第4讲函数的单调性教师版
函数单调性教案
函数单调性教案中的这种变化规律，可以用数学中的函数来描述。
引导学生思考函数与实际生活的联系。
二)函数单调性的概念和判断方法讲解函数单调性的概念和判断方法，引导学生观察图像，数形结合，发现图像上升或下降时函数值的变化规律，推广到一般函数，得出增减函数定义。
学生归纳出判断的方法及步骤并进行简单的应用。
三)函数单调性的证明通过对函数单调性的定义进行探究，引导学生进行推理论证，提高学生的推理论证能力。
四)课后练布置课后练，让学生巩固所学知识，体现层次性，照顾各层次的同学。
通过实际生活中的例子引导学生理解函数的概念，讲解函数单调性的概念和判断方法，引导学生观察图像，数形结合，发现图像上升或下降时函数值的变化规律，推广到一般函数，得出增减函数定义。
通过对函数单调性的定义进行探究，引导学生进行推理论证，提高学生的推理论证能力。
布置课后练，让学生巩固所学知识。
中处处都有数学，因为数学是一门广泛应用于各个领域的学科。
其中，气温变化也蕴含着丰富的数学知识，例如函数的单调性。
函数的单调性指的是在一个区间范围内，函数上升或下降的趋势。
观察函数图像和变量的变化可以帮助我们理解函数的单调性。
上节课的作业中，我们观察了三个函数图像，可以看出它们的变化趋势。
例如，从4点到7点，7点到14点温度是升高的；从点到4点，14点到24点温度是下降的。
通过这样的观察，我们可以感受到生活中处处都蕴含着数学，激发学生的研究热情。
除了观察函数图像，我们还可以通过增减函数的概念来判断函数的单调性。
增减函数是指函数在某个区间内的导数为正或负。
通过这种方法，我们可以更清楚地表述函数的单调性。
需要注意的是，函数的单调性具有局部性，必须在一个区间范围内进行观察和判断。
因此，无论是从图像上还是从变量上，我们都需要借助函数图像来观察和判断函数的单调性。
学中随机选择m个同学回答）。
函数的单调性与增减性是密切相关的，通常我们把具有单调性的函数称为增函数或减函数。
函数的单调性教案
函数的单调性教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 引入：引导学生回顾初中阶段学过的函数概念，复习一次函数、二次函数的图像和性质。
提问：函数的图像是否具有单调性？如何描述函数的单调性？1.2 单调性的定义：讲解函数单调性的定义，引导学生理解单调递增和单调递减的概念。
举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调性。
1.3 单调性的判断：教授如何判断函数的单调性，引导学生掌握利用导数或图像判断单调性的方法。
第二章：单调递增函数的性质2.1 单调递增的定义：复习单调递增的定义，强调函数值随着自变量的增加而增加的特点。
举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调递增性质。
2.2 单调递增函数的图像：讲解单调递增函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而上升的趋势。
2.3 单调递增函数的性质：教授单调递增函数的性质，如凹凸性、极值等。
第三章：单调递减函数的性质3.1 单调递减的定义：复习单调递减的定义，强调函数值随着自变量的增加而减少的特点。
举例说明：如y=-x，y=-2x-1等函数的单调递减性质。
3.2 单调递减函数的图像：讲解单调递减函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而下降的趋势。
3.3 单调递减函数的性质：教授单调递减函数的性质，如凹凸性、极值等。
第四章：单调性的应用4.1 最大值和最小值：讲解如何利用函数的单调性求解最大值和最小值问题。
4.2 函数的单调区间：讲解如何确定函数的单调递增区间和单调递减区间。
4.3 函数的单调性与方程的解：讲解如何利用函数的单调性来解决方程的解的问题。
第五章：单调性的综合应用5.1 函数图像的变换：讲解如何利用单调性来分析和理解函数图像的平移、翻折等变换。
5.2 函数的单调性与实际问题：引导学生将函数的单调性应用于解决实际问题，如优化问题、经济问题等。
5.3 单调性的进一步探讨：引导学生思考单调性的局限性，如非单调函数的特殊情况。
第六章：复合函数的单调性6.1 复合函数的概念：引导学生回顾复合函数的定义，理解复合函数是由两个或多个基本函数通过函数运算组合而成的。
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
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单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
函数的单调性(公开课课件)很赞
函数的单调性(公开课课件)很赞一、教学内容本节课的教学内容来自小学数学五年级下册的《函数的单调性》。
具体内容包括：函数单调性的定义、单调递增函数和单调递减函数的概念、函数单调性的判断方法以及函数单调性在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握单调递增函数和单调递减函数的定义。
2. 学会用图像和解析式判断函数的单调性。
3. 能够运用函数的单调性解决实际问题，提高解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：函数单调性的概念及其判断方法。
难点：函数单调性在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师展示一幅气温变化图，引导学生观察气温的变化趋势。
提问：“请大家观察这幅图，气温是如何变化的？能否用自己的话描述出来？”2. 例题讲解：教师出示例题：已知函数f(x) = x^2，判断函数f(x)在区间[1, 1]上的单调性。
教师引导学生分析函数的图像，观察函数在区间[1, 1]上的变化趋势。
引导学生得出结论：函数f(x)在区间[1, 1]上单调递增。
3. 随堂练习：教师出示随堂练习题：已知函数f(x) = x^2，判断函数f(x)在区间[1, 1]上的单调性。
学生独立完成练习，教师巡回指导。
4. 函数单调性的判断方法：5. 函数单调性在实际问题中的应用：教师出示应用题：某商品打折后的价格与原价之间的关系可以表示为函数f(x) = 0.8x，原价为100元，求打折后价格在50元到80元之间的单调性。
学生独立解决问题，教师巡回指导。
六、板书设计板书内容：1. 函数单调性的定义2. 单调递增函数和单调递减函数的概念3. 函数单调性的判断方法4. 函数单调性在实际问题中的应用七、作业设计（1）函数f(x) = 2x，区间[1, 1]（2）函数f(x) = 3x，区间[1, 1]2. 应用题：某商品打折后的价格与原价之间的关系可以表示为函数f(x) = 0.8x，原价为80元，求打折后价格在40元到60元之间的单调性。
《函数的单调性》示范公开课教案高中数学北师大-2024鲜版
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利用单调性求最值问题
举例：求函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间 $[0,3]$上的最小值。
解题思路：首先判断 函数在给定区间上的 单调性，然后根据单 调性确定函数的最值 。
解题步骤
2024/3/27
