河南专升本高数第一章知识点详细解析

2013河南专升本（云飞）版高数教材第一章知识点详细解析I 、求函数的定义域。

函数的定义域是自变量的取值范围，故求定义域时常常排除那些使函数没有意义的点。

每个函数都有其定义域，定义域不同，即使对应法则一样，两个函数也不是相等的。

如一些基本初等函数，观察其定义域：根式0)y x =≥，分式1(0)y x x =≠，三角函数sin ()y x x R =∈，反三角函数[]arcsin (1,1)y x x =∈-，指数函数()x y e x R =∈，对数函数ln (0)y x x =>，幂函数(01)u y x x x =>≠且……（注意：00无意义）。

考试中此种题目的考查有两种形式：（1）是对给定解析式的函数求定义域，若能根据常见的函数的定义域列出不等式组，那么可以通过直接解不等式来完成，也可以利用验证法确认选项，注意取特殊点验证；（2）是抽象函数也即含有符号f 的函数的定义域问题，一共有三种形式，无论是哪种形式都要最先确定函数的自变量是什么，再进行求解。

例1 求下列函数的定义域．（1）43)(+=x x f （2）x x f -=11ln)( （3） xx f 21arcsin )(= （4）314arccos )(-=x x f （5） )arcsin(lg )(x x f = （6） )ln(ln )(x x f =解：由分析式子表示的函数的定义域是使该式子有意义的所有实数构成的集合．如分式的分母不能为零；对数的真数必须大于零；开偶次方根的数必须大于等于零；反三角函数则遵循对该函数所规定的定义域；求复合函数))((x f y ϕ=的定义域时，既要使)(x ϕ有意义，又要使))((x f ϕ有意义，即要根据)(u f 和)(x ϕ共同确定其定义域．（l ）要使43+=x y 有意义，只要043≥+x 即可，即34-≥x ，因此它的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,34．（2）由10101011<⇒>-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠->-x x x x．即它的定义域为)1,(-∞． （3）由121≤x 及0≠x 得，2112≥⇒≥x x ，即它的定义域为),21[]21,(+∞--∞ ． （4）由1314≤-x 得121314≤≤-⇒≤-x x ．即它的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21． （5）由1lg ≤x 得101.0≤≤x ．所以它的定义域为[]10,1.0． （6）由0ln >x 得，1>x ．即定义域为),1(+∞．例2 （1）设)(x f 的定义域为[]4,4-，求)(2x f 的定义域．（2）设)(x f 的定义域为[]1,0求)1(x f +的定义城． 解：（1）由442≤≤-x 得，22≤≤-x ．即定义城为[]2,2-． （2）由110≤+≤x 得，01≤≤-x ．即定义域为[]0,1-.例3 )(x f 的定义域是[]1,0，)4()4()(++-=x f x f x ϕ的定义域是（ ）A ．[]1,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,41D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41解：定义域4341:4341454114101410:≤≤⎪⎩⎪⎨⎧⇒≤≤-≤≤⎪⎩⎪⎨⎧⇒≤+≤≤-≤x D x x x x D ，因此选C ． 例4 函数x x y ln 1)12arcsin(+-=的定义域是（ ）A )1,0(B ]1,0(C )2,0(D ]2,0( 解：选 A.由112≤-x 及1,0≠>x x 解的函数Inxx y 1)12arcsin(+-=的定义域为)1,0(． 例5 函数1)1ln(31)(+-+-=x x x x f 的定义域是 （ ） A （+∞-,1) B （+∞,1） C ),3()3,1(+∞⋃- D),3()3,1(+∞⋃解：选D .由题意： 03≠-x ，01>-x ，01>+x ，所以得到函数1)1ln(31+-+-=x x x y 的定义域为),3()3,1(+∞⋃． 例6 下列各对函数哪些是同一函数？（1）2x x 与 （2） 2）与（x x （3） 2ln 2ln x x 与 （4） 1112+--x x x 与解：两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致．只有（1）中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数．这是因为： （1）两个函数的定义域都是R ，对应关系也完全相同，即2x x =． （2）定义域不同． x y =的定义域为R ，2)(x y = 的定义域为[)+∞,0．（3）定义域不同． 2ln x y =的定义域为()()+∞⋃∞-,00,，y= 2ln x 的定义域为()+∞,0．（4）定义域不同． 1-=x y 的定义域为R ， 112+-=x x y 的定义域为{}1,-≠∈x R x x ．例7 在区间),0(+∞内，与函数x x f 2ln )(=相等的函数是（ ）（200503）．A ．x lnB ．2ln 21x C ．x ln D ．x ln解：我们知道x x =2，因此选D ． II 、函数之间的运算和函数性质的题目。

