管理运筹学讲义：运讲义输问题
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管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
【定理 3】m+n － 1 个变量组构成基变量的充要条件 是它不包含任何闭回路。
定理 3 告诉了一个求基变量的简单方法，同时 也可以判断一组变量是否可以作为某个运输问题的 基变量。这种方法是直接在运价表中进行的，不需 要在系数矩阵 A 中去寻找，从而给运输问题求初始 基可行解带来极大的方便。
例 3-3 ： m=3,n=4 ，在运价表 Cij 的格子的右上 方填上相应的xij，如表3-5所示。
表3－4 B1 B2 x12 B3
A1
A2 A3 A4
x11
x11 , x41 , x43 , x33 , x32 , x12
例如变量组 A x21 , x22 , x33 , x31 , x11 , x12 ;
x32
x33 x43
x41
A不能组成一条闭回路，但A中包含有闭回路
B的变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
…
B1 x11 x21 c11 c21
B2 x12 x22
…
Bn x1n x2n c1n c2n
产量 a1 a2
…
c12
c22
Am 销量
xm1 b1
cm1
xm2 b2
cm2 …
xmn bn
cmn
am
设xij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)为第i个产地到 第j个销地的运量，产销平衡运输问题的数学模型为：
（2）所有结构约束条件都是等式约束 （3）各产地产量之和等于各销地销量之和
（4)运输问题约束条件的系数矩阵特点
管理运筹学之第七章 运输问题
销 地
B1 3 3 1 7 3
B2 11 4 9 2 4 6 2
B3 3 2 2 10 3 5 3
B4 10 8 5 6 6
产量 7 4 4 2 9 6 20|20
产
费
地
A1 A2 A3
销量
最小元素法
运
销 地
B1 3 1 3 7 3
B2 11 9 4 6 6
B3 3 4 2 1 10 5 4
B4 10 3 8 5 3 6 3
运
费
地
A1
销 地
B1
B2
B3
产量（件）
4000 1500
产
X11 X21 3000
X12 X22 1000
X13 X33 2000
A2
销 量
B1的供应量可0-200吨， B2的需要量应最大限度的满足， B3的供应量不少于1700吨，怎样调运？
运
费
销
B11
B12
B2
B31
1.75 1.70 M
1700
A1 A2 A3
销量
运 产
费
地
销 地
B1 3 0
B2 11 2
B3 3 5
B4 10 2
产量 7
A1
A2
A3 销量
1 3
7 9 3
9 2
4 6 6
2 1
10 11 5
8 1
5 3 6
4
9 20|20
若有某个检验数为零，则有多个最优解。 运
销 地
B1 3 2 1 1 7 3
B2 11 9 4 6 6
Ⅳ2 16 16 M 0 50
产量 50 60 50 50
B1 3 3 1 7 3
B2 11 4 9 2 4 6 2
B3 3 2 2 10 3 5 3
B4 10 8 5 6 6
产量 7 4 4 2 9 6 20|20
产
费
地
A1 A2 A3
销量
最小元素法
运
销 地
B1 3 1 3 7 3
B2 11 9 4 6 6
B3 3 4 2 1 10 5 4
B4 10 3 8 5 3 6 3
运
费
地
A1
销 地
B1
B2
B3
产量（件）
4000 1500
产
X11 X21 3000
X12 X22 1000
X13 X33 2000
A2
销 量
B1的供应量可0-200吨， B2的需要量应最大限度的满足， B3的供应量不少于1700吨，怎样调运？
运
费
销
B11
B12
B2
B31
1.75 1.70 M
1700
A1 A2 A3
销量
运 产
费
地
销 地
B1 3 0
B2 11 2
B3 3 5
B4 10 2
产量 7
A1
A2
A3 销量
1 3
7 9 3
9 2
4 6 6
2 1
10 11 5
8 1
5 3 6
4
9 20|20
若有某个检验数为零，则有多个最优解。 运
销 地
B1 3 2 1 1 7 3
B2 11 9 4 6 6
Ⅳ2 16 16 M 0 50
产量 50 60 50 50
管理运筹学讲义运输问题
管理运筹学讲义运输问题引言在现代社会，运输问题是管理运筹学中的一个重要问题。
无论是物流行业还是供应链管理，运输问题都是必不可少的一环。
运输问题的解决可以帮助企业有效地规划和管理物流流程，降低运输成本，提高运输效率。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，包括问题的定义、数学模型、常用的解决方法以及在实际应用中的案例分析。
