主成分分析法

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19.主成分分析法

19.主成分分析法一、方法介绍基本思路：主成分分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标，同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来指标的信息。

这种将多个指标化为少数互相无关的综合指标的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析。

主成分分析的基本思想就是，设法将原来众多具有一定相关性的指标（比如P 个指标），重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来指标。

最经典的方法就是用F 1的方差来表达，即 V ar (F 1)越大，表示F 1包含的信息越多。

理论模型：设有n 个样品，每个样品观测p 项指标（变量）：X 1，X 2，．．．，Ｘp ，得到原始数据资料阵：()111121,,....p P n np x x X X X X x x ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭（1）其中，123.....i ii i x x X x ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭i=1，．．．，p用数据矩阵X 的p 个向量(即p 个指标向量)X 1，．．．，Xp 作线形组合（即综合指标向量）为：11112121212122221122p P p P P P P pP P F a X a X a X F a X a X a X F a X a X a X =+++⎧⎫⎪⎪=+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=+++⎩⎭（2）简写成1122i i i pi P F a X a X a X =+++ i=1，．．．，p （3）（注意：Xi 是n 维向量，所以Fi 也是n 维向量。

）上述方程要求：121i i pi a a a ++= i=1,．．．，p （4）且系数a ij 由下列原则决定：（1）F i 与F j （i ≠j ，i ，j=1，…，p ）不相关；（2）F 1是X 1，．．．，Ｘp 的一切线性组合（系数满足上述方程组）中方差最大的，F 2是与F 1不相关的X 1，．．．，Ｘp 的一切线性组合中方差最大的，…，F p 是与其他都不相关的X 1，．．．，Ｘp 的一切线性组合中方差最大的。

主成分分析法

主成分分析法什么事主成分分析法:主成分分析（principal components analysis , PCA 又称：主分量分析，主成分回归分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标（称为第一主成分）上，第二大方差在第二个坐标（第二主成分）上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

主成分分析的基本思想：在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。

科普效果是很难具体量化的。

在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。

如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。

因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。

根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。

主成分分析法概念及例题

主成分分析法概念及例题 Ting Bao was revised on January 6, 20021主成分分析法主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法目录[]o[]什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多转化为少数几个综合指标。

在中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

[]主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的反映的信息在一定程度上有重叠。

在用研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行的过程中，涉及的变量较少，得到的较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。

科普效果是很难具体量化的。

在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。

如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。

因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。

根据这一点，通过对原始变量相关内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。

(完整版)主成分分析法的步骤和原理

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。

[2]采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。

（二）主成分分析法代数模型假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。

设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。

对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X pZ 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p…… …… ……Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2 ……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。

（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m ×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。

第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。

第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R ，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。

其中，R ij （i ，j=1，2，…，p ）为原始变量X i 与X j 的相关系数。

主成分分析法

主成分分析法1. 主成份分析：主成份分析是最经典的基于线性分类的分类系统。

这个分类系统的最⼤特点就是利⽤线性拟合的思路把分布在多个维度的⾼维数据投射到⼏个轴上。

如果每个样本只有两个数据变量，这种拟合就是其中和分别是样本的两个变量，⽽和则被称为loading,计算出的P值就被称为主成份。

实际上，当⼀个样本只有两个变量的时候，主成份分析本质上就是做⼀个线性回归。

公式本质上就是⼀条直线。

插⼊⼀幅图（主成份坐标旋转图，来⾃：PLS⼯具箱参考⼿册）如果⼀个样本有n个变量，那主成份就变为：其中PC1 称为第⼀主成份，⽽且，我们还可以获得⼀系列与PC这个直线正交的其它轴，如：被称为第⼆主成份以此类推，若令，此时向量A称为主成份的载荷(loading)，计算出的主成份的值PC称为得分(score)。