1. 判断函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间 $[0,3]$上的单调性。 通过求导$f'(x) = 2x 2$，可知函数在 $(0,1)$上单调递减， 在$(1,3)$上单调递增 。
通过实例分析、探究学习 等方式，培养学生的数学 思维和解决问题的能力。
情感态度与价值观
培养学生严谨的数学态度 ，感受数学之美，增强数 学学习的兴趣和信心。
5
教材分析与处理
教材分析
本节课选自北师大版高中数学教材，主要内容包括函数单调性的定义、判断方法及其应用。教材注重从实际问题 出发，引导学生探究函数的性质。
2024/3/27
1. 将不等式$x^2 - 2x - 3 < 0$转化 为函数形式，即$f(x) = x^2 - 2x 3$。
3. 根据单调性，解不等式$f(x) < 0$ ，即求解$x^2 - 2x - 3 = 0$的根， 得到$x_1 = -1, x_2 = 3$。因此，不 等式的解集为$(-1,3)$。
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利用单调性研究函数性质
01
举例：研究函数$f(x) = frac{1}{x}$的单调性。
02
解题思路：通过求导判断函数的单调性，并研究其性质。
03
解题步骤
2024/3/27
04
1. 求函数$f(x) = frac{1}{x}$的导数，得到$f'(x) = frac{1}{x^2}$。
函数单调性的教案
函数单调性的教案函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说，若函数在定义域上满足下列条件之一，则称该函数具有单调性：增函数、减函数、严格增函数、严格减函数。
一、知识导入函数的单调性是高中数学中的重要概念，在函数的图像、导数等方面都有着重要的应用。
通过了解函数的单调性，可以更深入地理解函数的性质。
二、知识讲解1. 增函数：如果对于定义域上任意两个不等的实数x1和x2，若有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在区间上是增函数。
2. 减函数：如果对于定义域上任意两个不等的实数x1和x2，若有f(x1) > f(x2)，则函数 f(x)在区间上是减函数。
3. 严格增函数：如果对于定义域上任意两个不等的实数x1和x2，若有f(x1) < f(x2)，且x1 < x2，则函数f(x)在区间上是严格增函数。
4. 严格减函数：如果对于定义域上任意两个不等的实数x1和x2，若有f(x1) > f(x2)，且x1 < x2，则函数 f(x)在区间上是严格减函数。
三、教学过程1. 导入：以函数 f(x) = x^2 为例，通过画出函数图像，让学生观察函数的单调性。
2. 讲解：根据函数图像，引导学生得出结论：函数 f(x) = x^2 在定义域内是增函数。
3. 探究：让学生自己猜测函数 f(x) = -x^2 的单调性，并通过画出函数图像，验证猜测的结果。
4. 归纳总结：根据函数的图像，总结增函数、减函数、严格增函数、严格减函数的定义，并总结它们的特点。
5. 拓展实践：给出一些练习题，让学生通过判断函数的单调性，进一步巩固和应用所学知识。
四、练习与作业1. 判断函数 f(x) = 3x - 4 在定义域上的单调性。
2. 判断函数 f(x) = x^3 - 2x 在定义域上的单调性。
3. 自己找出一个函数的例子，并判断其在定义域上的单调性。
五、板书设计函数的单调性：增函数：f(x1)<f(x2)，x1<x2减函数：f(x1)>f(x2)，x1<x2严格增函数：f(x1)<f(x2)，且x1<x2严格减函数：f(x1)>f(x2)，且x1<x2六、教学反思通过教学板书和实例讲解，学生对函数的单调性有了初步的了解，能够判断函数是否是增函数、减函数、严格增函数、严格减函数。
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
函数的单调性及单调区间(预习讲义)(教师版)
函数的单调性及单调区间（预习讲义）考察函数y x =、2y x =、1y x=的图象你能发现每个图象中函数值y 随着x 的变化而变化的情况吗？【答案】对于y x =，y 随着x 的增大而增大；对于2y x =，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，当0x >时，y 随着x 的增大而增大；对于1y x=，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，当0x >时，y 随着x 的增大而减小．一、函数单调性的定义1、改变量：在函数()y f x =的图象上任取两点1122(,),(,)A x y B x y ，记21,x x x ∆=-2121()()y f x f x y y ∆=-=-．则x ∆表示自变量x 的改变量，y ∆表示因变量y 的改变量． 2、增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数．如图所示：知识导引知识讲解3、减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数．如图所示：4、单调性：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．区间M 称为单调区间．二、用定义法证明函数单调性的一般步骤1、取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=->2、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．3、定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．4、下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．三、函数的平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比即2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率．四、 重要结论1、若在区间M 上函数()y f x =是增函数，12x x <⇔12()()f x f x <12(,)x x M ∈；若在区间M 上函数()y f x =是减函数，12x x <⇔12()()f x f x >．12(,)x x M ∈ 2、在区间M 上函数()y f x =是增函数⇔0yx∆>∆； 在区间M 上函数()y f x =是减函数⇔0y x∆<∆五、特殊函数的单调性1、一次函数(0)y kx b k =+≠，0k y kx b >⇔=+为增函数；0k y kx b <⇔=+为减函数．2、反比例函数(0)k y k x =≠，0kk y x>⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为减函数；0kk y x<⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为增函数． 想一想：能说(0)ky k x =>在区间(,0)(0,)-∞+∞上为减函数吗？说明理由．【答案】不能，反例：取1211x x =-=，，则12(0)(0)x x ∈-∞+∞，，，，且12x x <又12y k y k =-=，， 因为0k >，所以12y y <，与减函数定义矛盾．