5、方阵问题
方阵问题
方阵问题同学们要参加运动会入场式，要实行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这个类的数学问题，今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系；四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？分析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数÷4+1，能够求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就能够求了。
解：(1)方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数：6×6=36(人)答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子？分析：(1)方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，能够求出最里层每边的个数，就能够求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解：(1)最里层一周棋子的个数是：(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是：(15-3)×3×4=144(个)答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
奥数专项训练05 方阵问题专项练习30题(有答案
第四讲二方阵问题专项练习30题（有答案）1．36名学生在操场上做游戏．大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人．每边各有几名学生？2．五（3）班的同学排成一个方队做操，小明的前、后、左、右都有7人．五（3）班有多少人？3．一个实心体操方阵，最外层有72人．这个体操方阵有多少人？4．全校学生排成5个方阵做操，每个方阵有8行，每行有10人，5个方阵一共有多少人？5．四（3）班同学排队做操，如果排6队，每队6人，如果排4队，每队几人？6．有一队士兵，排成了一个实心方阵，最外层一周共有240人，这个方阵最外层每边有多少人？7．小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？8．活动课上，小华用围棋摆了一个空心方阵，最外层每边有16枚棋子，最内层每边有10枚棋子，这个空心方阵一共有多少枚围棋子？9．做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，求原来有多少人？10．“六一”儿童节，同学们在学校门口用花盆摆了一个正方形空心花坛，四个角各一盆，每边各放8盆花，那么请算算，四周放了_________盆花．11．在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？12．设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，求最外层每边应安排多少人？13．在“情系玉树、赈灾义演”的活动中，春晖小学举行团体操表演．四年级同学排成一个方阵，最外层每边站了16名同学，最外层一共有多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？14．学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生．女生有72人参加表演，男生有多少人？15．有272个棋子，想摆成4层空心方阵，最外层和最内层每边各放多少棋子？16．四年级共选49位同学参加校运会开幕式，他们排成一个方阵．这个方阵的最外层一共有多少人？17．“六一”儿童节那天，学校举行团体操表演．四年级学生排成一个方阵，最外层每边站了13个人，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？18．同学们排成方形队做操，无论从前数从后数，还是从左数，从右数，小平都是第4个，共有多少人做操？19．一个正方形喷水池的边长为6米，四周有一条一米宽的小路，在小路靠着水池的一边每隔1米插一面红旗，四个顶点都要插；在小路的另一边每隔1米插一面黄旗，四个顶点处也要插．一共插多少面小旗？20．有一列方队，不管从前、后、左、右数，小聪都是在第四位，这列方队共有多少人？21．小朋友站成一个每边10人的方阵，若去掉一行一列，去掉多少人？还剩多少人？22．用24枚棋子围一个一层的正方形空心方阵，每边应放几枚棋子？（画图思考）23．有一队同学排成一个中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有多少人？24．六一节前夕，光明小学用若干盆鲜花排成了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边有花盆10盆，最外层一共有多少盆花？整个花坛一共有多少盆花？25．育英小学的全校学生排成一个实心方阵列队，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人．育英小学有学生多少人？26．教室里有很多桌子，都整齐地排列着，每列桌子数相等，每排的桌子数相等，小秋的桌从前面数第3张，从后面数第4张，他的左边有3张，右边有1张，小秋的教室一共有多少张？27．用1分的硬币排成一个最大的正方形（每行和每列个数相同），结果余下10枚硬币；如果每行与每列都增加一枚，那么又缺少9枚．1分硬币有多少枚？28．在学校运动会上，五、六年级的学生站成方阵做集体体操表演．小亮站的位置从左数是第8位，从右数是第13位．这个方阵每排有_________人，整个方阵一共有_________人．29．参加军事训练的学生练习排下方形方阵，排成一个大方阵余12人，若将大方阵纵横各减少一行，则余下的人可以组成一个5行5列的方阵，这队学生共有_________人．30．在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外边每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方块队共由多少个同学组成？参考答案：1．（36+4）÷4=40÷4=10（人）；答：每边各有10名学生2．（7+7+1）×（7+7+1）=15×15=225（人）；答：五（3）班有225人．3．最外层每边人数：（72+4）÷4=76÷4=19（人）；19×19=361（人）；答：这个体操方阵有361人4．10×8×5=400（人）；答：5个方阵一共有400人5．6×6÷4=36÷4=9（人），答：每队9人6．240÷4=60（人），60+1=61（人）．答：这个方阵最外层每边有61人7．