1122OA AC a b ∴=-=-+，()1122OC AC a b ==+()1122OB DB a b ==-， ()1122OD DB a b =-=--。
故在一个图形中，任意两个不共线向量都可以作为一组基底，其余向量都可用这一组基向量表示出来。
在具体问题中，基向量的选择十分重要，它决定了是否容易表示。
二、向量的表示：★★★★★在研究向量间关系时，常先取两个基向量作为一组基底，其余向量用这两个基向量表示出来，这样能够更清晰地找出所研究向量间的关系。
1.，其余向量用这两个基向量表示出来。
例。
在ABC 中，2BD DC =，设,AB a AC b ==，用,a b 表示AD 。