5、方阵问题

5、方阵问题

学习目标:

1、使学生认识方阵中的数学问题，理解什么是方阵，理解实心方阵和空心方阵的含义。

2、通过学生自主探究，引导学生经历探索过程，发现方阵排列的规律，体验解决问题策略的多样性。

3、让学生感受数学在日常生活中的广泛运用，培养学生从实际问题中探索规律，寻求解决问题的有效方法与能力。

教学重点:

1、每条边与四周的数量关系，相邻两条边之间的数量关系，掌握方阵每层之间的数量关系。

2、求实心方阵的总数量。

教学难点：

探究与解决方阵问题的过程，以及求空心方阵的总数量。

教学过程：

一、情景体验

师：同学们，今天上课之前我们先来看一组图片（课件展示），从这组图片中你都看到了些什么呢？

生：国庆阅兵仪式中的仪仗队。

生：学校运动会时学生列队正走过主席台呢。

师：看来同学们观察的都很仔细。这就是我们今天要探究的数学问题（板书课题）。你们知道什么是方阵吗？其实刚刚我们图片中的一个一个整齐的队伍就是一个方阵，观察一下它的横向和纵向人数有什么关系呢？

生：人数是一样的，都是7个人。

师：像这样行数和列数相等的队列我们就把它叫做方阵。横向的我们把它叫做行，竖向的我们把它称作列，再认真观察一下，这两个方阵有什么不同吗？

生：后面一个中间是空的。

师：很好，一般情况下我们把方阵分为实心方阵和空心方阵，每行每列都布满了

点的我们称作实心方阵，只留下了最外层或者最外几层的，中间层是空心的，我们就叫做空心方阵。在日常生活中，除了正方形的体操队列以外，你还在哪里见过方阵呢？

生：正方形的花坛周围摆放花盆，插旗杆，棋盘等等（学生发言）。

师：说的都不错！方阵在我们的生活中随处可见，在这些美丽的方阵图片里还蕴含着很多有趣的数学问题呢！你们知道吗？今天就让我们一起去探索其中的奥秘吧！

二、思维探索（建立知识模型）

展示例题：

例1：军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？

师：为了更清晰地研究问题，我们可以画出示意图。请大家对照图看一看，如果去掉一行一列要去掉多少人？

生：去掉7×2=14人。

生：不对，是去掉14-1=13人。

师：为什么呢？

生：因为有一个人既在行里，也在列里，算重复了。

师：还剩下多少人呢？

生：还剩下7×7-13=36人。

生：也可以这样算，剩下的是六行六列，所以还剩下6×6=36人。

例2：光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？

师：大家怎样理解“横竖各减少一排”？

生：就是减少一行一列。

师：这跟上一题有什么关系呢？

生：减少一行一列共去掉27人，说明一行有（27+1）÷2=14（人）。

师：原来的正方形队列有多少人？

生：14×14=196（人）

例3：正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？

师：应该怎样算出四周的彩灯盏数？

生：这个简单，正方形的舞厅有四条边，每条边有12盏，所以总共有12×4=48（盏）。

师：大家觉得对吗？

生：不对，四个角落的彩灯重复计算了，应该是48-4=44（盏）。

小结：方阵每边数量与四周数量的关系：四周数量=每边数量×4-4，每边数量=四周数量÷4+1。

例4：游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有多少人？

师：求三层方阵的总人数，我们可以先求出每一层的人数，也可以用实心方阵的总人数-中间空心方阵的总人数。

方法一：

师：我们可以画图来分析每一层的人数关系，先从数字较小的情况来分析。（见PPT）假定图中是一个7×7的方阵，最外层每边有7人，中间层每边有几人呢？生：中间层每边只有5人。

师：最内层每边有几人呢？

生：最内层每边有3人。

小结：方阵不论在哪一层，每边上的数量都相同。每向里一层，每边上的数量减少2。

师：现在我们清楚了每一层每条边上的人数关系，能运用上一题的规律来分别求出每一层的人数吗？

生：能，最外层有：12×4-4=44（人）；中间层：12-2=10（人），10×4-4=36（人）；内层：10-2=8（人），8×4-4=28（人），所以三层总共有：44+36+28=108（人）。

师：观察每一层的人数，你能发现什么？

生：每层人数逐层减少8。

方法二：

师：对照示意图，我们还可以发现中间空的也是一个方阵，这样可以用12×12的实心方阵总人数-中间空心方阵的总人数。

生：可是我们不知道中间空心方阵的人数呀！

师：根据前三层每条边的人数规律，大家能发现什么呢？

生：哦，我发现接下来的第四层（也就是空心方阵的最外层）每边人数应该是：8-2=6（人），所以中间空心方阵的人数是：6×6=36（人）。

生：那么三层方阵的总人数就是：12×12-36=108（人）。

小结：实心方阵总数量=每边数量×每边数量，空心方阵每一层的数量逐层减少8。

例5：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？

师：题目告诉我们最外层有60人，大家能根据四周数量与每边数量的关系求出最外层每边有多少人吗？

生：60÷4+1=16（人）。

师：这个方阵的总人数怎样求？

生：16×16=256（人）。

例6：小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外层每边有多少个棋子？

师：求最外层每边有多少个棋子，需要先知道最外层一共有多少个棋子。

师：五层的棋子总数是200，怎样求最外层的棋子数呢？

生：根据每一层之间的数量关系，可以知道最外层数量最大，以后逐层减少8。师：如果每层的数量都和最外层相同，由此我们可以得到算式：200+8+8×2+8×3+8×4=280（个），那么最外层有：280÷5=56（个）。

生：那么最外层每边有：56÷4+1=15（个）。