数学美解题
以美为先导巧解数学题
分析
直接求 最值 往 往 无从 下 手 ， 但根据 Ｘ 、 、 ｚ
在 条件 中的“ 平等 ” 地位 及 函数 ｆ（ ｘ， Ｙ ， ） 中各 变 量 的 对 称性 ， 由审美 直觉 ， 可 以猜 测 ， 当 ｚ— — 时 ， 函 数
提 高 自身 的 解 题 能 力． 使 数 学 解 题 与 数 学 美 完 美 结
即 ＭＮ 的长约 为 ４ ． ９ ｍ．
本题 运用 数形结 合 ， 巧妙、 简洁、 合理 、 优美． 它 来 自于解 析几 何知识 结构 及“ 美 的 意识 力 ” 的思 考． 从 这
一
终 发现 “ 条件 ” 与“ 结论 ” 之 间的必然 联 系．
㈣
解答 发现 ， 数学 美 的指导 思想起 了决 定性 的作 用．
数 学美 在解 题 中无 处 不 在 、 无 时不 有 ． 在 数 学 解
ｚ ） ／ ｚ ≥２ ＋２ ￣ ／ ｚ ／ ｚ ≥４ √ 、 ／ ／ ｚ ／ ４ ７， 同理
题 教学 中 ， 如果 注意 挖 掘 其 中美 的 因 素 ， 则 会 收 到事 半 功倍 的 良好 效 果． 在分析解题过程时， 通 过 建 立 审 美 模式 ， 往往 会 使 思 路 简 洁 而 明 晰 ， 讲 述 深 人 而 有 针
，
在 数学解 题过 程 中 ， 教 师 可 以 引 导 学 生 探 寻 问 题
例 ３ 已知 ３ 个 正数 ｘ、 ｚ ， 满足 ２ １ ２ ＋Ｙ ４ － ｚ 二１ － ．
中数学 美 的 因素 ， 如 问题 结 构 的 和谐 美 ， 数 与 形 的统
一
试 求 函数 ｆ（ ｘ， ， ２ ） 一（ １ ＋ｉ ／ ｘ ） （ １ ＋ｉ ／ ｙ ） （ １ ＋１ ／ ｚ ） 的
数学之美感受数学美妙的练习题
数学之美感受数学美妙的练习题数学之美：感受数学美妙的练习题数学作为一门学科，虽然有着严谨的逻辑和抽象的概念，但它同时也蕴含着美感。
通过解答练习题，我们可以体会到数学的美妙之处。
本文将通过几个不同类型的练习题，展示数学之美的独特魅力。
一、几何问题几何是数学中的重要分支，以空间形体的研究为基础，通过几何题目的解答，我们可以感受到图形之美。
1. 已知一个正方形的边长为a，求其面积。
解答：由于正方形的边长相等，所以面积为a的平方。
这个简单的公式就体现了几何学中的美感，简洁明了又富有准确性。
2. 已知一个圆的半径为r，求其周长和面积。
解答：根据圆的性质可知，其周长为2πr，面积为πr的平方。
圆形的优美曲线以及周长与面积间简洁的关系，使得这道练习题在解答过程中带来了美妙的感受。
二、代数问题代数学是数学中另一个重要的分支，通过代数问题的解答，我们可以感受到数学在抽象推理方面的美感。
1. 求解方程2x + 5 = 15。
解答：将方程转化为2x = 15 - 5，得到x = 10/2，即x = 5。
这个简单的方程求解过程中，通过运算的推理展示了数学中的抽象美。
2. 判断以下数列是否为等差数列：1, 3, 5, 7, 9。
解答：首先计算两个相邻项的差值，发现每个差值都为2，因此数列为等差数列。
通过观察、比较和推理，我们可以感受到数学在数列研究中的美妙之处。
三、概率问题概率论是数学中的一门重要学科，通过解答概率问题，我们可以感受到数学在随机事件分析中的美感。
1. 抛一枚硬币，问正面朝上的概率是多少？解答：由于硬币只有正反两面，所以正面朝上的概率为1/2。
这个简单的问题体现了概率事件的简洁性和标准性，同时也展示了数学思维在随机事件中的魅力。
2. 从一个标准扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解答：由于一副标准扑克牌中有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心牌的概率为13/52，即1/4。
这道题目展示了概率的计算过程，同时也体现了数学中的逻辑性和规律性。
在实际解题中还学生数学美
在实际解题中还学生数学美美的事物值得人们欣赏、值得人们去追求。
而数学的美又在哪里？假如能引导学生发现数学之美，能在给学生呈现数学之美，那一定能吸引无数学生竞折腰。
标签：数学美教学学生求知欲古代哲学家普洛克拉斯说过“哪里有数学，哪里就有美”。
作为科学语言的数学，它研究的对象是数、形、式、向量、矩阵。
因此在其内容结构和表现形式上都具备了某种美，那就是数学美。
包含了对称美、简洁美、结构美、奇异美……现在，大多数学生对数学缺乏学习兴趣，他们感受不到数学的魅力。
其实这也是学生缺乏对数学美的领悟和鉴赏。
仅是为了成绩而学，那么学习必定成为负担。
因此，在教学过程中，能呈现数学美，发现数学美，那么就可以让学生迷上数学，这也是数学教育者们的重要任务之一。
一、数学的简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单”。
明快的公式、多姿的符号，绚丽的图案。
所以数学的简洁，是其他学科无法媲美的，对于这一点我在数学的学习和教学中感触颇深.简洁的东西有利于学生记忆。
1、阿拉伯数字在全球通用，那就是因为他简单易懂便于使用。
若是表示一个多位数字4，300，000，000，还可以用科学记数法表示：。
这样一个简洁的表达可以作用于宏观领域和微观世界。
那么在教学中，老师可以引入大数的实例，请学生用不同的语言或方式表达这个多位数，并与科学记数法比较，那便能呈现数学的简洁之美，从而使学生乐于接受并掌握新的表示方法。
2、简洁、优美的公式、定理和数量关系谱写了自然界和人类社会的内在关系。
比如：圆的周长公式：C=2 π r 周长与半径有着简洁和谐的关系，一个传奇的数“π”把它们紧紧相连。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
用式子就可以简单表示为：在中，。
一个简单的式子就可以将所有直角三角形的三边关系准确无误地表达出来，便于学生记忆和书写。
二、数学的对称美与规律展示对称是种美，它能给人以整齐、沉静、稳重、和谐的感觉。
1、几何图形的对称美，那是对数学对称美最通俗最直观的展示。
利用数学美的思想方法指导解题
利用数学美的思想方法指导解题Ξ□张继斯(防城港市防城中学,广西防城港538001)[摘 要] 论述了数学美及其特征,并从数学美的四个重要特征出发,通过具体的例子说明怎样利用数学美的思想方法指导解题。
[关键词] 数学美;简洁美;统一美;对称美;奇异美;解题[中图分类号] G 63316 [文献标识码] A [文章编号] 1002-5227(2008)S -0124-03数学美的信息隐藏在数学知识、数学方法、数学语言中,是隐形的,比如:符号、公式、概念的简洁美;命题、定理的准确清晰美;定义、概念的确凿深刻美;推理运算的节奏简捷美;图形、形状的相似对称美;还有解决数学问题的奇异美;数学教材体系的严谨、和谐、统一之美等。