11×4﹣4=44﹣4=40（枚），（11﹣2）×4﹣4=36﹣4=32（枚），40+32=72（枚），答：这个方阵共有72枚棋子8．最外层一共有16×4﹣4=60枚，最内层一共有棋子数：10×4﹣4=36枚；（60﹣36）÷8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，则中间的2层的棋子数36+8=44个枚；44+8=52枚，所以方阵中的棋子总数是：60+52+44+36=192（枚）．答：这个空心方阵一共有192枚围棋子9．扩大的方阵每边上有：（10+15+1）÷2=26÷2=13（人）；原来人数：13×13﹣15=169﹣15=154（人）；答：原来有154人10．8×4﹣4=32﹣4=28（盆），答：四周放了28盆花11．25×4﹣4=100﹣4=96（盏）；答：这个广场一共需要彩灯96盏12．设最外层的每边人数是x人，则：（x﹣6）×6×4=360，24x﹣144=360，24x=504，x=21，答：最外层每边人数是21人13．16×4﹣4=60（人），16×16=256（人），答：最外层人数有60人，整个方阵一共有256名同学14．每边点数为：72÷4+1=18+1=19（人），总点数为：19×19=361（人），男生人数为：361﹣72=289（人），答：男生有289人15．设最内层每边有x个棋子，则从里到外每层依次有x+2、x+4、x+6个棋子，可得方程：4（x﹣1）+4（x+2﹣1）+4（x+4﹣1）+4（x+6﹣1）=272，4x﹣4+4x+4+4x+12+4x+20=272，16x=240，x=15；则最外层棋子有：15+6=21（个）；答：最外层有21个，最内层有15个16．因为7×7=49，所以49人组成的方阵的每边人数是7人，7×4﹣4=28﹣4=24（人）；答：这个方阵的最外层有24人17．13×4﹣4=48（人），13×13=169（人），答：最外层人数有48人，整个方阵一共有169名同学18．解：4+4﹣1=7（人），7×7=49（人），答：共有49人做操19．（1）沿靠水池的一边每边可以插：6÷1+1=7（面），所以一共可以插红旗：7×4﹣4=24（面）；（2）靠小路的另一边，每边可以插：（1+6+1）÷1+1=8+1=9（面），所以一共可以插黄旗：9×4﹣4=32（面），24+32=56（面），答：一共插56面小旗20．4﹣1=3（人），3+3+1=7（人），7×7=49（人）；答：这列方队共有49人21．（1）10+10﹣1=20﹣1=19（人）；（2）10×10﹣（10+10﹣1）=100﹣19=81（人）；答：若去掉一行一列，去掉19人，还剩81人22．如下图：23．（52+4）÷4=14（人），14×14=196（人）（28+4）÷4=8（人），（8﹣2）×6=36（人），196﹣36=160（人）；答：学生有160人24．最外层的花盆数为：10×4﹣4=36（盆），整个花坛的花盆数为：10×10=100（盆）；答：最外层一共有36盆花；整个花坛一共有100盆花25．26+5=31（人），（31+1）÷2=16（人），16×16﹣26=230（人）；答：育英小学有学生230人26．解：（3+4﹣1）×（3+1+1）=6×5=30（张）；答：小秋的教室一共有30张桌子27．解：每行每列都增加一排实际就是增加了：10+9=19（枚），所以原来每行每列有：（19﹣1）÷2=9（枚），所以原来的正方形方阵有：9×9=81（枚），81+10=91（枚），答：原来一共有91枚28．解：每排人数是：8+13﹣1=20（人），这个方阵一共有：20×20=400（人），答：这个方阵每排有20人，整个方阵一共有400人29．大方阵的每边人数为：（5×5﹣12+1）÷2=（25﹣12+1）÷2=14÷2=7（人），总人数为：7×7+12=49+12=61（人），答：这队学生共有61人30．（30﹣5）×5×4+20=500+20=520（人）；或302﹣（30﹣2×5）2+20=900﹣400+20=520（人）；答：这个方块队共由520个同学组成．。
公务员考试行测备考：数量关系快速解题法宝
公务员考试行测备考：数量关系快速解题法宝新一轮的公务员考试高峰又一次拉开了序幕，相信学员们已进入到了紧张的备战状态之中。
那么，在行测考试中，数量关系模块依然是决定是否得到高分的关键性因素，也是众多模块中难度最大的部分。
华图公务员考试研究中心为学员提炼了数量关系模块的快速解题法宝，以帮助大家高效地突破，冲出重围。
一、掐准时间，选择性做题在考场上，很多考生根本没时间做数量关系部分，而是采取直接蒙题的策略。
其实，随着近两年数量关系部分整体难度的下降，60%-70%的考题都是中等及以下难度的题型。
掌握好解题技巧，快速挑选出这些题目，可以获得非常大的优势。
所以，对于这部分不能轻言放弃，最后做数量关系部分，只做会的，不会再选择放弃。
二、基础题型，熟练掌握解题技巧延续往年趋势，数量关系部分着重考察数学运算。
对于过半的中等难度应用题，我们需要懂得识别题型、找对解题技巧，做到举一反三。
1.代入排除法：适用多位数、年龄等问题。
【例1】一个三位数的各位数字之和是16，其中十位数字比个位数字小3，如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？（）A.169B.358C.469D.736【答案】B【解析】多位数问题，考虑代入排除法。
只有B选项满足题意。
因此，本题的正确答案为B选项。
【例2】有四个学生恰好一个比一个大一岁，他们的年龄相乘等于93024，问其中年龄最大的学生多少岁？（）国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|A.16岁B.18岁C.19岁D.20岁【答案】C【解析】年龄问题，首选代入排除，注意代入的逻辑顺序，从年龄最大的选项D开始代入。
结合尾数法，可得只有C选项满足题意。
因此，本题的正确答案为C选项。
【点拨】当遇到特别棘手、无任何思路的复杂题型时，也可考虑代入排除法进行尝试。
2.方程法：核心解题思想，重点把握不定方程。
国家公务员考试常用数学公式汇总
国家公务员考试常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）³（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b23. 同底数幂相乘: am³an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝；（2）an＝a1＋（n－1）³d；（3）n ＝＋1（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1²q n－1；（2）sn ＝（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；直角三角形：有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。
