研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二

研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二
习题二
1．化下列矩阵为Smith 标准型：
（1）222211λλλλ
λλλλλ??
-??
-+-??
; （2）2222
00
000
00(1)00000λλλλλλ
-?
-??
-??
; （3）2222
232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ??
+--+-??+--+-+---??
;
(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ++?? -----??
. 解：（1）对矩阵作初等变换
23221311(1)100
10
000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-→-→?
-++
，
则该矩阵为Smith 标准型为
+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为
44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为
22
2341234123()()()
()1,()(1),()(1),()(1)()()()
D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ==
=-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00
00(1)λλλλλλ??
--??
-??；（3）对矩阵作初等变换
故该矩阵的Smith 标准型为
+--)1()1(112
λλλ; (4)对矩阵作初等变换
在最后的形式中，可求得行列式因子
3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为
2541234534()()
()()()1,()(1),()(1)()()
D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ====
=-==-故该矩阵的Smith 标准形为
2
1
0000
010
0000100000(1)00
00
0(1)λλλλ
-??
-??
. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：
（1）
21
0021002λλλ-----??；
（2）100
1000
λαββλα
λαββ
λα+-+?
+??-+??
；
（3）1
00100015
4
32λλ
λλ--?
-??
+??
；（4）0
012012012002000λλλλ+++??+??
. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故而33()(2)D λλ=-，
所以该λ-矩阵的不变因子为
2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;
（2）当0β=时，由于
4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，
故不变因子为
12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+
当0β≠时，由于
224()[()]D λλαβ=++，
且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为
2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，
则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;
（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故而
4324()2345D λλλλλ=++++，
所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;
（4）该λ-矩阵的行列式因子为
123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,
所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.
3．求下列λ-矩阵的初等因子：
（1）333232
212322λλλλλλλλ??++??--+--+??；（2）322322 2212122122λλλλλλλλλλ??-+--+??-+--??
. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为
212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，
故初等因子为2
1,(1)λλ+-；
(2) 该λ-矩阵的行列式因子为
212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，
故不变因子为
因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.
4．求下列矩阵的Jordan 标准形：
（1）131616576687------??；（2）452221111-----??；（3）3
732524103---??
--??
；
（4）111333222-----??；（5）***********????-????--??
；（6）1
234012300120
001??
. 解：（1）设该矩阵为A ，则
2
10001000(1)(3)E A λλλ??
-→??
-+??
，
故A 的初等因子为
2(1)(3)λλ-+，
则A 的Jordan 标准形为
300011001-
；（2）设该矩阵为A ，则
3
10
001000(1)E A λλ-→??
-??
，
故A 的初等因子为
3(1)λ-，
从而A 的Jordan 标准形为110011001
；（3）设该矩阵为A ，则2
10001000(1)(1)E A λλλ?? -→??
-+??
,
故A 的初等因子为
从而A 的Jordan 标准形为1000000i i -?? ; （4）设该矩阵为A ，则2
1000000E A λλλ??
-→??
,
故A 的初等因子为
2,λλ，
从而A 的Jordan 标准形为000001000
; （5）设该矩阵为A ，则2
10001000(1)E A λλλ??
-→??
+??
,
故A 的初等因子为
2,(1)λλ+，
从而A 的Jordan 标准形为
000011001--??
; （6）设该矩阵为A ，则
1234012300120001E A λλλλλ-------??-=??--??-?? ，该λ-矩阵的各阶行列式因子为
123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，
则不变因子为
123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，
故初等因子为
4(1)λ-，
则A 的Jordan 标准形为
1100011000110
001
. 5．设矩阵
142034043A ??
=--??
，
求5A .
解：矩阵A 的特征多项式为
2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，
故A 的特征值为11λ=,235λλ==.
属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)T
η=,
属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T T
ηη==-.
设
123121[,,]012021P ηηη==-,100050005?? Λ=??
,
则1
A P P -=Λ.,故
445514
4441453510354504535A P P -??
-?
=Λ=-
. 6.设矩阵
211212112A --=--??
-??
，
求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1 P AP J -=.
解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .
2
2
1110021201011200(1)I A λλλλλλ--=-+→- ---
,
故其初等因子为
21,(1)λλ--，
故A 的Jordan 标准形
100011001J ??
=??
.
(2)求相似变换矩阵P .
考虑方程组
()0,I A X -=即1231112220,111x x x -
-= ?
--??
解之,得
12100,111X X
== ? ? ? ?-
.
其通解为
1122k X k X +=1212k k k k ?? ?
-??
,
其中21,k k 为任意常数.
考虑方程组11212121211111122200021110002k k k k k k k k k -- -→-+
----
,
故当1220k k -=时,方程组有解.
取121,2k k ==,解此方程组,得
3001X ??
= ? ???
.
则相似变换矩阵
123100[,,]010111P X X X ??
==??
-??
.
7.设矩阵
102011010A ??
=-??
，
试计算8
5
4
2
234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为
3()21A f I A λλλλ=-=-+,
由于
8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,
其中5
3
2
()245914f λλλλλ=+-+-. 且
32A A I O -+=,
故
8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --??
-+=--??
.
8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为
12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++L ,
则
12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=L ,
即
123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-L ,
因为A 可逆,故(1)0n
n a A =-≠,则
9.设矩阵
2113A -??
=
，
试计算4
3
2
1
(5668)A A A A I --++-.
解: 矩阵A 的特征多项式为
2()57A f I A λλλλ=-=-+,
则
227A A I O -+=,
而
432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,
故
1
4321111211(5668)()12113A A A A I A I ----
-++-=-==-
.
10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2n A 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为
()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,
则设
22()()n f g a b c λλλλλ=+++,
由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得解之，得
2211
(21),0,(24)33
n n a b c =-==--,
因此
2222211
(21)(24)33
n n n A aA bA cI A I =++=---.
11.求下列矩阵的最小多项式：
（1）311020111-；
（2）422575674-??
----??
；（3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0
1231
03223013
2
1
0a a a a a a a a B a a a a a a a a --?
=??--??--??
. 解:(1) 设311020111A -=??
,则
2
31
110002002011100(2)I A λλλλλλ---=-→-
----
,
故该矩阵的最小多项式为2
(2)λ-.
(2) 设422575674A -=----??
,则2(2)(511)I A λλλλ-=--+,
故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2
(2)(511)λλλ--+
(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,
又2A nA =,即2
A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.
(5)因为
222222
00123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,
而22222
00123()2()m a a a a a λλλ=-++++是
I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩
阵B 的最小多项式.。