我国著名数学家徐利治教授指出:“作为科学语言的数学,具有一般语言文学和艺术所共有的特点,即数学在其内容结构上和方法上也都具有其自身的某种美,即所谓的数学美。
数学美的含义是丰富的,数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性,数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性,还有数学中的奇异性等都是美的具体内容。
”可见,数学美的内容是多方面的,总的来说,数学美的表现,常具有简单、统一、对称、奇异等四大特征。
数学美除了能给人美的熏陶、美的感受外,还有一个重要的作用:可以利用它来解题。
那么如何利用数学美的思想方法指导解题?在这,我们先介绍一下数学解题中的美学方法。
数学中的美学方法,就是用数学美的简单性、统一性、对称性、奇异性去考察数学的对象,思考数学的问题,形成数学思维的美学方法和解题策略,并自觉地引进美学机制,按照美的规律去进行问题转化的有意识的活动。
在用这一方法解数学题时,应以美的态度和意识去进行观察、思考,看能否运用美学的方法(简单性方法,统一性方法,对称性方法,奇异性方法等)来解决问题,下面将对这个问题进行具体的论述。
1 追求数学美的简单性,寻求最佳解题方案简单美是数学美的特征之一,它是指数学的研究总是追求逻辑结构的简洁,推理和证明方法的简捷及解答形式的简明。
浅窥数学解题中的简洁美
浅窥数学解题中的简洁美由于数学反映的是自然的本质，因此，数学美本质上是自然美的抽象画，既有结论之美，也有方法之美，还有结构之美.与普通的自然美一样，归纳起来，数学美体现为以下几个特征：简洁性、和谐性、奇异性.数学的美妙之处在于能把混乱化为和谐,纷杂化为对称,繁复变为简单,还在于能将一个陌生的问题利用熟知的"相似问题"进行类比,使其得以解决.1.数学美的简洁性，包括符号美、抽象美、统一美、常数美.数学理论的过人之处之一就在于她能用简洁的方式揭示复杂的现象.数学美的简洁性是数学美的重要标志，它是指数学的证明方法、表达形式和理论体系结构的简单性.主要包括符号美、抽象美、统一美和常数美等.有人说，文学家能将一句话拓展成一本书，数学家则把一句话缩为一个符号，其简洁性无与伦比，体现为符号美；数学家关注万事万物的共同特质数与形，忽略其具体物质属性，高度的抽象性使数学内涵丰富、寓意深刻、应用广泛，展示着抽象美；数学家建立不同事物之间的联系，发现其相同点，表现为统一美；数学家寻求变化中的永恒，动态中的静止，用常数或不变量描述事物本质，带给人们常数美.比如，著名的欧拉恒等式，把自然界中5个最重要的常数0,1,i,eπ,通过数学的3个最基本的运算：加、乘、指数运算有机地联系起来，体现了数学的符号美、抽象美、统一美和常数美；反映多面体的顶点数v，棱数e、面数f关系的欧拉公式f-e+v=2体现了数学的统一美和常数美；全部二次曲线(椭圆、抛物线、双曲线)可以统一为圆锥曲线，而它们又分别表达了三种宇宙速度下物体运动的轨迹；笛卡尔通过坐标方法，用方程表示图形，用计算代替推理，实现几何、代数、逻辑的统一；高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统一；克莱因用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学，认为不同的几何只不过是在相应的变换群下不变性质的科学，这些都反映了数学的统一美.简洁性的另一个值得强调的是常数美中的不变量问题，数学所关注的本质、共性、联系、规律等，归根结底都是某种不变性，而不变性的一个重要表现就是不变量，这种不变量是数学简洁美的一个重要体现.2.数学美的和谐性，包括对称美、序列美、节奏美、协调美.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性.数学美的和谐性也是数学结构美的重要标志，数学的整体与部分、部分与部分之间的和谐协调性，具体体现为对称美、序列美、节奏美、协调美等.其中对称美反映的是万事万物变化中的某种不变性，它包含着匀称、平衡与稳定；序列美、节奏美和协调美反映的是万事万物变化中的某种秩序、联系和规律，它包含着有序(单调)、递归、循环(周期)、整齐与层次.和谐性是自然的本质反映，自然界本身是和谐的统一体；和谐性也是真理的客观表现——真的东西是美丽的，正如爱因斯坦所说：“形式上的美丽，意味着理论上的正确.”数学中的和谐美俯拾即是.比如：杨辉三角；几何学中的黄金分割比；反映角度函数值关系的各种三角恒等式等.3.数学美的奇异性.包括奇异美、有限美、神秘美、对比美等.数学美的奇异性是指研究对象不能用任何现成的理论解释的特殊性质.奇异是一种美，奇异到极致更是一种美.数学的奇异美包括有限美、神秘美、对比美.有限美是指以有限认识、表达与研究无限，具有神奇之功；神秘美是指某些结论不可思议、甚至无法验证，但却绝对正确无疑；对比美主要指数学中的突变现象形成巨大的反差，令人惊叹.比如，二进制中0与1的丰富含义，正多面体的个数有限性，数学归纳法的两步证明等都体现了有限美；抽屉原理证明的各种存在性，超越数、幻方等都体现了神秘美；所有分形图形的复杂与美丽，勾股定理产生的勾股方程与费马猜想的反差等都反映了对比美.在某种意义上，数学美的简洁性是数学抽象的体现，数学美的和谐性与奇异性是现实世界的统一性与多样性在数学中的反映.数学总被人们误以为是枯燥乏味的学科，让人提不起兴趣。
数学美解题
解 题 中 的 数 学 美泰州市朱庄中学 王雄数学是一个五彩缤纷的美的世界，在解数学题时，应以审美的心态去观察，思考，看能否运用美学的方法—简单性方法、和谐性方法、对称性方法、相似性方法、奇异性方法等，来解决数学问题,本文对此略作探索。
一、简单美——从整体代换和正难则反中实现简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家地地碟狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。
”例1． 已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个实数根分别为m 、n ，记P ＝m 4+n 4, q ＝m 3+n 3,r ＝m 2+n 2. 求aP+bq+cr 的值。
分析：本题若用根与系数的关系m+n ＝b/a,mn ＝c/a,直接代入,运算非常复杂,若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。
