高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021

（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1

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3.1。2 瞬时变化率—导数

学习目标：1。理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)

[自主预习·探新知］

1．曲线上一点处的切线

设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度

运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．

3．瞬时加速度

运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．

4．导数

设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x

处的导数,记作f′（x0）．

5．导函数

若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．

[基础自测］

1．判断正误：

(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)

(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )

（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）

【解析】(1）√。Δx是自变量的增量,可正可负，函数f（x)在x＝x0处的导数与它的正负无关．

（2）×。Δy可以为0，如常数函数．

（3)×。Δy

Δx

也可能是负数或0.

【答案】（1)√（2)×(3）×

2．函数f（x)＝x2在点(1，1）处切线的斜率是________．

【解析】k＝错误!＝2＋Δx，当Δx→0时，k→2，故所求的切线的斜率是2.

【答案】2

3．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则汽车在t＝3秒时加速度为__________．

【解析】a＝错误!＝错误!＝6＋Δt，

当Δt→0时，a→6，故汽车的加速度为6。

【答案】6

［合作探究·攻重难］

求瞬时速度与瞬时加

速度

（1)一辆汽车按规律s t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位:m）．

(2）设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s时的速度为v（t)＝t2＋1，求汽车在t＝1 s时的加速度.

【导学号:95902184】［思路探究］（1）设时间变化量Δt→错误!→错误!→错误!→错误!.

（2）错误!→错误!→错误!→错误!→错误!

【自主解答】（1)设这辆车在t＝2附近的时间变化量为Δt，

则位移的增量Δs＝[2（2＋Δt)2＋3］－(2×22＋3）＝8Δt＋2（Δt)2，错误!＝8＋2Δt，当Δt→0时,错误!→8，所以这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.

（2）设这辆车在t＝1附近的时间变化量为Δt，

则速度的增量Δv＝［(1＋Δt）2＋1］－(12＋1）＝（Δt）2＋2Δt,Δv

Δt

＝Δt＋2，当Δt→0时,错误!→2,

所以汽车在t＝1 s时的加速度为2.

[规律方法]

(1）求瞬时速度的步骤:

①求位移增量Δs＝S（t0＋Δt)－S（t0)；

②求平均速率错误!＝错误!；

③求瞬时速度:当Δt趋近于0时，错误!趋近于v.

（2）求瞬时加速度的步骤：

①求平均加速度错误!；

②令Δt→0，求瞬时加速度.

[跟踪训练］

1．若一物体的运动方程为S＝7t2＋8，则其在t＝__________时的瞬时速度为1.【解析】因为错误!＝错误!＝7Δt＋14t0，

所以当Δt→0时，Δs

Δt

趋近于14t0，即14t0＝1,t0＝错误!.

【答案】错误!

求函数在某一点处的

导数

求函数y＝x＋错误!在

【导学号：95902185】［思路探究] 方法一:先求Δy，再求出错误!，令Δx→0，可求f′(1），先求出f′(x)，再求出f′(x)在x＝1处的值．

方法二：先求出错误!，当Δx无限趋于0时，即可求出f′（x)在x＝1处的值．

【自主解答】方法一：∵Δy＝(1＋Δx）＋错误!－错误!＝Δx－1＋错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，当Δx→0时，错误!→0，∴f′(1)＝0。

方法二：错误!＝错误!

＝错误!

＝1－

1

x＋Δx x

，