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，0a >⇔2y ax bx c =++在区间(,)2ba--∞上为减函数，在区间 (,)2ba-+∞上为增函数． 0a <⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为增函数，在区间(,)2ba-+∞上为减函数． 4、函数y x a =-在区间(,)a -∞上为减函数，在区间(,)a +∞上为增函数． 5、对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数；一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；五、函数的最值1、函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤; （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）2、函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值（minimum value ）一、我们知道，函数1y x=在(0)-∞，，(0)+∞，上单调递减，函数21y x =+在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，那么函数211y x =+的单调性是怎样的呢？ 【答案】任取12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， 210x x x ∆=->2212121221222222212121()()11011(1)(1)(1)(1)x x x x x x y y y x x x x x x --+∆=-=-==>++++++ 所以211y x =+在(0)-∞，上单调递增； 同理，可证得，211y x =+在(0)+∞，上单调递减． 二、 复合函数的单调性1、若函数()y f u =在其定义域上是增函数，()u g x =在其定义域上是增函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递增；2、若函数()y f u =在其定义域上是增函数，()u g x =在其定义域上是减函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递减；3、若函数()y f u =在其定义域上是减函数，()u g x =在其定义域上是增函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递减；4、若函数()y f u =在其定义域上是减函数，()u g x =在其定义域上是减函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递增；由上面的探究可知：探究对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数． 当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数;【例1】 如图是定义在区间[]5,5-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】()f x 的单调增区间是(21)-，，(35)， ()f x 的单调减区间是(52)--，，(13)，【例2】 试用函数单调性的定义证明函数1y x =-+，在()-∞+∞，上是减函数． 【答案】证：任取12()x x ∈-∞+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->212112(1)(1)0y y y x x x x ∆=-=-+--+=-<所以1y x =-+在()-∞+∞，上是减函数． 【例3】试用函数单调性的定义证明函数y =，在[0)+∞，上是增函数． 【答案】证：任取12[0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->210y y y ∆=-===>例题精讲所以y =在[0)+∞，上是增函数． 【例4】试用函数单调性的定义证明函数y =，在[0)+∞，上是增函数． 【答案】证：任取12[0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->210y y y ∆=-==>所以y =[0)+∞，上是增函数． 【例5】 试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性． 【答案】解：任取12(01)x x ∈，，，且12x x < 210x x x ∆=->2121121221211212222(1)2(1)2()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x y f x f x x x x x x x ----∆=-=-==------ 因为1201x x <<<所以120x x -<，110x -<，210x -< 所以0y ∆<所以2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调递减． 【例6】 证明函数3y x =在定义域上是增函数．【答案】证：任取12x x ∈R ，，且12x x < 210x x x ∆=->3322221212121212121213()()()[()]24x y y y x x x x x x x x x x x x ∆=-=-=-++=-++ 因为12x x <所以210x x ->，221213()024x x x ++>，所以0y ∆>所以3y x =在定义域上是增函数．【例7】 画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间：（1）1y x =+ （2）2y x =+【答案】（1）函数1y x =+的单调递增区间是(0)+∞，，单调递减区间是(0)-∞，； （2）函数2y x =+的单调递增区间是(2)-+∞，，单调递减区间是(2)-∞-，； 【例8】 如果函数()y f x =是R 上的减函数，证明0k <时，()kf x 在R 上是增函数．【答案】证：任取12x x ∈R ，，且12x x < 210x x x ∆=->2121()()(()())y kf x kf x k f x f x ∆=-=-因为函数()y f x =是R 上的减函数，12x x < 所以12()()f x f x > 所以21()()0f x f x -< 又0k < 所以0y ∆>所以()kf x 在R 上是增函数．【例9】 研究函数11y x =+的单调区间并画出图象． 【答案】函数11y x =+的单调递减区间为(1)-∞-，，(1)-+∞，． 【例10】 求函数212y x x =++的单调区间．【答案】解：2211172()24y x x x ==++++所以函数的定义域为R 令1y u=，22u x x =++ 因为1y u=在(0)+∞，上单调递减，22u x x =++在1()2-∞-，上单调递减，在1()2-+∞，上单调递增． 所以212y x x =++的单调递增区间是1()2-∞-，，单调递减区间是1()2-+∞，． 