1. 主成份分析举例作为⼀个典型的降维⽅法，主成份分析在数据降维⽅⾯⾮常有⽤,⽽且也是所有线性降维⽅法的基础。

很多时候，如果我们拿着⼀个⾮常复杂的数据不知所措的话，可以先考虑⽤主成份分析的⽅法对其进⾏分解，找出数据当中的种种趋势。

在这⾥，我们利⽤数据挖掘研究当中⾮常常见的⼀个数据集对主成份分析的使⽤举例如下：1996年，美国时代周刊（Times）发表了⼀篇关于酒类消费，⼼脏病发病率和平均预期寿命之间关系的科普⽂章，当中提到了10个国家的烈酒，葡萄酒和啤酒的⼈均消费量（升/年）与⼈均预期寿命（年）⼀级⼼脏病发病率（百万⼈/年）的数据，这些数据单位不⼀，⽽且数据与数据之间仅有间接关系。

因此直接相关分析不能获得重要且有趣的结果。

另外⼀⽅⾯，总共只有10个国家作为样本，各种常见的抽样和假设检验在这⽅⾯也没有⽤武之地，我们看看⽤何种⽅法能够从这个简单的数据表中获得重要知识作为数据挖掘的第⼀步，⾸先应该观察数据的总体分布情况。

⽆论是EXCEL软件，还是R语⾔，我们都能够很⽅便的从下表中获得表征数据分布的条形图。

从图中可以看出，总共10个国家，有5类数据，由于各类数据性质各不相同，因此数值上⼤⼩也很不相同。

主成分分析方法

主成分分析方法在经济问题的研究中，我们常常会遇到影响此问题的很多变量，这些变量多且又有一定的相关性，因此我们希望从中综合出一些主要的指标，这些指标所包含的信息量又很多。

这些特点，使我们在研究复杂的问题时，容易抓住主要矛盾。

那么怎样找综合指标？主成分分析是将原来众多具有一定相关性的指标重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来指标的统计方法,也是数学上处理降维的一种方法. 一. 主成分分析法简介主成分分析是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法，又称主分量分析。

在实际问题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。

但是，在用统计分析方法研究这个多变量的课题时，变量个数太多就会增加课题的复杂性。

人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。

在很多情形，变量之间是有一定的相关关系的，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。

主成分分析是对于原先提出的所有变量，建立尽可能少的新变量，使得这些新变量是两两不相关的，而且这些新变量在反映问题的信息方面尽可能保持原有的信息。

信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。

主成分分析的基础思想是将数据原来的p 个指标作线性组合,作为新的综合指标(P F F F ,,,21 )。

其中1F 是“信息最多”的指标，即原指标所有线性组合中使)var(1F 最大的组合对应的指标，称为第一主成分；2F 为除1F 外信息最多的指标，即0),cov(21 F F 且)var(2F 最大，称为第二主成分；依次类推。

易知P F F F ,,,21 互不相关且方差递减。

实际处理中一般只选取前几个最大的主成分（总贡献率达到85%），达到了降维的目的。

主成分的几何意义：设有n 个样品，每个样品有两个观测变量,,21X X 二维平面的散点图。

n 个样本点，无论沿着1X 轴方向还是2X 轴方向，都有较大的离散性，其离散程度可以用1X 或2X 的方差表示。

主成分分析法的原理和步骤

主成分分析法的原理和步骤主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，它通过线性变换将高维数据转换为低维数据，从而实现降维和数据可视化。

PCA的基本思想是通过选取少数几个主成分，将原始变量的方差最大化，以便保留大部分的样本信息。

下面我将详细介绍PCA的原理和步骤。

一、主成分分析的原理主成分分析的核心原理是将n维的数据通过线性变换转换为k维数据（k<n），这k维数据是原始数据最具有代表性的几个维度。

主成分是原始数据在新坐标系中的方向，其方向与样本散布区域最大的方向一致，而且不同主成分之间互不相关。

也就是说，新的坐标系是通过原始数据的协方差矩阵的特征值分解得到的。

具体来说，假设我们有一个m个样本、维度为n的数据集X，其中每个样本为一个n维向量，可以表示为X=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{m} \right )。

我们的目标是找到一组正交的基变量（即主成分）U=\left ( u_{1},u_{2},...,u_{n} \right )，使得原始数据集在这组基变量上的投影方差最大。

