初等数论
初等数论及其应用
= 251649
16
课堂练习
计算: 将237894与251649都转换为二进制.
解: 其八进制表示分别为(720506) 8与(753401)8
易知对八进制0 − 7有如下二进制转换
0 −> 000 1 −> 001 2 −> 010 3 −> 011
4 −> 100 5 −> 101 6 −> 110 7 −> 111
因此, (720506) 8 = (111010000101000110) 2
(753401) 8 = (111101011100000001) 2
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总结
自然数或者正整数指的是数1, 2,…, 而整数指的是数
0,±1,±2,⋯. 全体整数的集合记为ℤ, 而全体正整数或
除法:
66 = 2 × 33 + 0 (低位)
33 = 2 × 16 + 1
16 = 2 × 8 + 0
8=2×4+0
4=2×2+0
2=2×1+0
1 = 2 × 0 + 1 (高位)
按从低位到高位顺序, 依次取出上述除法中的余数, 得到
(66)10 = (1000010)2.
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余数的定义
定义1.1.2 带余除法 = + 中的为用除得出
② 如果|, ≠ 0, 那么|.
③ 如果|, |, 那么对任意, ∈ ℤ, 有| + .
④ 如果|, |, 那么 = 或 = −.
初等数论
3 同余
性质：同余关系是等价关系。 模m等价类: 在模m同余关系下的等价类. [a]m, 简记作[a]。 Zm: Z在模m同余关系下的商集。 在Zm上定义加法和乘法如下: a, b, [a]+[b]=[a+b], [a]· [b]=[ab]. 例6：写出Z4的全部元素以及Z4上的加法表和乘法表. 解 Z4={[0],[1],[2],[3]}, 其中[i]={4k+i |k∈Z}, i=0,1,2,3. + [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [1] [2] [3] [0] [2] [3] [0] [1] [3] [0] [1] [2] · [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1]
解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
欧几里得算法-辗转相除法
除法算法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b
例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
RSA公钥密码
私钥密码:加密密钥和解密密钥都必须严格保密 公钥密码 (W.Diffie,M.Hellman,1976 ):加密密钥公开,解密 密钥保密
整数. 则 min( rk , sk ) min( r1 , s1 ) min( r2 , s2 ) gcd(a,b)= p1 p2 pk ,
max( rk , sk ) max( r1 , s1 ) max( r2 , s2 ) p p p lcm(a,b)= 1 2 k
初等数论 高等数论
1111
数论是一门研究整数性质的数学分支，它包括了初等数论和高等数论两个方面。
初等数论主要研究整数的基本性质，如整除性、质数、合数、最大公约数、最小公倍数等。
这些概念和性质在小学和初中的数学课程中就已经涉及到了，因此也被称为“小学数论”或“初中数论”。
初等数论的研究方法主要是通过观察、归纳和证明来得出结论，它的研究对象比较具体，结论也比较直观。
高等数论则是在初等数论的基础上，进一步深入研究整数的性质和结构。
它涉及到的概念和方法更加抽象和复杂，如素数分布、数的几何、代数数论、解析数论等。
高等数论的研究需要运用到高等数学的知识和方法，如微积分、线性代数、抽象代数等。
高等数论的研究成果不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、密码学等领域也有着重要的应用。
总的来说，初等数论是高等数论的基础，高等数论则是初等数论的延伸和深化。
无论是初等数论还是高等数论，它们都是数学中非常重要的分支，对于我们深入理解整数的性质和结构、推动数学的发展都有着重要的意义。
初等数论第一章第一节
练习题 1证明: 若3 | n且7 | n,则21| n.
2 设a = 2k -1, k 源自 Z ,若a | 2n,则a | n.
4 证明: 若m - p | mn + pq,则m - p | mq + np.
1证明:∵3 | n,∴可设n = 3m, 由7 | n得, 7 | 3m,而7 | 7m,所以7 | (7m - 2× 3m), 即7 | m,∴21| 3m,即21| n.
证明:∵ n = n(ax + by) = nax + nby 又 ab | na, ab | nb ∴ab n.
例3 已知a,b, c, d ∈ Z且a − c | ab + cd. 求证 : a − c | ad + bc.
证明:∵ a − c | (a − c)(b − d ), ∴a − c | ab + cd − (ad + bc) 又a − c ab + cd,∴a − c ad + bc.
2证明:∵ a | 2n,∴a | 2kn, 而2kn = (2k -1)n + n = an + n, ∴a | an + n,又a | an,∴a | n.
