新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 42 双曲线
高考理科数学一轮复习课件双曲线
参数法适用于一些较复杂的双 曲线问题，如求轨迹方程、最 值问题等。
数形结合思想在求解中应用
数形结合思想是将代数问题和几何问题相互转化，通过图形直观理解问题并求解的 方法。
在双曲线问题中，可以通过画出双曲线的图形，利用几何性质来理解和求解问题。
数形结合思想在求解双曲线问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解问题，并找 到正确的求解方法。
切线问题及其性质探讨
80%Байду номын сангаас
切线的定义
与双曲线只有一个公共点的直线 称为双曲线的切线。
100%
切线的性质
双曲线的切线满足切线方程与双 曲线方程联立后，判别式为零的 条件。
80%
切线的求解
通过联立切线方程和双曲线方程 ，消元后得到一元二次方程，由 判别式为零求得切线的斜率，从 而得到切线方程。
弦长公式应用举例
典型例题分析与解答
• 解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线 实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1| |PF2| = 2a2，由椭圆定义|PF1| + |PF2| = 2a1，可得|PF1| = a1 + a2，|PF2| = a1 - a2，又|PF1|⊥|PF2|，可得 |PF1|^{2} + |PF2|^{2} = 4c^{2}，即有(a1 + a2)^{2} + (a1 - a2)^{2} = 4c^{2}，化为a1^{2} + a2^{2} = 4c^{2}，即 有\frac{1}{{e{1}}^{2}} + \frac{1}{{e{2}}^{2}} = 4，可得 e{1}e{2} = \frac{c^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(a{1} + a{2})}^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4}(1 + \frac{a{1}}{a{2}} + \frac{a{2}}{a{1}}) ≥ 1，当且仅当a{1} = a{2}时等号成立．即有e{1}e{2} ≥ 1．故选A．
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题9-4 双曲线 教师版
专题9.4双曲线练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）AB C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）则a =（）B．4C．2D．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a a=，解得12a =，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 60c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩ ，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a 2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y =2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.故答案为：3练提升1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为()53C．22【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c==PO a∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅e 3∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（）A B ．53C D ．103【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即3c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．233C D ．33【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)3P x x ±，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为3y x =±，可令00(,)3P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)3F P x =+± ，200(2,)3F P x x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a=D ．若M 为直线2a xc =（c ）上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t --∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMN S = 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||3AC R =，1(31)(||||)22R a AC BC -=-=，31==+c e a ．故答案为：31+练真题1.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B 132C 7D 13【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -OP |=（）A．222B．4105C．710【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（）B．C．2D．【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（）A．324B．2C．D．【答案】A 【解析】由2,a b c ===．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上，113322224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=．。
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
2020版高考数学(新课改省份专用)一轮复习(讲义)第八章 解析几何 第四节 双曲线
第四节 双曲线突破点一 双曲线的定义和标准方程[基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y 225－x 275＝13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为________．答案：72[全析考法]考法一 双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题； (2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1] (1)(2019·宁夏育才中学月考)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|P Q|－|PR |的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] (1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒PF 2＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)由题意可知C 3，C 2的圆心分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|P Q|max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|P Q|－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．考法二 双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型[例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1[解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bc c ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x223＝1解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.突破点二 双曲线的几何性质[基本知识][基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________． 答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一 渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a2－x 20＝1，即9a 2－24＝1，解得a 2＝925， 所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二 离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ [解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2.4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ， y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .。