直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；（5）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：a、b为两直角边长，c为斜边长）；（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；直角三角形的判定：（1）有一个角为90°；（2）边上的中线等于这条边长的一半；（3）若c2＝a2＋b2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；2. 面积公式：正方形＝边长³边长；长方形＝长³宽；三角形＝³底³高；梯形＝；正方体＝6³边长³边长长方体＝2³（长³宽＋宽³高＋长³高）；圆柱体＝2πr2＋2πrh；3. 体积公式正方体＝边长³边长³边长；长方形＝长³宽³高；圆柱体＝底面积³高＝Sh＝πr2h4. 与圆有关的公式设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：（1）d﹤r：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；（2）d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；（3）d﹥r：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；线与圆的位置关系的性质和判定：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：（1）直线与⊙O相交：d﹤r；（2）直线与⊙O相切：d＝r；（3）直线与⊙O相离：d﹥r；圆与圆的位置关系的性质和判定：设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：（1）两圆外离：；（2）两圆外切：；（3）两圆相交：（）；（4）两圆内切：（）；（5）两圆内含：（）．圆周长公式：C＝2πR＝πd （其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926）；的圆心角所对的弧长的计算公式：＝；扇形的面积：（1）S扇＝πR2；（2）S扇＝R；若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πr；圆锥的体积：V＝Sh＝πr2h。
五上数学思维拓展《方阵问题》
★解题思路：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数1. 100 名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？解：100-(10-1)×(10-1)=19 (人)答：减少19 人.2. 有一个用棋子摆成的方阵，如果再放入19 枚棋子，可使每行每列上的棋子各增加一枚.原来的方阵中有多少棋子？解：原来每边上的棋子数(19+1)÷2-1=9 (枚)；原来方阵中棋子总数9×9=81 (枚).答：原来的方阵中有81 枚棋子.3. 180 枚棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层有多少棋子？最外层每边有多少棋子？解：180÷3+8=68 (枚)；68÷4+1=18 (枚).答：最外层的有68 枚，最外层每边上有18 枚棋子4. 某校四年级学生排成一个方阵，最外一层的人数是60 人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有四年级学生多少人？解：外层每边60÷4+1=16(人)；总人数16×16=256(人).答：方阵外层每边有16 人，这个方阵共有四年级学生256 人.5. 在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64 人，最内层有32 人.参加团体操表演的共多少人？解：外层每边人数64÷4+1=17 (人)；内层每边人数32÷4+1=9 (人)；中空方阵人数17×17-(9-2)×(9-2)=240 (人).答：参加团体操表演的共240 人.6. 将一个每边16 枚棋子的实心方阵变成一个四层的中空方阵，此中空方阵的最外层每边有多少棋子？解：16×16÷4÷4+4=20 (枚).答：最外层每边有20 枚棋子.7. 252 名同学组成一个三层的空心方阵.如果要在方阵内部再增加一层，组成四层空心方阵要增加多少人？如果要在外部增加一层，又要增加多少人？解：中间层人数252÷3=84 (人)；向里增加一层需84-8×2=68 (人)；向外增加一层需84+8×2=100 (人).答：向内部增加一层需增加68 人，向外部增加一层需100 人.8. 同学们要把操场的盆花摆成实心方阵，结果还剩4 盆，如果增加一行一列，又少15 盆.求共有多少盆花？解：增加的那条边上有花(4+15+1)÷2=10 (盆)；实际有花10×10-15=85 (盆).答：共有85 盆花.9. 有一群学生排成三层中空方阵，多9 人.如中空部分增加两层，又少15 人.问有学生多少人？解：最外层人数(9+15-8)÷2+8×4=40(人)；总人数40+(40-8)+(40-8×2)+9=105(人).答：有学生105 人.10. 用若干围棋子摆成一个方阵，有两行两列都是黑棋，共48 枚，其余都是白棋，白棋有多少枚？解：每条边上棋子数(48+4)÷4=13(枚)；共有棋子13×13=169(枚)；白棋有169-48=121(枚).答：白棋有121 枚.11. 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14 个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解：最外层(14-1)×4=52(个)；中间层52-8=44(个)；三层共有44×3=132(个).答：摆这个方阵共用围棋子132 个。
五年级上册数学方阵问题
五年级上册数学方阵问题
姓名：
1、一客厅的天花板是正方形的，在天花板四周安装彩灯，每边安装15盏，四周共装
盏。
如果在中空部分增装2层彩灯，需多装盏。
2、光明小学学生排成20个人一行的正方形方阵,最外边两层共站学生.
3、一队学生排成中空方阵,最外层的人数为44人，最内层的人数为28人,这一方阵共站多少人.
4、六(1)班开展植树活动，如果每行、每列的棵数相等，那么树苗将多出25棵;如果每行每列都增植1棵,树苗将多出6棵.问六(1)班打算种下棵树.
5、一个大型方队,外层每边30人，内层每边10人，中间的位置由16人进行体操表演.问这个方阵共有人.
6、40人排成2层中空方阵,这一方阵的外层每边站人.
7、一方阵形桃园共11层,最里层共种16棵桃树,若每棵桃树结桃60千克,这个桃园共结桃多少千克.
8、男、女两队学生共组一正方形方队,第一次男、女两队各出10人,第二次两队又各出10人,这样一直排下去,最后一次男队仍出10人,女队不足10人，据估计两队共200多人.问两队派出学生的准备数应是.