4证明:∵ mq + np = (mn + pq) − (m − p)(n − q), 又∵ m − p|mn + pq, ∴m − p|mq + np.
例题
例1 已知a,b, c, d,t ∈ Z,且t |10a − b,t |10c − d. 求证 : t | ad − bc.
证明: ad − bc = c(10a − b) − a(10c − d ) ∵t 10a − b,t 10c − d ∴t ad − bc.
初等数论
序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。
第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。
如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。
2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初等数论闵嗣鹤第三版pdf
初等数论闵嗣鹤第三版pdf初等数论是数学的一个分支，它主要研究自然数的性质和规律，以及数字之间的关系，是数学的基础之一。
其中，闵嗣鹤所撰写的《初等数论》是一本经典的教材，在广大数学爱好者和学生中享有很高的声誉。
下面是闵嗣鹤第三版《初等数论》的主要内容及划分：一、自然数与整数自然数和整数是初等数论的基础，闵嗣鹤在第一章中详细地探讨了这两个概念的定义、性质和运算法则。
其中，自然数之间的关系包括大小关系、奇偶性、质因数分解等，而整数之间的关系包括最大公因数、最小公倍数、同余等。
二、素数与分解定理素数是指在大于1的自然数中，除了1和本身之外，没有其他因数的数。
在第二章中，闵嗣鹤详细探讨了素数的性质、分布规律、筛法等，并引入了分解定理，即任何大于1的自然数都可以唯一地写成素数的积的形式。
三、同余与模运算同余是指两个数除以同一个自然数的余数相等。
闵嗣鹤在第三章中解释了同余的概念和性质，并介绍了模运算，即对于任何整数a和正整数n，都可以得到一个余数r，也就是a mod n=r。
四、数论函数与数论约束问题数论函数是指把自然数映射为自然数的函数，闵嗣鹤在第四章中介绍了数论函数的类型、性质和应用，如欧拉函数、莫比乌斯函数等。
另外，数论约束问题是数论中一个重要的研究方向，指在一定条件下求出自然数的个数或性质，如高斯整数环中最大不同平方因子数量的值等。
五、二次剩余与离散对数二次剩余是指一个数的平方模一个素数后的余数，闵嗣鹤在第五章中详细探讨了二次剩余的性质和应用，如欧拉定理、勒让德符号等。
离散对数则是指解一个同余方程中未知数的问题，其在密码学领域中有重要应用。
六、多项式与代数数论多项式是数论中的一个重要分支，涉及到的问题包括多项式的根、因式分解等。
闵嗣鹤在第六章中介绍了多项式的性质和运算法则，以及代数数论的相关知识。
综上所述，闵嗣鹤第三版《初等数论》是一本内容丰富、系统完备、知识详尽的经典教材，不仅适用于初学者，也适合用于深入研究数论的专业人士。
初等数论 25课时
初等数论 25课时初等数论通常被当作中学数学的一部分，可以在25个课时内完成。
以下是一个可能的课程安排：第1课：整数的定义和性质- 正整数、负整数、零- 自然数的集合和整数的集合- 整数的性质：加法封闭性、乘法封闭性、零元素、相反元素、相反性质、交换性、结合性第2课：整除和倍数- 整除的定义及性质- 倍数的定义及性质- 整除的运算性质：加法、乘法、整除关系的传递性第3课：素数和合数- 素数的定义和性质- 合数的定义和性质- 素数的性质：质因数分解、唯一性、无穷性第4课：最大公因数和最小公倍数- 最大公因数的定义和性质- 最小公倍数的定义和性质- 最大公因数和最小公倍数的关系：辗转相除法第5课：质因数分解- 质因数分解的定义和性质- 使用质因数分解求最大公因数和最小公倍数- 剩余定理：同余第6课：一次不等式- 一次不等式的定义和性质- 一次不等式的解集表示和图示解- 一元一次不等式的乘法性质和定理第7课：二次不等式- 二次不等式的定义和性质- 二次不等式的解集表示和图示解- 一元二次不等式的乘法性质和定理第8课：整数的奇偶性- 整数的奇数和偶数的定义和性质- 整数的奇数和偶数的四则运算性质- 奇偶性的应用：整数的平方的奇偶性、整数的和的奇偶性第9课：整数的余数- 整数的除法算法及余数的定义和性质- 除法算法的应用：整数的整除性质、整数的周期性第10课：循环小数与无理数- 无限小数的定义和性质- 循环小数的定义和性质- 无理数和有理数的关系第11课：初等数论的证明方法- 数学证明的基本方法和思维方式- 证明的基本结构：前提、推理、结论- 数学归纳法第12课：欧几里得算法和线性同余方程- 欧几里得算法的定义、性质和应用- 线性同余方程的定义和解法第13课：同余模运算- 同余模运算的定义和性质- 同余模运算的运算法则：加法、减法、乘法、幂运算- 同余方程的解法第14课：费马小定理和欧拉函数- 费马小定理的定义和应用- 欧拉函数的定义和性质- 欧拉函数的计算方法第15课：模逆元和扩展欧几里得算法- 模逆元的定义和性质- 模逆元的计算方法- 扩展欧几里得算法的定义、性质和应用第16-25课：综合应用和习题训练- 数论在密码学、编码、排列组合等领域的应用- 习题训练，并讲解常见问题的解法请注意，以上仅是初等数论课程的一个可能安排，具体的教学内容和进度可以根据教学目标和学生水平进行调整。