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
第2讲 双曲线的定义及其应用-新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义
新高考数学大一轮复习第2讲 双曲线的定义及其应用一．问题综述本讲梳理双曲线的定义及其应用． （一）双曲线的定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定值2a ()1202a F F <<的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．（二）双曲线定义的应用主要有下面几方面的应用：1．判断轨迹形状；2．求标准方程；3．求最值或范围． 二．典例分析类型一：判断轨迹形状【例1】已知12,F F 是定点，动点M 满足12||||8MF MF -=，且12||10F F =则点M 的轨迹为（ ）A ．双曲线B ．直线C ．圆D ．射线 【解析】由题意得12||||8MF MF -=<12||10F F =，所以点M 的轨迹为双曲线。
【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断：设平面内动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定值2a ()0a >，即12||||2MF MF a -=， （1）若1202a F F <<，则点M 的轨迹是双曲线（包括两支）．（2）若12||||2MF MF a -=，则点M 的轨迹是双曲线的一支；若21||||2MF MF a -=，则点M 的轨迹是双曲线的另一支．（3）若122a F F =，则点M 的轨迹是两条射线． （4）若122a F F >，则点M 的轨迹不存在． 【变式训练】18表示的曲线是 ，其标准方程是 ．212表示的曲线是 ，其方程是 ．314表示的曲线 ． 【答案】1．双曲线的左支，()22141620x y x -=-≤；2．两条射线，()044y x x =-或≥≤； 3．不存在．类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程【例1】ABC △中，()5,0B -，()5,0C ，且3sin sin sin 5C B A -=，求点A 的轨迹方程．【解析】由3sin sin sin 5C B A -=，得32sin 2sin 2sin 5R C R B R A -=⋅，∴35AB AC BC -=，即6AB AC -=， ∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）， ∵26a =，210c =，∴3a =，5c =，4b =， 所求轨迹方程为()2213916x y x -=>．【方法小结】由于sin A ，sin B ，sin C 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为ABC △外接圆半径），可转化为边长的关系．再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【例2】已知双曲线224199x y -=的左右焦点分别是12,F F ，Q 是双曲线右支上的动点，过1F 作12F QF ∠的平分线的垂线，求垂足M 的轨迹．【解析】设点M 的坐标为(),x y ， 延长2QF 与1F M 交于点T ，连接OM ． ∵QM 平分12F QF ∠，且QM ⊥1F M ， ∴ 1QF QT =，1F M MT =． 又∵点Q 是双曲线右支上的动点， ∴ 1222QF QF QT QF a -=-=，∴ 22F T a =，∴ OM a =，即点M 在以O 为圆心，a 为半径的圆上． ∵ 当点Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM 趋近于双曲线的渐近线， ∴ 点M 的轨迹是圆弧CBD ，除去点C 和D ，方程为226593x y x ⎛⎫+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭． 【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 【变式训练】ABC △的顶点()5,0A -、()5,0B ，ABC △的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．()2213916x y x -=>D ．()2214169x y x -=>【解析】如图8AD AE ==，2BF BE ==，CD CF =， 所以82610CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为()2213916x y x -=>．类型三：焦点三角形中的计算问题【例1】已知P 是双曲线2216436x y -=上一点，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，若117PF =，则2PF 的值为________．【解析】由双曲线方程2216436x y -=知，8, 6a b ==，则2210c a b =+=．∵P 是双曲线上一点，∴12216PF PF a -==，又117PF =，∴21PF =或233PF =． 又22PF a c -=≥，∴233PF =．【例2】已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 右支上的一点，且212PF F F =， 则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96【解析】依题意得21210PF F F ==，由双曲线的定义，得1226PF PF a -==，∴116PF =．∴122211616104822PF F S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭△，故选C ． 【方法小结】关键抓住点P 为双曲线C 右支上的一点，从而有122PF PF a -=，再利用212PF F F =，进而得解．双曲线上一点P 与双曲线的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求12PF PF ⋅；通过整体代入可求其面积等． 【变式训练】1．设椭圆2212x y m +=和双曲线2213y x -=的公共焦点分别为1F 、2F ，P 为这两条曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值等于__________．【答案】3．【解析】焦点坐标为()0,2±，由此得24m -=，故6m =.根据椭圆与双曲线的定义可得12PF PF +=12PF PF -=．两式平方相减，得12412PF PF ⋅=，123PF PF ⋅=.2．设1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线C 的离心率为5，则12cos PF F ∠=( )A ．35B ．34C ．45D ．56【答案】C ．【解析】依题意可知12PF PF ⊥，设21, PF m PF n ==， 由双曲线定义知：2m n a -= ①； 由勾股定理得：2224m n c += ②； 又由离心率：5ce a ==③， 三式联立解得8m a =，故2121284cos 255PF a PF F F F a ∠===⨯. 3．已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠= ( )A ．14B ．35C ．34D ．45【答案】C ．【解析】由双曲线的定义有122PF PF a -==，∴122PF PF ==则2222221212121243cos 24PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅. 4．已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线221169x y -=左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则sin sin sin A B P -的值等于( )A．45 BC ．54D【答案】A ．【解析】在ABP △中，由正弦定理知sin sin 284sin 2105PB PA A B a PABc --====. 5．