高等数学(上册)第一章

第一节 函数
函数的预备知识
邻域 U (a, ) {x x a }
U (a, ) {x x a 且x a}
()
a a a
区间 a, b a, b a, b a, b
第一节 函数
函数的定义
x D,唯一的y E,使y f x,则称y f x为函数
引言
•什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 以变化观点研究问题.
•高数主要内容：
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
ln[sec x tan x] ln (sec x tan x)(sec x tan x)
sec x tan x ln 1 ln(sec x tan x) f (x)
sec x tan x
练习：试判断 ln 1 x 的奇偶性
1 x
第一节 函数
第一章 函数、极限与连续
函数— 研究对象 分析基础 极限— 研究方法
连续— 研究桥梁
第一章 函数、极限与连续
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续与间断 连续函数的运算与性质
x
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
第一节 函数
D.复合函数
y f (u) u (x) y f [ (x)]
e.g1.y arcsin u u x2 2 能否复合？
2. y earctan arcsin x是由 y eu , u arctan v 与v arcsin x复合而成
2）当 x x2且3(x) x1时，f [g(x)] 2[3(x)]
3）当 x x2且4(x) x1时，f [g(x)] 1[4(x)]
4）当 x x2且4(x) x1时，f [g(x)] 2[4(x)]
第一节 函数
4.由复合函数确定原函数 例 已知f (cos x) 2 sin2 x,求f (x).
注：D为定义域,E为值域 如何求函数的定义域
f (x) g(x) 0 g(x)
f (x) f (x) 0
ln f (x) f (x) 0
第一节 函数
函数的特性 有界性 x D, f (x) k
周期性 x D, f (x T ) f (x)
e.g.
x
x2

x, x,
x0 x0
第一节 函数
重要的题型
1. 求定义域 2. 确定函数的奇偶性 3. 求复合函数 4. 由复合函数求原函数
第一节 函数
2.确定函数的奇偶性
例 判断函数 f (x) ln(sec x tan x)的奇偶性.
f (x) ln[sec( x) tan( x)]
. —
笛数 卡学 儿中 的的 变转 恩数折 格点 斯是
如何学习高等数学
• 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
•学数学最好的方式是做数学.
华罗庚
聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
E.双曲函数
shx ex ex 2
chx ex ex 2
thx shx chx
第一节 函数
F. 初等函数
a. 基本初等函数：
y x y ax (a 0且a 1) 与y log ax (a 0且a 1)
三角函数与反三角函数
b. 初等函数（指可用一个式子表示） 注：分段函数与初等函数的关系
奇偶性 f (x) f (x) f (x)为偶函数
f (x) f (x) f (x)为奇函数
单调性

x2 x2

x1 x1

f f
(x2 ) (x2 )

f f
( x1 ) ( x1 )
f(x)单调递增 f (x)严格单调递增

x2 Baidu Nhomakorabea2

x1 x1

f f
(x2 ) (x2 )
f f
( x1 ) ( x1 )
f (x)单调递减 f (x)严格单调递减
第一节 函数
奇偶函数的性质 F(x) f (x) f (x)是偶函数 F(x) f (x) f (x)是奇函数
F (x) f (x) f (x) f (x) f (x)
注：[x]表示不超过x的最大整数
e.g 0, 0 x 1
y 1, 1 x 0
y
2 1o 1 2 3 4 x
第一节 函数
C.反函数（f是单调的）
函数
的图形
关于
对称.如
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
y Q(b, a)
o
yx y f (x)
3.确定复合函数
例
已知f
(x)

11
( (
x), x),
x x

x1 x1
g(x)

43
(x) (x)
, ,
x x

x2 x2
求f [g(x)], g[ f (x)].
解： f
[
g
(x)]

12[[gg((xx))]]
, ,
g(x) g(x)

x1 x1
1）当 x x2且3(x) x1时，f [g(x)] 1[3(x)]
解 令 cos x t, 则 f (t) 2 1 t2
2
2
注:任何一个函数都可以表示成一个奇函数 与一个偶函数的和
第一节 函数
常见的特殊函数 A.符号函数
1，x 0
1
y

sgn
x


0，x

0
0
1，x 0
-1
e.g
1，x 0 x xsgn x 1，x 0
第一节 函数
B.取整函数
y [x]