初等数论完整资料整合。
第一章考点1、会求最大公因数与最小公倍数解法：最大公因数用辗转相除法最小公倍数为两个数的乘积除以两者的最大公约数，所以也是要先求出两者的最大公约数2、判别一个数是为质数还是合数判别法：用小于√x的所有质数除此数，看能否被整除3、证明整除（最好用同余证）例1证：73|8n+2+92n+1（n∈N）解：法一 8n+2+92n+1=64×8n+9×81n=64×8n+9×（73+8）n=64×8n+9×（C0n73n+C1n73n-1×8+…+C n n8n）=64×8n+9(73q+8n)( q∈Z)=73×8n+9q×73所以73|8n+2+92n+1法二 8n+2+92n+1≡64×8n+9×81n≡64×8n+9×8n≡73×8n≡0（mod73）所以73|8n+2+92n+1例2已知17|2x+3y,证明17|9x+5y解：因为9x+5y=17（x+y）- 4(2x+3y) 且17|2x+3y所以17|9x+5y例3设k为正奇数，证：1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)证：记S=1k+2k+3k+ (9)则2S=（1k+9k）+（2k+8k）+…+（9k+1k）=（1+9）q1 （q1∈Z)所以10|2S又因为2S=（0k+9k）+（1k+8k）+…+(9k+0k)=（0+9）q2（q2∈Z）所以9|2S又因为（9,10）=1所以90|2S 即45|S从而1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)4、证明某种类型的质数有无穷多个例：证明4n+1形的质数的个数为无穷。
（最后一节课讲的）第三章同余考点：1、同余的性质；（应用在同余解题中）P482、简化剩余系和欧拉函数；（求简化剩余系的个数）P583、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用；（利用欧拉定理解题；判断是纯循环还是混循环，若是混循环，从第几位开始）P61具体分析：一、同余的性质1、a≡a (mod m)2、若a≡b (mod m),则b≡a (mod m)3、若a≡b (mod m) b≡c (mod m) 则 a≡c (mod m)4、i.若a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1+a2≡b1+b2 (mod m)ii. a+b≡c (mod m) 则 a≡c-b (mod m)5、a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1a2≡b1b2 (mod m)特别的，若a≡b (mod m) 则 ak≡bk (mod m)6、若a≡b (mod m) 且a=a1d b=b1d (d,m)=1 则 a1≡b1 (modm)7、i.若a≡b (mod m) k>0 则 ak≡bk （mod mk）ii.若a≡b (mod m) d为a,b及m的任一正公因数，则a/d≡b/d (mod m/d)8、若a≡b (mod m) i=1、2…k 则a≡b(mod m1m2…m k)例：一个小于4000的四位数，被3、4、5、7、9除皆余2，求这个数。
初等数论_第一章_整除理论
第一章整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节数的整除性定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b整除，记为b|/a。
显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1下面的结论成立：(ⅰ) a∣b⇔±a∣±b；(ⅱ) a∣b，b∣c⇒a∣c；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k⇒b∣a1x1+a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒ |b| ≤ |a|；b∣a且|a| < |b| ⇒a = 0。
证明留作习题。
定义2若整数a≠ 0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。
证明若a是素数，则定理是显然的。
若a不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d1, d2, , d k 。
不妨设d1是其中最小的。
若d1不是素数，则存在e1 > 1，e2 > 1，使得d1 = e1e2，因此，e1和e2也是a的正的非平凡约数。
这与d1的最小性矛盾。
所以d1是素数。
证毕。
推论证明使用定理2中的记号，有a = d1d2，其中d1 > 1是最小的素约数，所以d12≤a。
证毕。
例1设r是正奇数，证明：对任意的正整数n，有n+ 2|/1r+ 2r+ +n r。
初等数论.pdf
