第8节 子群的陪集
子群的陪集教案
h H ，也就是说 b ~ a ，
b a
定义 1： 由上面的等价关系 ~ 所决定的类叫做子群 H 的右陪集，包含元 a 的右陪集用符号 Ha 表示。 由引理 1 右陪集既是等价类，又是子集的乘法 aH ， 有等价类的性质可以推出右陪集的一些性质 （1） Ha Hb ab H （2） b Ha Ha Hb （3） He H
Ha Hb ab1 H ba 1 H a 1H b1H
所以 是一个单射。证毕 定义 3：一个群 G 的一个子群 H 的右陪集（或左陪 集）的个数叫做 H 在 G 里的指数。 4．拉格朗日定理 定理 2 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群， 那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并 且 N nj 证明：G 的阶 N 既是有限， H 的阶 n 和指数 j 也都 是有限正整数。 G 的 N 个元被分成 j 个右陪集，而 且由引理，每一个右陪集都有 n 个元，所以 N nj 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整除 G 的阶。 证明： a 生成一个阶是 n 的子群，有以上定理， n 整 除 G 的阶。 约瑟夫· 拉格朗日
1
1
H 13 H 132 13 , 132 H 23 H 123 23 , 123
e H ，所以 a ~ a
（ 2 ） ab H ab
1 1
ba 1 H ， 所 以
a ~ bb ~ a
（3）
ab1 H , bc1 H ab1 bc 1 ac 1 H
所以 a ~ b, b ~ c a ~ c 则~是一个等价关系。利用这个等价关系，可以得到
子群的陪集
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
《子群的陪集》课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
子群的陪集
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
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二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
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五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
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证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
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是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
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定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
离散数学第2版教学课件-子群
8.2 子群与陪集子群与群的关系：拉格朗日定理。
子群判定定理典型子群陪集H 是G 的非空子集(1)a,b ∈H 有a b ∈H(2) a ∈H 有a -1∈H.H 是G 的非空子集a,b ∈H,有ab -1∈HH 是G 的非空有穷子集a,b ∈H 有ab ∈H 陪集的性质Lagrange 定理及推论子群非空子集、群8.2 子群与陪集子群定义设G是群，H是G的非空子集，定义8.5(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G.(2) 若H是G的子群，且H G，则称H是G的真子群，记作H<G.例如nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时,nZ是Z的真子群.任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.（子群判定定理1 ）定理8.5设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a-1∈H.证必要性是显然的.为证明充分性，只需证明e∈H.因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a-1∈H，根据条件(1) aa-1∈H，即e∈H.（子群判定定理2 ）定理8.6设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H,有ab-1∈H.证必要性显然.只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H.根据给定条件得aa-1∈H，即e∈H.任取a∈H, 由e,a∈H 得ea-1∈H，即a-1∈H.