解：由方程的定义，得am 2+bm+c ＝0, an2+bn+c ＝0，则aP+bq+cr＝ a (m 4+n 4)+b( m 3+n 3)+c (m 2+n 2)＝(a m 4+b m 3+c m 2)+(an 4+b n 3+c n 2) ＝ m 2(a m 2+bm+c)+ n 2(a n 2+bn+c)＝m 2·0+n 2·0＝0例2． 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制，为了决定第一名，共需进行多少场比赛？分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。
例3 已知c b a ，求使得ca k cb b a ---≥+14恒成立时k 的最大值分析：设m b a =-；n c b =-化简可得。
例4设a 、b 、c 为三角形三边，求证：))()((27)(3b a c a c b c b a c b a -+-+-+≥++二、和谐美——从整体考虑和合理猜想中体现希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。
数学美在解题中的应用
发现数学美运用数学美 期刊门户-中国期刊网2009-11-3来源:《中学课程辅导·教学研究》第21期供稿文/李爱红[导读]这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美并运用数学美。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆摘要：数学中处处蕴含着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。
这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美并运用数学美。
关键词：数学美；应用；作用作者简介：李爱红，任教于河南省孟州市第一高级中学。
数学教学的目的是使学生掌握数学基础知识与基本技能，形成数学能力，发展个性品质和形成科学的世界观。
“数学是思维的体操”，实施素质教育的主阵地在课堂，如何优化数学教学过程并提高教学效益，是近年来数学素质教育的重点研究课题，而数学的抽象性、单调性、枯燥性成为优化数学过程、推行素质教育的“绊脚石”。
其实，数学中处处蕴含着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。
这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美、运用数学美，带领学生进入数学美的王国，让学生在审美的愉悦中丰富想象、陶冶情操。
重视数学教学中的美育，对培养学生的求异思维、超前思维、创造思维都有十分积极的意义。
下面笔者就结合自己的教学实际谈谈数学美在实际生活和数学解题过程中的应用。
一、数学美在实际生活中的应用首先，我们来简单了解数学美的含义：思维是地球上最美的花朵，而数学是锻炼思维的体操。
著名数学家高斯说：“去寻求一种最美和最简单的证明，乃是吸引我去研究的动力。
”所以，数学美的含义主要体现在既有情境之中的自然美，又有意料之外的简洁美、对称美、和谐美、奇异美、联想美、统一美。
(1)数学图形在自然界的应用比如蜂房，就是典型例子。
从正面看，蜂巢由一些正六边形组成，每个内角都是120度。
整齐的排列已令人惊奇，更有趣的是底部，由三个全等菱形拼起来，而整个蜂巢就是由两排这样的蜂房，底部与底部相嵌接而构成。
小学数学教学中数学美的体现
小学数学教学中数学美的体现
小学数学教学中，数学美体现在许多方面，以下是几种体现数学美的方式：
1. 几何图形的美感
对称美：教学中强调各种对称图形的美感，学生通过学习对称性，欣赏各种对称图形的美妙之处，如镜像对称、中心对称等。
规律美：几何形状中的规律美是数学中一种重要的美感，教师可以引导学生观察和探索不同几何形状之间的规律，培养他们的审美能力。
2. 数学公式和方程的美感
简洁美：数学公式和方程的简洁性是数学之美的一部分，通过教学引导学生欣赏公式和方程简洁明了的形式，以及它们背后隐藏的深奥之处。
等式美：等式是数学中重要的概念，教学中可以通过等式的漂亮性和等式两侧不变的原则来展现数学之美。
3. 数学问题解题的美感
创造美：数学解题过程中的创造性思维是数学之美的重要组成部分，教学中可以引导学生从不同角度思考问题，培养其解决问题的美感。
逻辑美：数学问题解题过程中的严谨逻辑是数学之美的表现之一，教学中可以培养学生的逻辑思维，让他们感受数学推理的美妙之处。
4. 数学历史和文化的美感
历史美：数学作为一门古老学科，有着悠久的历史，教学中可以向学生介绍数学的历史故事，让他们感受数学文化的魅力。
文化美：不同国家和文化背景下的数学发展呈现出不同的美感，教学中可以多角度呈现数学之美，促使学生拓展对数学的认识。
通过引导学生领悟数学中的美感，不仅可以提升他们对数学学习的兴趣和主动性，还可以培养他们的审美情趣和创造力。
这种对数学美的感受和体验将使数学教学更加生动有趣，激发学生对数学的热爱。
数学美与解题
例 ６ 已知 ａ ＞ ０ ， ｂ ＞ ０ ， 且ａ ＋ ｂ ＝ ｌ ， 求（ ａ ＋ ） （ ｂ ＋＿ １） 的 最 小值 。
ａ Ｄ
例 ２学校 有 １ ３ ２ 人参加 乒乓球选拔赛 ， 采 用输 一场即予淘 汰的单淘汰制。为了决定第一名 。 共需进行多少场比赛 ？ 分析 ： 若从 正面考虑 ． 需分 别求 出每一轮 比赛的场数再相 加， 显 然不符合 简单性原则 ， 不妨考虑其反 面， 选拔 １ 人 的反 面 是淘汰 １ ３ １ 人， 而每 淘汰 １ 人就要进行 １ 场比赛 ， 故需进行 １ ３ １
ｚ
，
斗
为 正 整 数） 。
分析 ： 不等 式左边的结构是有规律 的 。 同时又似乎有 点不
完整 。 和 谐 化 原 则 指 引我们 把 左 边 的 结构 补 充 完整 。 解： 设 Ａ＝ ２ ／ １ ・ ５ ／ ４ ・ ８ ／ ７ …・ ・ （ ３ ｎ 一 １ ） ／ （ ３ ｎ 一 ２ ） ， Ｂ ＝ ３ ／ ２ ・ ６ ／ ５ 。 ９ ／ ８ … 一３ ｎ ／ （ ３ ｎ 一 １ ） ，
又 ‘ ． ’ Ａ ＣＤＥ ＡＣＦ Ｂ。 ＣＥ ＝
・ ． ．
数 学是 一 个 五 彩 缤 纷 的 美 的世 界 ， 当我们 认 识 到 它 时 。 就
可 以改变对数 学的成见 ． 极 大地提 高学习数 学的积极性 。因此 在平 时的教 学 中． 我们应 注意挖掘数 学中关的素材 ， 培养 学生 的审 美意识和数 学美感 。在解数 学题 时 。 应 以审美的心 态去观 察、 思考， 看能否运 用 美学的方法—— 简单性 方法 、 和谐 性 方 法、 对称性方 法、 类比性方 法、 奇异性方 法等来解决数 学问题 ，