第二十章 初等数论本章简要地介绍了初等数论的基础知识.共分六节.前五节讨论了整数的性质与辗转相除法,连分数与费波那奇序列,同余式与孙子定理,介绍了几种重要的数论函数和麦比乌斯变换,并列出几类不可约多项式的判别方法.最后一节对代数数等基本概念和性质作了简单的介绍.§1 整数[整数部分与分数部分] 设α为一实数,不超过α的最大整数称为α的整数部分,记作[]α.而{}[]ααα=−称为α的分数部分. 例如 [],[11=.]232=,[等等 .]−=−354 整数部分具有下列关系式: [][]ααα≤<+1[][]n n αα⎡⎣⎢⎤⎦⎥=,n 为自然数 [][ααααn n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11L ]]，n 为自然数 [][][][][22αβααββ+≥+++ [][][]αβαβ−=− 或 []αβ−+1注意,在计算机程序中的“取整运算”与这里的“整数部分”意义是有差别的:当α≥0时是一致的;当α<0时不一致,例如[.]−=−354,但计算机上−35.取整后为−3. [整除性] 若有一整数c ,使得整数a 与b 之间适合于bc a =则称b 可整除a ,记作b a 。
这时a 称为b 的倍数,b 称为a 的因数(或约数). 若b 不能整除a ,则记作b a .整除性具有下列性质(下列各式0,0≠≠c b ): 1° 若b a ,c b , 则c a ; 2° 若b a , 则bc ac ;3° 若c d ,c e ,则对于任意整数m,n 有c d m ea +4° 若b 是a 的真因数(即b ),则a ≠1, 1<<b a[素数与爱拉托斯散筛法] 恰有1和本身两个自然数为其因数的大于1的整数称为素数,记作.除2为偶素数外,其余素数都是奇数. p 素数具有性质:1° 素数有无限多个. 如果不超过自然数n 的素数个数记作 π(n),则当时,有n ≥21812⋅≤≤⋅n n n n nlog ()log π*,进一步有 1log )(lim =∞→nnn n π*数论中通常把自然对数记作.x ln x log2° 设p 为素数,若p ab ,则p a 或pb . 3° 中含素数p 的方次数等于n ! [][][]n p n p np+++23L4° 若n N ≤为正整数,它不能被不超过N 的所有素数所整除,则n 必为素数.这种判别自然数是否为素数的方法称为爱拉托斯散筛法.由此法可建立素数表.[唯一分解定理] 大于1的自然数都可唯一地分解为素数幂的积.设n ,为自然数,则n 可唯一地表为>1s a s a a p p p n L 2121⋅= (为自然数) 0,,0,021>>>s a a a L (为素数)s p p p <<<L 21这称为n 的标准分解式。
初等数论
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的正整数 使得他们中的任意三个的和都是质数？证明你的结论。
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的 正整数使得他们中的任意三个的和都是质数？证明 你的结论。 特殊化猜想：1 3 7 9 一般化证明：假设存在5个符合题意的正整数。考 虑他们除以3的余数，设余数为0,1,2的分别为 a b c 个则 （1）若a b c均不为0则一定存在三个数，他们的余 数分别为0 1 2 取这三个数他们的和为3的倍数，不 是质数 （1）若a,b,c中有零，则根据抽屉原理至少有三个 数，他们的余数相同，这三个数的和为3的倍数一 定不是质数。综上最多能找到4个
2 设m=x1 x2 x3 x4 x5 , c4 6 这5个数中有两个相等；
不妨设x1
x2
x3
a 44, 45, 46, 47 a 46, m 57 x1 13, x2 12, x3 x5 11, x4 10
m x1 44 m x 45 2 x4则 m x3 46 则4m 182 a m x 47 4 m x5 a
初等数论
初等数论是研究数的规律，特别是整数性质 的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。 它以算术方法为主要研究方法，主要内容有 整数的整除理论、同余理论、连分数理论和 某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就 是用初等朴素的方法去研究数论。 在自主招生考试中所考察的内容包括：整数， 有理数，实数 整除，同余理论，多项式， 韦达定理，高斯函数等。 特点：形式简单所用知识不多但是富有灵巧 性不易下手
2014数学竞赛河南预赛7（高斯函数）
n n n 符号 x 表示不超过x的最大整数，n是正整数则 ( ) 3 6 n 1 2
初等数论
• ⑷性质：定理1.3.3推论1(裴蜀恒等式)
• 如果两个数a，b的最大公约数是d，那么存在两
个整数x与y，使得等式ax+by＝d成立．(可以推 广到n个数的情况) • 推论2：两个数a，b互质的必要且充分条件是存 在整数x与y,使ax＋by＝1成立。 推论1的推广 设 a1 ,a2 , …, an ∈N+ (n≥2) ，则一定存在整数 s1, s2, …, sn，使 a1s1＋a2s2 ＋ … ＋ ansn＝ (a1 ,a2 , …,an ) .