9、有若干人，排成一个空心的4层方阵,现在调整阵形,把最外一层每边人数减少16人，层数出原来的4层变成8层,共有人。
行测公式大全
行测公式大汇总数字运算公式1.分数比例形式整除若a∶b=m∶n（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数。
若a＝m/n×b，则a＝m/（m＋n）×（a＋b），即a＋b是m＋n的倍数。
2. 尾数法（1）选项尾数不同，且运算法则为加、减、乘、乘方运算，优先使用尾数进行判定；（2）所需计算数据多，计算复杂时考虑尾数判断快速得到答案。
常用在容斥原理中。
3. 等差数列相关公式和=（首项＋末项）×项数÷2＝平均数×项数＝中位数×项数；项数=（末项－首项）÷项数＋1。
从1开始，连续的n个奇数相加，总和＝n×n，如：1＋3＋5＋7＝4×4＝16，……4.几何边端问题相关公式（1）单边线型植树公式（两头植树）：棵树=总长÷间隔+1，总长=（棵树－1）×间隔；（2）植树不移动公式：在一条路的一侧等距离栽种m棵树，然后要调整为种n棵树，则不需要移动的树木棵树为：（m－1）与（n－1）的最大公约数＋1棵；（3）单边环型植树公式（环型植树）：棵树=总长÷间隔，总长=棵树×间隔；（4）单边楼间植树公式（两头不植）：棵树=总长÷间隔－1，总长=（棵树+1）×间隔；（5）方阵问题：最外层总人数＝4×（N－1），相邻两层人数相差8人，n阶方阵的总人数为n²。
5-10：行程问题5. 火车过桥核心公式：路程＝桥长＋车长（火车过桥过的不是桥，而是桥长＋车长）；6. 相遇追及问题公式：相遇距离＝（速度1＋速度2）×相遇时间追及距离＝（速度1－速度2）×追及时间；7. 队伍行进问题公式：队首→队尾：队伍长度=（人速＋队伍速度）×时间队尾→队首：队伍长度=（人速－队伍速度）×时间；8. 流水行船问题公式：顺速＝船速＋水速，逆速＝船速－水速；9. 往返相遇问题公式：两岸型两次相遇：S＝3S1－S2，（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离B为S2）单岸型两次相遇：S＝（3S1＋S2）/2，（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离A为S2）；左右点出发：第N次迎面相遇，路程和＝（2N－1）×全程；第N次追上相遇，路程差＝（2N－1）×全程。
2014年暑假 三年级 精英班 第5讲 方阵问题 教师版
第五讲 方阵问题知识要点：在排队时，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方阵。
方阵是由人和物排成的正方形，一般有实心方阵和空心方阵(中空方阵)两种形式（如下图所示）。
根据行数(列数)的奇偶性也可将方阵分为:奇阶方阵和偶阶方阵。
方阵的基本特点：1、方阵不论哪一层，每边上的数量都相同，每向里一层，每边上的个数就少2，每一层就少8（奇阶方阵的内两层除外）。
2、每边个数和四周个数的关系：四周个数=（每边个数1-）4⨯每边个数= 四周个数41÷+3、实心方阵的总个数=每边个数⨯每边个数。
4、空心方阵的总个数=[最外层每边个数-空心方阵的层数]⨯空心方阵的层数4⨯。
一、基础应用：【例1】 运动会开幕式上，三（1）班的同学们排成一个实心方阵入场，最外一层每边有6个同学。
问三（1）班有多少个同学？【解析】 注意到这是一个66⨯的方阵，即同学们排成了6排，每排有6个人，因此可求出该方阵的总人数，即三（1）班的学生人数为 6636⨯=（人）。
【例2】 三年级的学生组成了一个正方形方队，共8行，每行8人，后来由于服装不够只好去掉一行一列，问去掉了多少名学生？ 【解析】 去掉一行与一列，由于每行每列都有8人，而8216⨯=（人），但是注意到每行与每列都有一个交叉点，所以实际上去掉的只有16115-=（人）。
实心方阵2层空心方阵3层空心方阵【例3】一堆棋子，排成实心方阵余9个，若横、竖各增加1排，则缺10个，问这堆棋子一共有多少个？【解析】若给原实心方阵增加1行1列，则需要棋子91019+=（个）-÷=（个）原实心方阵最外层每边有棋子(191)29这堆棋子一共有99990⨯+=（个）【例4】有一个正方形操场，如果四个角上各栽一棵树。
（1）若每边栽9棵树，那么一共要栽多少棵树？（2）若每边栽的树一样多，一共栽了56棵树，那么每边栽了多少棵树？【解析】（1）方法一：每边有9棵，4条边共有9436⨯=（棵），但每个角都重复算了一次，减掉4棵即可，所以共有36432-=（棵）。
2014年暑假 三年级 精英班 第5讲 方阵问题 学生版
第五讲 方阵问题知识要点：在排队时，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方阵。
方阵是由人和物排成的正方形，一般有实心方阵和空心方阵(中空方阵)两种形式（如下图所示）。
根据行数(列数)的奇偶性也可将方阵分为:奇阶方阵和偶阶方阵。
方阵的基本特点：1、方阵不论哪一层，每边上的数量都相同，每向里一层，每边上的个数就少2，每一层就少8（奇阶方阵的内两层除外）。
2、每边个数和四周个数的关系：四周个数=（每边个数1-）4⨯每边个数= 四周个数41÷+3、实心方阵的总个数=每边个数⨯每边个数。
4、空心方阵的总个数=[最外层每边个数-空心方阵的层数]⨯空心方阵的层数4⨯。
一、基础应用：【例1】 运动会开幕式上，三（1）班的同学们排成一个实心方阵入场，最外一层每边有6个同学。
问三（1）班有多少个同学？【例2】 三年级的学生组成了一个正方形方队，共8行，每行8人，后来由于服装 不够只好去掉一行一列，问去掉了多少名学生？实心方阵2层空心方阵3层空心方阵【例3】一堆棋子，排成实心方阵余9个，若横、竖各增加1排，则缺10个，问这堆棋子一共有多少个？【例4】有一个正方形操场，如果四个角上各栽一棵树。
（1）若每边栽9棵树，那么一共要栽多少棵树？（2）若每边栽的树一样多，一共栽了56棵树，那么每边栽了多少棵树？二、拓展训练：【例5】乐乐用棋子围成一个三层空心方阵，最内一层一周有40个棋子，求这个空心方阵的棋子总数。
【例6】有一队学生排成一个中空方阵，最外层人数共120人，最内层人数共56人，这队学生共有多少人？【例7】同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加三层成为五层方阵，还需多少盆花？【例8】小雨用跳棋摆成一个5层空心方阵，最外一层每边有跳棋20个。
