第五章整数规划PPT课件
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问题是完成工序 B 只能从两种方式中任选一种， 如何将这两个互斥的约束条件统一在一个线性规划 模型中呢？
2021/2/12
11
例3、模型
引入 0-1 变量
0 若工序 B 采用方式（1）完成 y1 = 1 若工序 B 不采用方式（1）完成 y2 = 0 若工序 B 采用方式（2）完成
1 若工序 B 不采用方式（2）完成
5.1c
x1, x2 ,, xn中部分或全部取整数 5.1d
2021/2/12
3
整数规划问题的类型
纯整数线性规划(pure integer linear programming) ——全部决策变量都必须取整数值。
混合整数线性规划(mixed integer linear programming) ——决策变量中一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值。
10
xi 5
i 1
x1 x8 1
x7 x8 1 x3 x5 1
x4
x5
1
x5 x6 x7 x8 2
i 1,…,10
2021/2/12
10
例3、应用 0-1 变量解决含互斥约束条件问题
设：工序 B 有两种方式完成
方式（1）的工时约束: 0.3X1 + 0.5X2 ≤ 150 方式（2）的工时约束: 0.2X1 + 0.4X2 ≤ 120
广告方式
电视台
广告费（万元）
40
潜在顾客数（万人） 40
报纸 15 20
杂志 20 25
电台 10 10
2021/2/12
5
例1、 模型 设：xi（i = 1,2,3,4）—— 表示 4 种广告方式。
xi =
1 选择第 i 种广告方式 0 不选择第 i 种广告方式
Max Z = 40x1 + 20x2 + 25x3 + 10x4 40x1 + 15x2 + 20x3 + 10x4 ≤ 50 x1 ，x2 ，x3 ，x4 = 0 或 1
于是前面两个互斥的约束条件可以统一为如下三个约束条件： 0.3X1 + 0.5X2 ≤ 150 + M1y1 0.2X1 + 0.4X2 ≤ 120 + M2y2 y1 + y2 = 1
其中 M1 ，M2 都是足够大的正数。
2021/2/12
12
例4．固定费用问题
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产 品生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划， 使总收益最大。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 资源量
A
2
4
8
500
B
2
3
4
300
C
1
2
3
单件可变费用 4
5
6
固定费用 100 150 200
单件售价 2021/2/12
8
10 12
100
13
解：设xj为第j种产品的生产数量，j=1,2,3；
1 当生产第 j种产品, 即 xj＞ 0 时 yj = 0 当不生产第 j种产品即 xj = 0 时 引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，
0-1型整数线性规划(zero-one integer linear
programming)
——决策变量只能取值0 或 1。
2021/2/12
4
整数规划问题实例
例1、 某公司准备投资 50 万元为其产品做广告， 广告代理商给公司的有关广告方式的费用和其 效果情况如下表，公司面临的管理决策问题是 广告总费用不超过 50 万元的基础上选择哪些 广告方式，使得潜在顾客数尽可能地多。
2021/2/12
2
一、整数规划的数学模型及解的特点
整数线性规划数学模型的一般形式
整数规划（IP）
松弛问题
整数线性规划（ILP）的数学模型：
∑n
max（或min）z = c j x j
5.1a
∑n
j =1
aij x j ≤（或 = ，≥）bi i 1，2，，m 5.1b
st.
j =1
xj 0
j 1，2，，n
①或选择S1和S7，或选择S8； ②选择了S3或S4就不能选S5，反之，选了S5， 则不能选S3或S4； ③在S5~S8中最多选两个。 建立这个问题的0-1型整数规划模型
2021/2/12
9
解：令
xi
1 0
不选选择择钻钻探探SiS井i井位位（i＝1，…，10）
10
max z ci xi
i 1
2021/2/12
7
例2、模型 设：
Ai =
1 选择 Ai 建立门市 0 不选择 Ai 建立门市
Max
Z = ∑ ci Ai
∑ bi Ai
≤B
A1 + A2 + A3
≤2
A4 + A5
≥1
A6 + A7 ≥ 1
Ai = 0 或 1 ，（i = 1，2，3，4，5，6，7）
2021/2/12
8
例 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中 确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。 若10个井位的代号为S1…S10，相应的钻探费用 为c1…c10，并且井位选择上要满足下列限制条 件：
2021/2/12
xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3 14
例5、人员时间安排
某航空公司希望更有效地安排售票员的工作 时间，以减少工资支出。每个售票员上班后将连 续工作8个小时，但并非每时每刻都有一样多的 顾客，因此，适当地将一天分成8个时段，每个 时段2小时（假定每天的8：00 至24：00 为售票 工作时间）。应该如何计划每个时段初的上班售 票员人数，才能使一天雇佣的售票员总人数最少？
2021/2/12
6
例2、某公司在城市的东、西、南三区建立门市部。 拟议中有7个位置（地点）Ai（i=1，2，…，7） 可供选择。公司规定：
在东区，由 A1，A2，A3 三个点中至多选两个； 在南区，由 A4，A5 两个点中至少选一个； 在西区，由 A6，A7 两个点中至少选一个。 如果选用 Ai 点，设备投资估计为 bi 元，每年 可获利润估计为 ci 元，但投资总额不能超过 B 元。 问公司选择哪几个点可使年总利润最大？
整 数 规划
(Integer Programming)
整数规划的模型
分支定界法
0－1 整数规划
指派问题
2021/2/12
1
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问 题要求决策变量只能取整数值而非连续取值。 此时，这类最优化模型就称为整数规划（离散 最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多， 而且，一般来说不能简单地将相应的线性规划的 解取整来获得。
以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3
来自百度文库
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300