已知P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PF PF ⋅=，若12PF F △面积为9，则a b +的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】由120PF PF ⋅=，得12PF PF ⊥，设设1PF m =，2PF n =，不妨设设m n >，则2224m n c +=，2m n a -=，192mn =，54c a =，解得45a c =⎧⎨=⎩，∴223b c a =-=，∴7a b +=. 类型四：利用双曲线的定义求离心率【例1】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若2AB BF =，则C 的离心率为( )A 523+B ．523+C 3D 5 【解析】依题意2AB BF =，则11122AF BF BA BF BF a =-=-=，所以2124AF AF a a =+=，又直线1BF 与圆222x y a +=相切，故1sin AF a O c ∠=，所以1cos AF b O c∠=， 在12AF F △中，由余弦定理得()()()221222c s 222o 4AF a c a bO a cc+-==⋅⋅∠， 化简得2232c a ab -=，所以22220b a ab --=，即2220b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13b a =+21523c b e a a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭【变式训练】已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，且12PF PF ⊥，1230F P F ∠=︒，则双曲线的离心率为 ．【解析】依题意可得12, 3PF PF c c ==，所以12223123PF P c c e a c cF ====--． 类型五：利用双曲线的定义求范围或最值【例1】如图，M 是以A 、B 为焦点的双曲线222x y -=右支上任一点，若点M 到点()3,1C 与点B 的距离之和为s ，则s 的取值范围是（ ）A ．)262,⎡+∞⎣B ．)2622,⎡+∞⎣ C ．2622,2622⎡⎣ D ．)262,⎡+∞⎣【解析】连结MA ，由双曲线的第一定义可得：222222622MB MC MA a MC MA MC AC +=-+=+--=-≥当且仅当,,A M C 三点共线时取得最小值．故选B ．【例2】如图，点A 的坐标为()50-，，B 是圆()2251x y +-=上的点，点M 在双曲线2214y x -=右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标．【解析】设点D 的坐标为)5，，则点A ，D 为双曲线的焦点，22MA MD a -==，所以2+2MA MB MB MD BD +=+≥，B 是圆(2251x y +=上的点，其圆心为(5C ，半径为1，故1101BD CD -=≥，1101BD CD -=≥， 从而2101MA MB BD ++=≥，当,M B 在线段CD 上时取等号，此时MA MB +101． 直线CD 的方程为5y x =-+，因点M 在双曲线右支上，故0x >， 由方程组22445x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩ 解得5424542x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以M 点的坐标为5424542-+-⎝⎭． 【方法小结】在求解有关圆锥曲线的最值问题时,如果用函数观点求解会困难重重．利用定义进行转化，则势如破竹, 能起到出奇制胜的效果。
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解44 双曲线(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支； 当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==， 所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅， 解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二 双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<， 解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：C考点题型三 直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围． 【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．考点题型四 弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ． 【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五 离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ， 根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=， 所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=， 由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。
高考理科数学一轮复习双曲线课件
离心率与渐近线的应用
总结词
离心率与渐近线的应用是双曲线复习中 的重点和难点，需要结合具体例题进行 讲解和练习，掌握离心率和渐近线在解 题中的应用技巧。
VS
详细描述
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，参数方程和极坐标方程是解决双曲线相 关问题的常用方法，能够提高解题效率。
THANKS
高考理科数学一轮复习双曲线课件
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目录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的标准方程与焦点位置 • 双曲线的离心率与渐近线 • 双曲线的切线与法线 • 双曲线的参数方程与极坐标方程
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由两个固定的点（焦点）和一条连接这两点的线段（准线）所形成的 所有点的集合。
详细描述
双曲线具有对称性，关于x轴和y轴都是对称的。离心率是双曲线的一个重要几何性质，表示焦点到中心的距离与 半径的比值，离心率越大，双曲线的开口越开阔。渐近线是双曲线接近无穷远时的边界线，其方程可以由标准方 程推导得出。
02
双曲线的标准方程与焦点位 置
双曲线标准方程的推导
1 2
3
定义法
根据双曲线的定义，通过两个焦点到任意一点P的距离之差 为常数（2a）来推导双曲线的标准方程。
法线定义
法线是与切线垂直并通过切点的直线 。
切线与法线的求法
切线求法
通过求导数或利用切线的定义，找到曲线在某一点的斜率，然后根据点斜式方程求出切 线方程。
法线求法
利用切线与法线垂直的关系，先求出切线的斜率，然后取其负倒数即为法线的斜率，再 根据点斜式方程求出法线方程。
双曲线高三数学一轮复习考点课件
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
高考数学复习考点题型归类解析42双曲线(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题42双曲线一、关键能力1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．2．建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．二、教学建议教学中要让学生类比椭圆学习的过程，进而再了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。