本 文 对 此略 作 探 索
运用对称美解题
对称美在数学中是一个重要的概念，它涉及到许多不同的数学领域，如几何、代数和函数等。
对称美不仅在理论数学中有着重要的应用，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
对称美解题的基本思路是利用对称性将问题转化为更
简单、更直观的形式，从而更容易找到解决方案。
下面是一个运用对称美解题的例子：
题目：一个圆上有8个点，其中4个点在一条直线上，另外4个点在另一条直线上。
这两组点之间的距离都等于d。
求这个圆的半径r。
分析：根据对称美的思想，我们可以将这个问题转化为一个几何问题。
由于4个点在一条直线上，另外4个点在另一条直线上，我们可以将这两组点分别作为直径的两个端点，从而将圆转化为一个正方形。
设正方形的边长为a，则有：
正方形的周长为4a。
正方形的面积为a^2。
正方形的对角线长度为√2a。
由于正方形的对角线长度等于圆的直径，我们可以得到：√2a = 2r，解这个方程，我们可以得到：r = a/√2 = d/√2所以，这个圆的半径r为d/√2。
解题中数学美论文
试论解题中数学美的探索在平时的教学中，应注意挖掘数学中美的因素，培养学生发现数学美。
比如为了激发、调动学生学习数学的兴趣和热情，精心设计每一堂课的每一个环节，增强师生情感交流，创造和谐的氛围，让学生在充满美的环境中接受数学美的的洗礼。
本人就这一方面略作探索：一、通过追求简洁美，寻求解题捷径简洁性是数学事实的简单明了表述，是数学事实对其简化形式的统一。
简洁性给人以精练、明快简捷、准确之美感。
有许多数学问题，其表面形式很复杂，但其本质总是存在简单的一面。
例１：已知方程（ａ２－２ｂ２）ｘ２＋（２ｂ２－２ｃ２）ｘ＋２ｃ２－ａ２＝０有两个相等实数根，求证：ａ２＝ｂ２＋ｃ２.析证这类问题一般是用判别式解证，运算繁琐，但经过观察可以发现方程各项系数和为零，从而可知方程的根有一根为1，又因为方程两根相等，故两根均为1，于是由韦达定理，得ａ２－２ｂ２＝２ｃ２－ｂ２→ａ２＝ｂ２＋ｃ２例1一举抓住了问题的关键，证明过程明快、流畅、简洁、彻底，能给人一种美的享受。
二、结构对称美，简化解题过程我们若用对称的观点审视数学，则发现具有对称美的数学内容比比皆是。
其对称式、对称图形、对称结构、对称变换等等无不显示数学美的魅力。
在数学解题过程中，数学对称美的体现能起到优化解题思路和简化解题过程的功效，也可以使学生思维的合理性得到培养和训练。
例２：⊙○的弦ｐｐ１ｑｑ１ｒｒ１两两相交于ａ、ｂ、c点，且ａｐ＝ｂｑ＝ｃｒ，ａｒ１＝ｂｐ１＝ｃｑ１，求证：△abc是正三角形。
证如图，设△abc三边长分别为x、y、z，ap=a,ar1=ｂ由相交弦定理，得a（x+b）=b（z+a）a（z+b）=b（y+a）a（y+b）=b（x+a）解得ｘ＝ｙ＝ｚ（仅当ａ＝ｂ时，有解）所以△ａｂｃ是正三角形。
此题的对称图形给我们以观赏美，而用对称性解题，可使我们在困惑中获得解题思路，真是美不胜收，其乐无穷。
三、运用相似美，探求解题思路数学的直觉判断往往开始于面临未能理解的数学对象关系和结构问题之时，当我们遇到一个陌生问题时，不妨观察外形和联想内在联系，将此陌生问题与熟知的“相似问题”进行类比，采用与此“相似问题”大致相同的方法，往往容易获解。
用数学美给力一道高考题的解答
中 点 ，并 建 立 关 系 式 ），最 后 得 到 最 简 结 果 为 定 值 1& 数 学 的 美 或 许 看 不 见 ，听 不 着 ，也 摸 不 到 .但 是 ，
数学美却实实在在的存在.爱因斯坦指出“美 ，本质上 终究是简单性&”“简单”也是数学美的本质.过程的 简单彰显数学的思想方法美，结果的简单突显数学的 形式(模型)结 构 美 ，两者的结合诠释了数学的简单 与 统 一 美 .让学生在解题中感受并欣赏到“数 学 美 ”， 有利于积淀学生数学建模和数学抽象的素养.
i《数学之友》 !
2017年 第 16期
用数学美给力一道高考题的解答
杨秀燕，张 薇 ,唐剑岚
(广西师范大学数学与统计学院，541004 )
数 学 家 罗 素 指 出 2 数 学 ，如 果 正 常 地 看 它 ，不 但拥有真理，而且也具有至高的美，正 如 雕 塑 的 美 ， 是一种冷而严肃的美&”数学家普洛克拉斯也说过： “哪 里 有 数 ，哪里就有美& >
基金项目％017年广西研究生教育创新计划项目（XFCS%2017073 )的部分成果.本文通讯作者:唐剑岚，)*+'@126& ,-.&
• 52 •
《数 学 之 友 》
2017年 第 16期
0 , 由 "# •$ % = 1 5 6 & ^
=&〇2 -(〇%，
P A C •$ # =4 & ) •& * =4( & 0 2 - F 0 2 ),
者的组合@相历来都是高考的一■道@胭风景线.本
题 的 数 学 美 不 仅 体 现 在 题 目 的 和 谐 形 式 ，更 加 体 现
解题中的数学美
31
解 题 中 的 数 学 美
新疆乌鲁木齐市八一中学 易南轩
在数学中, 一个对称的式子, 一个优美的图形, 都 能激起我们的美感. 当你从多角度审视、 用多种方法解 决一道数学题时, 这种 “殊途同归” 会使你为数学内部 知识结构的和谐而赞叹, 当你用一种简捷的方法解出 一道数学难题时, 你会有一种 “如释重负” 的轻松, 而后 所进行的反思回味, 会使你有如品味醇香美酒似的陶 醉! 当我们认识到数学是一个五彩缤纷的、 美的世界 时, 就可以改变对数学的成见, 极大地提高学习数学的 积极性. 因此, 在平时的教学中, 我们应注意挖掘数学 中美的因素, 培养学生的审美心理和数学美感. 比如, 在解数学题时, 应以审美的态度和意识去进行观察、 思 ( 考, 看能否运用美学的方法 简单性方法, 和谐性方法, 对称性方法, 相似性方法, 奇异性方法等) 来解决数学 问题. 本文对此略做探索. 一、 从整体代换和 “正难则反” 中实现简单美 简单性是数学美的基本内容之一. 法国哲学家狄 德罗说:“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问 题. 而美的解答是指一个复杂问题的简单解答. ” 我们 常说的解数学题时,“最简单的解法便是最优美的解 法” 的说法是与此相符的. 在某些数学计算中进行整体 代换, 从而使计算简化是常用的一种方法; 而有些数学 问题从正面思考很难解决, 若从反面考虑, 则问题可顺 利获解. 从中可体验数学的简单美. 1 1 2 1 例 1 已知复数 x = i, 求 6 + 4 + 2 x x x 2 - 1 2 1 - 5 i- 3 i 的值.
