大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及
答案
高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）
1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，
$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。

2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。

3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则
$a=e^{-1}$。

4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则
$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。

5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。

6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为
$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。

7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-
3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。

8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-
\infty,0)\cup(1,+\infty)$。

9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。

10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-
t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。

11.计算积分 $\int\dfrac{x\cos x}{3\sin^2 x}dx$，结果为 $-
\dfrac{x}{3\sin x}+\ln|\sin x|+C$。

1.题目：求 $\int_{2}^{x}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$
解：令 $t=\sqrt{x^2-1}$，则 $x=\sqrt{t^2+1}$，
$dx=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}dt$
原式$=\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{x^2-1}}\frac{dt}{t^2}=\left[-
\frac{1}{t}\right]_{\sqrt{3}}^{\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}$
2.题目：设 $y=x^3-3x^2+1$，求 $y$ 的单调区间和极值点
解：$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$，$y''=6x-6$
令 $y'=0$ 得 $x=0$ 或 $x=2$，又 $y''(0)=-60$，故
$x=0$ 是极大值点，$x=2$ 是极小值点。

$y(0)=1$，$y(2)=-3$，故 $y$ 在 $(-\infty,0]$ 上单调递减，在 $[0,2]$ 上单调递增，在$[2,+\infty)$ 上单调递减。

3.题目：设 $y=\int_{1}^{x}\frac{\ln t}{t}dt$，求 $y$ 的极
值点
解：$y'=\frac{\ln x}{x}$，$y''=\frac{1-\ln x}{x^2}$
令 $y'=0$ 得 $x=e$，又 $y''(e)=-\frac{1}{e^2}<0$，故
$x=e$ 是极大值点。

$y(e)=\int_{1}^{e}\frac{\ln t}{t}dt=e(\ln e-1)$。

4.题目：求 $y=\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1+t^4}}$ 的单调区间和极值点
解：$y'=\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}$，$y''=-
\frac{2x^3}{(1+x^4)^{\frac{3}{2}}}$
y'(x)>0$，$y''(x)<0$，故 $y$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，无极值点。