寻找点在平面内射影的一种方法

射影几何的诞生与发展

射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线 6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。 7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 2）变换与变换不变性 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二射影几何的繁荣 1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到

射影几何

南京师范大学毕业设计（论文）（2009 届）题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系学院：数学科学学院专业：数学与应用数学姓名：刘峰学号：0 6 0 5 0 2 1 0 指导教师：杨明升南京师范大学教务处制

漫谈射影几何的几种子几何及其关系刘峰数学与应用数学（师范）06050210 一．摘要射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一. 二．关键词射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群. 三．射影几何（projective geometry）的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学. 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来

射影面积法求二面角

射影面积法（cos S S 射影原 q = ）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S = θ）求出二面角的大小。例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1， AD=2 1 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可，故所求的二面角θ应满足cos θ= = 1 112 12322 ????= 6 。例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中， 2AC BC ==，90ACB ∠=o ， AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P 图1 S D C B A

解：（Ⅰ）证略（Ⅱ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=o ，即AC BC ⊥，且AC PC C =I ， BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =Q ，BE AP ∴⊥． EC Q 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥． ∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影，于是可求得： 2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ， 2==EC AE 则1222 121=?=?= =?CE AE S S ACE 射， 3622 1 21=?=?= =?EB AE S S ABE 原设二面角B AP C --的大小为?，则3 3 3 1cos = = = 原射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3 3arccos =? 练习1：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值为cos θ= 3 2）. A B E P A 1 D 1 B 1 1 E D B C A 图5

圆锥曲线和射影几何

圆锥曲线与射影几何射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线12 2=-y x 的左支上，A D ≠,直线 CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直线2 1= x 上。如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：有一点 A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于 B , C , D , E 。连 BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连 BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。 D

证明：对 C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线, 同理P ，Q ，N 三点共线所以 P ，Q ，M ，N 四点共线。又因为 BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即 PQ 是A 的极线。回到原图，由极线的定义与性质得 PQ OA ，且FAGH 为调与点列。

射影平面

射影平面３．1 中心投影与无穷远元素知识点解析中心投影定义．影消点、影消线的概念影消点没有中心投影；影消线也没有投影．无穷远点、无穷远直线的概念．仿射直线、射影直线、仿射平面、射影平面的概念．平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于一条无穷直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷远点．在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点．两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点．解题指导（习题选解）练习３－１１．证明：中心投影一般不保持共线三点的简比．证明反证法．假设中心投影保持共线三点的简比，则在中心投影下，三角形的中位线仍为三角形的中位线，于是推出中心投影把平行线变成平行线，这与中心投影不保持直线的平行性矛盾．所以，中心投影一般不保持共线三点的简比．４．设21:ππσ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在 2π中是否平行，不平行有什么性质？同样，2π上的两条平行直线在1π中的原象是否为平行直线？解当投影线垂直于这对平行线时，其象在2π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在2π中不平行．同理，当投影线垂直于这对平行线时，其原象在1π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在1π中不平行．５．试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．

证明同第１题．（略）．３．２图形的射影性质知识点解析透视对应、中心透视的概念透视对应把l 上的影消点Q 投影到l '上无穷远点∞ 'P ，把l 上的无穷远点∞P 投影到l '上影消点Q '．中心投影把π上的影消线l 投影到π'上无穷远直线∞ 'l ，同时把π上的无穷远直线∞l 投影到π'上影消线l '．定义3.1图形在中心投影下不变的性质（不变的量），叫做图形的射影性质．同素性和结合性都是射影不变性质；平行性质和单比不是射影不变性质，它们在中心投影下会改变．如果中心射影把平面π上的直线l 投影成平面 π'上的无穷远直线，如图１所示，那么平面π上两条相交直线a 与b ，若交点在影消线l 上，则它们的象是π'上的两条平行线a '与b '；反过来，平面 π'上两条平行线，它们的原象是π上的两条相交于l 的直线．利用中心投影把一直线投影成无穷远直线，可以用来证明一些几何问题．解题指导（习题选解）练习３－２１．求证：一直线与和它平行的平面交于一个无穷远点证明如果一条直线平行一个平面，则这个平面内有无数条直线与它平行，因为两条直线交于无穷远点，所以，这条直线与这个平面交于无穷远点．２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行直线．证明设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l '和2 l '，则P 点对应无穷远点．由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是1 l '和2l ' 的交点，即无穷远点，也就）（图1