任取a,b∈H，知b-1∈H. 再利用给定条件得a(b-1) -1∈H，即ab∈H.综合上述，可知H是G的子群.（子群判定定理3 ）定理8.7设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H. 证必要性显然.为证充分性，只需证明a∈H有a-1∈H.任取a∈H, 若a = e, 则a-1= e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H.由于H是有穷集，必有a i= a j（i<j）.根据G中的消去律得a j-i= e，由a ≠ e可知j-i>1，由此得a j-i-1a = e 和 a a j-i-1= e从而证明了a-1= a j-i-1∈H.根据子群判定定理1，可知H是G的子群。
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题摘要：一、子群的定义与性质1.子群的定义2.子群的性质二、左右陪集的概念与性质1.左右陪集的定义2.左右陪集的性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群G 与左陪集L 的关系2.子群G 与右陪集R 的关系3.子群G 的左陪集与右陪集的关系四、结论与拓展1.子群左右陪集在数学中的应用2.子群左右陪集在实际问题中的应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，它涉及到子群的定义、性质以及与左右陪集的关系。
本文将详细解析子群的左右陪集例题，帮助读者更好地理解这一概念。
首先，我们需要了解子群的定义与性质。
子群是群G 的一个子集，满足群G 的运算性质。
子群具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
其次，我们需要了解左右陪集的概念与性质。
左陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有h·g∈L（h∈L）。
右陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有g·h∈R（h∈R）。
左右陪集具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
接下来，我们通过例题来解析子群的左右陪集。
假设群G={e, a, b, a^2, b^2}，其中运算为乘法，且满足结合律。
我们可以求出G 的子群H={e,a^2}，以及左陪集L={e, a^2}和右陪集R={e, a, a^2, b, b^2}。
通过例题，我们可以发现子群G 与左陪集L、右陪集R 之间的关系，以及左陪集L 与右陪集R 之间的关系。
最后，我们总结子群左右陪集的概念、性质及应用。
子群左右陪集在数学中有着广泛的应用，例如，通过对子群的左右陪集的研究，可以更好地理解群的性质，进而研究更复杂的数学问题。
此外，子群左右陪集在实际问题中也有应用，例如，在密码学、编码理论等领域，子群左右陪集的概念和性质可以帮助我们设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。
子群及其陪集
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
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6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
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例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
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例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
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判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，
子群与陪集
定义7.4.2 由上述等价关系～决定的 G 中元素的每 个等价类，都称为子群H的一个右陪集。 以 a 为代表元的右陪集记为Ha。
• 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 集合Ha恰好由在～下所有与 a等价的元素组成。 b～a ⇔ b ∘ a-1∈ H ⇔ b=h ∘a ⇔ b ∈ Ha h= b ∘a-1 h∈ H 故有 Ha={ h∘a | h ∈ H }
• 给定一个G的非空子集 S，则 S生成唯一的一个G 的子群H ；反之不然，即给定一个G的子群H ， 则一般来说生成 H 的子集不唯一。通常，称生成 H的子集中一个最小的子集为H 的生成元集。
• G的子群H的生成元集是不唯一的。
例. 几个重要的群： 一般线性群 GL(n,R) = { A | |A|≠0 }