【例11】讨论函数y =的单调性．【答案】由2230x x +-≥，得1x ≥或3x ≤-．所以函数定义域为(3][1)-∞-+∞，，令y =223u x x =+-，由复合函数单调性判断法则，得y =在(3]-∞-，上单调递减，在[1)+∞，上单调递增．【例12】 设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的范围为（ )A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a <【答案】D【例13】 已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4]-∞，上是减函数，求a 的取值范围 【答案】(3]-∞-，【例14】 函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞）是单调函数，则b 的取值范围是（ ）A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <【答案】A【例15】 下列四个函数中，在(0)+∞，上为增函数的是（ ）A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()1f x x =-+ D ．()f x x =-【答案】C【例16】 若函数211()11x x f x ax x ⎧-≥=⎨-<⎩，，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围【答案】(01]，【例17】 已知函数()f x 在R 上是减函数，且(21)(2)f a f a +>--，则a 的取值范围是【答案】(1)-∞-，【例18】 已知定义在[23]-，上的减函数()f x 满足(1)(23)f a f a +>+，则a 的取值范围是【答案】(20]-，【例19】 已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-【答案】D【例20】 若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）．A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【答案】C【例21】 求下列函数的最大值与最小值（1）()1[12]f x x x =-+∈-，， （2）1()[31]f x x x-=∈--，， （3）2()21[03]f x x x x =-++∈，， （4）[]2()114f x x x x =+-∈，， （5）1()[25]1f x x x =∈-，， （6）21()[35]1x f x x x -=∈+，， 【答案】（1）()f x 最大值为2，最小值为1-；（2）()f x 最大值为1，最小值为13；（3）()f x 最大值为2，最小值为2-； （4）()f x 最大值为19，最小值为1； （5）()f x 最大值为1，最小值为14； （6）()f x 最大值为32，最小值为54； 【例22】 讨论下列函数的最大值与最小值（1）2()21[11]f x x ax x =-+∈-，，，a ∈R（2）2()21f x x x =+-，[11]x a a ∈-+，，a ∈R 【答案】（1）当1a ≤-时，()f x 最大值为22a -，最小值为22a +；当10a -<≤时，()f x 最大值为22a -，最小值为21a -； 当01a <<时，()f x 最大值为22a +，最小值为21a -； 当1a ≥时，()f x 最大值为22a +，最小值为22a -．（2）当2a ≤-时，()f x 最大值为22a -，最小值为242a a ++； 当21a -<<-时，()f x 最大值为22a -，最小值为2-； 当10a -≤<时，()f x 最大值为242a a ++，最小值为2-； 当0a ≥时，()f x 最大值为242a a ++，最小值为22a -．知识总结二、 函数单调性的定义1、改变量：在函数()y f x =的图象上任取两点1122(,),(,)A x y B x y ，记21,x x x ∆=-2121()()y f x f x y y ∆=-=-．则x ∆表示自变量x 的改变量，y ∆表示因变量y 的改变量． 2、增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ， 改变量210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数． 如图所示：3、减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数． 如图所示：4、单调性：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．区间M 称为单调区间．二、 用定义法证明函数单调性的一般步骤1、取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=->2、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．3、定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．4、下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． 三、函数的平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比即2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率． 三、 重要结论：1、若在区间M 上函数()y f x =是增函数，12x x <⇔12()()f x f x <12(,)x x M ∈；若在区间M 上函数()y f x =是减函数，12x x <⇔12()()f x f x >．12(,)x x M ∈ 2、在区间M 上函数()y f x =是增函数⇔0yx∆>∆； 在区间M 上函数()y f x =是减函数⇔0y x∆<∆ 四、 特殊函数的单调性1、一次函数(0)y kx b k =+≠，0k y kx b >⇔=+为增函数；0k y kx b <⇔=+为减函数．2、反比例函数(0)k y k x =≠，0kk y x>⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为减函数；0kk y x<⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为增函数． 想一想：能说(0)ky k x =>在区间(,0)(0,)-∞+∞上为减函数吗？说明理由．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，0a >⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为减函数，在区间(,)2ba-+∞上为增函数．0a <⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为增函数，在区间(,)2ba-+∞上为减函数． 4、函数y x a =-在区间(,)a -∞上为减函数，在区间(,)a +∞上为增函数． 