2Π 4Π 8Π 16Π + co s + co s + co s . 15 15 15 15 分析: 从式子的结构来看, 存在着内部和谐美 ( 角
数学之美数学解题策略培养
数学之美数学解题策略培养数学之美——数学解题策略培养数学是一门充满美感的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式。
在学习数学的过程中，我们需要培养解题的策略，这不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以提高我们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍一些数学解题策略的培养方法，希望对广大学生有所帮助。
一、建立概念框架解决任何一个数学问题，首先要明确问题的要求，并建立相应的概念框架。
比如，当我们遇到一个几何题时，我们要明确题目中所涉及的几何概念，如角、直线、平行线等。
通过建立概念框架，我们可以更好地理解问题，为下一步解题提供指引。
二、启发式解题启发式解题是指根据经验和直觉，通过灵活的思维方式快速找到问题的解决方法。
在数学解题中，我们可以运用一些启发式方法，如找特殊例、类比思维、反证法等。
这些方法可以帮助我们在解题过程中灵活地把握问题的本质，从而更高效地解决问题。
三、归纳与演绎归纳是从具体的实例中总结出普遍规律，演绎则是根据已知条件推出结论。
在数学解题中，我们常常需要通过归纳与演绎的方法来解决问题。
归纳可以帮助我们发现问题中的规律，演绎则可以帮助我们推导出结论。
通过不断地归纳与演绎，我们可以提高解题的准确性和速度。
四、建立数学模型建立数学模型是一种将实际问题转化为数学问题的方法，通过建立适当的公式或方程，实现对问题进行定量分析和求解。
在解决实际问题时，我们可以利用数学模型来描述和分析问题，从而找到问题的解决方法。
建立数学模型可以培养我们的抽象思维和应用能力。
五、注意数学证明在进行数学解题过程中，我们需要注重数学证明的能力培养。
数学证明是数学思维的核心，并且是数学解题的重要一步。
通过学习数学证明的方法和技巧，我们可以更好地理解和运用数学知识，提高解题的能力。
六、加强练习最后，解题策略的培养离不开大量的练习。
只有通过不断地实践和巩固，我们才能真正掌握解题的技巧和策略。
在学习数学时，我们要多做题、多思考，不断提高自己的解题能力。
_数学美_在高中数学解题中的运用
的过程中学生会感悟到：数学处处体现着简洁美，简洁美是
数学的一种追求。
二、运用和谐美—— —启迪解题思路
希腊数学家裴安认为：“和谐美是复杂的统一，是对立
的协调，经过数学变换出现了统一的均衡美。”用和谐美的
观点看，解题过程就是一个和谐地协调各种关系的过程，即
沟通已知与未知，条件与结论，部分与整体等对立面之间的
+
y2 z+2x
+
z2 x+2y
≥
1 3
，只要证 x2 y+2z
+
y2 z+2x
+
z2 x+2y
≥
x+y+z 3
即可.
因为 x＞0,y＞0,z＞0,所以由算术平均 - 几何平均不等
姨 式得 x2 y+2z
+
1 9
（y+2z）≥2
x2 y+2z
·19
(y+2z)
=
2 3
x
所以 x2 y+2z
≥
2 3
x-
D、G、K 共线，从而在矩形 ABCD 中，点 K 是过点 D 的 AF
的垂线与 AB 的交点，因此，由点 F 的变化不难得点 K 的变
化范围，可得
t
的取值范围是[
1 2
,1].
这种解法抓住了问题的本质，解题过程简洁、透彻，给
人一种美的享受。这种美感使学生体会到学习数学的乐趣，
从而激发学生学习的兴趣和探索新知的欲望。在数学学习
类处理，总结出解题规律，做到熟一题，通一类。
例：1.设双曲线
C
:
x2 a2
-
巧用数学对称美解题
争（ Ａ ＋ ＋ ＋≥ ・ ＋＋ Ａ Ａ 手 ）
例 ２试 比较 ２０￣ 与 ２０￣ 的大小． ０６￣ ０７ ７
分 析 这 两个数 都是 相 ３大的 ，直接 计算 不能进 － ＇ 行 比较 ． 不妨 先从 比较 小的数 开始探 究 ，如 １＜ 我们 ２
２ ， ２ ＜３ ， ３ ＞４ ， ４ ＞５ ３ ４ ５
， １＿Ｊ ‘
部分之 间的 匀称和 对等． 学上 常常表现为数 式或 在数 图形的对称 ，命题 或结构的对 偶或对应． 学解题 在数
过程 中，若能积极挖掘 问题 中隐含的对称性 ，巧妙地
（≥３ ｎ ）成立 据不等式 两边 的对称 结构可知 ，只要 艮
证明， ） 在 ≥３上为单调减 函数即可． （ ＝ 证明 因为 １ ２，３３，３ ４，４＞ ６，…， ２ ’ ＜ ４ ｓ ５，５ ＜ ２ ＞ ＞
、
巧 用数 式结构 对称 解题
证明当 ｎ 时 ， ‘１＿ Ｊ
成立 ． 造 函数 ， ： 构 （） 、 ，（） 令
数 式结构的对称 ，必将 蕴含 着解法 （ 证法 ）的对 称． ，具有相 同结构特征的数 式具有 同等 的地 位 ， 从而 处理的手法 『将相 同． 学中的对称 美的角度 出发 ， 必 从数 常能优化解题 思路和 简化解题 过程． 例 １已知 ｘｙｚａ 、Ｙ ∈ ＋ ＋＝ ， 、： Ｒ，求证 ： ２ ＋ Ｘ
几何 上平 面的情形 有直线 对称 （ 对称 ）和点 对称 轴 （ 中心对称 ） ；空间的情形 除了直线和点对称外 ，还有 平面对称 ． 正方体 、球 等都是点 、线、面的对称 图形． 在 处理几何 有关 问题 时，若能 充分 利 用图形的 对称
性 ，添加适 当的辅 助线或整体补形 ，能使解题过程大
怎样用数学美的思想指导学生解决数学问题
怎样用数学美的思想指导学生解决数学问题银川九中宁夏银川750011对数学美的欣赏、理解，是在数学问题的不断解决之中通过获得美的体验而感受到的。
因此，在发展逻辑思维的同时，用数学美的思想方法指导解题，可以培育数学的形象思维与直觉思维。
重要的是在解题过程中要自觉地、有意识地运用数学美的思维方法，并且在解题后要进行回顾与反思，从而加深对数学美的内涵理解。
①追求简单性，探索解题捷径较为复杂的数学问题，其本质总是存在简单的一面。
用分解、变换、降维、消元等转化策略，对要解决的问题实施简化处理。
【例1】求函数的最小值。
分析：一般解法是设，三个分解点，四个区间内分别进行讨论，然后确定最小值，这个方法太繁。
简单解法：由绝对值的意义可知，本题是求数轴上到三点的距离之和的最小值。
不妨设，如图5－8，用数轴上的点A,B,C分别表示a,b,c三个数。
图5－8显然，当X运动到B点时，到A,B,C三点的距离之和最小，即时，最小， .②运用逻辑美，深刻理解数学方法的内涵数学归纳法是中学数学论证问题最基本的方法。
一般学生认为，数学归纳法简单易学，并不去探究数学归纳法隐含的逻辑美。
在教学中有意识地去启发学生探索、发现逻辑美，会调动他们拓宽思路，开阔视野的思维方式。
【例2】设，求证 .证明：（1）当时，左边＝2，右边，，命题成立。
（2）假设时命题成立，即，那么当时，又由（1）（2）可知，对于的一切自然数，命题成立。
（本题在归纳假设的使用上，在过渡不等式的使用上，都体现了严密的逻辑性，要启发学生回顾反思，以加深对数学归纳法的理解。