x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大
2021/2/12
11
例3、模型
引入 0-1 变量
0 若工序 B 采用方式（1）完成 y1 = 1 若工序 B 不采用方式（1）完成 y2 = 0 若工序 B 采用方式（2）完成
1 若工序 B 不采用方式（2）完成
5.1c
x1, x2 ,, xn中部分或全部取整数 5.1d
2021/2/12
3
整数规划问题的类型
纯整数线性规划(pure integer linear programming) ——全部决策变量都必须取整数值。
混合整数线性规划(mixed integer linear programming) ——决策变量中一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值。
10
xi 5
i 1
x1 x8 1
x7 x8 1 x3 x5 1
x4
x5
1
x5 x6 x7 x8 2
i 1,…,10
2021/2/12
10
例3、应用 0-1 变量解决含互斥约束条件问题
设：工序 B 有两种方式完成
方式（1）的工时约束: 0.3X1 + 0.5X2 ≤ 150 方式（2）的工时约束: 0.2X1 + 0.4X2 ≤ 120
广告方式
电视台
广告费（万元）
40
潜在顾客数（万人） 40
报纸 15 20
杂志 20 25
电台 10 10
2021/2/12
5
例1、 模型 设：xi（i = 1,2,3,4）—— 表示 4 种广告方式。
xi =
1 选择第 i 种广告方式 0 不选择第 i 种广告方式
Max Z = 40x1 + 20x2 + 25x3 + 10x4 40x1 + 15x2 + 20x3 + 10x4 ≤ 50 x1 ，x2 ，x3 ，x4 = 0 或 1
于是前面两个互斥的约束条件可以统一为如下三个约束条件： 0.3X1 + 0.5X2 ≤ 150 + M1y1 0.2X1 + 0.4X2 ≤ 120 + M2y2 y1 + y2 = 1
其中 M1 ，M2 都是足够大的正数。
2021/2/12
12
例4．固定费用问题
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产 品生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划， 使总收益最大。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 资源量
A
2
4
8
500
B
2
3
4
300
C
1
2
3
单件可变费用 4
5
6
固定费用 100 150 200
单件售价 2021/2/12
8
10 12
100
13
解：设xj为第j种产品的生产数量，j=1,2,3；
1 当生产第 j种产品, 即 xj＞ 0 时 yj = 0 当不生产第 j种产品即 xj = 0 时 引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，
0-1型整数线性规划(zero-one integer linear
programming)
——决策变量只能取值0 或 1。
2021/2/12
4
整数规划问题实例
例1、 某公司准备投资 50 万元为其产品做广告， 广告代理商给公司的有关广告方式的费用和其 效果情况如下表，公司面临的管理决策问题是 广告总费用不超过 50 万元的基础上选择哪些 广告方式，使得潜在顾客数尽可能地多。
2021/2/12
2
一、整数规划的数学模型及解的特点
整数线性规划数学模型的一般形式
整数规划（IP）
松弛问题
整数线性规划（ILP）的数学模型：
∑n
max（或min）z = c j x j
5.1a
∑n
j =1
aij x j ≤（或 = ，≥）bi i 1，2，，m 5.1b
st.
j =1
xj 0
j 1，2，，n
①或选择S1和S7，或选择S8； ②选择了S3或S4就不能选S5，反之，选了S5， 则不能选S3或S4； ③在S5~S8中最多选两个。 建立这个问题的0-1型整数规划模型
2021/2/12
9
解：令
xi
1 0
不选选择择钻钻探探SiS井i井位位（i＝1，…，10）
10
max z ci xi
i 1
2021/2/12
7
例2、模型 设：
Ai =
1 选择 Ai 建立门市 0 不选择 Ai 建立门市
Max
Z = ∑ ci Ai
∑ bi Ai
≤B
A1 + A2 + A3
≤2
A4 + A5
≥1
A6 + A7 ≥ 1
Ai = 0 或 1 ，（i = 1，2，3，4，5，6，7）
2021/2/12
8
例 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中 确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。 若10个井位的代号为S1…S10，相应的钻探费用 为c1…c10，并且井位选择上要满足下列限制条 件：
2021/2/12
xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3 14
例5、人员时间安排
某航空公司希望更有效地安排售票员的工作 时间，以减少工资支出。每个售票员上班后将连 续工作8个小时，但并非每时每刻都有一样多的 顾客，因此，适当地将一天分成8个时段，每个 时段2小时（假定每天的8：00 至24：00 为售票 工作时间）。应该如何计划每个时段初的上班售 票员人数，才能使一天雇佣的售票员总人数最少？
2021/2/12
6
例2、某公司在城市的东、西、南三区建立门市部。 拟议中有7个位置（地点）Ai（i=1，2，…，7） 可供选择。公司规定：
在东区，由 A1，A2，A3 三个点中至多选两个； 在南区，由 A4，A5 两个点中至少选一个； 在西区，由 A6，A7 两个点中至少选一个。 如果选用 Ai 点，设备投资估计为 bi 元，每年 可获利润估计为 ci 元，但投资总额不能超过 B 元。 问公司选择哪几个点可使年总利润最大？
整 数 规划
(Integer Programming)
整数规划的模型
分支定界法
0－1 整数规划
指派问题
2021/2/12
1
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问 题要求决策变量只能取整数值而非连续取值。 此时，这类最优化模型就称为整数规划（离散 最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多， 而且，一般来说不能简单地将相应的线性规划的 解取整来获得。
以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3
来自百度文库
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300
x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大