射影几何学

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

浅析射影几何及其应用讲解

浅析射影几何及其应用湖北省黄冈中学一、概述射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究： 1、射影几何的基本概念及交比不变性 2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一） 3、对偶原理 4、二次曲线在射影几何上的应用 5、布列安桑定理和帕斯卡定理 6、二次曲线蝴蝶定理

二、研究过程 1、射影几何的基本概念及交比不变性射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理： 1、过两点有且只有一条直线 2、两条直线有且只有一个交点这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公

二次曲线的射影理论

第五章二次曲线的射影理论本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论二次曲线的射影性质及其分类。 §1 二次曲线的射影定义 1.1 二次曲线的射影定义定义1.1 在射影平面上，若齐次坐标（x 1，x 2，x 3）满足下列三元二次齐次方程 )(03 1 ,ji ij j i j i ij a a x x a ==∑= 其中a ij （i ，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集合称为二阶曲线。二阶曲线的方程可以写成矩阵形式： ()032133323123222113121132 1 =???? ? ??????? ??x x x a a a a a a a a a x x x 其中（a ij ）用A 表示叫系数矩阵，用| A |或| a ij |表示系数行列式。定理1.1 两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。证明在射影平面上建立射影坐标系后，设两个线束的方程为 α+λβ=0， α′+λ′β′=0，由于它们是射影对应，所以λ，λ′满足： a λλ′+ b λ+ c λ′+d=0 (a d －bc≠0). 由以上三个式子消去λ，λ′得 ,0)()()( )(=+' ' --''d c b a βαβαβαβα 即 0='-'-'+'βαβαββααc b d a . 因为α，β，α′，β′都是 x 1，x 2，x 3的一次齐次式，所以上式是关于x 1， x 2，x 3的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。而且α=0与β=0的交点和

α′=0与β′=0的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两个线束中心也在这条二阶曲线上。定理1.1的逆定理也成立，定理 1.1 中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊性，可以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影对应线束的中心。定理1.2 设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。证明设二阶曲线是由以O，O′为中心的两射影线束O（P）和O′（P）所生成。在此二阶曲线上任意取定两点A和B，设M为曲线上动点，我们只须证明出A（M）∧B（M）即可。如图所示，设AM 与OP，OB交于K，B′，BM与O′P ，O′A 交于点=K′，A′，于是 O（A，B，P，M）∧O′（A，B，P，M）所以 O（A，B，P，M）∧（A，B′，K，M）（A′，B，K′，M）∧O′（A，B，P，M）所以（A，B′，K，M）∧（A′，B，K′，M）由于两底的交点M是自对应点，因此（A，B′，K，M）∧（A′，B，K′，M）所以两点列对应点连线交于一点，也即AA′，BB′，KK′共点于点S。