）③运用统一性，化归转换问题前已述，数学的各部分，数学的运算系统，数学方法等是处于一个和谐的统一体中，所以数学问题在解决过程中，可以对其结构形式，运算方式等进行化归转换。
并能运用联想、类比、猜想等方法引申推广，发现新知识，形成问题链。
【例3】设，若，问当趋于无穷大时，将如何？分析：要直接用表示通项是有困难的。
为有“直观”能致知,“感知”引来简洁美——“数学美”解题教学策略探析
必须履实
质性的工作就是“感知”．
——为什么说“感知”是关键呢？
因为一旦感知了某种特征，我们就有了方向
——自然而简洁的求解方向．
以下以 2013 年高考全国卷填空把关题为例予以
说明．
例 1 （2013 年高考新课标卷Ⅰ·理 16）若函数 f (x) =(1− x2 )(x2 + ax + b) 的 图 象 关 于 直 线 x = −2 对
这样，我们就容易对问题的求解方向作感知， 这是突破解题“至高点”、引来解题“简洁美”的关键所 在！
（本文系“福建省教育科学“十三五”规划 2016 年度课题《提高高中数学教 学质量策略研究》（课题编号：FJJKXB16-510）的研究成果之一）
源于教材， 高于教材
——以一道圆锥曲线试题为例
仇文波 福建省泉州市惠安县第三中学（362100）
参考文献 [1]何晓禹，余继光．例谈数学运算中的“智慧点”[J]．数学教学，2015（9）： 27-29 [2]张小娟，余继光．养育中学生的数学抽象素养[J]．数学通讯，2016（7）： 4-8
为有“直观”能致知，“感知”引来简洁美
——“数学美”解题教学策略探析
吴金祥 1 林新建 2 1 福建省漳州市漳浦第一中学（363200） 2 福建省漳州市第一中学（363000）
因而，应对至高点的办法——主要不是抽象， 而是直观；主要不是逻辑推理，而是感知；主要不 是知识，而是常识；主要不是我们通过大量训练获 知的规律，而是数学活动的经验．
因此，问题的关键是：寻找一种办法，让问题 在“直观上变得显然起来”．
具体包括：从不同的视角理解题意，正如已知 条件是用文字叙述的，把它翻译成图表，理解起来 就容易得多；明确这道题的解题方向，因为解题思 路的产生更多的源于直觉，源于我们对这道题的直 观判断；预期这道题的最终结果，直观意义往往可 以超越逻辑步骤，捷足先登地直抵目标…等等．
初中数学美美问题教案
初中数学美美问题教案教学目标：1. 理解勾股定理的定义和证明过程；2. 能够运用勾股定理解决实际问题；3. 欣赏数学之美，培养学生的数学兴趣。
教学重点：1. 勾股定理的定义和证明；2. 勾股定理的应用。
教学难点：1. 勾股定理的证明过程；2. 运用勾股定理解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直角三角形的定义；2. 提问：直角三角形的两条直角边和斜边之间有什么关系？二、探究勾股定理（15分钟）1. 介绍勾股定理的背景和历史；2. 引导学生通过观察和实验，发现勾股定理；3. 讲解勾股定理的证明过程。
三、应用勾股定理（15分钟）1. 给出实际问题，让学生运用勾股定理解决；2. 引导学生总结运用勾股定理的方法和步骤；3. 让学生进行练习，巩固所学知识。
四、欣赏数学之美（5分钟）1. 引导学生欣赏勾股定理的美妙之处；2. 分享一些与勾股定理相关的数学故事和应用实例；3. 鼓励学生发现生活中的勾股定理。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结勾股定理的定义和应用；2. 引导学生反思自己在学习过程中的收获和不足；3. 鼓励学生继续探索数学之美。
教学评价：1. 课后作业：让学生完成一些与勾股定理相关的练习题；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度和理解程度；3. 学生反馈：收集学生对勾股定理的学习感受和意见。
教学反思：本节课通过引导学生探究勾股定理的定义和证明过程，让学生理解并掌握了勾股定理，并通过实际问题的解决，使学生能够将所学的知识运用到实际生活中。
在欣赏数学之美环节，学生能够发现和感受勾股定理的美妙之处，激发了对数学的兴趣。
但在教学过程中，也发现部分学生对勾股定理的证明过程理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对勾股定理有了较为全面的认识和掌握。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学美解题解题中的数学美泰州市朱庄中学王雄数学是一个五彩缤纷的美的世界，在解数学题时，应以审美的心态去观察，思考，看能否运用美学的方法—简单性方法、和谐性方法、对称性方法、相似性方法、奇异性方法等，来解决数学问题,本文对此略作探索。
一、简单美——从整体代换和正难则反中实现简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家地地碟狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。
”例1．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为m、n，记P＝m4+n4,q＝m3+n3,r＝m2+n2. 求aP+bq+cr的值。
分析：本题若用根与系数的关系m+n＝b/a,mn＝c/a,直接代入,运算非常复杂,若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。
解：由方程的定义，得am2+bm+c＝0, an2+bn+c＝0，则aP+bq+cr23＝ a (m 4+n 4)+b( m 3+n 3)+c (m 2+n 2)＝(a m 4+bm 3+c m 2)+(an 4+b n 3+c n 2)＝ m 2(a m 2+bm+c)+ n 2(a n 2+bn+c)＝m 2·0+n 2·0＝0例2． 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制，为了决定第一名，共需进行多少场比赛？分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。
例3 已知c b a ，求使得ca kc b ba14恒成立时k 的最大值分析：设m b a ；n c b 化简可得。
例4设a 、b 、c 为三角形三边，求证：))()((27)(3b a c a c b c b a c b a二、和谐美——从整体考虑和合理猜想中体现4希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。
”和谐化原则能帮助我们制定解题策略，为我们指明解题方向。
例1． 求证：2/1·5/4·8/7…(3n －1)/(3n －2)＞313 n (n 为正整数)。
分析：不等式左边的结构是有规律的，同时又似乎有点不完整，和谐化原则指引我们把 左边的结构补充完整。