小雨摆这个空心方阵共用去多少个跳棋？【例9】一个中空方阵的队列，最外层每边16人，最内层每边8人，这个队列共有多少人？【例10】圆圆将手中108枚围棋子排成了一个三层的空心方阵，请你帮他算一算：最外层每边有多少个棋子？三、难题解析：【例11】有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人？【例12】学校举行运动会，开幕式上，一支由两个实心方阵组成的方队朝主席台走来，这支方队进行了五次变化，第一次两个方阵组合成了一个大的10行10列的实心方阵；第二次由大的实心方阵变化成一个更大的一层空心方阵；第三次又分解成原来两个小的实心方阵；第四次人数较多的实心方阵变化成了两层的空心方阵；最后一次又合并成大的实心方阵，走过了主席台。
第16讲 方阵问题
第5讲方阵问题学生排队，士兵列队，横着排叫行，竖着排叫列，如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形叫方队，也叫方阵（亦叫乘方问题）．方阵的基本特点：1．方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2．2．每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数一[每边人（或物）数-1-1×4；每边人（或物）数一四周人（或物）数÷4+1． 3．中实方阵总人（或物）数一每边人（或物）数×每边人（或物）数．豳有一个正方形操场，每边都栽17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？豳某校四年级的同学排成一个方阵，最外一层的人数为80人，问最外一层每边上有多少人？这个方阵共有四年级学生多少人？鬟黝妈妈用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16个，妈妈摆这个方阵共用了多少个围棋子？麟戮一堆棋子，排成一个实心方阵，后来又添进21只棋子，使横竖各增加一排，成为一个新的实心方阵，求原来实心方阵用了多少只棋子？赋飘二个街心花园如图3所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花，问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园共栽多少棵花？蕊弱有一堆棋子排成实心方阵多余3只，如果纵、横各增加一排，则缺8只，问一共有棋子多少？A卷一、填空题1．用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子枚．2．用棋子排成一个正方形，共排成9排，每排9个，排成这个正方形共用枚棋子．3．一个正方形棋盘，四边各放5枚围棋子（四个角上都要有一枚）’，那么一共有枚围棋子，4．有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽棵树．5．有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，四边一共栽24棵树，每边栽棵树．6．在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，四周共装彩灯盏．7．在一块正方形场地的四边竖电线杆，四个角上都是1根，一共竖28根，则场地每边竖根．8．有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人．如果每边站的人数相等，那么每边站个学生．二、解答题9.169人排成一个实心方阵，这个方阵每边有多少人？10.有100个少先队员参加广播操比赛，排成了一个正方形队，问这个正方形四周站了多少个少先队员？11.同学们排练团体操，排成两层空心方阵，最外层每边12人，排成这样的方阵共需要多少人？12.五一节前夕，街心喷水池的周围用216盆鲜花围成一个每边三层的空心方阵，问最外面一层每边有鲜花多少盆？B卷一、填空题1．方阵每边的实物数量，相邻两层每边实物数量相差，相邻两层实物数量相差____．2．小明用棋子排成一个五层空心方阵，外层每边有15个棋子，这个空心方阵共有棋子个．3．用棋子排成两层空心方阵，外层每边有8个棋子，这个空心方阵的棋子总数有个棋子．4．福山路小学三年级同学排成正方形队列共三层，当中是空的，知道外面一层每边有14人，三年级参加队列表演共有人．5．向阳小学有576名学生，进行列队训练．若排成三层空心方阵，这个方阵黪的最外层有人．6．有少先队员若干人，参加体操表演排成一个空心方阵，外层每边12人，共三层，一共有人参加表演．7．有战士若干，排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问有战士人．8．有一队学生，排列成一个中空的方阵，最外层人数共60人，最内层人数共28人，这队学生有人．9．希望小学四年级同学排成正方形队列，共两层，当中是空的，只知道外面的一层每边有16人，四年级共有人．10.小明用棋子排成一个四层空心方阵，外层每边有棋子11个，这个空心方阵共有棋子个．11.新民小学五年级学生120人，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边人．12.有一队学生排列成一个中空方阵，最外层人数共52人，最内层人数共 28人，问这队学生有人．二、解答题13.一个方阵花坛共有15层，最内层每边有20株花草，问花坛的花草总数有几棵？14.设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵．已知参加表演的人只有360人，最外层每边应排几人？15.请你自己动手画一画，为第13、14题各配上图，进一步理解每一题的计算方法． C卷一、填空题1．有一堆棋子排列成正方形，多余3个．如果正方形纵、横两个方向各增加一层，则缺少8个，一共有个棋子．2．一堆棋子排成正方形，多余5个棋子．若正方形纵、横两个方向各增加一层，则缺少10个棋子，棋子有个．3．新华小学四年级学生排成一个实心方阵，还多9人，如果横、竖各增加一排，成为大一点的实心方阵，又差24人，求四年级学生共有人． 4．有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块．如果将它改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块，这批砖原有块． 