7.4 子群与陪集
定义7.4.1 设( G, ∘)是群，H 是G的一个非空子集， 若H 关于运算 ∘ 构成一个群，则称H是( G, ∘)的一 个子群。
• 任何群( G, ∘)都至少有两个子群：群G本身，以及 只包含单位元的集合{e}。称为群 G的平凡子群。
定理7.4.1 群( G, ∘)的一个非空子集 H构成 G的子 群的充要条件是： （1）若a, b ∈ H, 则 a∘b ∈ H, （2）若a ∈ H, 则 a-1∈ H。 推论7.4.1 若 H是群( G, ∘)的一个子群，则H的单位 元就是G的单位元；H的任意一个元素在H中的逆 元就是它在G中的逆元。
例7.4.4 考察三次对称群S3及其子群 H={(1), (12)} S3的阶是6；H的阶是2；H有3个右陪集，因此 H 在 S3中的指数是3。 当然2和3都整除6，并且6=2x3。 S3的6个元素是(1), (12), (13), (23), (123), (132)，它 们的阶分别是1 2 2 2 3 3，都能整除S3的阶。 S3的6子群是{(1)}, {(1), (12)}, {(1), (13)}, {(1), (23)}, {(1), (123), (132)}, {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题一、子群的定义和性质子群是群的一个重要概念。
给定一个群G和一个子集H，如果子集H中的元素满足封闭性、结合律和单位元、逆元等群性质，那么称子集H是一个子群。
子群内部的元素具有一定的组合规律，我们可以利用子群来研究群的性质和结构。
二、陪集的概念和作用陪集是群论中的一个重要概念。
给定一个群G和一个子集H，对于子集H 中的每一个元素h，我们可以找到一个与h等价的元素g，使得陪集GH={g}。
陪集在研究群结构、子群关系等方面具有重要作用。
三、子群的左右陪集的求解方法子群的左右陪集是指子群G中元素与子群H中元素的对应关系。
求解子群的左右陪集的方法主要有以下几种：1.直接法：对于子群G和子群H，我们可以通过列出G中元素与H中元素的对应关系来求解左右陪集。
2.传输矩阵法：对于子群G和子群H，可以构造一个传输矩阵，通过矩阵的乘法得到左右陪集。
3.拉格朗日插值法：利用拉格朗日插值多项式求解子群的左右陪集。
四、例题解析以下以一个具体的例子来说明如何求解子群的左右陪集：已知群G={1, 2, 3, 4, 5}，子群H={1, 3}。
1.求解G关于H的左陪集：根据直接法，我们可以得到G关于H的左陪集为：LG={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}2.求解G关于H的右陪集：根据直接法，我们可以得到G关于H的右陪集为：RG={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}五、总结与拓展本文介绍了子群的定义和性质、陪集的概念和作用，以及子群的左右陪集的求解方法。
通过具体例题的解析，加深了对子群和陪集的理解。
在实际应用中，子群和陪集的研究有助于揭示群的内在结构，为后续的群论研究打下基础。
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题子群的左右陪集是群论中的重要概念。
让我们首先回顾一下子群的定义。
设G是一个群，H是G的一个非空子集。
如果H对于G的乘法运算构成一个群，那么H被称为G的子群。
现在，让我们来看一个例题，设G是一个群，H是G的一个子群。
我们要找出H在G中的左陪集和右陪集的例子。
首先，我们来定义左陪集和右陪集。
对于群G的子群H和g∈G，gH={gh | h∈H} 是g的左陪集。
同样地，Hg={hg | h∈H} 是g的右陪集。
假设我们有一个群G = {1, -1, i, -i}，其中乘法运算是复数的乘法。
现在，让我们考虑它的子群H = {1, -1}。
我们要找出H在G中的左陪集和右陪集。
首先，我们来计算左陪集：1. 对于元素1∈G，1H={11, 1-1}={1, -1}。
2. 对于元素i∈G，iH={i1, i-1}={i, -i}。
同样地，我们可以计算出其他元素-1和-i的左陪集。
接下来，我们来计算右陪集：1. 对于元素1∈G，H1={11, -11}={1, -1}。
2. 对于元素i∈G，Hi={1i, -1i}={i, -i}。
同样地，我们可以计算出其他元素-1和-i的右陪集。
通过这个例题，我们可以看到子群的左右陪集是如何在群G中分别作用的。
左陪集和右陪集的元素个数都等于子群H的阶（元素个数）。
这些陪集在群论中有着重要的应用，例如证明拉格朗日定理等。
希望这个例题能帮助你更好地理解子群的左右陪集的概念和性质。
如果你对群论中的其他概念有疑问，也欢迎随时向我提问。
证明陪集构成划分
证明陪集构成划分1. 引言在数学中，划分是一种重要的概念，在许多领域中都有广泛应用。
特别是陪集的划分，被广泛用于群论和线性代数等领域。
本文将的重要性，并提供一个详细的证明过程。
2. 陪集的定义在了解陪集构成划分之前，我们首先要明确陪集的定义。
给定一个群G和它的一个子群H，对于任意元素a∈G，H的左陪集定义为aH={ah|h∈H}，右陪集定义为Ha={ha|h∈H}。
在陪集的定义下，我们可以将群G分成若干个不相交的陪集。
