第8节 子群的陪集

近世 代数
等价关系与子群的陪集
等价类的性质: 设R是非空集合X上的等价关系, 则 (1) a∈X, [a]≠ 。 (2) a, b∈X， [a] = [b] 或 [a]∩[b] = ; (3) ∪[a]= X . 陪集的性质:
设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
例3 证明 6 阶群中必含有 3 阶元. 证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶
或 6阶 . 若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元. 若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元. 如若不然，G中只含1阶和2阶元，即a∈G，有 a2=e，由命题知G是Abel群. 取G中2阶元 a 和 b， a b，令 H = {e, a, b, ab}，则H 是G的子群， 但 |H| = 4，|G| = 6，与Lagrange定理矛盾.
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右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha. 性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb . 性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G . 性质4′ 设H是群G的子群，则H的所有右陪集构成 的集族是G的一个划分.
e a b c a e c b b c e a c b a e
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陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123), (132)}. H={(1), (1 2)}是S3的子群. H所有的左陪集是： (1)H={(1), (12)}=(12)H=H (13)H={(13), (132)}=(132)H (23)H={(23), (123)}=(123)H 不同的左陪集只有3个, 即H, (13)H, (23)H. H所有的右陪集是： H(1)={(1), (1 2)}=H(12)=H H(13)={(13), (123)}=H(123) H(23)={(23), (132)}=H(132) 不同的右陪集只有3个, 即H, H(13), H(23).
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Lagrange定理的注释
注意：设G是一个n阶有限群，由Lagrange定理可 知：G的子群的阶必是n的一个因子. 但反过来，则未必成立，即： 对n的任一因子d，G未必有一个d阶子群. 例如：交代群A4中就没有6阶子群. 但在群论中有以下结论： 结论：若G是一个有限交换群，则Lagrange定理的 逆成立. 例如：若G=(a)是n阶循环群，则对n的每个正因子 d，G有且仅有一个d 阶子群.
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正规子群的判别
定理2(正规子群的判别定理) 设H是群G的一个子群， 则 (1)H是群G的正规子群 a∈G有aHa-1=H ;
(2)H是群G的正规子群 a∈G有aHa-1 H ;
(3)H是群G的正规子群 a∈G, h∈H有aha-1∈ H .
注意：(1) 定理2的前提条件是：H是群G的一个子群， 而不是：H是群G的一个非空子集. (2) 子群与正规子群之间的关系. 21/22
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等价关系与子群的陪集
设H是群G的子群，在G上定义二元关系R： a, b∈G, (a, b)∈R a1b∈H 则 R是G上的等价关系，且[a]R = aH. 等价类的性质: 设R是非空集合X上的等价关系, 则 a∈X, a∈[a]。 陪集的性质:
设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH.
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Lagrange定理的推论
推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G =Байду номын сангаас(a).
证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元. 任取a∈G，a ≠ e，则(a)是G的子群. 根据Lagrange 定理，(a)的阶是p的因子，即(a)的阶是 p或1. 显然 (a)的阶不是1，这就推出G = (a).
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Lagrange定理的应用
命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群. 证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取 x, y∈G，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx， 因此G是Abel群.
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Lagrange定理的应用
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Lagrange定理的应用
例4 证明阶小于6 的群都是Abel群. 证 1 阶群是平凡的，显然是Abel群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的 循环群，都是Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则 G=(a)是循环群，可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可 知G也是Abel群.
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等价关系与子群的陪集
左陪集的定义: 设H是群G的子群，a∈G. 子群H在G中的左陪集：aH={ah | h∈H}
等价类的定义: [a]={b | (a, b)∈R, b∈G}
由于
a, b∈G, (a, b)∈R a1b∈H 所以，子群H在G中的左陪集： aH ={ah | h∈H}={b | (a, b)∈R, b∈G}=[a] ={ b | a1b∈H, b∈G}
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陪集的实例
e a b c
例1 设G={e, a, b, c}是Klein四元群， H=(a)={e, a}是G的子群. H所有的左陪集是： e eH={e, a}=H, a aH={a, e}=H, b bH={b, c}, c cH={c, b} 不同的左陪集只有两个，即H和{b, c}. H所有的右陪集？
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等价关系与子群的陪集
等价类的性质:
设R是非空集合X上的等价关系, 则a, b∈X, 有 (a, b)∈R a∈[b] b∈[a] [a] = [b].
陪集的性质: 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH .
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正规子群与商群
定义1 设H是群G的子群。如果a∈G有aH=Ha，则 称H是群G的正规子群或不变子群，记作H⊿G.
定理1 设H是群G的正规子群，则H的所有左陪集构成 的集合对群子集乘法形成一个群 . 定义2 群G的正规子群H的所有左陪集构成的集合对 群子集乘法形成一个群称为G对H的商群，记为G/H.
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总 结
主要内容： 子群陪集的定义和性质 Lagrange定理 Lagrange定理的一些简单应用 正规子群的定义和判别 基本要求： 熟悉陪集的定义和性质 熟悉Lagrange定理及其推论，学习简单应用 熟悉正规子群的定义及商群的构造
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第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集 Lagrange定理 Lagrange定理的应用 正规子群与商群
预备知识：
等价关系 等价类 集合的划分 商集
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陪集的定义
定义1 设H是群G的子群，a∈G. 令 aH={ah | h∈H} 称aH是子群H在G中的左陪集. 称a为aH的代表元素. 令Ha={ha | h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
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有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
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陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
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左陪集的基本性质
性质1 设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH. 性质2 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH . 性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G . 性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的 5/22 集族是G的一个划分.
性质6 设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构 成的集族，Sr为H的所有右陪集构成的集族，则 | Sl | = | Sr |.
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Lagrange定理
定理1 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则 | G | = | H | ·[G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为H在G 中的指数. 证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素， G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得 | G | = | H |· r = | H | ·[G:H]
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Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e. 证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则 (a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.