射影几何学

射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐

射影几何入门

(一)１－１对应 1 １. 1-1对应的定义 1 2. 1－1对应的意义和性质 2 3. 1-1对应在数学中的应用 4 4. 无穷集之间的1－1对应 4５. 部分和整体的1-１对应，无穷集的定义９ 6．无穷远点. 点列和线束 10 7. 轴束. 基本形 11 ８. 三种基本形的六种透视对应12 ９. 射影关系１4 10． 1到无穷或无穷到1的对应16 １１. 平面点的无穷阶数 17 12. 一阶与二阶无穷集 1７ 1３. 通过空间一点的所有直线１7 14. 通过空间一点的所有平面 18 15. 平面上所有的直线１8 16. 平面系和点系 19 １7. 空间中的所有平面1９18. 空间中的所有点 20 1９. 空间系 2０２0. 空间中的所有直线２0 21. 点与数之间的对应20 22. 无穷远元素 22 (二）１-1对应基本形之间的关系２5 2３. 七种基本形 2５ 2４．射影性 2５ 25. Dｅsaｒgues 定理 2６ 2６. 关于二个完全四边形的基本定理 27 2７．定理的重要性2８ 28. 定理的重述２8 ２9. 四调和点概念 29 30. 调和共轭的对称性30３１．概念的重要性３0 3２. 四调和点的投影不变性 31３3. 四调和线 3１ 34. 四调和平面. ３1 ３5．结果的概要性总结 32 3６. 可射影性的定义 3３ 37. 调和共轭点相互之间的对应３3 38. 调和共轭的元素的隔离 34 ３9. 无穷远点的调和共轭３4 40. 射影定理和度量定理, 线性作图法 35 41. 平行线与中点３６ 42. 将线段分成相等的n个部分 3７ 43．数值上的关系３7 44．与四调和点关联的代数公式37 ４5. 进一步的公式３8 ４６．非调和比（交比） 39（三)射影相关基本形的结合４1 47. 叠加的基本形,自对应元素41 ４8. 无自对应点的情况４2 4９. 射影对应的基本定理, 连续性假设 4３ 50．定理应用于线束和平面束44 51. 具有一公共自对应点的射影点列４4 5２. 无公共自对应点的射影相关点列４5 ５3. 透视对应的两个射线束 4７ 54. 透视对应的面束（轴束） 47 5５. 二阶点列４7 ５6. 轨迹的退化 4８５7. 两阶线束48

关于无穷远元素与射影平面

引言在欧氏平面上，通过引入无穷远元素扩充欧氏平面的方法给出射影平面的概念。 1.中心射影 1.1.直线与直线间的中心射影设l ，'l 是共面二直线，点o 是此平面内l 与'l 外任一点。若o 与l 上任一点A 之连线OA 交'l 于'A 。则我们定义：定义1 'A 叫做 A 点从o 投影到'l 上的中心射影下的对应点。 OA 叫做投射线，o 叫做投射中心，简称射心。图（1）显然A 也是'A 在l 上以o 为射心的中心射影下的对应点。取不同的射心，就得到不同的中心射影。如果l 与'l 相交与C 点，则C 位自对应点，如图（1）在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。如果l 上的一点P 使OP 平行于'l ，则P 的对应点'P 将不存在。同样在'l 上也有一点'Q ，使'OQ 平行于l ，所以'Q 在l 上的对应点也不存在。我们将P 与'Q 分别称为l 与'l 上的影消点。 1.2.平面与平面之间的中心射影设π与'π是二平面，点o 是平面外一点，若o 与π上任一点A 之连线OA 交 'π与'A 。则我们定义：图（2）定义2 'A 叫做 A 点从o 投影到平面'π的中心射影下的对应点。OA 叫做 O A ' A B ' B C ' Q l ' l P

投射线，o 叫做投射中心，简称射心。显然A 也是'A 在π上以O 为射心的中心射影下的对应点。可以看出在中心射影下平面π内的一直线AB 对应平面'π上的直线''A B 。图（2）当π与'π相交时，其交线c 为自对应直线，其上的每一点C 都是自对应点。同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。如图（2），如果平面π上的一点P 与o 的连线OP 平行于平面'π，那么P 在'π上的对应点便不存在，我们也称点P 为影消点。若通过o 作与'π平行的平面a 交平面π于直线m 。则直线m 在'π上的对应直线也不存在，我们称直线m 为影消线。类似的可以定义平面'π上的影消点与影消线。显然，影消点的轨迹是影消线。 2.无穷远元素为了使中心射影是一一对应，我们必须将欧氏平面加以扩拓广。所以我们引进了无穷远元素。为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。约定— 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。无穷远点记以P ∞，为区别起 O π A B C ' A ' B ' πc Q α m p