通过对协方差矩阵的特征值分解，可以得到主成分对应的特征向量，也就是新的基变量。

二、主成分分析的步骤主成分分析的具体步骤如下：1. 标准化数据：对于每一维度的数据，将其减去均值，然后除以标准差，从而使得数据具有零均值和单位方差。

标准化数据是为了消除不同维度上的量纲差异，确保各维度对结果的影响是相等的。

2. 计算协方差矩阵：对标准化后的数据集X，计算其协方差矩阵C。

协方差矩阵的元素c_{ij}表示第i维度与第j维度之间的协方差，可以用以下公式表示：\[c_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^{m}\left ( x_{ik}-\bar{X_{i}} \right )\left( x_{jk}-\bar{X_{j}} \right )}{m-1}\]其中，\bar{X_{i}}表示第i维度的平均值。

主成分分析法

四、主成份分析法旳环节
1）数据归一化处理：数据原则化（Z） 2）Βιβλιοθήκη 算有关系数矩阵R： 3）计算特征值；
特征值越大阐明主要程度越大。
4）计算主成份贡献率及方差旳合计贡献率； 5）计算主成份载荷与特征向量：
主成份旳负荷值大小反应了主成份因子对可测变量旳影响程度；载荷值越大阐明此变量对主成份旳解释越多，及贡献越大。
• 因子分析优点：第一它不是对原有变量旳取舍，而是根据原始变量旳信息进行重新组合，找出影响变量旳共同因子，化简数据；第二，它经过旋转使得因子变量更具有可解释性，命名清楚性高。缺陷：在计算因子得分时，采用旳是最小二乘法，此法有时可能会失效。
总之，主成份分析是因子分析旳一种特例。
谢谢观看！
旋转后旳主成份因子载荷矩阵
景区满意度旋转前后成份矩阵图对比
5、碎石图分析
选用主成份旳个数，急转处是拟定主成份旳个数处。
景区满意度碎石图
八、与因子分析法旳区别
1、基本概念
➢ 主成份分析就是将多项指标转化为少数几项综合指标,用综合指标来解释多变量旳方差- 协方差构造。综合指标即为主成份。所得出旳少数几种主成份，要尽量多地保存原始变量旳信息，且彼此不有关。
注意：进行主成份旳变量之间必须要有有关性，经过分析后变量之间独立。
二、主成份分析法基本原理
主成份分析就是设法将原来众多具有一定有关性旳变量(如p个变量)，重新组合成一组新旳相互无关旳综合变量来替代原来变量。怎么处理？
一般数学上旳处理就是将原来p个变量作线性组合作为新旳综合变量。怎样选择？
假如将选用旳第一种线性组合即第一种综合变量记为F1，自然希望F1尽量多旳反应原来变量旳信息。怎样反应?

主成分分析方法

主成分分析方法主成分分析方法是常用的一种统计分析方法,主要用于进行数据压缩或减少数据的维数[2]。

它是对一组相关的变量进行线性变换,得到一组维数不变但彼此互不相关的变量,亦即一组主成分。

由于各主成分是不相关的,因此可以认为它们是一组独立变量。

一般图像的线性变换可用下式表示:Y=TX (1)式中:X为待变换图像数据矩阵,Y为变换后的数据矩阵;T为实现这一线性变换的变换矩阵。

如果变换矩阵T是正交矩阵,并且它是由原始图像数据矩阵X的协方差矩阵S的特征向量所组成,则(1)式的线性变换称为主成分分析,并且变换后的数据矩阵的每一行矢量为主成分分析的一个主成分。

主成分分析的优点是消除了波段间的相互关系,减少了各波段提供信息的交叉和冗余,有利于分析。

同时,在分析过程中得到主要波段的合理权重,具有很好的客观性。

主成分分析法的主要步骤如下:(1)根据原始图像数据矩阵X,求出它的协方差矩阵S 以矩阵的形式表示多波段图像的原始数据如下:X=x11x12,x1nx21x22,x2ns s s sxn1xn1,xnn=[xij]m@n(2)矩阵X中,m,n分别为波段数和每幅图像中的像元数,矩阵中的每一行矢量表示一个波段的图像。

