运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题

，
x1 x2 2 x y1 y2 2 y
又
2 2 y1 x1 y x 2 2 1 ， 75 25 1 75 25
2 2
两式相减得 25( y1 y2 )( y1 y2 ) 75( x1 x2 )(x1 x2 ) 0

即 y( y1 y 2 ) 3x( x1 x2 ) 0
， 1 k AB
，
a2 1 a 2 c ，（4） c
y1 y2 2b2 2 x1 x2 a
2
a 2 2b 2 （3）
a b c
2 2
2
，（， 5）由（3），（4），（5）可得
x2 y 2 1 1 1 2 4
，
.
a2
1 2 1 ,b 2 4 ，
课堂小结
1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明 快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明 显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利 于培养学生的解题能力和解题兴趣。
2.弦中点问题的两种处理方法
（1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理；
（2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率 和弦的中点坐标（点差法）。
，且
x12 y12 2 1 2 a b
，（1）
1 x1 x2 1, y1 y2 2 x2 2 y2 2 2 1 ，（2） 2 a b
2 2 2 2 2 2 b x x y y b x x y y 1 2 1 2 1 2 得：1 2 2 1 2 2 x x a2 y y a 2 11 1 2 1 2 a b
2
16 4 2 9 56 0
直线 l 与双曲线没有交点
1 ) 为弦的中点的直线不存 以 N (1， 在. 2
二、例题讲解
y2 x2 1 ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 例3、已知椭圆 75 25
解：设弦端点 P( x1 , y1 ) Q( x2 , y 2 ) ，弦 PQ 的中点 M ( x, y) ，则
2
2
B （x2 , y2）
o
M
A （ x1 , x
y1）
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程. 二、例题讲解 解法一：
韦达定理→斜率 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
例1：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.
2 1
2
M
2
o
. . N
2
x
2
点差法
直线 AB 的方程为：y 1 1 ( x 1) 即 x 2 y 1 0 . 2
二、例题讲解
(2) 假设过 N 的直线交双曲线于 C( x1 ， y1 ) ， D( x2 ， y2 ) ，则 2 x1 y12 1 相减 4 2 y1 y2 1 x1 x2 1 xN 1 即 kCD 1， 2 x x 2 y y 2 2 y 1 2 1 2 N x2 y2 1 y 4 2 1 此时直线 l 的方程为：y x 1 2 2 1 即y x ，代入双曲线方程并整理，得 M. .N 2 2 2 o 2 x 2x 4x 9 0
x2 y2 例2 已知双曲线方程： 1 4 2 （1）过 M （1 ， 1）的直线交双曲线于 A、B 两点，
二、例题讲解
若 M 为弦 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
1 （2）是否存在直线l，使 N 1， 为 l 被双曲线所截弦的中点， 2 y 若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由。
二、例题讲解
点
2 2 x 4 y 1 1 16 2 2 x 4 y 2 2 16
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率．
小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法
1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决. 2.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解 因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.
设 A( x1 ， y1) ， B( x2 ， y2) ，则 ( x1 x2) 解：
x y12 1 相减 4 2 y1 y2 1 x1 x2 x x 2 y y 2 x2 y2 2 1 2 1 2 1 4 2 1 xM k AB 1 即 kAB 1 ， 2 2 2 yM
作业：
已知椭圆x2+2y2=2,
1 ）平分的弦所在直线方程； (1)求被点P（ 1 , 2 2 (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹。 (3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨 迹。
抛物线y=x2-2x+2与直线y=mx交于P1、P2两
点 (1)求线段P1P2中点Q的轨迹方程； (2)0≤x≤2求线段P1P2中点Q的最高点和最低点 坐标。
运用点差法巧解圆锥曲线的
中点弦问题
高中数学教师欧阳文丰制作
、
导 言
圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法 灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆 锥曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧， 简便易行的优点。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 A( x1 , y1 )
y0
x1 x2
y
5 3
5 3
二、例题讲解
x 1 例4 ，有一条倾斜角为 的直线交椭圆于A、B两点，若AB的 1 1 4 中点为C , ，则求椭圆的方程。 2 4
x2 y 2 已知椭圆 a 2 b2 1 a b 0 的一条准线方程是
解 设 A x1, y1 、B x2 , y2 ，则
y y2 k 1 3 x1 x2
由 x y 0 5 ，得 P( 2 2
x y 5 3 5 3 1 x y 0( x ) 75 25 弦中点的轨迹方程为： 2 2
、

，即 y1 y 2 3x
3x 3 ，即 x y
3 5 3 Q( , ) , ) 2 2 2 2
B( x2 , y2 )，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到
一个与弦的Leabharlann Baidu点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。 我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一.问题引入
x y 过椭圆 1 内一点 M (2,1) 引一 16 4 条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在
直线的方程．
y

所求椭圆方程为
二、例题讲解
三、变式练习
2．已知抛物线 y2＝6x，过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰好被 点 P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
注：凡关于中点弦和弦中点的问题，可采用点差法求解。
三、变式练习
【解析】 设直线上任意一点坐标为(x， y)， 弦两端点 P1(x1， y1)， P2(x2，y2)． 2 ∵P1，P2 在抛物线上，∴y2 ＝ 6 x ， y 1 1 2＝6x2.两式相减，得(y1＋ y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)． ∵y1＋y2＝2， y1－y2 6 ∴k＝ ＝ ＝3， x1－x2 y1＋y2 ∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)，即 3x－y－11＝0. 2 y ＝6x， 由 得 y2－2y－22＝0， y＝3x－11， ∴y1＋y2＝2，y1· y2＝－22. 1 2 2 230 ∴|P1P2|＝ 1＋ 2 －4×－22＝ . 9 3