射影平面六讲一一第一讲

射影平面六講一一第一講王九逵 1999年暑假,中央大學數學系舉辦「中學教師暑期數學研習營」,邀我以射影平面為題做了六次講演,每次一小時,這便是那次的講稿。其中前五講以解析幾何的立場介紹平面射影幾何的梗概,只是沒有觸及二次曲線。第六講引進橢圓型的非歐幾何。六講全是標準的題材。只有Desargues定理的證明是我自行做出的,所以有可能是一個新的證明。法國幾何學家Jean-Victor Poncelet (1788-1867)在拿破崙的軍中服役,進攻俄國時被俘。於1822-1824年被關在俘虜營中,無書可讀,因此他可以讓思想自由奔放,不受傳統幾何的拘束。於1824年返回法國後,發表了一套新的幾何學,便是我們要講的射影幾何學。設想如圖一所示,Poncelet站在窗前觀看室外的景物。忽略地球的曲率,假設窗外地面在一個平面G上。把窗外地面上的任一點P和Poncelet的眼晴E連線,這線和窗玻璃所在的平面W交於一點Q。讓Q和P 對應。這對應稱為以E為眼點從平面G到平面W的透視對應(perspectivity)。以下我們用σ表示它,於是在這對應下,Q是P 的像,我們記作Q=σP . 圖一注意,在透視對應σ之下,不限於窗外的點才有像。依照上面σ的定義方法,知位於Poncelet和窗間地面G上的點都對應到W在地面下的部分,而在Poncelet背後G 上的點,則對應到W上比E更高的點。只有通過Poncelet立足點而平行於W的直線i上的點在σ對應下沒有像。反之,對W上的任一點Q,連接EQ 交G於點P。則Q=σP。但若EQ和G 64

射影平面六講—第一講65 平行,這項作圖便失敗了。所以W上和E 等高的點都不是G上的點的像。這些點形成一直線j。令l為G上的一條直線。將E和l的各點相連,便決定了一個平面。這平面與W 交於一直線,這直線便是l的像σl。若m是G上的另一條直線,P是l 和m的交點,則σP也是σl和σm的交點。現在考慮l和m平行的情形。這時σl 和σm仍然可能有一個交點。以下我們想把這交點找出來。過E作一條與l和m都平行的直線n。則n上的點都和E等高。E和l決定的平面包含著n,E和m決定的平面也包含著n。因此σl和σm的交點必是n 和W的交點;這交點在直線j上。反之,若l和m的交點P落在直線i上,則σl和σm是一對平行線。現在設想l為G上的一定線,Q為G 上l外之一定點,P為在l上的一動點。當P 不斷向前移動(即與Poncelet在窗之異側向遠離窗之方向移動)時,σP從直線j的下方向上移動。當P漸行漸遠之時,直線QP漸漸接近於平行的位置,而點σP也漸漸從直線j的下方接近於j。若令P向後移動,則σP從直線j的上方向下移動。當P漸行漸遠之時,直線QP和點σP的狀況也和上文所述的相當類似。這種考慮使Poncelet想到在平面上添加一些無限遠點(points at in-?nity),作為平行線的交點,便可把平行線的觀念統合在不平行線的觀念以內。添加無限遠點後,歐氏平面便變成了射影平面(pro-jective plane)。以下我們不用Poncelet的原始討論,而改採解析幾何的立場,介紹如何添加無限遠點的方法。在歐氏平面中引入直角座標系。令P= (x,y)為平面上的一點。再設(ξ0,ξ1,ξ2)為三實數,其中ξ0=0。若 x= ξ1 ξ0 ,(1)我們便稱三維向量ξ=(ξ0,ξ1,ξ2)為點P 的一組齊次座標(homogeneous coordi-nates)。對應於這名詞,原來的(x,y)也可以稱為P的非齊次(inhomogeneous)座標。顯然二向量(ξ0,ξ1,ξ2)和(η0,η1,η2)為同一點的兩組齊次座標的充要條件是有一實數λ=0,使 ηi=λξi,i=0,1,2.(2) 以下我們將ξ1和ξ2固定,而令ξ0變化。以(ξ0,ξ1,ξ2)為齊次座標的點P的非齊次座標為(ξ1/ξ0,ξ2/ξ0)。設P0為以(ξ1,ξ2)為非齊次座標的點。連接原點和P0成一直線l。對一切ξ0,P點始終在直線l上。當ξ0取負值,且其絕對值很大時,P很接近原點,但和P0在原點的異側。當ξ0取負值時,P 仍維持和P0在原點的異側,而且隨|ξ0|變小而漸行漸遠。當它變成0時,點P沒有定義。當它變成正數時,它又有定義了,成為和P0在原點同側的l上的一點。ξ0取很小的正值時,P離原點很遠。當ξ0增加到1時, P便和P0重合。當ξ0增加超過1時,P 點逐漸靠近原點。這些想法提示我們在直線l 上增加一點,以(0,ξ1,ξ2)為其齊次座標。現在我們要用數學家嚴謹的要求,仔細定義射影平面。在集合R3\{0}我