矩阵X的协方差矩阵S为:S=1n[X-Xl][X-Xl]T(3)式中:l=[1 1 , 1]1@n(4)X=[x1 x2 , x3]T(5)xi=1nEnk=1xik(第i波段的均值) (6)(2)求协方差矩阵S的特征值Ki和特征向量Ui,并组成变换矩阵T 求解特征方程(KI-S)U=0; 然后将特征值Ki按由小到大的顺序排列,求出对应特征值的单位特征向量Ui,以Ui为列构成矩阵U,U矩阵的转置矩阵,即UT为所求的变换矩阵T。

经过主成分变换后得到的新变量的各个行向量依次被称为第一主成分、第二主成分,,第m主成分,这时将新变量恢复为二维图像,便得到m个主成分图像。

主成分分析法

4，主成分分析法主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一种统计方法。

通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。

主成分分析首先是由K.皮尔森（Karl Pearson）对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。

信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。

②主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清楚、确切，这是变量降维过程中不得不付出的代价。

因此，提取的主成分个数m通常应明显小于原始变量个数p（除非p本身较小），否则维数降低的“利”可能抵不过主成分含义不如原始变量清楚的“弊”。

③当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。

4.4主成分分析法的运用叶晓枫，王志良,【2】在介绍主成分分析方法的基本思想及计算方法基础上,对水资源调配评价指标进行了降维计算. 结果显示筛选出的指标对原指标具有较好的代表性,简化了水资源评价问题的难度。

傅湘，纪昌明【3】，针对模糊综合评判法在综合评价中存在的主观随意性问题，提出采用主成分分析法进行区域水资源承载能力综合评价。

对各区域的灌溉率、水资源利用率、水资源开发程度、供水模数、需水模数、人均供水量和生态环境用水率达七个主要因索进行了分析；根据主成分分析法的原理，运用少数几个新的综合指标对原来的七个指标所包含的信息进行最佳综合与简化，研究其在各区域水资源开发利用过程中的不同贡献及综合效应。

周莨棋，徐向阳等【4】，针对传统主成分分析法用于水资源综合评价中存在一些问题，包括指标评价中的“线性”问题、无法体现评价指标主观重要性以及评价范围无法确定。

进行了改进，采用改进的极差正规方法对数据进行规格化，用规格化后的数据加入了主观重要性权进行协方差计算，对协方差特征向量采用正负理想点进行检验。

陈腊娇，冯利华等【5】，将主成分分析方法引入到水资源承载力研究中，并以浙江省为例，在现有资料的基础上，利用主成分分析的方法，定量分析影响水资源承载力变化的最主要的驱动因子。

主成分分析法简介

主成份分析法（Principal Component Analysis,PCA ）也称主分量分析或矩阵数据分析，是统计分析常用的一种重要的方法，在系统评价、质量管理和发展对策等许多方面都有应用。

它利用数理统计方法找出系统中的主要因素和各因素之间的相互关系，由于系统地相互关系性，当出现异常情况时或对系统进行分析时，抓住几个主要参数的状态，就能把握系统的全局，这几个参数放映了问题的综合的指标，也就是系统的主要因素。

主成分分析法是一种把系统的多个变量转化为较少的几个综合指标的统计分析方法，因而可将多变量的高维空间转化为低维的综合指标问题，能放映系统信息量最大的综合指标为第一主成分，其次为第二主成分。

主成分的个数一般按需放映的全部信息的百分比来决定，几个主成分之间是互不相关的。

主成分分析法的主要作用是：发现隐含于系统内部的结构，找出存在于原有各变量之间的内在联系，并简化变量；对变量样本进行分类，根据指标的得分值在指标轴空间进行分类处理。

主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X 1，X 2，…，X P （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标F m 来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量X P 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

设F 1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即11112121...p p F a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F 1)越大，表示F 1包含的信息越多。

常常希望第一主成分F 1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F 11应该是X 1，X 2，…，X P 的所有线性组合中方差最大的，故称F 1为第一主成分。