5．一堆棋子，排成正方形，多余4个棋子，若正方形纵、横两个方向各增加一层，则缺少9个棋子，那么共有棋子个．6．在第十七届校运动会开幕式上，红星小学组成了一个大型方阵队，方阵队是外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方阵队共有个同学组成．7．原计划每边栽24棵树，形成一个实心方阵．现在要留出中间地方打一眼井，如树的棵数增加24棵，想栽成5层中空方阵，最外层栽棵树．8．一队战士排成三层空心方阵，多出16人，如果在空心部分再增加一层，又差28人，求这队战士共有人；如果排成一个实心方阵，每边人．9．有柳树若干棵，若排成三层的中空方阵，尚余9棵．在中空部分增加一层，则缺7棵，柳树有棵，二、解答题10.有武术队员若干人，如果分成两队可排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵每边8人；如果两队合并，可另排成一个三层空心丙方阵，原甲方阵的人数正好能填满丙的空心方阵，问武术队员共有多少人？11.有一个用瓷砖拼成的正方形，要在横、竖方向分别增加3排瓷砖，拼成一个大正方形，一共需要增加159块瓷砖，问原来的正方形是由几块瓷砖拼成的？12.每边长25米的正方形池水边铺正方形水泥块，这种水泥块每边为50厘米．如果紧靠水池边铺三层水泥块（水泥块紧靠在一起），成为三层空心方阵，共要水泥块多少块？13.甲、乙两队种树，要把树种成正方形．第一次每队种10棵，第二次每队又种10棵，这样一直种下去，最后一次甲队仍种10棵，而乙队种的不足 10棵，收工后，老师问他们两队共种了多少棵树，两个队长都说：“共种了二百多棵树．”你能说出他们种树的准确数吗？14.解放军战士若干分成两队，可排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边人数是12人．如果两队合并，可以另排成一个空心丙方阵，丙方阵最外层每边人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，甲方阵的战士正好能填满丙方阵的空心，问解放军战士有多少人？。
第五讲方阵问题
第五讲 方阵问题学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列．如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵．方阵包括：空心方阵（下右图）和实心方阵（下左图）．而实心方阵的每一层又可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的．方阵问题就是计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数。
弄清方阵中物体数量之间的关系对解答这类题是大有帮助的。
方阵的基本特点是：①实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．②方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少2，每层 总数就少8．③每边人（或物）数和每层总数的关系：每层总数=[每边人（或物）数-1]×4； 每边人（或物）数=每层总数÷4+1．例1 二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？分析与解：因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列．若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列的人数可求．参加健美操表演的人数可求．列式： (171)21628-÷=÷= (人)，8864⨯=(人)．例2学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有多少人？分析与解：学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了11人，那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在11里面多加一个．现在每行的人数是：11126+÷=（）（人），共6636⨯=（人）．例3某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有三年级学生多少人?分析与解：（法1）方阵外层每边有：（36+4）÷4=10（人）（人），共10×10=100（人）．（法2）方阵外层每边有：36÷4+1=10（人），共10×10=100（人）．例4小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？分析与解：首先根据“每边的个数＝总数÷4+1”求出每边的棋子数：40÷4+1=11（个），根据＂每向里一层每边棋子数减少2＂，求出最外面数的第二层中每边各有：11-2=9（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需：9×9=81（个）棋子．例5用棋子摆成一个二层空心方阵，外层每边6个棋子，求这个二层空心方阵的棋子点数。
方阵问题例题
例题：有若干棋子排成5列，每列若干，现在从左向右数第1列有棋子12枚，其后每一列比前一列多2枚棋子，共有多少枚棋子？
题目描述了一个棋子方阵的问题。
这些棋子排成了5列，每列有不同数量的棋子。
第1列有12枚棋子，然后每一列比前一列多2枚棋子。
我们需要找出总共有多少枚棋子。
假设第1列有a 枚棋子，总共有n 列。
根据题目，我们可以建立以下数学模型：
1. 第1列有a = 12 枚棋子。
2. 每一列比前一列多2 枚棋子。
3. 总共有n = 5 列。
4. 每一列的棋子数量形成一个等差数列，首项是a，公差是2，项数是n。
5. 总棋子数量是等差数列的和，记作S。
用数学公式表示，总棋子数量S 可以计算为：
S = n ×(a + l) / 2
其中，l 是等差数列的末项，计算公式是：
l = a + (n - 1) ×2
现在我们要来解这个方程组，找出S 的值。
计算结果为：S = 100
所以，总共有100 枚棋子。
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公务员行测计算公式大全!
