数列求和及极限

数列求和及极限

【知识及方法归纳】

1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法；

（4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。

2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】

1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+++…+=

6

)

12)(1(++n n n ；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通

过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】

例1 求和：+++…+2)12(-n

【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：=1442++n n ，

所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。

【简解】+++…+2)12(-n =（114142+∙-∙）+（124242+∙-∙）+…+（1442+-n n ）=4（+++…

+）–4·（1+2+3+…+n ）+n =4。

3)

12)(12(2)1(46)12)(1(+-=

++∙-++n n n n n n n n n 。 例2 求和：12510257541+++…+1

523--

n n 【分析】这是一个通项为1

5

23--n n 的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。

【简解】设=12510257541+++…+1523--

n n ，则n S 51=25451++…+n

n n n 5235531-+--，所以n S )511(-=1+2

5353++…+

n n n 523531

---=1++++251511(53 (2)

51

-+n ）

–n n 523-=1+5

1

1)51(1531

--∙-n –n n 523-=n n 5471247∙+-，所以=151********-∙+-n n 。

例3 求2

222223217,215,

13+++，…的前n 项和 【分析】先写出此数列的通项222

2112n

n a n ++++=

=)1(66

)12)(1(12+=+++n n n n n n =)111(6+-n n ，它属于用方法4，即裂项求和。

【简解】因为2222112n

n a n ++++=

=)1(6)12)(1()12(6+=+++n n n n n n =)111(6+-n n ，所以=6[（1-21）+（21-31）+…+（n 1-11+n ）]= 16+n n 。

例4 若=)35()1(--n n ，求

【分析】由于所求的和与 n 的奇偶有关，所以按n 的奇偶分两类分别求和。 【简解】= –2+7–12+17–22+27–…+)35()1(--n n ，当n 为奇数时，=

2

5

)1(∙-n –5n +3=215+n ,当

n 为偶数时，=52∙n =2

5n 。

例5 在等比数列{}中, ∞→n lim =(n a a a a ++++ 321)=41,则的取值范围是多少？

【分析】无穷等比数列的各项和是指前n 项和的极限∞

→n lim 。当|q |＜1时，∞

→n lim =

q

a -11

；当|q |≥1时，这一极限不存在。即在无穷等比数列中，|q |＜1（q ≠0）是∞

→n lim 存在的充

要条件。所以特别要注意公式S =∞

→n lim =

q a -11的含义及适用范围。因此由q a

-11=4

1可得：q =1-4，因为0＜|q |＜1，所以0＜|1-4|＜1，即：0＜＜21，且≠4

1。

【简解】得的取值范围是（0，41）∪（41，21）。

【复习练习】

一、 选择题

1、等差数列{}、{}的前n 项和分别为与，若

1

32+=n n T S n n ，则∞→n lim n n b a

等于（ ）

A 、1

B 、

3

6

C 、32

D 、94

2、等差数列{}的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ ）A 、

130 B 、170 C 、210 D 、260 3、等比数列{}中，＞1，且前n 项和满足∞

→n lim =11a ，则的取值范围是（ ）

A 、（1、+∞）

B 、（1、4）

C 、（1、2）

D 、（1、）

4、根据时常调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量（万件）近

似地满足=)521(902--n n n （n =1，2，…，12）。按此预测，在本年度内，需求量超过1.5

万件的月份是 （ ）