易错点17 双曲线答案-备战2023年高考数学易错题

易错点17 双曲线易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：

易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径； 易错点3：直线与双曲线的位置关系

（1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；

（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在

下进行）.

题组一：定义与标准方程

1．（2015福建理）若双曲线22

:

1916

x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）

A ．11

B ．9

C ．5

D ．3 【答案】B

【解析】

由双曲线定义得，即，解得，故选B ． 2．（2019年新课标1卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，

B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则

C 的方程为( ) A ．2

212

x y +=

B ．22

132x y +=

C ．22

143x y +=

D ．22

154

x y +=

【答案】B

【解答】∵22||2||AF F B =，∴23AB BF =， 又1||||AB BF =，∴|BF 1|＝3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝2

a ， ∴|AF 2|＝a ，|BF 1|＝

32

a ， 在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O ＝

1

a

， 1226PF PF a -==236PF -=29PF =

在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 2F 1＝

22

3422222

a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⨯⨯

， 根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1＝0，可得2

14202a a a

-+=，解得a 2＝3，

∠a =

b 2＝a 2﹣

c 2＝3﹣1＝2．

所以椭圆C 的方程为22

132

x y +=故选：B ．

3．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

的一条渐近线方程为

2y x =，且与椭圆221123

x y +

=有公共焦点，则C 的方程为 A ．

221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143

x y -= 【答案】B

【解析】由题意可得：

b a =3

c =，又222a b c +=，解得2

4a =，25b =， 则C 的方程为

2

145

x y 2-=，故选B ． 4.（2016年新课标1卷）已知方程132

2

22=--+n

m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3) 【答案】A

【解析】由题意知c=2,()()2224=3,1

m n m n m ++-=解得,

因为方程132

2

22=--+n

m y n m x 表示双曲线， 所以()()()()2230,130m n m n n n +->+->可得 解得-1

题组二：焦点三角形

5．（2020·新课标∠文）设12,F F 是双曲线2

2

:13

y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P

在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．

72

B ．3

C ．

52

D ．2

【答案】B

【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，∵121

||1||2

OP F F ==

，∴点P 在以12F F 为直径的圆上， 即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=， 即2

2

12||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，

∴2

124||||PF PF =-=22

12||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，

解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =

△121

||||32

PF PF =，故选B ． 6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦

点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a （ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8 【答案】A 【解析】解法一：

5c

a

=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121

||42

PF F PF F S P =

⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()2

2

212||2PF PF c ∴+=，()

2

2121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即

22540a a -+=，解得1a =，故选A ．

解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2

tan 2

2

1θb S F PF =．∴︒

45tan 2

b =4，则2=b ， 又∵5==

a

c

e ，∴1=a ． 解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+a

c

e c n m ，求的1=a ．