3. 陪集的性质在证明陪集构成划分之前，我们先来看一些陪集的性质。
首先，对于两个陪集aH和bH，它们要么完全相等，即aH=bH；要么完全不相交，即aH∩bH=∅。
这是因为如果aH∩bH不为空，那么必然存在一个元素c同时属于aH和bH，即存在c1，c2∈H，使得ac1=bh，则b=ac1h-1∈aH，因此bH包含于aH；同理可证，aH包含于bH。
因此，要么aH=bH，要么aH∩bH=∅。
其次，对于任意元素c∈G，它属于某个左陪集aH，即c∈aH，证明如下：由于G是一个群，所以它必然包含单位元素e。
而e∈aH，因此aH非空。
又由于aH是一个陪集，它包含了所有形如ah（其中h是H的一个元素）的元素。
那么对于给定的任意元素c，我们可以找到一个h使得c=ah，因此c属于aH。
同样地，对于右陪集，它们也具有类似的性质。
对于两个右陪集Ha和Hb，要么Ha=Hb，要么Ha∩Hb=∅；对于任意元素c∈G，它属于某个右陪集Ha。
4. 陪集构成划分现在我们来证明陪集构成划分。
证明过程分为两步。
第一步，我们要证明陪集构成的是一个划分，即每个元素属于且只属于一个陪集。
假设存在一个元素c同时属于两个陪集aH和bH，即c∈aH且c∈bH。
那么必然存在两个元素h1，h2∈H，使得c=ah1=bh2。
由于H是一个子群，它一定包含单位元素e，因此对于h1和h2，我们可以找到元素h3使得h1=h3=hh-1=h2，从而得到c=ae=ab=b。
子群的陪集
第12 讲§9 子群的陪集（Coset of subgroup）P89—99本讲的教学目的和要求：在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。
在群中引人一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。
进而引出拉格朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子集（元素）的阶都是有限母群阶的因子”这一重要结论。
在本讲的学习中要求（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系要分辩清楚。
（2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能掌握。
（3）群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要了解。
（4）Lagrange定理和推论本身的掌握以及有关理论应用需要掌握。
本讲的重点和难点：本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange定理的应用，而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。
一、陪集的引入引例1 对整数加群{}+,Z 而言，取定模4，则可确定Z 的一个分类：[][][][]{}3,2,1,04=Z 。
其中Z 中的4个剩余类分别为：[]{} ,8,4,0,4,8,0--=[]{} ,9,5,1,3,7,1--=[]{} 10,6,2,2,6,2--=[]{} ,11,7,3,1,5,3--=现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示：(1) 在4Z 中剩余类[]{} ,8,4,0,4,8,0--=Z n n Z ∈∀==44是整数加群{}+,Z 的一个子集. 而其余的剩余类[]1,[]2,[]3都不是{}+,Z 的子群.(2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类[] 有着密切的联系.譬如, []1就是用代表元1与[]0中每个元素相加所成的剩余类, []1即恰是用[]0中每个元素都加上1而形成的.一般地, 4Z 中的每个剩余类[]i 都是由[]0中每个元素普遍加上i (或加上[]i 中任取定的一个元素)而形成的.其中3,2,1,0=i . 引例2. 给定三次对称群()()()()()(){}132123,23,13,12,13=S 的一个分类{}M K H ,,=Ω.其中这三个分列为: ()(){}12,1=H ， ()(){}123,13=K ，()(){}132,23=M 。
子群的陪集
若群 G 的阶是素数，则
G 是循环群。
设 | G | p, p 是素数，则 但 p 的约数只有
a G, a e, a 的阶整除 p ,
1， p, 从而 a 的阶是 p, 所以 | a | p,
又 a G , 所以 G a 。证毕。
(4)
解：
例：确定 S 3的所有子群。
若群 G 的阶是素数，则
5.重点、难点讲解
(1). 计算： G S 3 , H {( 1), (12 )}, H 的所有左（右） 陪集。 解：1) H (12 ) H ( H ), (13 ) H {( 13 ), (132 )}, ( ( 23 ) H {( 23 ), (123 )}, H (1) {( 1), (12 )} H (12 ) H , H (123 ) {( 123 ), (13 )} H (13 ), H ( 23 ) {( 132 ), ( 2 , 3 )}.
