备战2022年高考数学(理)一轮复习考点10 函数模型及其应用

考点10函数模型及其应用

【命题趋势】

从近几年高考可以看出，越来越注重对应用问题的理解以及阅读能力的考查，而对函数模型的考查可以涉及此部分知识点，所以我们要引起重视，具体掌握以下几点：

（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

【重要考向】

一、二次函数模型的应用

二、指数函数、对数函数模型的应用

三、分段函数模型的应用

四、函数模型的比较

二次函数模型的应用

解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：

（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.

用框图表示如下：

建模

审题、转化、抽象

问题 解决 解模 运算

还原 结合实际意义

【巧学妙记】

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.

根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值， 从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.

【典例】

1.某电动小汽车生产企业，年利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量.已知上年度生产电动

小汽车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万/辆，年销售量为10000辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x .同时年销售量增加的比例为0.6x .

（1）写出本年度预计的年利润y （万元）与投入成本增加的比例x 的函数关系式； （2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？

【答案】（1）26002002000y x x =-++（01x <<）；每辆车投入成本增加的比例为

1

6

时，本年度的年利润最大，且最大年利润是

6050

3

万元. 【解析】（1）由题意，得()()()

1.210.75111000010.6y x x x ⎡⎤=⨯+-⨯+⨯⨯+⎣⎦实际问题

数学问题

数学问题答案

实际问题结论

（01x <<），

即26002002000y x x =-++（01x <<）.

（2）2

216050600200200060063y x x x ⎛

⎫=-++=--+ ⎪⎝

⎭.

∴当16x =时，y 取得最大值，为6050

3

， ∴每辆车投入成本增加的比例为16时，本年度的年利润最大，且最大年利润是6050

3

万

元.

2.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前()n n ∈*N 年的材料费、维修费、人工工资等共为（2

552

n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年

的总盈利额为()f n 万元.

（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由. 【解析】（1）由题意得：

2255

()5590(5)509022

f n n n n n n =--+=-+-

由()0f n >得2

5509002

n n -+->即220360n n -+<，

解得218n <<

由n ∈*N ，设备企业从第3年开始盈利. （2）方案一总盈利额

25

()(10)1602

f n n =--+，当10n =时，max ()160f n =

故方案一共总利润16010170+=，此时10n = 方案二：每年平均利润

()5365

50()502022

f n n n n =-+-⨯≤，当且仅当6n =时等号成立 故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =

比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.

【名师点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题. （1）利用n 年的销售收入减去成本，求得()f n 的表达式，由()0f n >，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利.

（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；

方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润. 比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.

指数函数、对数函数模型的应用

（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为()1x

y N p =+(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.

（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.

3.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元 D ．320万元

【答案】 D

【解析】 设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有 280×p %＋(x －280)(p ＋2)%

x ＝(p ＋0.25)%，

解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元．