第4讲函数的单调性教师版

第三节 函数的单调性

1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)”的是________．

①f (x )＝1

x

②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)

解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①

2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数y ＝－f (x )的单调减区

间是________．[0, ]

3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(3

4

，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．

解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0

16.

答案：(0，9

16

]

4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1<0，则下列结论

正确的是________．

①f (3)

解析：由已知f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－

2)，即f (3)

5．函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，

点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．

解析：g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x (x －1) (0≤x <1)，

(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，

当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，

在x ＝2取得最大值1.答案：1

6.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．

7. 函数2

()1f x x x =-+的单调递减区间为_1

(,1],[,1]2

-∞-____

8.求证：（1）函数2

()231f x x x =-+-在区间3(,]4

-∞上是单调递增函数； （2）函数21

()1

x f x x -=

+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3

(,]4

-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，

因为2

2

121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-22

21122233x x x x =-+-

1212()[32()]x x x x =--+，

又1234x x <≤

，则120x x -<，123

2

x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数2

()231f x x x =-+-在区间3

(,]4

-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=

-++12123()

(1)(1)

x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故

12123()

0(1)(1)

x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．

所以，函数21

()1

x f x x -=

+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21

()1

x f x x -=+是单调增函数；

所以，函数21

()1

x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．

点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．

变式： 已知函数1

()2

ax f x x +=

+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=

-++2112(12)()

0(2)(2)

a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即1

2

a >

． 9．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.，若存在x ∈R 使f (x )

解：x ∈R ，f (x )0 b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2

－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，

10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1

x 2

)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.

(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.

(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1

x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，

所以f (x 1

x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)

所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (9

3)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.

由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，

由f (|x |)9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．