5、对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数； 一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；6、对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数．当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数．五、 函数的最值1、函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤;（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）2、函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值（minimum value ）【题1】 已知函数41 1.()5 1.x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，，则()f x 的递减区间是（ ）A ．[1)+∞，B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．(1]-∞，【答案】B【题2】函数y =的单调递增区间为（ ） A ．(2]-∞-，B ．[52]--，C ．[21]-，D ．[1)+∞，【答案】B【题3】 求证：函数3()f x x x =--在()-∞+∞，上为减函数． 【答案】证：任取12()x x ∈-∞+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->33332122111212()()y f x f x x x x x x x x x ∆=-=--++=-+-2222222121122121211221213()()()()(1)()[()1]024x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-=-+++=-+++< 所以3()f x x x =--在()-∞+∞，上是减函数． 【题4】 已知函数()f x 在[2)+∞，上是减函数，试比较(2)f ，2(3)f x +的大小 【答案】(2)f >2(3)f x +【题5】 求函数2()241f x x x =-+-在区间[12]-，上的值域． 课后巩固【答案】[71]-，【题6】 求函数4y x x=+在区间[24]，上的最大值与最小值． 【答案】4y x x=+最大值是5，最小值是4．【题1】 函数223y x x =+-在区间[30]-，上的值域为（ ） A ．[43]--，B ．[40]-，C ．[30]-，D ．[04]，【答案】B【题2】 若函数21()232f x x x =-+在[0]m ，有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是____． 【答案】[24]，【题3】 用单调性定义证明函数1()g x x=在(0,)+∞上单调递减． 【答案】证：任取12(0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->1221211211()()0x x y g x g x x x x x -∆=-=-=< 所以1()g x x=在(0,)+∞上是单调递减． 【题4】 已知函数()1xf x x =-． （I ）证明：对于定义域中任意的x 均有(1)(1)2f x f x ++-=；（II ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1)+∞，上是减函数． 【答案】（I ）证：1111(1)(1)21111x x x xf x f x x x x x+-+-++-=+=-=+---（II ）证：任取12(1)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->期中对接212121211221212121()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x y f x f x x x x x x x --+-∆=-=-==------ 因为121x x <<所以120x x -<，110x ->，210x -> 所以0y ∆<所以函数()f x 在(1)+∞，上是减函数． 【题5】 已知函数2()41f x ax x =--．（Ⅰ）若2a =时，求当[03]x ∈，时，函数()f x 的值域；（Ⅱ）若2a =，当(01)x ∈，时，(1)(21)0f m f m ---<恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）若a 为非负数，且函数()f x 是区间[03]，上的单调函数，求a 的取值范围．【答案】19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，所以在上单调递减；在上单调递增． 所以的最小值是 又因为，， 所以的值域是（Ⅱ）因为，所以由（Ⅰ）可知：在上单调递减． 因为当时，恒成立，可得解得所以的取值范围是2a =()()2224121 3.f x x x x =--=--()f x []0,1(]1,3()f x ()1 3.f =-()01f =-()35f =()f x []3,5.-2a =()f x []0,1()0,1x ∈()()1210f m f m ---<121,011,0211,m m m m ->-⎧⎪<-<⎨⎪<-<⎩12.23m <<m 12.23m <<（Ⅲ）因为，①当时， 所以在上单调递减．②当时，因为在上的单调函数，可得解得 由①、②可知，的取值范围是揭示星期几的奥秘公元321年3月7日，古罗马皇帝君士坦丁，正式宣布采用“星期制”，规定每一星期为七天，第一天为星期日，尔后星期一、星期二直至星期六，尔后再回到星期日，如此永远循环下去！君士坦丁大帝还规定，宣布的那天日子为星期一．一星期为什么定为七天？这大约是出自月相变化的缘故．天空中再没有别的天象变化得如此明显，每隔七天便一改旧貌！另外，“七”这个数，恰与古代人已经知道的日、月、金、木、水、火、土七星的数目巧合，因此在古代神话中就用一颗星作为一日的保护神，“星期”的名称也因之而起．我想读者一定很想知道历史上的某一天是星期几的奥秘！为了揭开这个奥秘，我们先从闰年的设置讲起．我们知道：一个回归年不是恰好365日，而是365日5小时48分46秒，或365．2422日．为了防止这多出的0．2422日积累起来，造成新年逐渐往后推理．因此我们每隔4年时间便设置一个闰年，这一年的二月从普通的28天改为29天．这样，闰年便有366天．不过，这样补来也不刚好，每百年差不多又多补了一天．因此又规定，遇到年数为“百年”的不设闰，扣它回来！这就是常说的“百年24闰”．但是，百年扣一天闰还是不刚好，又需要每四百年再补回来一天．因此又规定，公元年数为400倍数者设闰．就这么补来扣去，终于补得差不多刚好了！例如，1976、1988这些年数被4整除的年份为闰年；而1900、2100这些年则不设闰；2000年的年数恰能被400整除，又要设闰，如此等等．