三、自主梳理1．双曲线的定义平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性范围x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a3．等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，离心率e 渐近线方程为y ＝±x ． 四、高频考点+重点题型 考点一.双曲线的定义及其应用题组一（定义法求轨迹方程）1.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为__________． 答案：x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析：如图10.3-1所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2外切于点A 和点B ．图10.3-1根据两圆外切的充要条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|,所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.根据双曲线的定义知．动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),且a＝1,c＝3,则b2＝8,设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C 的轨迹方程是()A.x24－y221＝1(x＞2)B.y24－x221＝1(y＞2)C.x221－y24＝1D.y24－x22＝1解析：选A如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x24－y221＝1(x＞2)．题组二（焦点三角形之定义使用）1.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|＝2|PF2|,则cos∠F1PF2＝________.答案：34解析：由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22,又|PF 1|＝2|PF 2|,∴|PF 1|＝42,|PF 2|＝22,则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.2.过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若PQ ＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________． 答案 12解析：由题意，得PF 2－PF 1＝2，QF 2－QF 1＝2.∵PF 1＋QF 1＝PQ ＝4，∴PF 2＋QF 2－4＝4，∴PF 2＋QF 2＝8. ∴△PF 2Q 的周长是PF 2＋QF 2＋PQ ＝8＋4＝12.3.已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.题组三（线段的转移）1.已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．解析：因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|P A|＝2a＋|PH|＋|P A|≥2a＋|AH|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.2.（2020·河南省孟州市第一中学模拟）已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是________．【答案】8【解析】设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.3．设双曲线C：x28−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（）A．8√2B．8C．4√2D．4【解答】A解：如图，由双曲线方程可得a=2√2．由双曲线的定义可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4√2，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4√2，∴|F2M|＝|F1M|+4√2，|F1N|＝|F2N|+4√2，∵点F2在线段MN的中垂线上，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8√2，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8√2．考点二.双曲线的标准方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2.与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( ) A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1C.x 23－y 23＝1D ．x 2－y 22＝1 解析：选B法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________． 答案：y 225－x 275＝1解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.4．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 答案 A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.考点三、焦点三角形1．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为．答案：92解：|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，可得三角形ABF2为直角三角形，∠BAF2＝90°，设|AF1|＝m，|BF1|＝n，可得m+n＝4，3﹣m＝5﹣n＝2a，解得m＝1，n＝3，则△BF1F2的面积为S△ABF2−S△AF1F2=12×3×4−12×1×3=92．故答案为：92．2．已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解答】解：∵P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵M是线段PF1的中点，∴|MF1|=|PM|=12|PF1|，∵O是线段F1F2的中点，∴|MO|=12|PF2|，∴12|PF1|−12|PF2|=a⇒|MF1|−|OM|=a⇒|OM|=|MF1|−a，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是相内切．故选：B．3．从双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F 引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |﹣|MT |等于（ ）A ．c ﹣aB ．b ﹣aC ．a ﹣bD ．c ﹣b【解答】解：如图所示，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′． ∵点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM |=12|PF ′|=12（|PF |﹣2a ）=12|PF |﹣a ＝|MF |﹣a ，∴|OM |﹣|MT |＝|MF |﹣|MT |﹣a ＝|FT |﹣a ，连接OT ，因为PT 是圆的切线， 则OT ⊥FT ，在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ， ∴|FT |=√丨OF 丨2−丨OT 丨2=b ． ∴|OM |﹣|MT |＝b ﹣a ． 故选：B ．考点三.双曲线的离线率题组一（离心率的值）1.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B. 5 C.53D.54 [答案] A(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca ＝5.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________． 【答案】2【解析】如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线， 即BF 2//OA ，BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ， 则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1， 又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝π， 得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°， 又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3， 所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋（ba ）2＝1＋（3）2＝23.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.题组二（离心率的范围）1.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2) [答案] (1)B[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.2.已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，则其离心率的取值范围是( ) A.()1，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 C.()5，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞答案 C解析 已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，得1a 2－4b 2＝1，即b 2a 2＝b 2＋4， 所以e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝b 2＋5>5，所以e > 5.考点四 双曲线的渐近线1.（2020·新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D 、E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32 【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D 、E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩故(,)D a b 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩故(,)E a b -∴||2ED b = ∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c=≥==当且仅当a b==∴C的焦距的最小值为8。