解：设A ＝2/1·5/4·8/7·……·(3n －1)/(3n －2),B ＝3/2·6/5·9/8·……· 3n/(3n －1),C ＝4/3·7/6·10/9·……·(3n+1)/(3n),∵2/1＞3/2＞4/3＞0，5/4＞6/5＞7/6＞0， 8/7＞9/8＞10/9＞0，2313 n n ＞133 n n ＞nn 313 ＞0， ∴A ＞B ＞C ＞0.∴A 3＞ABC ＝2/1·3/2·4/3·5/4·6/5·7/6· · (3n5－1)/(3n －2) ·3n/(3n －1) ·(3n+1)/(3n)＝ 3n+1. ∴原不等式成立。
例2 证明：对于一切和为1的正数na a a a 321,,，不等式211212132222121a a a a a a a a a a a a n n nn n1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n A 1211232232122a a a a a a a a a a a a n nn n B0 B A再利用2)(222b a b a和A B A 2例4． 如图，△ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC ＝1，∠A ＝60°, ∠ABC ＝100°, ∠DEC ＝80°, 求S △ABC +2S △CDE . 分析：△ABC 和△CDE 都是一般的斜三角形，直接求面积很困难，注意到∠A ＝60°是一个特殊角，从和谐化的角度考虑，若把△ABC 整体补形为一个正三角形，问题则迎刃而解。
ABCDEF MEDCBA6解：以AC 为一边，∠A 为一内角作正三角形ACM,作∠MCB 的平分线交MB 于F 。
∵MC ＝AC, ∠MCF ＝∠ACB ＝20°, ∠M ＝∠A, ∴△MFC ≌△ABC.又∵△CD E ∽△CFB,CE ＝1/2CB, ∴S △CDE ＝1/4 S △CFB∴S △ABC +2S △CDE ＝S △ABC +1/2S △CFB ＝1/2S △ACM ＝3/8.三、对称美——从沟通信息和发掘内涵中揭示对称美的数学内容可谓比比皆是，在数学解题中，对称美的体现能收到优化解题过程的功效。
长期以来，人们对于对称性的理解往往仅局限于函数图象自身的对称性和不同函数图象之间的对称性，这大大缩小了对称性的外延。
其实，对称性应广义的理解为对称关系，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用它往往能更简捷地使问题得以解决。
本文阐述自己在这方面的思考与探索.1．利用对称的图形关系几何图形的对称性是一种美,但它所蕴涵的代数关系往往是问题解决的关键,也是形成奇思妙解的源泉.9.函数y＝11－x的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析函数y＝11－x＝－1x－1和y＝2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y＝11－x与y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象共有8个交点，不妨设78其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8. 答案 8例 1 在椭圆191622 y x 中,求以点)2,3(P 为中点的弦所在的直线方程.分析：按常规方法，设出过P 的点斜式方程，将它与椭圆方程联立，然后结合中点坐标公式、韦达定理求出斜率，进而求得直线方程.但如果注意到椭圆的对称性以及中点弦的对称性，则可以利用对称性构造关于中点的对称方程求解.先求出椭圆191622 y x 关于点)2,3(P 对称的椭圆方程19)4(16)6(22 y x ,然后将两椭圆方程相减,整理后可得所求直线方程: 01453227 y x .例2． 如图，P 为⊙O 的弦AB 的中点，过P 任作两条弦CD 、EF ，连结ED 、CF 分别交AB 于M 、N 。
求证：PM ＝PN 。
（蝴蝶定理）评述：本题给人以对称美的享受，七十年9代，美国一家数学杂志曾对此题进行有奖征答，涌现出多种证法，这里介绍本人的独特证法：证明：连接OP 、OM 、ON ，过O 作OG ⊥ED 、OH ⊥CF ，垂足分别为G 、H ，连接PG 、PH ， ∵PA ＝PB ，AB 不是⊙O 的直径， ∴OP ⊥AB∴O 、P 、M 、G 四点共圆，O 、P 、N 、H 四点共圆，∴∠EGP ＝∠MOP ，∠CHP ＝∠NOP 。
∵△PED ∽△PCF ，PG ，PH 是中线， ∴△PEG ∽△PCH 。
∴∠EGP ＝∠CHP ，∴∠MOP ＝∠NOP ，∴PM ＝PN 。
2．利用对称的结构关系数学问题常有对称的结构关系,如典型的轮换对称、和差对称、互倒对称、互余对称、共轭对称等，恰当的利用对称的结构关系不仅能提高解题速度，而且往往能以简驭繁，简缩思维，拓宽思路.例1． 化简))((c a b a bc ＋))((a b c b ca ＋))((b c a c ab的结果为＿。
（1991年第一届“希望杯”数学竞赛HG PN OFM C E DB A10试题）A. ))((2c a b a bcB. ))((2a b c b caC.))((2b c a c abD.0 分析：因原式是a 、b 、c 的对称式，故化简的结果也应是对称式，但选择支A 、B 、C 都不是对称式，因此选D 。
例2 已知a ＞0, b ＞0，且a ＋b ＝1，求(a＋a 1)(b ＋b1)的最小值. 分析：由题设条件可知 a 、b 具有对称性，因此猜想当a ＝b ＝21时，原式有最小值425，可考虑均值设元.解：设2121xb x a， (－21＜x ＜21) 则(a ＋a 1)(b ＋b1)＝242164162425x x x显然，当x ＝0时，可同时使分子取得最小值25和分母取得最大值4.因而，当a ＝b ＝21时，原式的最小值为425. 32a z a ay x例3 解关于z y x 、、的方程组:32b z b by x .32c z c cy x分析:本题可以运用消元法解，但运算量大，若注意到z y x 、、及c b a 、、的对称性，则可以这样求解：将c b a 、、看成未知系数，z y x 、、看作系数，那么c b a 、、就是方程023 x ym zm m 的根，由韦达定理可得：zc b a cabc xy ca bc ab ，则原方程的解为： )(ca bc ab yxabc cc b a z例4 求不定积分dx xx xcos sin sin 分析:本题乍一看不易下手,方法不当难以积分.但如果注意到正弦和余弦的对称性以及和式与差式的对称性,则可以化难为易,得到以下简洁美妙的解法. 由于xx xxx x xx xx cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin,令dxT x x xcos sin sin 1；dxT x x xcos sin cos 2；则 1cos sin cos cos sin sin 21c x dx dx dx T Tx x xx x x ，2cos sin )cos (sin cos sin sin cos sin cos 12|cos sin |ln C x x dx dx T T x x x x d x x xx x x ，联解以上两式得).)