第一章 整数的整除性
主要内容
整除的定义、性质，奇数和偶数，带余除法 定理、余数，最大公因数、最小公倍数、辗转相 除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本 定理
1.1整除 1、整除的概念：
• 定义1.1 设 a，b ∈Z ，b≠0，如果存在 q ∈Z ，使得等式 a＝bq成立．我们就说，a 能被b整除或b整除a ，记作b | a． • 如果整数 q 不存在( 即对任何整数 q，恒有 bq ≠a ),那么就说a不能被 b 整除 (或者说b 不能整除a)，记作 b ｜a。
σ( a )表示正整数 a 的所有正约数的和，如 σ(2) = 3, σ( 4 ) = 7，等等。 σ1( a)表示正整数 a 的所有正约数的乘积．如 σ1( 4 ) = 8 , σ1( 10 ) = 100，等等．
我喜欢数学
• 定理1. 26 如果自然数a的标准分解式为
a p1 p2
1
2
特别地，n 个偶数的积是 2n 的倍数（ n∈N+）.
性质2 (关于奇数)
(1) 双数个奇数的和是偶数；
(2) 单数个奇数的和是奇数；
(3) 任意个奇数的积还是奇数。
性质3 奇数与偶数的和是奇数. 性质4 任一奇数与任一偶数不相等.
初等数论-第一章
取
则
x (1)31Q3 3,
y (1)3 P 22, 3
125 3+17（-22）=(125,17)=1
定理2、
若a, b, c是三个整数，且(a, c) 1，则
（i)ab, c与b, c有相同的公因数， （ii ) (ab, c) (b, c), 上面假定了b, c至少有一不为零。
如果不存在整数q使得a bq成立，则称a不被b整除， 记为b † a。
2、整除的基本定理
定理1（传递性）：ab，bc ac 定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数
定理3
若a1 , a2 ,, an都是m的倍数，q1 , q2 ,, qn
是任意n个整数，则a1q1 a2 q2 an qn是m的倍数
rn 1 rn qn 1 +rn 1,
定理4
rn 1 0。
若a, b是任意两个正整数，则(a, b) rn ，
rn是上式中最后一个不等于零的余数。
推论4.1
a, b的公因数与(a, b)的因数相同。
说明： （1）利用辗转相除法可以求两个整数的最大公因数
（2 ）辗转相除法中所包含的等式个数, 即所要做的带余数除法的次数估计为 2 log b n log 2
数的倍数，则d就叫作a1 , a2 , , an的一个公倍数。所有公 倍数中最小的一个叫最小公倍数，记作[a1 , a2 , , an ]。
定理3
定理4
[a1, a2 ,, an ] [ a1 , a2 ,, an ].