2021届新高考数学一轮专题复习(新高考专版)第42讲 双曲线(讲义版)
第42讲双曲线一、考情分析1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2、知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).二、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.三、 经典例题考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系. 考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋ 34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. [方法技巧]1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.3.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.4.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， ＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y＝±a b x .四、 课时作业1．（2020·四川省仁寿第二中学月考（理））若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（ ）A ．4B ．C ．D ．22．（2020·江苏省镇江中学开学考试）双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ）A ．4B ．C ．8D ．3．（2020·沙坪坝·重庆一中高三其他（文））若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为120︒，则该双曲线离心率为（ ）A B ．2C D4．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））双曲线2244x y -=的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．y =5．（2020·利辛县阚疃金石中学月考）双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4B ．－4C ．－14D ．146．（2020·浙江其他）双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．37．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=8．（2020·江西九江一中期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过E 的右焦点F 作其渐近线的垂线，垂足为P ，若OPF △，则E 的离心率为（ ）A B ．3C ．2D9．（2019·福建省泰宁第一中学月考）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±10．（2020·正定县弘文中学月考）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为（ ）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=12．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:410C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．2215x y -=13．（2020·四川省内江市第六中学其他（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（ ）A ．B ．C ．10D ．14．（2020·安徽高三月考（文）的双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个顶点为P ，直线//l x 轴，l 交双曲线C 于A ，B 两点，则APB ∠取值范围是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2π C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭15．（2020·安徽宣城·高二期末（文））已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（ ）A B C D16．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知双曲线的一条渐近线方程为y =，且双曲线经过点()2,3，若1F ，2F 为其左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若点()6,8A ，则当2PA PF +|取最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．1,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭B ．122⎛++ ⎝⎭C ．1⎛++ ⎝⎭D ．1⎛+ ⎝⎭17．（多选题）（2020·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=，则（ ）A ．实轴长为2B ．渐近线方程为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为318．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知双曲线C 过点(且渐近线为3y x =±，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点19．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线20．（多选题）（2020·全国开学考试）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为2C ．||1OE =D ．OMN 的面积为621．（2020·全国课时练习）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点在直线:3120l y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.22．（2019·上海黄浦·高二期末）已知双曲线22116x y n -=的焦点在x 轴上，焦距为10. （1）求n 的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.23．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线2222C:1x y a b-= (a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.24．（2020·上海高三专题练习）设圆C 与两圆(224x y ++=，(224x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M ⎝⎭，)F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．25．（2020·全国高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线1C 交于P 、Q 两点．若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；。
2020年全国高考数学·第42讲 双曲线及其性质
