河南专升本高数第一章知识点详细解析

2013河南专升本（云飞）版高数教材

第一章知识点详细解析

I 、求函数的定义域。

函数的定义域是自变量的取值范围，故求定义域时常常排除那些使函数没有意义的点。

每个函数都有其定义域，定义域不同，即使对应法则一样，两个函数也不是相等

的。如一些基本初等函数，观察其定义域：根式0)y x =≥，分式1

(0)y x x =≠，

三角函数sin ()y x x R =∈，反三角函数[]arcsin (1,1)y x x =∈-，指数函数

()x y e x R =∈，对数函数ln (0)y x x =>，幂函数(01)u y x x x =>≠且……（注意：

00无意义）。

考试中此种题目的考查有两种形式：（1）是对给定解析式的函数求定义域，若能根据常见的函数的定义域列出不等式组，那么可以通过直接解不等式来完成，也可以利用验证法确认选项，注意取特殊点验证；（2）是抽象函数也即含有符号f 的函数的定义域问题，一共有三种形式，无论是哪种形式都要最先确定函数的自变量是什么，再进行求解。 例1 求下列函数的定义域．

（1）43)(+=x x f （2）x x f -=11ln

)( （3） x

x f 21

arcsin )(= （4）31

4arccos )(-=x x f （5） )arcsin(lg )(x x f = （6） )ln(ln )(x x f =

解：由分析式子表示的函数的定义域是使该式子有意义的所有实数构成的集合．如分式的分母不能为零；对数的真数必须大于零；开偶次方根的数必须大于等于零；反三角函数则遵循对该函数所规定的定义域；求复合函数))((x f y ϕ=的定义域时，既要使)(x ϕ有意义，又要使))((x f ϕ有意义，即要根据)(u f 和)(x ϕ共同确定其定义域．

（l ）要使43+=x y 有意义，只要043≥+x 即可，即3

4

-≥x ，因此它的定义域

为⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞-,34．

（2）由1010

10

11<⇒>-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠->-x x x x

．即它的定义域为)1,(-∞． （3）由

121≤x 及0≠x 得，2112≥⇒≥x x ，即它的定义域为),21[]21,(+∞--∞ ． （4）由

1314≤-x 得121314≤≤-⇒≤-x x ．即它的定义域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-1,21． （5）由1lg ≤x 得101.0≤≤x ．所以它的定义域为[]10,1.0． （6）由0ln >x 得，1>x ．即定义域为),1(+∞．

例2 （1）设)(x f 的定义域为[]4,4-，求)(2x f 的定义域．

（2）设)(x f 的定义域为[]1,0求)1(x f +的定义城． 解：（1）由442≤≤-x 得，22≤≤-x ．即定义城为[]2,2-． （2）由110≤+≤x 得，01≤≤-x ．即定义域为[]0,1-.

例3 )(x f 的定义域是[]1,0，)4()4()(++-=x f x f x ϕ的定义域是（ ）

A ．[]1,0

B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41

C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,41

D ．⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡1,41

解：定义域4341:4341454114101410:≤≤⎪⎩⎪⎨⎧⇒≤≤-≤≤⎪⎩⎪⎨

⎧⇒≤+≤≤-≤x D x x x x D ，因此选C ． 例4 函数x x y ln 1

)12arcsin(+-=的定义域是（ ）

A )1,0(

B ]1,0(

C )2,0(

D ]2,0( 解：选 A.由112≤-x 及1,0≠>x x 解的函数Inx

x y 1

)12arcsin(+-=的定义域为)1,0(． 例5 函数1

)1ln(31)(+-+-=

x x x x f 的定义域是 （ ） A （+∞-,1) B （+∞,1） C ),3()3,1(+∞⋃- D

),3()3,1(+∞⋃

解：选D .由题意： 03≠-x ，01>-x ，01>+x ，所以得到函数

1

)1ln(31+-+-=

x x x y 的定义域为),3()3,1(+∞⋃． 例6 下列各对函数哪些是同一函数？

（1）2

x x 与 （2） 2

）与（x x （3） 2

ln 2ln x x 与 （4） 1

112+--x x x 与

解：两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致．只有（1）中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数．这是因为： （1）两个函数的定义域都是R ，对应关系也完全相同，即2x x =． （2）定义域不同． x y =的定义域为R ，2)(x y = 的定义域为[)+∞,0．

（3）定义域不同． 2ln x y =的定义域为()()+∞⋃∞-,00,，y= 2ln x 的定义域为

()+∞,0．

（4）定义域不同． 1-=x y 的定义域为R ， 1

1

2+-=x x y 的定义域为{}1,-≠∈x R x x ．

例7 在区间),0(+∞内，与函数x x f 2ln )(=相等的函数是（ ）（200503）．

A ．x ln

B ．2ln 21

x C ．x ln D ．x ln

解：我们知道x x =2，因此选D ． II 、函数之间的运算和函数性质的题目。

函数之间的运算主要涉及求复合函数或外层函数。给出一个函数，只要能看

出是由哪些初等函数、基本初等函数符合而成的就可以了。利用常用方法就能解题。

函数的性质：

（1）单调性

设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂，如果对于区间I 上任意两点21,x x ，当21x x <，恒有)()(21x f x f <，则称)(x f 在区间I 上是单调增加；如果对于区