如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F 2，为有效地反映原信息，F 1已有的信息就不需要再出现在F 2中，即F 2与F 1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F 1, F 2)=0，所以F 2是与F 1不相关的X 1，X 2，…，X P 的所有线性组合中方差最大的，故称F 2为第二主成分，依此类推构造出的F 1、F 2、……、F m 为原变量指标X 1，X 2，…，X P 第一、第二、……、第m 个主成分。

主成分分析法(论文)

主成分分析法(论文)摘要：本文介绍主成分分析法（PCA）的基本原理、数学模型、以及应用领域，详细阐述了PCA在多变量统计分析、图像处理、模式识别等领域中的应用。

通过实例分析，展示了PCA在数据降维、去噪、特征提取等方面的应用优势。

最后，对PCA的优缺点进行了总结，展望了其未来的研究方向。

关键词：主成分分析；多变量统计分析；图像处理；模式识别1. 简介主成分分析法（PCA）是一种常用的数据分析方法，它是对多个相关性较高的变量进行线性组合，得到一组无关的新变量，这些新变量称为主成分。

主成分是原变量的线性组合，具有较强的统计意义，能够反映出原变量的主要信息，同时可以用较少的变量来描述原数据。

因此，PCA被广泛应用于多变量统计分析、图像处理、模式识别等领域。

2. 基本原理PCA的核心思想是将原始数据转化成一组线性不相关的主成分，即通过正交变换将原数据转化成具有更好的可解释性和更小的冗余性的形式。

这种变换的基本思路是将原始数据进行协方差矩阵分解，使得矩阵的特征向量可以表示出新的主成分，特征值可以表示出每个主成分的贡献率。

假设原数据为一个m维随机向量X，每一维的方差为σ1^2, σ2^2, ..., σm^2，协方差矩阵为C。

则PCA的目标是寻找一个线性变换矩阵W，使得变换后的数据Y=WX具有以下特征：- Y的各维度变量之间彼此独立- Y的第一维度变量拥有最大的方差，并且是C的最大特征值所对应的特征向量- Y的第二维度变量拥有次大的方差，并且是C中第二大特征值所对应的特征向量- 以此类推，Y的每一维度变量都是协方差矩阵C对应的特征向量3. 数学模型对于一个具有n个样本和m个特征的数据集，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征，则PCA的数学模型可以表示为以下步骤：1. 标准化数据：对每个特征进行标准化处理，即将每个特征的均值设为0，方差为1，使得不同特征之间具有可比性。

2. 计算协方差矩阵：计算数据集的协方差矩阵C，即其中x为m维列向量，X为n*m的数据矩阵，XT为X的转置。

主成分分析法

人均GDP→ x1 第二产业增加值比重→ x3 第三产业从业人员比重→ x5 城市化水平→ x7
人均第三产业增加值→ x2 第三产业增加值比重→ x4 第三产业固定资产投资比重→ x6
2、计算各指标之间的相关系数矩阵
x1
x2
Rij
x3 x4
x5
x6
x7
x1
x2
1 0.988
0.988 1
0.339 0.241
216.39 291.52 225.25 196.37 226.51 217.09 181.38 194.04 188.09 211.55 220.91 242.16 193.46 228.44 175.23 236.29
8.128 8.135 18.352 16.861 18.279 19.793 4.005 9.11 19.409 11.102 4.383 10.706 11.419 9.521 18.106 26.724
3.5 主成分分析法
本节主要内容：
❖ 主成分分析的基本原理 ❖ 主成分分析的计算步骤 ❖ 主成分分析方法应用实例 ❖ 主成分分析方法的SPSS实现
主成分分析法
概念：把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，是一种降维处理技术.
一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简5 5.176 5.643 4.881 4.066 4.484 5.721 3.133 4.615 6.053 6.442 7.881 5.789 7.162
0.011 0.012 0.034 0.055 0.076 0.001 0.015 0.002 5.055 0.01 0.011 0.154 0.012 0.069 0.048 0.092