()241f x ax x =--0a =()4 1.f x x =--()f x []0,30a >()224 1.f x a x a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()f x []0,3220,3,0,aa a ⎧≤≥⎪⎨⎪>⎩或20.3a <≤a 20,.3⎡⎤⎢⎥⎣⎦数学文化闰年的设置，无疑增加了我们对星期几推算的难度．为了揭示关于星期几的奥秘，我们还要用到一个简单的数学工具——高斯函数：[]y x =．这里[]x 表示不超过数x 的最大整数．利用高斯函数，我们可以根据设闰的规律，推算出在公元x 年第y 天是星期几．这里变量x 是公元的年数；变量y 是从这一年的元旦，算到这一天为止（包含这一天）的天数．历法家已经为我们找到了这样的公式：1111[][][]4100400x x x S x y ---=-+-++ 设上式求出S 后，除以7，如果恰能除尽，则这一天为星期天；否则余数为几，则为星期几！ 例如，君士坦丁大帝宣布星期制开始的第一天为公元321年3月7日．容易算得：132066x y -=⎧⎨=⎩ 320320320320[][][]664100400S =+-++ 320803066=+-++ 4631(mod7)=≡最后一个式子的符号表示463除以7余1．也就是说，这一天为星期一，这是可以预料到的，因为当初就是这么规定的！又如，我们共和国成立于1949年10月1日：11948274x y -=⎧⎨=⎩ 1948194819481948[][][]2744100400S =+-++1948487194274=+-++26946(mod7)=≡原来，这一普天同庆的日子为星期六．公元2000年1月1日，人类跨进了高度文明的21世纪，那么这一天是星期几呢？119991x y -=⎧⎨=⎩1999199919991999[][][]14100400S =+-++199********=+-++=≡24846(mod7)计算表明：这一天也是星期六！。
函数的单调性公开课课件
教学目标与要求
教学目标
通过本节课的学习，使学生掌握函数单调性的定 义、判断方法以及应用。
教学要求
学生能够理解函数单调性的概念，掌握判断函数 单调性的方法，并能够运用所学知识解决与函数 单调性相关的问题。
02
函数单调性的判断方法
导数法
01 导数与函数单调性的关系
当函数在某区间内可导时，若导数大于0，则函数 在该区间内单调递增；若导数小于0，则函数在该 区间内单调递减。
反函数单调性判断方法
首先确定原函数的单调性，然后根据反函数的定 义和性质判断反函数的单调性。
3
反函数单调性应用
在解决一些涉及反函数的问题时，可以利用反函 数的单调性来简化计算或证明过程。
单调性与连续性的关系
单调性与连续性的关系定理
若函数$y = f(x)$在区间$X$上是单调的，则它在该区间内至多只有第一类间断点。
02 导数的计算
通过求导公式和求导法则，计算出函数的导数表 达式。
03 导数法判断函数单调性的步骤
首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数， 最后根据导数的正负判断函数的单调性。
差分法
01 差分的定义
差分是函数在两个相邻点的函数值之差，即 Δy=f(x+Δx)−f(x)。
02 差分与函数单调性的关系
针对某些复杂的不等式，可以通过构 造辅助函数，利用函数的单调性进行 证明。
在函数值比较中的应用
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区间内单调，则可 以通过比较自变量的大小来推断函数值的大小关系。
确定函数值的范围
通过函数的单调性，可以确定函数在某一区间内的取值范围，进而 对函数值进行比较和估算。
函数的单调性(公开课课件)
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
格单调的。
函数单调性的扩展
05
多变量函数的单调性
01 02
定义
对于多变量函数，如果函数在某个区域内的任意两点x1和x2，当x1<x2 时，函数值f(x1)<=f(x2)，则称函数在此区间内单调递增；反之，则称 函数在此区间内单调递减。
判断方法
通过求导数或求偏导数，判断函数的增减性。
03
应用
在经济学、物理学等领域中，多变量函数的单调性有着广泛的应用。
严格单调函数的反例
总结词
非严格单调函数
详细描述
严格单调函数在其整个定义域内单调递增或递减，没有拐点或水平切线。反例可以是通 过构造一个有拐点或水平切线的函数来证明。例如，函数$f(x) = x^3 + x$在$(-infty, +infty)$内是严格单调递增的，但如果在某点处添加一个水平切线，则该函数不再是严
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数单调性教案ppt课件
利用函数的单调性判断经济模型的稳定性。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数单调性的定义
单调性在解题中的应用
函数在某区间上的单调性是指函数在 该区间上随着自变量的增大（或减 小），函数值也增大（或减小）。
利用单调性可以解决一些函数问题， 如求最值、证明不等式等。
单调性的判断方法
80%
图像法
通过观察函数的图像，直观判断 函数的单调性。
导数法证明单调性
02
01
03
1. 求导数
首先求出函数的导数。
2. 判断导数的正负
根据导数的正负判断函数的增减性。
3. 得出结论
根据导数的正负变化，得出函数在哪些区间上递增或 递减。
定义法证明单调性
1. 取值
在定义域内取任意两个值$x_1$ 和$x_2$，且$x_1 < x_2$。
2. 比较函数值
计算$f(x_1)$和$f(x_2)$，并比 较两者大小。
3. 得出结论
根据函数值的比较结果，判断 函数的单调性。
05
练习与巩固
单调性判断练习
判断函数在指定区间的单调性，例如
$f(x) = x^2$在$[0, +infty)$上单调递增。
判断函数在多个区间的单调性，例如
$f(x) = frac{1}{x}$在$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上单调递减。
通过导数判断函数单调性的方法，包 括求导、判断导数的正负以及导数的 符号变化等。
下节课预告
函数的极值与最值 导数的几何意义与切线斜率
导数在实际问题中的应用
THANK YOU
感谢聆听
函数的单调性 课件 4 北师大版
y
y = x2
f(x1)
1·
O 1·x1 x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
f(x1) y = x2
1·
O 1· x1 x
此函数在区间 [0, +∞ ) 内y随x的增大而增
大，在区间 （-∞, 0 ] 内y随x的增大而减小。
1·
x1 f(x1) O
y=x
1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
y y=x
1 ·f(x1)
O x1 1·
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
y
y=x
说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
1·
y=x
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
1·
y=x
O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
y = x2