行测计算公式若a∶b=m∶n(m、n互质），则a是m的倍数,b是n的倍数。
若a＝m/n×b，则a＝m/（m＋n)×（a＋b），即a＋b是m＋n的倍数（1）选项尾数不同，且运算法则为加、减、乘、乘方运算，优先使用尾数进行判定；（2）所需计算数据多，计算复杂时考虑尾数判断快速得到答案。
常用在容斥原理中。
和=（首项＋末项）×项数÷2＝平均数×项数＝中位数×项数；项数=(末项－首项）÷项数＋1。
从1开始，连续的n个奇数相加,总和＝n×n,如:1＋3＋5＋7＝4×4＝16，……（1）单边线型植树公式（两头植树）：棵树=总长÷间隔+1，总长=(棵树－1）×间隔（2)植树不移动公式：在一条路的一侧等距离栽种m棵树，然后要调整为种n棵树，则不需要移动的树木棵树为：（m－1)与(n－1）的最大公约数＋1棵；(3）单边环型植树公式（环型植树)：棵树=总长÷间隔，总长=棵树×间隔（4）单边楼间植树公式（两头不植）：棵树=总长÷间隔－1，总长=(棵树+1）×间隔(5）方阵问题:最外层总人数＝4×(N－1），相邻两层人数相差8人，n阶方阵的总人数为n²。
5. 火车过桥核心公式：路程＝桥长＋车长（火车过桥过的不是桥，而是桥长＋车长)6. 相遇追及问题公式：相遇距离＝（速度1＋速度2）×相遇时间追及距离＝（速度1－速度2）×追及时间7。
队伍行进问题公式：队首→队尾:队伍长度=（人速＋队伍速度）×时间队尾→队首:队伍长度=（人速－队伍速度）×时间8。
流水行船问题公式：顺速＝船速＋水速，逆速＝船速－水速9. 往返相遇问题公式:两岸型两次相遇：S＝3S1－S2，(第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离B为S2）单岸型两次相遇:S＝(3S1＋S2）/2,（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离A为S2）；左右点出发：第N次迎面相遇，路程和＝（2N－1）×全程;第N次追上相遇，路程差＝（2N－1）×全程。
方阵问题公式
方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是100-16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
(10-3)×3×4=84(人)。
数学运算中这些公式要牢记
数学运算中这些公式要牢记1、分数比例形式整除若a∶b=m∶n（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数。
若a＝m/n×b，则a＝m/（m＋n）×（a＋b），即a＋b是m＋n的倍数2、尾数法（1）选项尾数不同，且运算法则为加、减、乘、乘方运算，优先使用尾数进行判定；（2）所需计算数据多，计算复杂时考虑尾数判断快速得到答案。
常用在容斥原理中。
3、等差数列相关公式和=（首项＋末项）×项数÷2＝平均数×项数＝中位数×项数；项数=（末项－首项）÷项数＋1。
从1开始，连续的n个奇数相加，总和＝n×n，如：1＋3＋5＋7＝4×4＝16，……4、几何边端问题相关公式（1）单边线型植树公式（两头植树）：棵树=总长÷间隔+1，总长=（棵树－1）×间隔（2）植树不移动公式：在一条路的一侧等距离栽种m棵树，然后要调整为种n棵树，则不需要移动的树木棵树为：（m－1）与（n－1）的最大公约数＋1棵；（3）单边环型植树公式（环型植树）：棵树=总长÷间隔，总长=棵树×间隔（4）单边楼间植树公式（两头不植）：棵树=总长÷间隔－1，总长=（棵树+1）×间隔（5）方阵问题：最外层总人数＝4×（N－1），相邻两层人数相差8人，n阶方阵的总人数为n?。
5、行程问题（1）火车过桥核心公式：路程＝桥长＋车长（火车过桥过的不是桥，而是桥长＋车长）（2）相遇追及问题公式：相遇距离＝（速度1＋速度2）×相遇时间追及距离＝（速度1－速度2）×追及时间（3）队伍行进问题公式：队首→队尾：队伍长度=（人速＋队伍速度）×时间；队尾→队首：队伍长度=（人速－队伍速度）×时间（4）流水行船问题公式：顺速＝船速＋水速，逆速＝船速－水速（5）往返相遇问题公式：两岸型两次相遇：S＝3S1－S2，（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离B为S2）单岸型两次相遇：S＝（3S1＋S2）/2，（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离A为S2）；左右点出发：第N次迎面相遇，路程和＝（2N－1）×全程；第N次追上相遇，路程差＝（2N－1）×全程。
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5、方阵问题
学习目标:
1、使学生认识方阵中的数学问题，理解什么是方阵，理解实心方阵和空心方阵的含义。
2、通过学生自主探究，引导学生经历探索过程，发现方阵排列的规律，体验解决问题策略的多样性。
3、让学生感受数学在日常生活中的广泛运用，培养学生从实际问题中探索规律，寻求解决问题的有效方法与能力。
教学重点:
1、每条边与四周的数量关系，相邻两条边之间的数量关系，掌握方阵每层之间的数量关系。
2、求实心方阵的总数量。
教学难点：
探究与解决方阵问题的过程，以及求空心方阵的总数量。
教学过程：
一、情景体验
师：同学们，今天上课之前我们先来看一组图片（课件展示），从这组图片中你都看到了些什么呢？
生：国庆阅兵仪式中的仪仗队。
生：学校运动会时学生列队正走过主席台呢。
师：看来同学们观察的都很仔细。
这就是我们今天要探究的数学问题（板书课题）。
你们知道什么是方阵吗？其实刚刚我们图片中的一个一个整齐的队伍就是一个方阵，观察一下它的横向和纵向人数有什么关系呢？