2020年全国高考数学 第42讲 双曲线及其性质考纲解读了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.命题趋势探究1.从内容上看，新课标高考主要考查双曲线的定义、方程、离心率和渐近线等基础知识，侧重考查基本量的计算.2.从形式上看，以选做题和填空题为主，难度不大.3.从能力上看，主要考查学生的运算和数形结合能力.总体来看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，高考出现解答题的可能性不大，建议复习时把精力主要集中在选做题和填空题上即可.知识点精讲一、双曲线的定义平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{})20(22121F F a a MF MF M<<=-.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线.（3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.表10-2题型归纳及思路提示题型139 双曲线的定义与标准方程思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程. （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程. 例10.11 设椭圆1C 的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A. 1342222=-y xB. 15132222=-y xC. 1432222=-y xD. 112132222=-y x变式 1 设命题甲：平面内有两个定点21,F F 和一动点M ，使得21MF MF -为定值，命题乙：点M 的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式 2 已知)0,2(-M 和)0,2(N 是平面上的两个点，动点P 满足2=-PN PM ，求点的P 轨迹方程.变式 3已知)0,2(-M ，)0,2(N ，动点P 满足22=-PN PM ，记动点的P 轨迹为W ，求W 的方程.例10.12 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点)2,5(-，焦点为)0,6(；（2）实半轴长为32且与双曲线141622=-y x 有公共焦点； （3）经过点)72,3(P ，)7,26(-.变式 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)33,3(-； （2）与双曲线141622=-y x 有公共焦点；且过点)2,23(.变式2 若动圆M 与圆()93:221=++y x C 外切，且与圆()13:222=+-y x C 内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程.例10.13 已知双曲线的离心率为2，焦点分别为)0,4(-，)0,4(，则双曲线方程为（ ）A. 112422=-y x B. 141222=-y x C. 161022=-y x D.110622=-y x变式1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. 11083622=-y x B.127922=-y x C.13610822=-y x D.192722=-y x 变式 2 （2012湖南理5）变式2 已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A. 152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x变式3 已知点)4,3(-P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若0=⋅，则双曲线的方程为（ ）A. 14322=-y x B. 13422=-y x C.116922=-y x D. 191622=-y x题型140 双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出a ，b 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长b .例10.14 双曲线14222-=-y x 的渐近线方程为（ ） A. x y 2±= B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±=变式1已知双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线的方程为x y 2=，则b _________变式2 设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为（ ） A.4B.3C.2D.1变式3 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别为21,F F ，其中一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在该双曲线上，则21PF ⋅等于（ ） A.-12 B.-2C.0D.4例10.15 双曲线191622=-y x 的一个焦点到其渐近线的距离是_________.变式1双曲线13622=-y x 的渐近线与圆())0(3222>=+-r r y x 相切，则=r （ ） A. 3 B. 2C.3D.6变式2 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. 14522=-y x B. 15422=-y x C. 16322=-y x D. 13622=-y x例10.16 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若21=BC ，作为双曲线的渐近线方程为 .变式1 过双曲线1:22=-y x C 的右顶点A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且AQ PA 2=，则直线l 的斜率为 .题型141 离心率的值及取值范围思路提示求离心率的本质就是探求a ，c 间的数量关系，知道a ，b ，c 中任意两者的等式关系或不等关系便可求解出e 或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.例10.17 已知双曲线13422=-y x ，则此双曲线的离心率e 为（ ） A. 21B.2C. 22D.27变式1 下列双曲线中离心率为26的是（ ） A. 14222=-y x B. 12422=-y x C. 16422=-y x D.110422=-y x变式2 已知点)3,2(在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，C 的焦距为4，则它的离心率为______.变式3 已知双曲线1422=+my x 的离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（ ） A. )0,12(-B.)0,(-∞ C.)0,3(- D.)12,60(--例10.18 已知双曲线的渐近线方程是02=±y x ，则该双曲线的离心率等于变式1 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点)2,4(-，则它的离心率为（ ）A.6 B.5 C.26 D.25变式 2 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率3=e ，则其渐近线方程为 .例10.19 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率 ；（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率 .变式1 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ） A. 2 B.3 C.213+ D.215+变式 2 如图10-6所示，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点为21,A A ，虚轴两个端点为21,B B ，两个焦点为21,F F ，若以21A A 为直径的圆内切于菱形2211B F B F ，切点分别为D C B A ,,,.则（1）双曲线的离心率=e .（2）菱形2211B F B F 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值=21S S .例10.20 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作倾斜角为︒30的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A. 6B.3 C.2D. 33变式1 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，M 为双曲线上的点，若21MF MF ⊥，︒=∠3012F MF ，则双曲线的离心率为（ ）A.13-B.26 C.13+D.213+ 变式2 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小内角为︒30，则C 的离心率为_____________.