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
f(x1) 1·
x1 O 1· x
2020年高一上学期数学人教旧版必修一(全)：函数的单调性-《讲义教师版》
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）【解析】题干解析:∵函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，∴12﹣a＜0，∴a＞12，故选：B．例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0 D．b＜0【答案】B【解析】题干解析:例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．【答案】④【解析】题干解析:①y＝|x|＝，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减；②y＝，所以该函数在（﹣∞，0）上是常数函数，不具有单调性；③，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减；④y＝x＋，所以该函数在（﹣∞，0）上为增函数；∴在（﹣∞，0）上为增函数的有④．故答案为：④．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）【解析】题干解析:（1）f（﹣x）＝f（x）＝1，故结论正确；（2）定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数，故假命题；（3）H（﹣x）＝f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x）＝﹣H（x），故结论正确；（4）f（|﹣x|）＝f（|x|），函数y＝f（|x|）是偶函数，图象关于y轴对称，结论正确；故选C例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）【解析】题干解析:因为奇函数的图象关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），故f（﹣a）＝﹣f （a）．即在f（x）上的点是（﹣a，﹣f（a））．故选C．例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）【解析】题干解析:∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．对于A，g（﹣x）＝﹣x＋f（﹣x）＝﹣x﹣f（x）＝﹣g（x），∴y＝x＋f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），∴y＝xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）＝（﹣x）2＋f（﹣x）＝x2﹣f（x），∴y＝x2＋f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x），∴y＝x2f（x）是奇函数．故选B．通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．【答案】（﹣∞，﹣]和[0，）【解析】题干解析:，，当，∴其图象关于y轴对称，作图如下：∴函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是（﹣∞，﹣]和[0，）．故答案为：（﹣∞，﹣]和[0，）．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．【答案】（0，＋∞）【解析】题干解析:函数y＝|x|的零点为x＝0，其图象如下，通过图象可知，函数单调递增区间为（0，＋∞）．故答案为：（0，＋∞）．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）【解析】题干解析:由题意y＝x﹣1是一次函数，将图象右边翻折到左边，去掉原来左边图形可得y＝|x|﹣1图象．由图象可知：函数y＝|x|﹣1的减区间为（﹣∞，0），故选A．例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．【答案】[1，＋∞）【解析】题干解析:函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：数形结合可得函数的增区间为[1，＋∞），故答案为：[1，＋∞）．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.（2020春∙沙坪坝区校级期中）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx【解析】题干解析:A．f（x）=sin x在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件。
高数讲义第四节函数的单调性与凹凸性
2、曲线凹凸的判定
特点：（1）曲线弧总位于 切线的下方。
（2）切线的斜率随 x 的增大 而减少。
y y f (x)
B
A oa
bx
即 f ( x)在[a, b]上单调减少.
由单调性判断可知：
若 f ( x) 0 f ( x)单调减少 曲线 y f ( x)是凸的.
2、曲线凹凸的判定
定理2 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内具有
o
x
当 x 0时， y 0, 在(,0]上单调增加；
当0 x 时， y 0, 在[0,)上单调增加；
在(,)上函数单调增加.
一般地:若 f (x) 在区间内除有限个点处的导数为零, 在其余点处导数恒为正（或恒为负），则 f (x) 在该 区间上仍旧是单调增加的（或单调减少的 ） .
注意:单调性也常用来证明不等式或方程的根的个数.
一阶和二阶导数 , 若在 (a, b) 内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的.
说明： （1）证明的思路与单调性的情形完全一样。
（2）若将区间 [ a , b ] 换为其它形式的区间（包括 无穷区间），定理2的结论仍然成立。
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2) 解方程f ( x) 0 得，x1 1, x2 2. 将 D划分为: (, 1], [1, 2] , [2, ) 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少；
f (1) 1 0, f (0) 1 0,
08.高一寒假数学讲义：函数的单调性(定义法、图象法、性质法)(应用)【讲师版】
高一寒假数学讲义“函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。
函数的单调性1．函数的单调性我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。