4 .1
叫做
[ G : H ]。
Lagrange 定理：设 H G , 如果 | G | N, | H | n, 且 [G : H] j, 那么 N nj.Fra bibliotek4.2
设 G 是有限群， | G | n, 则 a
n
a G, a 的阶整除 G 的阶；若
e. G 是循环群。
4 .3
集的
是无限大，或者都
3.陪集的计算
3 .1 3 .2 G S 3， H { (1), (1, 2 )}, H 的所有左（右）陪集。 一个元 a 所在的左陪集 aH 和右陪集 Ha 不一定相 等，例如 (13 ) H H (13 )。
4.子群在群中的指数
近世代数第二章答案解析
近世代数第二章群论答案§.群的定义1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。
例如3- 2-1 =3-仁2 3-2 -1 =1-1=03 - 2-1 3-2 -12. 举一个有两个元的群的例。
解：令G=「e,",G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) xy z =x yz x,y,z G因为，由于ea二ae二a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。
(参考第一章，§4，习题3。
)若是e不在(1)中出现，那么有aa a = ea = a a aa = ae = a而(1)仍成立。
其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。
所以G是一个群。
读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。
3•证明，我们也可以用条件以及下面的条件IV , V来做群的定义：IV G里至少存在一个右逆元a J，能让ae = a对于G的任何元a都成立；V 对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元a-1，能让aa A = e解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。
§2.单位元、逆元、消去律1. 若群G的每一个元都适合方程x2 = e，那么G是交换群。
解：令a和b是G的任意两个元。
由题设2ab ab = ab = e另一方面2 2ab ba = ab a = aea = a = e于是有ab ab = ab ba。
利用消去律，得ab= ba所以G是交换群。
2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。
解：令G是一个有限群。
设G有元a而a的阶n> 2。
考察a，。
我们有af ) = e e(a，) =(a^ f = e设正整数m<n而a4 m=e,那么同上可得a m = e，与n是a的阶的假设矛盾。
这样，n也是a J的阶，易见a J=a否贝卩a2 = aa 1 = e与n > 2的假设矛盾。
子群的陪集
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Lagrange定理的注释
注意：设G是一个n阶有限群，由Lagrange定理可
知：G的子群的阶必是n的一个因子.
但反过来，则未必成立，即：
对n的任一因子d，G未必有一个d阶子
群.
例如：交代群A4中就没有6阶子群.
但在群论中有以下结论：
结论：若G是一个有限交换群，则Lagrange定理的
(2) 子群与正规子群之间的关系. 21/22
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总结
主要内容： 子群陪集的定义和性质 Lagrange定理 Lagrange定理的一些简单应用 正规子群的定义和判别
基本要求： 熟悉陪集的定义和性质 熟悉Lagrange定理及其推论，学习简单应用 熟悉正规子群的定义及商群的构造
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
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右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb .
性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G .
eabc
eabc aecb bcea cbae
cH={c, b}
不同的左陪集只有两个，即H和{b, H所c}有. 的右陪集？
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陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123)H,={((113)2,)}(.1 2)}是S3的子群.
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题【原创版】目录1.子群的左右陪集概念介绍2.左右陪集的性质3.左右陪集的求法4.应用实例正文一、子群的左右陪集概念介绍在数学中，子群是指一个群的某个子集，它具有群的一些性质。
在群论研究中，子群的陪集是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析群的结构。
而子群的左右陪集是陪集中的一种，它具有一些独特的性质和应用。
二、左右陪集的性质左右陪集具有以下性质：1.存在性：对于任意子群 H，总存在左右陪集。
2.对称性：对于任意子群 H，左陪集与右陪集是相等的，即左陪集等于右陪集。
3.唯一性：对于任意子群 H，左陪集与右陪集是唯一的。
4.稳定子群：对于任意子群 H 和其左陪集 L，H 与 L 的交集是 H 的稳定子群。
三、左右陪集的求法求子群的左右陪集，通常采用如下方法：1.先求出子群的正规子群。
2.对于正规子群，求出它的极大子群。
3.极大子群与子群的交集即为子群的左陪集。
4.对于子群的任意元素，都可以找到一个元素与其对应，使得它们的乘积属于左陪集。
根据这个性质，可以求出子群的右陪集。
