高中数学选修不等式

| x|a表 示 数 轴 上 到 原小点于a距的离点 的 集, 合
| x|a表 示 到 原 点 距a离的大点于的 集,因合而
| x|aa xa;
| x|axa或xa.
因 此 ,不 等|x式 |a的 解 集 a,是 a;不 等|x式 | a的 解 集 是 ,aa, .在 数 轴 上 表 示
下图1.28:
x1 a x1 x1 a x
x1 a x1 x1 a x
| xx1 |a 图1.29 | xx1 |a
利用上述 式及绝对值的几,何意义
可以解一些含有的 绝不 对等 值. 式
1|axb|c和|axb|c
型不等式的解法
例 3 解不等 |3x式 1|2.
解 由 |3 x 1 | 2 ,得 2 3 x 1 2 ,解 得
2 绝对值不等式的解法
我们知道, 对于不等式| x | 1,由绝对值的 几何意义,它的解集是数轴上到原 点距离
小于1的点的集合,即1,1 ;对于不等式
| x | 1 ,由绝对值的几何意义,它的解集是 数轴上到原点距离大于1 的点的集合,即
,1 1,.
一 般 ,地 如 果a0,那 么 从 绝 对 值 的义几看,何 意
三 个 区 间 上 讨 论的不 解的 等情 式况,然后把它
们综合在一起就等得式到的不解. 集
事实,上 以点A,B为分界,将 点数轴分为三,个区
在这三个区,绝 间对 上值不等式可为 以不 转含 化
绝对值的不.因 等此 式我们有如下 . 解法
解法二当x2时,原不等式可以化为
x1x25,解得x3,
即不等式组
比 较 复 杂,我 们 从 它 的 几 何
A1 A
BB1
-3 -2 -1 O 1 2
x
意 义 来 分 析.如 图1.2 11, 设
图1.211
数 轴 上 与 2 ,1对 应 的 点 分
别 是A, B,那 么 不 等 式 的 解 就 是 数轴 上 到A, B两
点 的 距 离 之 和 不 小 于5的 点 所 对 应 的 实 数.所 以,
1 3
x
1,
因此 ,原不等式的 x解 13 集 x为 1.
从几何上,看 如果将| 3x1|2两边除以 3,得
1 x3
32,它的解集是数轴上标到为坐13的点的距
离不大于 2的点的集 3
合,如图1.210所示.
1
3
O1 3
1x
图1.210
例 4 解不 |23 式 x|7.
解 由 |2 3 x | 7 得 |3 x 2 | 7 ,
a O a x
a O a x
| x| a
| x| a
图1.28
上 述 绝 对 值不 ,是等解式其 他 绝 对的 值基 不, 础 等
即 其 他 绝 对 值解 不一 等般 式可 的以 通上 过述 转不 化
等 式 而 得 .例到 如 ,a是 一 个 正,对 实于 数绝 对 值 不 | xx1|a(或| xx1|a),我们有
|x x 1 | a a x x 1 a x 1 a x x 1 a ; |x x 1 | a x x 1 a ,或 x x 1 a
xx1a ,或 xx1a.
由 于 绝 对 | x值 x1 |的 几 何 意 义 是 数 标 轴 为 x 上 的 点 与 坐x1标 的 为 点 的,距 所离 以 ,以 上 不 等 式 的 可 以 在 数 轴 上 表 ,如示 图 1.2出 9来 所 示 .
我 们 只 要 在 数 轴 上 确 定出 具 有 上 述 特 点 的 点 的
位 置, 就 可 以 得 出 不 等 式 的 解.
解法一如图1.211,设数 A 1 A
BB1
轴上与 2,1对应的点分别 - 3 - 2 - 1 O 1 2
x
为A,B那么A,B两点的距离 图1.211
是3,因此区间 2,1上的数都不是原的 不解 等 . 式
右边的任何点A,到B的距 离之和都大5于.
A1 A
BB1
-3 -2 -1 O 1 2
x
所以, 原不等式的解集是
,32,.
图1.211
分析上述解法 ,可以发,解 现| x1|| x2|5
时,数 轴 上与 2,1对 应 的A点 ,B把实 数集 分 成
了 三 个 区 间,2,2,1,1, ,先分 别 在 这
x2, | x1|| x2|5
的解 集 ,3 是 .
当2 x1时,原不等式可以化为
x1x25,即35,矛盾.
所以不等式组
2x1, | x1|| x2|5
的解集为 .
当x 1时,原不等式可以化为
x1x2 5,解得x 2,
x1, 即不等式组 | x1|| x2|5
的解集 2,是 . 综上 ,原 所 不 述 等到 ,3 的 2, 解 . 集
为了求出不等式,关的键解要在数轴上找 点出与
A,B的距离之和5的 为点.将点A向左移1动 个单
位到点A1,这时有 | A1A| | A1B|5;
同,理 将点 B向右1移 个动 单位 B1,这 到时 点也 |B1A||B1B|5;
从数轴上可,点 以 A1与 看点 B到 1之间的任何点
点A,B的距离之和5;都 点A1的 小左 于边B或 1的点
x
-1
2x 6, x 2;
-2
y 2, 2 x 1;
图1.212
2x Βιβλιοθήκη Baidu, x 1.
作出函数的 图1图 .2象 12,它是分段线,性函
函数的零点 3,2.从 是图象,可 当x知 ,3
2,时,有y0,即| x1|| x2|50.所以原
不等式的解 集 ,3是 2,.
思考例5中给出了三种解 不绝 等对 式值 的, 方法 你能概括一下它 的们 特各 点? 自 吗
所 3 x 以 2 7 ,或 3 x 2 7 ,
从而 x53或x3, 所以原不等式的解集为
x
x
5 3
或
x
3
.
探究 你能给出上述绝对等值式不的
解的几何解释? 吗
2 |x a||x b|c和 |x a||x b|c型 不
等式的解法
例 5解 不 |x 等 1||x式 2|5.
分析 这个绝对值不等式
在学习函数时知我识们知 ,由道函数 y fx的 零点与方f 程 x0的根 的关,系 可以利用函数
图象求方程 近的 似 根.类似,地 我们也可以从
数的观,利 点用函数图象求的不解等.集式
解法三 将原不等式转化
y
3
为| x 1| | x 2| 5 0.
2
构造函数 y| x1||x2|5.即
1
3 2 1 O 1 2