这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间．2．常见函数单调性的判断有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论：(1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数．(2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数．(3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数．3．复合函数单调性的判断设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。
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第三节 函数的单调性
1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．
①f (x )＝1
x
②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)
解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①
2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数y ＝－f (x )的单调减区
间是________．[0, ]
3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(3
4
，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．
解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤9
16.
答案：(0，9
16
]
4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1<0，则下列结论
正确的是________．
①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)
解析：由已知f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－
2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①
5．函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，
点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．
解析：g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x (x －1) (0≤x <1)，
(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，
当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，
在x ＝2取得最大值1.答案：1
6.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．
7. 函数2
()1f x x x =-+的单调递减区间为_1
(,1],[,1]2
-∞-____
8.求证：（1）函数2
()231f x x x =-+-在区间3(,]4
-∞上是单调递增函数； （2）函数21
()1
x f x x -=
+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3
(,]4
-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，
因为2
2
121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-22
21122233x x x x =-+-
1212()[32()]x x x x =--+，
又1234x x <≤
，则120x x -<，123
2
x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数2
()231f x x x =-+-在区间3
(,]4
-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=
-++12123()
(1)(1)
x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故
12123()
0(1)(1)
x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．
所以，函数21
()1
x f x x -=
+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21
()1
x f x x -=+是单调增函数；
所以，函数21
()1
x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．
变式： 已知函数1
()2
ax f x x +=
+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=
-++2112(12)()
0(2)(2)
a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即1
2
a >
． 9．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.，若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；
解：x ∈R ，f (x )<b ·g (x ) x ∈R ，x 2－bx ＋b <0 Δ＝(－b )2－4b >0 b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2
－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，
10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1
x 2
)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.
(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.
(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1
x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，
所以f (x 1
x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，
所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (9
3)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.
由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，
由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．。