((|)cos sin |ln (2121211c c c c x x x T 其中. 3．利用对称的性质关系例4 求和：n n nnnnnC C C C C S 4321432分析：从结构上看，求和的各项是由等差数列的项与二项式系数的项合成，二项式系数的突出性质就是具有对称性，即k n nk nC C ，而等差数列的性质之一也是对称性，因此联想利用倒序相加法来解决不失为一种简便又巧妙的方法.设n nnnnnnnC C C C C G S 4321043210 ① 则构造010)1(nn n n n C C n nC S ②①+②得nn nN n n n n n n n n n C C C C n nC nC nC nC nC S 2)(22103210 ∴12 n n S .4．利用对称的位置关系当数学问题中的若干几何元素自身或这些几何元素都与同一几何元素存在对称的位置关系，则可以研究对称的几何元素寻找解题突破口，或可以研究其中一个几何量的性质，其它类比解决.11．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝2x 2＋4x ＋1，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________． 解析 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2ex ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2例5 设异面直线a 、b 成 60角，它们的公垂线段为EF ，且|EF|=2，线段|AB|=4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动，求AB 的中点P 的轨迹. 分析：由于异面直线a 、b 和两端点A 、B 的地位都 E A 相等，由位置的对称性知P 点的轨迹必在过EF的中点O ， o P A a 且与a 、b 平行的平面 内.故取EF 的中点O,过O 作a a // , B bb b // ,则b a ,确定平面 ,EF ⊥ ,且A 、B 在 内的射影A 、 F B B 分别在b a 、上，而且由对称性知AB 的中点P 必在B A上，由|EF|=2，|AB|=4可得32|| B A . y在平面 内以B O A 的平分线为x 轴，为原点建立直 A角坐标系.令m A O ||,n B O ||,在B O A 中1222mn n m . O P x设点P 的坐标为),(y x ,则有)(223n m x , )(221n m y , B解得y m x 232 ， y n x 232 ， 消去n m 、可得1292 y x . 5．利用对称的数量关系当数学问题中的若干元素（或若干情形）具有对称的数量关系时，由此出发构建解题思路，往往可化繁为简，化难为易.例 6 由0，1，2……9组成无重复数字的6位数，个位数比十位数大的6位数有多少个？分析:若从个位数字进行考虑,就得按0，1，2……9进行分类讨论,则问题较为繁杂.注意到任意一个个位数比十位数大的6位数,交换个位与十位后就得到十位数比个位数大的6位数,反之亦然,依此“对称性”知所求为6位数总数的一半,即 )9(5921A 68040个.例7 已知 、、、均为锐角，且满足1cos cos cos 222 ，求证：29sin 1sin 1sin 1222.分析:由对称性知当 32222sin sin sin时等号成立,于是:34sin 9sin 122； 34sin 9sin 122；34sin 9sin 122，将三式相加得94)sin sin (sin9sin 1sin 1sin 1222222，即94)]cos cos (cos 3[9sin 1sin 1sin 1222222，故29sin 1sin 1sin 1222. 6．利用对称的置换关系当数学对象的若干量存在特定的数量关系时，则可以通过这种对称的置换关系，获得其余量的特征.这大大减少了运算环节,降低了思维难度.例8 已知函数ax x x f 2)(的图象关于直线0 y x 对称，定义数列 n a ，使得a a 1，),(12a f a ……，)(1n n a f a .(1)求数列 na 的通项； （2）求证：11i ni i a a <8.分析：解决本题的出发点在于求出参数a .由于函数ax xx f 2)(的图象关于直线0 y x 对称，因此可以进行以下置换:用 x换y ,用y 换x ,得到解析式: ay y x)(2.即2x ax y ,于是得2 a (其余略).评注:中学数学中有一个典型的置换,当几何图象关于直线b x y 对称时,其代数表达式则满足这样的置换关系: 用 b x 换y ,用b y 换x .例9 已知椭圆16222 y x 的内接PAB 的顶点P 的坐标为)3,1(，若APB 的平分线垂直于x 轴，求AB 边的斜率.分析:由平面几何知识知，直线PA 、PB 的倾斜角互补，其斜率互为相反数.设直线PA 的斜率为k ,将其方程3)1( x k y 代入椭圆16222y x 方程.可求得点B 的坐标为)33363,3332(2222 k k k k k k 求A 点的坐标时,无须将直线PA 的方程代入椭圆,只须以k 置换点B 坐标中的k ,即可得点A 的坐标)33363,3332(2222k k k k k k,所以3AB AB ABx x y y k.7．利用对称的变换关系中学数学问题有四类典型的对称变换，即点关于点的对称；点关于线的对称，线关于点的对称；线关于线的对称.这些对称变换一般利用中点公式、垂直关系，结合韦达定理则可以顺利解决.例10 已知椭圆C 的方程为16222 y x ，试确定m 的取值范围，使得对直线m x y L 4:，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:本题是一道典型的点关于直线对称的变换,需要抓住中点公式、垂直关系，结合韦达定理求解.故设C 上),(11y x A 、),(22y x B 两点关于直线m x y 4对称，AB 的中点为),(0y x .由于L AB ,可设直线AB 的方程为: b x y 41.由 m x y 4 得0481681322 b bx x16222 y x则: )4816(1346422 b b >0; 134221b x x x ; b b x y 13120410∴213 <b <213, ① AB 的中点为),(1312134b b 在直线L 上.∴m b b 13161312, 即134b m ,代入①得 13132<b <13132. 评注:本题还可以将),(11y x A 、),(22y x B 两点代入直线方程,利用两式相减求解,但都要注意使用设而不求的转换策略.四、相似美——从直觉判断和类比中发现数学直觉判断，往往给予面临未能理解的数学对象或关系、结构的问题。