函数之间的运算主要涉及求复合函数或外层函数。

给出一个函数，只要能看出是由哪些初等函数、基本初等函数符合而成的就可以了。

利用常用方法就能解题。

函数的性质：（1）单调性设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂，如果对于区间I 上任意两点21,x x ，当21x x <，恒有)()(21x f x f <，则称)(x f 在区间I 上是单调增加；如果对于区间I 上任意两点21,x x ，当21x x <，恒有)()(21x f x f >，则称)(x f 在I 上是单调减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．（关于函数的单调性问题，将在“导数的应用”中讨论．） （2）有界性如果存在正数M ，使得M x f ≤)(对任一X x ∈都成立，则称函数)(x f 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就称函数)(x f 在X 上无界；这就是说，如果对于任何正数M 总存在X x ∈1，使M x f >)(1，那么就称函数)(x f 在X 上无界． ①有界性与区间I 有关，如xy 1=在[]2,1上有界，但在(]1,0上无界． ②若函数)(x f 在I 上有一个界M ，则比M 大的数都可以作为它的界，即界不唯一．③在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是),(+∞-∞情况下，分别是x y x y x y arctan ,cos ,sin ===．④在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有界函数乘无穷小等于零”． （3）奇偶性设函数)(x f 的定义域D 关于坐标原点对称．如果对任一D x ∈，)()(x f x f =-恒成立，则称)(x f 为偶函数；如果对任一D x ∈，)()(x f x f -=-恒成立，则称)(x f 为奇函数．函数奇偶性判断方法：①根据奇偶性定义：如证得)()(x f x f =-，那么此函数为偶函数，如证得)()(x f x f -=-，那么此函数为奇函数．②根据四则运算： 奇＋奇＝奇， 偶＋偶＝偶，奇＋偶＝非奇非偶． 奇⨯奇＝偶， 偶⨯偶＝偶， 奇⨯偶＝奇．③指数运算用除法：⎩⎨⎧-=-奇偶1,1)()(x f x f ，举例：1212)(+-=x x x f 运用1)()(-=-x f x f ,得)(x f 为奇函数． ④对数运算用加法：⎩⎨⎧=-+偶奇)(2,0)()(x f x f x f ，e.g. )1ln()(2x x x f ++= 运用0)()(=-+x f x f ,得)(x f 为奇函数．如x y x y x y arctan ,sin ,3===等是奇函数；而x y x y cos ,2==是偶函数．（特别要说的是，0是既奇又偶的函数） （4）周期性设函数)(x f 的定义域为D ．如果存在一个正数，使得对于任一D x ∈有D l x ∈±)(且)()(x f l x f =±恒成立，则称)(x f 为周期函数．l 为)(x f 的周期，通常我们说的周期函数的周期是指最小正周期．这里我们总结一个正弦函数的周期公式：)sin(l wx B A y ++=A 表示的是上下移动，B 表示的是振幅，l 表示的水平移动．，w 与三角函数周期有关wT π2=． 一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变成变量的均不是周期函数．周期函数在每一个周期上的图形是相同的． 例如：24sin ,sin 1,cos y x y x y x ==+=是周期函数．xy x x y x x y x y 1sin ,cos ,cos ,sin 2=+===不是周期函数． （5）反函数设函数)(:D f D f →是单射，则它存在映射D D f f →-)(:1，称此映射1-f为函数f 的反函数．例如：x y 2=与2yx =互为反函数；x a y =与x y a log =互为反函数．例1 设2cos )(sin 2+==x x f y ，求)(x f ．解：因为x x x f 22sin 32sin 1)(sin -=+-=，所以23)(x x f -=． 例2 讨论下列函数的奇偶性．（1） x x x f sin )(= （2） 1)(2-=x x x f （3） 1)(+=x x f （4） )11ln()(-+=x x x f 解：（1）因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=-，所以)(x f 为偶函数． （2）因为)(11)()(22x f x x x x x f -=--=---=-，所以，)(x f 为奇函数 （3）1)(+=x x f 既不是奇函数也不是偶函数（可称之为非奇非偶函数）． （4）)11ln()11ln()()(-++--+-=+-x x x x x f x f 0)11ln()11ln()11ln()11ln(=-++-+-=-+++-=x x x x x x x x 即)()(x f x f --，所以)(x f 为奇函数.例3 在区间[]1,1-上，设函数)(x f 是偶函数，那么)(x f -（ ） A 是奇函数 B 是偶函数C 既不是奇函数也不是偶函数D 不能被判定奇偶性解：记)()(x f x g -=，则在[]1,1-上，有)()()()(x g x f x f x g =-=--=-， 即)(x f -为偶函数，故选B ．例4 设()x f 在区间),(∞-∞内是奇函数，并且在区间),0(+∞内严格单调增，那么函数()x f 在区间),(∞-∞内（ ）A 严格单调减B 严格单调增C 既不严格单调增，也不严格单调减D 可能严格单调增，也可能严格单调减解：设任意21,x x [)+∞∈,0，且21x x <，则f(x)由在[)+∞,0内严格单调增得)()(21x f x f <，于是再有)(x f 是()+∞∞-,上的奇函数，得12x x -<-，且 )()(12x f x f ---=0)()(12<+-x f x f ，即)(x f 在[)+∞,0上严格单增，故)(x f 在()+∞∞-,内严格单调增．说明：原题为“)(x f 在[)+∞,0内严格单调增”．如果不将左端点取成闭的，则本题无可选答案．III 、无穷小量阶的比较。