设a, b是任意两个正整数，则(i)a, b的所有公倍数
即当a与b是正整数时，只要使用被2除的除法运算和 减法运算就可以计算出(a,b) 例1、求（12345,678）
初等数论教材
初等数论教材引言初等数论是数学的一个分支，研究的是正整数的性质和关系。
虽然初等数论的研究对象看似简单，但它在数学发展中扮演着重要的角色。
初等数论不仅对数学本身具有重要意义，而且在密码学、编码理论、密码破解等领域也有广泛的应用。
本教材将介绍初等数论的核心概念和基本原理，以帮助读者建立对初等数论的基础知识和理解。
一、数的整除性1.1 整除和倍数在初等数论中，整除是一个重要的概念。
对于整数a和b，我们称a能整除b，记作a|a，当且仅当存在整数k，使得b = ak。
例如，12能整除36，记作12|36，因为36 = 12 * 3。
我们也可以说36是12的倍数。
1.2 素数和合数素数是指只能被1和自身整除的正整数，大于1的整数中，只有1和本身两个正整数可以整除它的数。
合数是指有除了1和本身之外的其他因子的正整数。
素数和合数是初等数论中的重要概念，我们将在后续章节中深入讨论它们的性质和应用。
二、最大公因数和最小公倍数2.1 最大公因数最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。
最大公因数有很多计算方法，常见的有质因数分解法、辗转相除法等。
这些方法将在后续章节中详细介绍。
2.2 最小公倍数最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指能够被两个或多个整数整除的最小正整数。
最小公倍数的计算方法是基于最大公因数的，我们将在后续章节中给出详细的算法。
三、模运算与同余3.1 模运算模运算是初等数论中一个重要的概念，它描述了两个数之间的相对关系。
对于整数a和正整数m，a对m取模运算的结果记作$a \\equiv b \\pmod{m}$，读作“a同余于b模m”。
模运算有一些基本性质和规则，比如加法、减法、乘法和幂运算等。
我们将在本章节介绍这些性质以及它们的应用。
3.2 同余同余是模运算的一个重要应用。
当两个数a和b对模m取模运算的结果相同时，我们称a与b同余模m，记作$a\\equiv b \\pmod{m}$。
初等数论
证明:唯一性
设m=p1p2…pr=q1q2…qs 只要证明只是顺序不同就好了 p1|q1q2…qs，所以对于某个i,p1|qi，显然p1=qi 则m/p1=p2…pr=q1q2…qi-1qi+1…qs 可以继续这样做，直到最后可以证明p1,p2,…,pr和 q1,q2,…,qs之间存在一一对应关系 严格叙述可以用数学归纳法或最小整数原理
引理3
假定ab≠0,(a,b)=1,且x0,y0是ax+by=c的一组解, 则ax+by=c的所有解可写为 x=x0+bt , y=y0-at, 其中t是整数
证明
由引理2,因为(a,b)=1,对任何c,有1|c,方程确实有解. 设r,s是ax+by=c的任意解. 我们要证,r=x0+bt,s=y0-at必对某一整数t成立.由 ax0+by0=c得 c-c=(ax0+by0)-(ar+bs) 即 a(x0-r)+b(y0-s)=0 由a|a(x0-r)和a|0,可得a|b(y0-s),由于(a,b)=1,所以a|y0s 即存在一个整数t,使at=y0-s 可知,s=y0-at,r=x0+bt
function gcd(a , b : longint;var x , y : longint) : longint; Var _x , _y : longint; Begin if (b = 0) then begin gcd := a; x := 1; y := 0; end else begin gcd := gcd(b , a mod b , _x , _y); x := _y; y := _x – _y * (a div b); end; End;
初等数论
初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈Ｓ则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
初等数论论文
初等数论论文引言初等数论是研究自然数的性质和关系的数学分支。
自古以来，人们就对数的性质产生了浓厚的兴趣，而初等数论正是对数的一系列性质进行系统研究的学科。
本文将介绍初等数论的基本概念、性质以及应用领域。
一、初等数论的基本概念1.自然数：自然数是指从1开始的整数数列，即1, 2, 3, 4, …。
2.整除关系：对于任意两个自然数a和b，如果b能够整除a，即a是b的倍数，那么我们称b为a的约数，a为b的倍数。
用数学符号表示为b | a。
3.最大公约数：对于两个非零整数a和b，能够同时整除它们的最大的正整数，称为它们的最大公约数。
用数学符号表示为gcd(a, b)。
4.素数：素数是只能被1和自身整除的正整数，不包括1。
例如，2、3、5、7等都是素数。
5.质因数分解：对于一个大于1的自然数，可以将它表示为几个素数的乘积的形式，这个过程称为质因数分解。
二、初等数论的性质1.唯一分解定理：任意一个大于1的自然数都可以唯一地表示为一系列素数的乘积。
2.素数无穷性：素数是无穷多的。
3.质数间的差距：任意两个相邻的自然数之间必然存在一个素数。
4.最大公约数和最小公倍数：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数之间存在特定的关系，即gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b。
5.费马小定理：对于任意一个素数p和不是p的倍数的自然数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，其中mod表示取余运算。