射影面积法求二面角

射影面积法（cos S S 射影原 q = ）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1， AD=21 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可，故所求的二面角θ应满足cos θ= = 1 11212322 ????= 6 。例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中， 2 AC BC ==，90ACB ∠=o ， AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；图S D C B A

622=-=AE AB BE ，2 ==EC AE 则 1222 121=?=?= =?CE AE S S ACE 射， 3622 121=?=?= =?EB AE S S ABE 原设二面角B AP C --的大小为?，则3 33 1cos = = =原射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3 3arccos =? 练习1：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值为cos θ=32）. A 1 D 1 B 1 1 E D B C A 图5

位置几何──射影几何学

位置几何──射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。射影几何的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样

就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家──笛沙格和帕斯卡。笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影

圆锥曲线与射影几何

圆锥曲线与射影几何射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠,直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直线2 1=x 上。如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：有一点A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于B ,C ,D ,E 。连BD ，CE 交于点 P ，且P 点在四边形BCDE 外部。

又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连BE，CD交于点Q，连PQ，先证明：直线PQ 是A点的极线。 D

证明：对C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于' DB 的交点P 三点共线,同理P ，Q ，N 三点共线所以P ，Q ，M ，N 四点共线。又因为BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN

是BC 与DE 的交点A 的极线，即PQ 是A 的极线。回到原图，由极线的定义与性质得PQ OA ⊥，且 FAGH 为调和点列。有了前面的铺垫再证例1就简单了。证明：过P 点作X PH ⊥轴，则PH 是C 点的极线，AHBC 为调和点列因为A (-1,0), B (1,0), C (2,0) 所以H （2 1,0）即P 在直线2 1=x 上关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。例2：M 是抛物线)0(22≥=p px y 的准线上的任意点，过M 点作抛物线的切线1l ,2l ，切点分别为 A , B (A 在X 轴的上方)。（1）求证：直线AB 过定点。（2）过M 作X 轴的平行线l 与抛物线交于P ，与AB 交于Q . 证明PQ MP =。

射影几何入门

(一) 1-1对应 1 1. 1-1对应的定义 1 2. 1-1对应的意义和性质 2 3. 1-1对应在数学中的应用4 4. 无穷集之间的1-1对应 4 5. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 9 6. 无穷远点. 点列和线束10 7. 轴束. 基本形 11 8. 三种基本形的六种透视对应12 9. 射影关系 14 10. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数 17 12. 一阶与二阶无穷集 17 13. 通过空间一点的所有直线17 14. 通过空间一点的所有平面18 15. 平面上所有的直线 18 16. 平面系和点系 19 17. 空间中的所有平面 19 18. 空间中的所有点 20 19. 空间系 20 20. 空间中的所有直线 20 21. 点与数之间的对应 20 22. 无穷远元素 22 （二）1-1对应基本形之间的关