四、应用实例子群的左右陪集在群论中有广泛的应用，下面举一个例子：例：设 G 为四个元素的群，子群 H 为{e, a^2}，其中 e 为单位元，a 为群 G 的生成元。
求子群 H 的左陪集。
解：首先，求出子群 H 的正规子群，即 H 本身。
因为 H={e, a^2}，所以 H 的极大子群也是 H。
然后，求出 H 与 H 的交集，即得到子群 H 的左陪集。
计算可得，左陪集为{e, a^2, a^4, a^6}。
子群与陪群
定义7.4.2 由上述等价关系～决定的 G 中元素的每 由上述等价关系～ 定义 个等价类，都称为子群H的一个右陪集 的一个右陪集。 个等价类，都称为子群 的一个右陪集。 为代表元的右陪集记为Ha。 以 a 为代表元的右陪集记为 。 • 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 集合Ha恰好由在 恰好由在～ 等价的元素组成。 集合 恰好由在～下所有与 a等价的元素组成。 等价的元素组成 b～a ⇔ b ∘ a-1∈ H ⇔ b=h ∘a ⇔ b ∈ Ha ～ h= b ∘a-1 h∈ H 故有 Ha={ h∘a | h ∈ H } ∘
几个重要的群： 例. 几个重要的群： 一般线性群 GL(n,R) = { A | |A|≠0 } ≠ 正交群 O(n) = { A | AAT= E } 洛仑兹(Lorentz)群 群 洛仑兹
Er Τ Er L(n, r) = { A| A − E A = − E , | A|≠ 0 } n−r n−r
下面讨论子群的陪集。目的是定义集合 上的一个 下面讨论子群的陪集。目的是定义集合G上的一个 等价关系及划分，由此得到群的一些重要性质。 等价关系及划分，由此得到群的一些重要性质。 • 设( G, ∘)是一个群，H为其子群，则可定义集合 是一个群， 为其子群 则可定义集合G 为其子群， 是一个群 上的一个等价关系～如下： 上的一个等价关系～如下： a～b ⇔ a ∘b-1∈ H ～
的一个子群。 例7.4.2 设H={(1), (12)}，则 H 是S3的一个子群。 ， 由于， 由于，H = H(1) = H(12) ={(1), (12)} ， H(13) = H(123) ={(13), (123)} ， H(23) = H(132) ={(23), (132)} 。 因此，子群 因此，子群H 将S3划分成了三个互不相交的右陪 集并， 集并， S3=H(1)∪H(13)∪H(23)。 。
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近世 代数
等价关系与子群的陪集
左陪集的定义: 设H是群G的子群，a∈G. 子群H在G中的左陪集：aH={ah | h∈H}
等价类的定义: [a]={b | (a, b)∈R, b∈G}
由于
a, b∈G, (a, b)∈R a1b∈H 所以，子群H在G中的左陪集： aH ={ah | h∈H}={b | (a, b)∈R, b∈G}=[a] ={ b | a1b∈H, b∈G}
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第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集 Lagrange定理 Lagrange定理的应用 正规子群与商群
预备知识：
等价关系 等价类 集合的划分 商集
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陪集的定义
定义1 设H是群G的子群，a∈G. 令 aH={ah | h∈H} 称aH是子群H在G中的左陪集. 称a为aH的代表元素. 令Ha={ha | h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
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等价关系与子群的陪集
等价类的性质:
设R是非空集合X上的等价关系, 则a, b∈X, 有 (a, b)∈R a∈[b] b∈[a] [a] = [b].
陪集的性质: 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH .17/22 Nhomakorabea6/22
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有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
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陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
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总 结
主要内容： 子群陪集的定义和性质 Lagrange定理 Lagrange定理的一些简单应用 正规子群的定义和判别 基本要求： 熟悉陪集的定义和性质 熟悉Lagrange定理及其推论，学习简单应用 熟悉正规子群的定义及商群的构造
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例3 证明 6 阶群中必含有 3 阶元. 证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶
或 6阶 . 若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元. 若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元. 如若不然，G中只含1阶和2阶元，即a∈G，有 a2=e，由命题知G是Abel群. 取G中2阶元 a 和 b， a b，令 H = {e, a, b, ab}，则H 是G的子群， 但 |H| = 4，|G| = 6，与Lagrange定理矛盾.
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Lagrange定理的推论
推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = (a).