运输问题的定义在管理运筹学中，运输问题是指在给定的供应点和需求点之间，如何分配物品的问题。
通常，问题的目标是找到一种分配方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以抽象成一个图模型，其中供应点和需求点之间的路径表示运输线路，路径上的边表示运输的数量和成本。
每个供应点和需求点都有一个需求量或供应量。
问题的目标是找到一种分配方案，使得满足所有需求量的同时最小化总运输成本。
数学模型运输问题可以用线性规划来建模。
假设有m个供应点和n个需求点，每个供应点的供应量为si，每个需求点的需求量为dj。
定义xij为从供应点i到需求点j 的运输量，则运输问题的数学模型可以形式化表示为如下线性规划问题：minimize ∑(i=1 to m)∑(j=1 to n) cij * xijsubject to∑(j=1 to n) xij = si, for all i = 1,2,...,m∑(i=1 to m) xij = dj, for all j = 1,2,...,nxij >= 0, for all i = 1,2,...,m and j = 1,2,...,n其中cij表示从供应点i到需求点j的运输成本。
解决方法针对运输问题，常用的解决方法有以下几种：1. 单纯形法单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法。
对于运输问题，可以通过将其转化为标准的线性规划问题，然后使用单纯形法来求解最优解。
2. 匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的图论算法，可以用于解决运输问题。
算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来寻找最大匹配。
《管理运筹学》02-7运输问题
在运输问题中，混合整数规划可以处理更为复 杂的约束条件和多阶段决策过程。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
3管理运筹学讲义：运输问题
ui
0 -1 -3
2
3 0 2 2 3 3
1
9
7
7 10 1
2
vj
6
5
2
5
• 非基变量x12的检验数12= c12 –u1– v2 =-2，即让非基变量x12从0增到 1，可使总运费减少2个单位。
14
SHUFE
第二节 表上作业法
三、改进的方法（闭回路调整法）
• 确定进基变量 • 确定离基变量
非基变量xlk进基之后，能让它的运量增加多少呢？ 就要求它所在行和列的运量保持产销平衡。 保持产销平衡的方法是闭回路法。 闭回路法：以进基变量xlk所在格为始点和终点，其余顶点均为基变量 的封闭回路。 闭回路的画法：从进基变量xlk所在格开始，用水平或垂直线向前划， 每碰到一个基变量格转90º ，继续前进，直到返回始点。 奇偶点： 始点是偶点，依次奇偶相间标注；偶点标“+” ，表示运量 增加量；奇点标“-” ，表示运量减少量。 调整量：最小可减少的运量，即奇点运量的最小值。 奇点运量的最小值所在格的基变量离基。
15
检查非基变量xij的检验数ij ，按 min{ij| ij <0}= lk 确定xlk进基。
SHUFE
第二节 表上作业法
产地 A1 销地 6 B1 B2 3 2 B3 5 1 2 B4 产量 5
-2
+ x12
5 2 8 9
A2 A3
销量
7 3
4
2
2 3
+0
2
-3
3
7
1 4
x12 进基 最小调整量为2， x11 离基
• 表上作业法适合于产销平衡的运输问题 • 求解步骤：
运筹学之运输问题
§3.2 运输问题的数学模型
例：某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、 B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 产量 6 200 5 300 200 总产量=总销量
-------1 2 50 100
销点
2 ----150 0 3 ----0 200
-----
此运输问题的成本或收益为: 2500
§3.3运输问题的基本特点
◆一般运输问题的基本特点： （1）有多个产地和多个销地； （2）每个产地的产量不同，每个销地的销量也不同； （3）各产销两地之间的运价不同； （4）如何组织调运，在满足供应和需求的前提下使总运输费 用（或里程、时间等）最小。 ◆运输问题的数学模型的系数矩阵的基本特点： （1）共有m+n行，分别表示各产地和销地；m，n列，分别表 示各决策变量； （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题的数学模型