生：人数是一样的，都是7个人。
师：像这样行数和列数相等的队列我们就把它叫做方阵。
横向的我们把它叫做行，竖向的我们把它称作列，再认真观察一下，这两个方阵有什么不同吗？
生：后面一个中间是空的。
师：很好，一般情况下我们把方阵分为实心方阵和空心方阵，每行每列都布满了
点的我们称作实心方阵，只留下了最外层或者最外几层的，中间层是空心的，我们就叫做空心方阵。
在日常生活中，除了正方形的体操队列以外，你还在哪里见过方阵呢？
生：正方形的花坛周围摆放花盆，插旗杆，棋盘等等（学生发言）。
师：说的都不错！方阵在我们的生活中随处可见，在这些美丽的方阵图片里还蕴含着很多有趣的数学问题呢！你们知道吗？今天就让我们一起去探索其中的奥秘吧！
二、思维探索（建立知识模型）
展示例题：
例1：军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？
师：为了更清晰地研究问题，我们可以画出示意图。
请大家对照图看一看，如果去掉一行一列要去掉多少人？
生：去掉7×2=14人。
生：不对，是去掉14-1=13人。
师：为什么呢？
生：因为有一个人既在行里，也在列里，算重复了。
师：还剩下多少人呢？
生：还剩下7×7-13=36人。
生：也可以这样算，剩下的是六行六列，所以还剩下6×6=36人。
例2：光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？
师：大家怎样理解“横竖各减少一排”？
生：就是减少一行一列。
师：这跟上一题有什么关系呢？
生：减少一行一列共去掉27人，说明一行有（27+1）÷2=14（人）。
师：原来的正方形队列有多少人？
生：14×14=196（人）
例3：正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
师：应该怎样算出四周的彩灯盏数？
生：这个简单，正方形的舞厅有四条边，每条边有12盏，所以总共有12×4=48（盏）。
师：大家觉得对吗？
生：不对，四个角落的彩灯重复计算了，应该是48-4=44（盏）。
小结：方阵每边数量与四周数量的关系：四周数量=每边数量×4-4，每边数量=四周数量÷4+1。
例4：游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。
最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有多少人？
师：求三层方阵的总人数，我们可以先求出每一层的人数，也可以用实心方阵的总人数-中间空心方阵的总人数。
方法一：
师：我们可以画图来分析每一层的人数关系，先从数字较小的情况来分析。
（见PPT）假定图中是一个7×7的方阵，最外层每边有7人，中间层每边有几人呢？生：中间层每边只有5人。
师：最内层每边有几人呢？
生：最内层每边有3人。
小结：方阵不论在哪一层，每边上的数量都相同。
每向里一层，每边上的数量减少2。
师：现在我们清楚了每一层每条边上的人数关系，能运用上一题的规律来分别求出每一层的人数吗？
生：能，最外层有：12×4-4=44（人）；中间层：12-2=10（人），10×4-4=36（人）；内层：10-2=8（人），8×4-4=28（人），所以三层总共有：44+36+28=108（人）。
师：观察每一层的人数，你能发现什么？
生：每层人数逐层减少8。
方法二：
师：对照示意图，我们还可以发现中间空的也是一个方阵，这样可以用12×12的实心方阵总人数-中间空心方阵的总人数。
生：可是我们不知道中间空心方阵的人数呀！
师：根据前三层每条边的人数规律，大家能发现什么呢？
生：哦，我发现接下来的第四层（也就是空心方阵的最外层）每边人数应该是：8-2=6（人），所以中间空心方阵的人数是：6×6=36（人）。
生：那么三层方阵的总人数就是：12×12-36=108（人）。
小结：实心方阵总数量=每边数量×每边数量，空心方阵每一层的数量逐层减少8。
例5：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。
问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
师：题目告诉我们最外层有60人，大家能根据四周数量与每边数量的关系求出最外层每边有多少人吗？
生：60÷4+1=16（人）。
师：这个方阵的总人数怎样求？
生：16×16=256（人）。
例6：小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外层每边有多少个棋子？
师：求最外层每边有多少个棋子，需要先知道最外层一共有多少个棋子。
师：五层的棋子总数是200，怎样求最外层的棋子数呢？
生：根据每一层之间的数量关系，可以知道最外层数量最大，以后逐层减少8。
师：如果每层的数量都和最外层相同，由此我们可以得到算式：200+8+8×2+8×3+8×4=280（个），那么最外层有：280÷5=56（个）。
生：那么最外层每边有：56÷4+1=15（个）。
例7：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有围棋子14个。
晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
师：知道了“最外层每边有围棋子14个”，能求出最外层总共有多少个围棋子吗？生：有14×4-4=52（个）。
师：第二层、第三层的个数是多少呢？
生：第二层有52-8=44（个）；第三层有44-8=36（个）。
师：三层空心方阵的总数是多少呢？
生：52+44+36=132（个）。
五、总结
通过这次课的学习，你学到了什么呢？。