三、初等数论的应用领域初等数论在密码学、密码学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
1.密码学：初等数论提供了很多用于构建密码系统的算法，如RSA加密算法和椭圆曲线密码算法。
这些算法的安全性都基于数论的基本性质。
2.密码破解：初等数论的方法在密码破解中也有重要应用，如通过分解大整数来破解RSA加密算法。
3.网络安全：初等数论方法可以应用于网络安全领域，用于验证数字签名、构建安全协议等。
4.数据压缩：初等数论的方法在数据压缩算法中也有应用，如哈夫曼编码算法利用字符出现的频率分布进行压缩。
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初等数论学习总结➢ 第一章 整除 例题选讲例1.请写出10个连续正整数都是合数. 解: 11!+2，11!+3，……，11！+11。
例2. 证明连续三个整数中，必有一个被3整除。
证：设三个连续正数为a ，a +1，a +2，而a 只有3k ，3k +1，3k +2三种情况，令a =3k ，显然成立，a =3k +1时，a +2=3(k+1)，a =3k +2时，a +1=3(k +1)。
例3. 证明lg2是无理数。
证：假设lg2是有理数，则存在二个正整数p ，q ，使得lg2=qp，由对数定义可得10p =2q ，则有2p ·5p =2q ,则同一个数左边含因子5，右边不含因子5，与算术基本定理矛盾。
∴lg2为无理数。
例4. 求(21n+4，14n+3)解：原式=(21n+4,14n+3)=(7n+1,14n+3)=(7n+1,7n+2)=(7n+1,1)=1 例5. 求2004!末尾零的个数。
解：因为10=2×5，而2比5多， 所以只要考虑2004！中5的幂指数，即5（2004！）=499520045200412520042520045200454=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛例6.证明（n !）(n-1)!|(n !)!证：对任意素数p ,设（n !）(n -1)!中素数p 的指数为α， （n !）!中p 的指数β，则∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∞=11k k p n n )!(α，∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∞=11k k p n n !)!(β,)()(x n nx ≥ α=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∞=∞=∞=∞=1111111k k k k k k k k pn n p n n p n n pn !)!(!)!()!(! 即αβ≥，即左边整除右边。
例7. 证明2003|（20022002+20042004-2005） 证：∵ 20022002=（2003-1）2002=2003M 1+120042004=（2003+1）2002=2003M 2+1 ∴20022002+20042004-2005=2003（M 1+M 2-1） 由定义2003|（20022002+20042004-2005）例8. 设d (n )为n 的正因子的个数，σ (n )为n 的所有正因子之和，求d (1000)，σ (1000)。
解：∵ 1000=23·53∴ d (1000)=(3+1)(3+1)=16，σ (1000)=1515121244--⋅--例9. 设c 不能被素数平方整除，若a 2|b 2c ，则a |b 证：由已知p (c )≤1，且p (a 2)≤p (b 2c )∴ 2p (a )≤2p (b )+p (c ) , ∴ p (a )≤p (b )+2)(c p 即p (a ) ≤p (b ) , ∴ a|b 例10. 若M n 为素数，则n 一定为素数。
证：若n 为合数，则设n =ab ，（1<a,b <n ）∴ 2ab -1=(2a )b -1=(2a -1)M 为合数，与M n 为素数矛盾， ∴ n 为素数。
例11. 证明对任意m,n ，m ≠n , (F n ,F m )=1。
证：不妨设n>m ，则F n -2=（1212--n ）（1212+-n ）=(F n -1-2) （1212+-n ）= F n -1F n -2……F m - F 0设（F n ,F m ）=d ,则d |F n , d |F m ⇒d |2 但F n 为奇数，∴d =1, 即证。
例12. 设m,n 是正整数。
证明(,)(21,21)21m n m n --=-证 : 不妨设nm≥。
由带余数除法得,11r n q m +=.n r ≤≤10我们有121221222121111111-+-=-+-=-+r n q r r r r n q m )(由此及12121--nq n |得,),(1212--n m =),(12121--r n注意到),(),(1r n n m =,若01=r ,则n n m =),(,结论成立.若01>r ,则继续对),(12121--r n 作同样的讨论，由辗转相除法知，结论成立。
显见，2用任一大于1的自然a 代替，结论都成立。
例13. 证明：对任意的正整数n ，成立如下不等式2lg lg k n ≥。
其中n lg 是数n 的以10为底的对数，k 是n 的不同的素因数（正的）的个数。
证：设n 是大于1的整数（如果n =1，上述不等式显然成立，因k =0），k p p p ,...,,21 是n 的k 个相异的素因素。