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
S . t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 最优解如下 x12 + x22 = 150 起 至 x13 + x23 = 200 发点 1 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
运输问题模型的应用
（1）产销平衡的运输问题； （2）产销不平衡的运输问题； （3）有条件的产销不平衡的运输问题； （4）生产与库存应用问题； （5）货物转运问题； （6）航运调度问题； „„
运输问题(运筹学教学)演示课件.ppt
精选课件
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
管理运筹学04运输问题
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
7
•- •+
A2 3
1
4
•-
•+
A3 + (10) 6
•-
3
9
销量 3
65
6
20
2024/3/29
闭合回路法求检验数
产
销地
产
地
B1
B2
B3
B4
量
A1 (1)
(2)
4
3
7
A2
3 (1)
1 (-1)
4
A3 (10)
6 (12)
3
9
销量
3
6
5
6 20
2024/3/29
例4-1(伏格尔法)
产
销
地
产
地 B1
(6)
销量
3
6
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
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6 20
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
7
•- •+
A2 3
1
4
•-
•+
A3 + (10) 6
•-
3
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销量 3
65
6
20
2024/3/29
闭合回路法求检验数
产
销地
产
地
B1
B2
B3
B4
量
A1 (1)
(2)
4
3
7
A2
3 (1)
1 (-1)
4
A3 (10)
6 (12)
3
9
销量
3
6
5
6 20
2024/3/29
例4-1(伏格尔法)
产
销
地
产
地 B1
(6)
销量
3
6
管理运筹学第三章运输问题
供 = 5 应 地 = 2 约 = 3 束 = 2 = 3 需 求 = 1 地 = 4 约 束 ≥ 0
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 一、西北角法 （梯形下降）
运价 收点
（元/吨）
B1 B2 B3 B4
4 18 30 0 14 4 4
发量 （吨）
4
0 0 0
发点
A1
2
12 5 20 25
10
015 4 20
4
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 初始解： 初始值：
X12=4吨 • S0=4×12+4×10+1×25+6×15 X14=4吨 • +4×14+1×18 X22=1吨 X23=6吨 •=48+40+25+90+56+18 X31=4吨 X32=1吨 • =277元<329元（起点优于西北角法） 变量个数=行数加列数减1 20吨
发量 5 （吨）
3 1 0《产大于需》增加源自5虚拟收点B1 B2 B3 B4 B
2 1
（元/吨）
4
A1 A2 A3
收 量（吨）
2 10 7
0
311
3
2 4
4
3 9 3 2 6 0
0 7 0 5 0 7
0
2
0
3 8
0
5 1
3 0
2 4
0
2
3
4
19
初 始 可 行 解 ： 初 始 值 ： S0=22+41+04+33+92+14 C 23 X11=2吨 +23=45元 C12 X14=1吨 =11-4+9-3>0； = 5-9+2-1=C 25 C13 3 X15=4吨 C 21 X22=3吨 =3-4+2-1=0 C31 ； = 0-0+4-9=5 C 32 C 35 X24=2吨 Cij C25 5； X25 进基 X33=4吨 =10-2+4-9>0； =7-2+4-2>0 X34=3吨
(运筹学课件运输问题-)资料讲解
x21
xБайду номын сангаас2
x23
300
150 150 200
500
从上表可写出此问题的数学模型。
满足产地产量的约束条件为： x11 + x12 + x13 = 200，
x21 + x22 + x23 = 300. 满足销地销量的约束条件为：
x11 + x21 = 200， x12 + x22 = 300， x13 + x23 = 200.