例10.21 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上一点，且212PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. )3,1(B.(]3,1 C.),3(+∞ D.[)+∞,3变式1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.题型142 焦点三角形思路提示对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即a PF PF 221=-，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用θsin 212121PF PF S F PF ⋅=∆，a PF PF 221=-及余弦定理等知识；若未知角，则用022121y c S F PF ⋅⋅=∆.例10.22 过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于两点N M ,，2F 为其右焦点，则MN NF MF -+22的值为 .变式 1 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ） A. 36B.12C. 312D.24变式 2 双曲线1422=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，21F PF ∆的面积为3，则21PF PF ⋅等于（ ） A.2B.3 C.-2D.3-变式 3 已知21,F F 分别为双曲线1279:22=-y x C 左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF最有效训练题42（限时45分钟）1. 已知双曲线1722=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于B A ,两点，且4=AB ，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则的值为（ ）A. 8B. 9C. 16D. 202. 若点O 和点)0,2(-F 分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为（ ） A. [)+∞-,323 B. [)+∞+,323 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,473. 已知21,F F 为双曲线222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F （ ） A. 41 B. 53 C. 43 D. 544. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为（ ） A. x y 21±= B. x y 2±= C. x y 4±= D. x y 21±= 5. 双曲线C 的左、右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B. 21+ C. 31+ D. 32+6. 如图10-9所示，过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交轴y 于E ，若ME FM=，则该双曲线的离心率为（ ） A.3 B.2 C. 3 D. 27.知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为)0,5(F ，则=a _______，=b ___________.8. 已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一个点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为_________. 9. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________.10. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,2(； （2）与双曲线191622=-y x 有公共焦点，且过点)4,22(-； （3）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点)1,29(-M ； （4）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e .11. 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且13221=F F ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7.（1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-P .（1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：021=⋅MF ；（3）在（2）的条件下，求21MF F ∠∆的面积.。
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新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结42 双曲线高考 概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲 研读1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 2．了解双曲线的简单应用 3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±54B ．±45 C.±53 D ．±35 答案 D解析 由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝±35.故选D.2．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②，解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 25＝1.故选A.4．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A (O 为坐标原点)，且|OA |＝2|AF |，则双曲线C 的离心率e 为( )A.5 B ．52 C.2 D ．2 答案 B解析 由题意可得tan ∠AOF ＝|AF ||OA |＝|AF |2|AF |＝12，渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝12，e 2＝c 2a 2＝b 2＋a 2a 2＝a 24＋a 2a 2＝54，故e ＝52.故选B.5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4 C.6 D ．8 答案 B解析 由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.6．(多选)已知曲线C 的方程为x 2k 2－2－y 26－k ＝1，则下列结论正确的是( )A ．当k ＝8时，曲线C 为椭圆，其焦距为4＋15B ．当k ＝2时，曲线C 为双曲线，其离心率为3C ．对任意实数k ，曲线C 都不可能为焦点在y 轴上的双曲线D ．当k ＝3时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9相切答案 BC解析 对于A ，当k ＝8时，曲线C 的方程为x 262＋y 22＝1，该曲线为椭圆，焦距2c ＝262－2＝415，A 错误；对于B ，当k ＝2时，曲线C 的方程为x 22－y 24＝1，该曲线为双曲线，则a ＝2，c ＝6，其离心率e ＝ca ＝3，B 正确；对于C ，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧6－k <0，k 2－2<0，不等式组无解，故不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 正确；对于D ，当k ＝3时，曲线C 的方程为x 27－y 23＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y ＝±217x ，则圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心到渐近线的距离d ＝|±421|21＋49＝4310＝2305≠3，所以双曲线C 的渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9不相切，D 错误．故选BC.7．