n 的素因数分解式为k l k l l p p p n (2)121=.(k i l i ,...,,,211=≥) , 由于),...,,(,k i p i 212=≥，从而k k k l l l l l l l k l l p p p n +++=⋅⋅⋅≥=.........212121222221，而k l l l k ≥+++...21，故k n 2≥。
将上述不等式取对数（设底1>a ）,则有2a a k n log log ≥。
特别有2lg lg k n ≥。
例14. 试证明任意一个整数与它的数字和的差必能被9整除，并且它与它的数字作任意调后换后所成整数的差也能被9整除。
证： 设整数m 的个位、十位、百位…的数字分别为1a ,2a ，…，n a ，则m 可表作：nn a a a a m 132********-++++=...)......()...(n n n a a a a a a a个132321999999-++++++++= )......()...(n n n a a a a a a a个132321111119-++++++++= 所以)...(n a a a a m ++++-321)......(n n a a a个132111119-+++=因为2a ，3a ,…，n a 都是整数，所以任一整数与其数字之和的差必能被9整除。
再设将1a ,2a ，…，n a 按任一种顺序排成1'a ,2'a ，…，n a '，并令na a a +++=...21σ，n a a a '...'''+++=21σ，nn a a a m 1211010-+++=...，nn a a a m '...'''1211010-+++=。
根据前面证明的结果，知存在整数A ，B ，使.'',B m A m 99=-=-σσ因为'σσ=，所以)(''B A B A m m -=--+=-999σσ。
由于A-B 是整数，这就证明了'm m -能被9整除。
注：若对某个整数)(n k k ≤≤1，有0≠k a '，但当n i k ≤<时，0=i a '，则此时'm 为整数：,'...'''k k a a a m 1211010-+++=即12''...''a a a m k =。
如前证，此时结论正确。
又当m 为负整数及零时，结论显然正确。
第二章 不定方程例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x +10y +6z =61。
解：注意到z 的系数最小，把原方程化为z =)()(12361102261101561++-++--=+--y x y x y x令t 1=z y x ∈++-)(12361，即-3x +2y -6t 1+1=0 此时y 系数最小，)()(12131632111-++=-++=∴x t x t x y 令t 2 =zx∈-)(121,即122+=t x ,反推依次可解得y =x +3t 1+t 2=2t 2+1+3t 1+t 2=1+3t 1+3t 2 z =-2x -2y +10+t 1=6-5t 1+10t 2∴原不定方程解为⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+=21212105633121tt z t t y t x t 1t 2∈z.例2:证明2是无理数证：假设2是有理数，则存在自数数a,b 使得满足222y x =即222b a=，容易知道a 是偶数，设a =2a 1，代入得2122a b =,又得到b 为偶数，a b a <<1，设12b b =，则21212b a =,这里12a b < 这样可以进一步求得a 2，b 2…且有a>b>a 1>b 1> a 2>b 2>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴2为无理数。
例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。
证：设N =3m ±1(m 为整数) ， ∴N 2=9m 2±6m +1=3(3m 2±2m )+1即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k +1,或者说3k +2不可能是平方数，设x,y 为勾股整数，且x,y 都不是3的倍数，则x 2,y 2都是3k +1，但z 2=x 2+y 2=3k +2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。
例4：求x 2+y 2=328的正整数解解：∵ 328为偶数，错误!未找到引用源。
x,y 奇偶性相同，即x ±y 为偶数，设x+y =2u , x -y =2v ，代入原方程即为u 2+v 2=164,同理令u +v =2u 1,u -v =2v 1有21121121212282v v u u v u v u =-=+=+,, ,412222=+v u 22v u ,为一偶一奇，且0<u 2<6u 2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4） ∴原方程解x =18,y =2,或x =2,y =18。
例5：求x 2+xy -6=0的正整数解。
解：原方程等价于x (x +y )=2·3,故有 ∴⎩⎨⎧=+=,,32y x x⎩⎨⎧=+=,,23y x x⎩⎨⎧=+=,,61y x x⎩⎨⎧=+=.,16y x x ， ∴ 即有x =2,y =1; x =1,y =5.例6：证明不定方程x 2-2xy 2+5z +3=0无整数解。
解：若不定方程有解，则3542--±=z y y x但y 4≡0，1(mod5), ∴ 对y,z ，y 4-5z -3≡2，3(mod5) 而一个平方数≡0，1，4（mod 5） ∴ y 4-5z -3不可能为完全平方，即354--z y 不是整数，所以原不定方程无解。