主成分分析法原理简介

主成分分析法原理简介1.什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，是揭示大样本、多变量数据或样本之间内在关系的一种方法，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标，降低观测空间的维数，以获取最主要的信息。

在统计学中，主成分分析（principal components analysis, PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

2.主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

对同一个体进行多项观察时必定涉及多个随机变量X1，X2，…，X p，它们之间都存在着相关性，一时难以综合。

这时就需要借助主成分分析来概括诸多信息的主要方面。

我们希望有一个或几个较好的综合指标来概括信息，而且希望综合指标互相独立地各代表某一方面的性质。

任何一个度量指标的好坏除了可靠、真实之外，还必须能充分反映个体间的变异。

如果有一项指标，不同个体的取值都大同小异，那么该指标不能用来区分不同的个体。

由这一点来看，一项指标在个体间的变异越大越好。

主成分分析的方法

主成分分析的方法
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的降维方法，通过线性变换将原始数据投影到一个新的空间中，使得数据在新的空间中的最大方差出现在第一个主成分上，第二大方差出现在第二个主成分上，以此类推。

这样可以保留较多的原始数据信息，同时减少数据的维度。

主成分分析的方法可以简洁地总结为以下几个步骤：
1. 标准化数据：将原始数据进行标准化处理，使得各个特征具有相同的尺度。

2. 计算协方差矩阵：计算标准化后的数据各个特征之间的协方差矩阵。

3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4. 选择主成分数量：根据特征值的大小选择主成分的数量，通常选择特征值大于某个阈值的主成分。

5. 构造变换矩阵：将特征值较大的特征向量作为基向量构造出变换矩阵，以实现数据的降维。

6. 数据投影：将原始数据通过变换矩阵进行投影，得到降维后的数据。

主成分分析的目标是选择能够最大程度保留原始数据信息的主成分，这可以通过保留最大方差或者最小重构误差来衡量。

主成分分析在数据预处理、特征提取和可视化等领域有广泛的应用。

主成分分析法原理

主成分分析法原理主成分分析法（PrincipalComponentAnalysis，PCA）是一种常用的数据处理技术，可以将一组多变量的原始数据转换成一组较少数量的新变量，称为主成分，从而简化数据分析。

这一技术源自统计学，研究发展至今已被应用于各种领域，如医学、社会学、金融学、物理科学和经济学等。

本文将就主成分分析法原理及其应用展开讨论。

一、主成分分析法原理主成分分析法是一种经验模型，它的设计目的是从一组变量中找出其中存在的潜在的结构，以最大限度的信息内容和最小的变量数量保存在一起，特别是对于那种变量数量多于样本数量的情况。

主成分分析法的基本过程是，先从多个变量中提取出一组新的解释变量，称为主成分；然后通过把原始变量转换成主成分来进行数据处理；最后，把主成分转换回原变量，完成数据的分析和处理。

主成分分析法的基本原理是通过找到一组新的变量，构成一组独立的“基”，并通过线性组合的方式，把原始变量转换成一组新的变量。

这些新变量有一定的排列性质，彼此之间是线性相关的，而且排列顺序也有一定的规律，显示出原始数据中存在的内在结构特征。

主成分分析法属于一类称为“特征处理”的数据处理技术，其主要优势在于能将原始数据中存在的内在结构和特征得以保留，同时又可以使用更少的变量来描述原始数据。

因此，主成分分析法可以有效地减少数据量，同时又将原始变量的信息保留得更完整。

二、主成分分析法的应用由于主成分分析法能够从大量的原始变量中提取出相对少量的有效变量，因此应用较为广泛，常被用于预测、统计分析以及图像处理等方面。

在预测中，主成分分析法常常被用于构建预测模型，它可以有效地减少变量数量，同时又保留原始变量中存在的重要特征，使得预测精度有了极大的提升。

在统计分析中，主成分分析法可以对多元数据进行深入的统计分析，通过构建一组新变量从而解决原始数据中变量之间存在的多重关联性问题。

在图像处理方面，主成分分析法也有较多应用，它可以把图像中的像素替换为一组主要成分，使得图像更容易储存、处理和传输。