30 10 50
产量
50 60 50 50 210 210
输入“管理运筹学软件”即可得到最优调运 方案如下（注：表中的M我们只要输入一个足够 大的正数如10 000即可）
运
输
量
产
地
A
销
地 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ
50
Ⅲ Ⅳ’ Ⅳ’’ 产量 50
B
20
10 30 60
C
30 20 0
50
D
30
20 50
销量
月份 1 2 3 4 5 6
正常生产 能力
（台） 60
50
90
100
100
80
加班生产 能力
（台） 10
10
20
40
40
40
销量 （台）
104 75 115 160 103 70
单台费用 （万元）
15 14 13.5 13 13 13.5
解：这是一个生产储存问题，可以 化为运输问题来做。根据已知条件可列出 产销平衡与运价表，制定此表主要考虑如 下条件：
为了给出一般运输问题的线性规划的模
型，我们将使用以下的一些符号：
第五章 运输问题(运筹学讲义)
Minimize Cost = 464x11 +513x12 + 654x13 +867x14 +352x21 + 416x22 +690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34 subject to 罐头厂 1: x11 + x12 + x13 + x14 = 75 罐头厂 2: x21 + x22 + x23 + x24 = 125 罐头厂 3: x31 + x32 + x33 + x34 = 100 仓库 1: x11 + x21 + x31 = 80 仓库 2: x12 + x22 + x32 = 65 仓库 3: x13 + x23 + x33 = 70 仓库 4: x14 + x24 + x34 = 85 xij ≥ 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4)
2
bj
列差值
4
2
3
3
8
b1 ＝50 ＞ a2 ＝48
差值法例 P58
增加行差值和列差值
B1
A1 6 9
B2
B3 12 7
B4
ai
60
行差值 1
1 A2 5 A3
3
6
1
(42)
1 3 4
0
(25)
8 30 25 45
48
23
2
bj
列差值
1
8
9
3
0
a3 ＝48 ＞ b3 ＝25
运筹学讲义_2运输问题
结束
换基
图 2.1.1
由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些 有利条件。人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问题的表上作业法。
下面主要讨论运输问题的一些性质基本可行解、检验数以及基的转换等问题。
§1.2 运输问题数学模型解的性质
定理 2.1.1 产销平衡运输问题（2.1.2）必有可行解，也必有最优解.
示产地 Ai 的产量； d j 表示销地 B j 的销量； Cij 表示把物资从产地 Ai
位运价。如果
运往销地 B j 的单
m
n
åSi = åd j
i=1
j =1
则称该运输问题为产销平衡的运输问题；否则，称为产销不平衡的运输问题。
表 2.1.3
销
产
地
地
B1
A1
C 11
A2
┋
Am
销量
C 21
┋
C m1
平衡的运输问题其约束条件为：
mn
åå min f =
Cij xij
i =1 j =1
（2.1.1）
å ì n
ï
x ij
= Si (i = 1,2,Lm)
ï j=1
å ïï n
s.t í
x ij
= d j ( j = 1,2,Ln)
ï i=1
ï ï
x ij
³
0(i
= 1,2,Lm;
j
= 1,2,Ln)
im + n -1 jm + n-1
为对应的基矩阵，
则
x = it jt
det Bt det B
(t =1, 2 , … , m+n-1)
管理运筹学讲义第3章运输问题
为水平的，或为垂直的； • ② 闭回路的每一条边（水平的或垂直的）均有 且仅有两个顶点（基变量格）。
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
运筹学课件第5章运输问题
总运数满列2=(8或 1m=(8所 1去 =88AA4,2+=,4mm费2ABi-,去 在 所321;字足×29n-B8iiA131,,×4{nnBB=需3产所 列 在a4141,3{{6或需134212281=4剩求))量在 列;,++02,格 格b8A1求去B,15余13481满供行;21×填 填A2}}6满所余×==}供足需应;11=入 入88B足1余4在4,,1,应完求40+将 将+划数 数2,还-12划6,8毕量已6将×去×字 字=需-2,
工地
A B C D E F
余缺表
出发 到达
3
0
6
4
0
6
4
8
8
0
0
3
余缺
-3 -2 6 4 -8 3
以余缺为供需的运输问题 最优调度方案
A B E余
ABE余
C 2 1.5 2 6 D 2.5 1.2 2.5 4 F 3 3 1.5 3 缺3 2 8
C3 36
D
22 4
F
33
缺328
2024年8月8日星期四
2024年8月8日星期四
管理运筹学课件
5.2.4 如何找多个最优方案
2024年8月8日星期四
管理运筹学课件
5.4 应用举例
由于运输问题模型简捷，求解方便，可将一 些非地理问题转换为地理问题。
案例5-1 生产计划问题 案例5-2 空车调度问题 案例5-3 转运问题
2024年8月8日星期四
管理运筹学课件
初始方案数字填充原则：
(1) 当需求量已满足，则划去该销地列，产地行的可供量= 原可供量-填充数字；
(2) 若产量已供应完毕，则划去该产地行，销地列的需求 量=原需求量-填充数字；
工地
A B C D E F
余缺表
出发 到达
3
0
6
4
0
6
4
8
8
0
0
3
余缺
-3 -2 6 4 -8 3
以余缺为供需的运输问题 最优调度方案
A B E余
ABE余
C 2 1.5 2 6 D 2.5 1.2 2.5 4 F 3 3 1.5 3 缺3 2 8
C3 36
D
22 4
F
33
缺328
2024年8月8日星期四
2024年8月8日星期四
管理运筹学课件
5.2.4 如何找多个最优方案
2024年8月8日星期四
管理运筹学课件
5.4 应用举例
由于运输问题模型简捷，求解方便，可将一 些非地理问题转换为地理问题。
案例5-1 生产计划问题 案例5-2 空车调度问题 案例5-3 转运问题
2024年8月8日星期四