系 25 23. 七种基本形 25 24. 射影性 25 25. Desargues 定理 26 26. 关于二个完全四边形的基本定理 27 27. 定理的重要性 28 28. 定理的重述 28 29. 四调和点概念 29 30. 调和共轭的对称性 30 31. 概念的重要性 30 32. 四调和点的投影不变性31 33. 四调和线 31 34. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 32 36. 可射影性的定义 33 37. 调和共轭点相互之间的对应33 38. 调和共轭的元素的隔离34 39. 无穷远点的调和共轭 34 40. 射影定理和度量定理, 线性作图法 35 41. 平行线与中点 36 42. 将线段分成相等的n个部分37 43. 数值上的关系 37 44. 与四调和点关联的代数公式37 45. 进一步的公式 38

射影几何的起源

射影几何的起源在欧洲文艺复兴时期，许多著名的画家，包括多才多艺的达·芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究，作出了卓越的贡献。他们的成果，很快地影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支——射影几何。所谓射影是指：从中心O发出的光线投射锥，使平面Q上的图形Ω，在平面P上获得截景Ω1。则Ω1称为Ω关于中心O在平面P上的射影。射影几何就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。为射影几何的诞生奠基的，是两位法国数学家：笛沙格（Desargues，1591～1661）和帕斯卡（Pascal，1623～1662）。公元1636年，笛沙格发表了题为《用透视表示对象的一般方法》一书。在这本书里，笛沙格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从而把绘画理论与严格的科学联系起来。公元1639年，笛沙格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。他论述了三种二次曲线都能由平截面圆锥而得，从而可以把这三种曲线都看盾成是圆的透视图形。这使有关圆锥曲线的研究，有了一种特别简捷的形式。不过，笛沙格的上述著作后来竟不幸失传，直到200年后，公元1845年的一天，法国数学家查理斯，由于一个偶然的机会，在巴黎的一个旧书摊上，惊异地发现了笛沙格原稿的抄本，从而使笛沙格这一被埋没了的成果，得以重新发放光辉！笛沙格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果两个空间三角形对应顶点的三条联线共点，那么它们对应边直线的交点共线。这个定理后来便以笛沙格的名字命名。有趣的是：把笛沙格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线”改为“点”，所得的命题依然成立。即如果两个空间三角形的对应边直线的三个交点共线，那么它们对应顶点的联线共点。在射影几何中，上述现象具有普遍性。一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译：将得到一个“对偶”的命题。两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。这便是射影几何中独有的“对偶原理”。射影几何的另一位奠基者是数学史上公认的“神童”法国数学家帕斯卡。

射影几何与解析几何

第十章：射影几何与解析几何第一节射影几何一、历史背景 1566年，科曼迪诺(F．Commandino，1509—1575)把阿波罗尼奥斯(Apollonius)的《圆锥曲线论》(Conics)前四卷译成拉丁文，引起了人们对几何的兴趣，几何上的创造活动开始复兴．在短短几十年的时间里，便突破传统几何的局限，产生了一门崭新的学科——射影几何．由于新学科把无穷远点及图形连续变动的思想引入数学，它实际上已迈入高等数学的门槛．射影几何直接起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不开的．在中世纪，画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图．但到了文艺复兴时期，描绘现实世界逐渐成为绘画的目标了．为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上．意大利的建筑师兼数学家阿尔贝蒂(L．B．Alberti，1404—1472)认真考虑了这一问题．他在1435年写成的《论绘画》(Dellapittura，1511年出版)一书中阐述了这样的思想：在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛出发射到景物的每一个点上，这些线叫投影线．他设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫做截景．显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以作画逼真的问题就是在玻璃板(实际是画布)上作出一个真正的截景．例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD、(图10．1)时，从O到矩形各点的连线形成一投影棱锥，其中OA，OB，OC，OD是四根典型的投影线．若在人眼和矩形间插入一平面，并连结四条线与平面的交点A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′为矩形ABCD的截景．由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样，它们必然有相同之处．但从直观上看，截景和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形．那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题．阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的；如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之间必存在某种关系．于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．