证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元. 任取a∈G，a ≠ e，则(a)是G的子群. 根据Lagrange 定理，(a)的阶是p的因子，即(a)的阶是 p或1. 显然 (a)的阶不是1，这就推出G = (a).
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正规子群的判别
定理2(正规子群的判别定理) 设H是群G的一个子群， 则 (1)H是群G的正规子群 a∈G有aHa-1=H ;
(2)H是群G的正规子群 a∈G有aHa-1 H ;
(3)H是群G的正规子群 a∈G, h∈H有aha-1∈ H .
注意：(1) 定理2的前提条件是：H是群G的一个子群， 而不是：H是群G的一个非空子集. (2) 子群与正规子群之间的关系. 21/22
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Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e. 证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则 (a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
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Lagrange定理的应用
例4 证明阶小于6 的群都是Abel群. 证 1 阶群是平凡的，显然是Abel群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的 循环群，都是Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则 G=(a)是循环群，可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可 知G也是Abel群.
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Lagrange定理的应用
命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群. 证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取 x, y∈G，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx， 因此G是Abel群.
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Lagrange定理的应用
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Lagrange定理的注释
注意：设G是一个n阶有限群，由Lagrange定理可 知：G的子群的阶必是n的一个因子. 但反过来，则未必成立，即： 对n的任一因子d，G未必有一个d阶子群. 例如：交代群A4中就没有6阶子群. 但在群论中有以下结论： 结论：若G是一个有限交换群，则Lagrange定理的 逆成立. 例如：若G=(a)是n阶循环群，则对n的每个正因子 d，G有且仅有一个d 阶子群.
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等价关系与子群的陪集
等价类的性质: 设R是非空集合X上的等价关系, 则 (1) a∈X, [a]≠ 。 (2) a, b∈X， [a] = [b] 或 [a]∩[b] = ; (3) ∪[a]= X . 陪集的性质:
设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
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左陪集的基本性质
性质1 设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH. 性质2 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH . 性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G . 性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的 5/22 集族是G的一个划分.
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陪集的实例
e a b c
例1 设G={e, a, b, c}是Klein四元群， H=(a)={e, a}是G的子群. H所有的左陪集是： e eH={e, a}=H, a aH={a, e}=H, b bH={b, c}, c cH={c, b} 不同的左陪集只有两个，即H和{b, c}. H所有的右陪集？
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等价关系与子群的陪集
设H是群G的子群，在G上定义二元关系R： a, b∈G, (a, b)∈R a1b∈H 则 R是G上的等价关系，且[a]R = aH. 等价类的性质: 设R是非空集合X上的等价关系, 则 a∈X, a∈[a]。 陪集的性质:
设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH.
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha. 性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb . 性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G . 性质4′ 设H是群G的子群，则H的所有右陪集构成 的集族是G的一个划分.
性质6 设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构 成的集族，Sr为H的所有右陪集构成的集族，则 | Sl | = | Sr |.
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Lagrange定理
定理1 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则 | G | = | H | ·[G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为H在G 中的指数. 证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素， G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得 | G | = | H |· r = | H | ·[G:H]
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正规子群与商群
定义1 设H是群G的子群。如果a∈G有aH=Ha，则 称H是群G的正规子群或不变子群，记作H⊿G.
定理1 设H是群G的正规子群，则H的所有左陪集构成 的集合对群子集乘法形成一个群 . 定义2 群G的正规子群H的所有左陪集构成的集合对 群子集乘法形成一个群称为G对H的商群，记为G/H.
e a b c a e c b b c e a c b a e
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陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123), (132)}. H={(1), (1 2)}是S3的子群. H所有的左陪集是： (1)H={(1), (12)}=(12)H=H (13)H={(13), (132)}=(132)H (23)H={(23), (123)}=(123)H 不同的左陪集只有3个, 即H, (13)H, (23)H. H所有的右陪集是： H(1)={(1), (1 2)}=H(12)=H H(13)={(13), (123)}=H(123) H(23)={(23), (132)}=H(132) 不同的右陪集只有3个, 即H, H(13), H(23).