管理运筹学课件
初始方案数字填充原则：
(1) 当需求量已满足，则划去该销地列，产地行的可供量= 原可供量-填充数字；
(2) 若产量已供应完毕，则划去该产地行，销地列的需求 量=原需求量-填充数字；
运输问题(管理运筹学教材)
B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 650 产量 200 300 500
A1 A2 销量
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 250
B2 4 5 0 200
B3 6 5 0 200
产量 200 300 150 650 650
6
运 筹 学
§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例4、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤 石家庄北方研究院有一、 三三个区。每年分别需要用煤3000、1000、 石家庄北方研究院有一 、 、 2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应 吨 由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。 能力分别为1500、4000吨，运价为： 能力分别为 、 吨 运价为：
运
筹
学
运 筹 学
第七章
运 输 问 题
§1 §2 §3 §4*
运 输 模 型 运输问题的计算机求解 运输问题的应用 运输问题的表上作业法
2
运 筹 学
§1 运 输 模 型
例1、某公司从两个产地 1、A2将物品运往三个销地 1、B2、B3，各产地的产 某公司从两个产地A 将物品运往三个销地B 某公司从两个产地 各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示， 量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？ 如何调运可使总运输费用最小？
m n
Min
f = ∑ ∑ cij xij
i=1 n j=1
s.t.
∑ xij = si i = 1,2,…,m
j=1 m
∑ xij = dj j = 1,2,…,n
A1 A2 销量
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 250
B2 4 5 0 200
B3 6 5 0 200
产量 200 300 150 650 650
6
运 筹 学
§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例4、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤 石家庄北方研究院有一、 三三个区。每年分别需要用煤3000、1000、 石家庄北方研究院有一 、 、 2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应 吨 由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。 能力分别为1500、4000吨，运价为： 能力分别为 、 吨 运价为：
运
筹
学
运 筹 学
第七章
运 输 问 题
§1 §2 §3 §4*
运 输 模 型 运输问题的计算机求解 运输问题的应用 运输问题的表上作业法
2
运 筹 学
§1 运 输 模 型
例1、某公司从两个产地 1、A2将物品运往三个销地 1、B2、B3，各产地的产 某公司从两个产地A 将物品运往三个销地B 某公司从两个产地 各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示， 量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？ 如何调运可使总运输费用最小？
m n
Min
f = ∑ ∑ cij xij
i=1 n j=1
s.t.
∑ xij = si i = 1,2,…,m
j=1 m
∑ xij = dj j = 1,2,…,n
《运筹学》第三章运输问题
Vogel近似法
考虑运输成本差异， 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础， 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。
管理运筹学 第3章 运输问题
销地
产量
产地
B1
B2
B3
B4
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量
20
3
6
5
6
20
这是一个产销平衡的运输问题，因此不需要再设假想产地和 销地了。
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
3
销量
0
B2
B3
4
1
6
6
5
0
4
0
B4
产量
3
7 30
4 10
3
9 30
6
3
20
0
20
二、最优解的判别
1.闭回路法
所谓闭回路是在已给出的调运方案的运输表上从一个代表 非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，只有遇 到代表基变量的填入数字的格才能向左或右转90度（当 然也可以不改变方向）继续前进，这样继续下去，直至 回到出发的那个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。 一个空格存在唯一的闭回路。
所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的空格（其调运量 为零），把它的调运量调整为1，由于产销平衡的要求,我们 必须对这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或减少1。最后 我们计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来的变 化。如果所有代表非基变量的空格的检验数也即非基变量的 检验数都大于等于零，则已求得最优解，否则继续迭代找出 最优解。
闭回路法所谓闭回路是在已给出的调运方案的运输表上从一个代表非基变量的空格出发沿水平或垂直方向前进只有遇到代表基变量的填入数字的格才能向左或右转90度当然也可以不改变方向继续前进这样继续下去直至回到出发的那个空格由此形成的封闭折线叫做闭回路