(多选)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论正确的是( )A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±33xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14答案 AC解析 对于双曲线C ：x 2－y 23＝1，a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，A 正确，B 错误；设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，双曲线C 的两条渐近线方程分别为x －33y ＝0和x ＋33y ＝0，则点P 到两条渐近线的距离之积为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－y 20343＝34，C 正确；当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1|≥c －a ＝1，|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝|PF 1|＋2，|PF 1||PF 2|2＝|PF 1|(|PF 1|＋2)2＝|PF 1||PF 1|2＋4＋4|PF 1|＝1|PF 1|＋4|PF 1|＋4≤12|PF 1|·4|PF 1|＋4＝18，当且仅当|PF 1|＝2时，等号成立，所以|PF 1||PF 2|2的最大值为18，D 错误．故选AC.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离为9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2，∴|PF 2|＝17.解法二：若P 在右支上，则|PF 1|≥a ＋c ＝4＋6＝10>9，∴P 在左支上．∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17.9．直线y ＝k (x ＋6)(k >0)与双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)及其渐近线从左至右依次交于点A ，B ，C ，D ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为4，则△F 2CD 与△F 1AB 的面积之比为________．答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y2b2＝1，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2xb 2－1－36k 2b 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝0，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2x b 2－36k2b 2＝0，由以上两式可知，x A ＋x D ＝x B ＋x C ，故AD ，BC 具有相同的中点，故|AB |＝|CD |，又直线y ＝k (x ＋6)过定点G (－6,0)，如图，过F 1，F 2作直线y ＝k (x ＋6)的垂线，垂足分别为N ，M ，由焦距为4可得F 1(－2，0)，F 2(2,0)，则|GF 2|＝2|GF 1|.所以S △F 2CD S △F 1AB＝12|CD |·|MF 2|12|AB |·|NF 1|＝|GF 2||GF 1|＝2.二、高考小题10．(2022·北京高考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1D ．3x23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选A.11．(2022·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A.72 B ．132 C.7 D ．13 答案 A解析 由|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即(2c )2＝(3a )2＋a 2－2×3a ×a ×cos60°，得4c 2＝7a 2，所以C 的离心率e ＝c a ＝72.故选A.12．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |＝2|AB |.则双曲线的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ．3 答案 A解析 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－c ，令x ＝－c ，则c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b 2a ，又因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以|CD |＝2bc a ，所以2bc a ＝22b 2a ，即c ＝2b ，所以a 2＝c 2－b 2＝12c 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝ 2.故选A.13．(2022·浙江高考)已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )＝ax 2＋b (x ∈R )．若f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线 答案 C解析 因为函数f (x )＝ax 2＋b ，所以f (s －t )＝a (s －t )2＋b ，f (s )＝as 2＋b ，f (s ＋t )＝a (s ＋t )2＋b .因为f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，所以[f (s )]2＝f (s －t )f (s ＋t )，即(as 2＋b )2＝[a (s －t )2＋b ]·[a (s ＋t )2＋b ]，化简得－2a 2s 2t 2＋a 2t 4＋2abt 2＝0，得t ＝0或2as 2－at 2＝2b ，即t ＝0或as 2b －at 22b ＝1，易知点(s ，t )的轨迹是直线和双曲线．故选C.14．(2022·天津高考)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1 答案 D解析 由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l 的斜率为－b ，又双曲线的渐近线的方程为y ＝±b a x ，所以－b ＝－b a ，－b ×ba ＝－1.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝1，b ＝1.故选D.15．(2022·全国Ⅲ卷)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2 C.4 D ．8 答案 A解析 ∵ca ＝5，∴c ＝5a ，根据双曲线的定义可得||F 1P |－|F 2P ||＝2a ，∵S △PF 1F 2＝12|F 1P |·|F 2P |＝4，∴|F 1P |·|F 2P |＝8.∵F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝(2c )2，∴(|F 1P |－|F 2P |)2＋2|F 1P |·|F 2P |＝4c 2，即(2a )2＋2×8＝4(5a )2，解得a ＝1.故选A.16．(2022·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8 C.16 D ．32 答案 B解析 ∵直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，不妨设D 在第一象限，E 在第四象限，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ax ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝b .故D (a ，b )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝－b .故E (a ，－b )．∴|ED |＝2b .∴△ODE 的面积为S △ODE ＝12a ×2b ＝ab ＝8.∵双曲线的焦距为2c ＝2a 2＋b 2≥22ab ＝216＝8，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，∴C 的焦距的最小值为8.故选B.17．(2022·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ． 5 答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.故选A.18．(2022·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B ．322 C.22 D ．3 2 答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.19．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C.23 D ．4 答案 B解析 因为双曲线的一条渐近线为y ＝33x ，所以tan ∠FON ＝33，所以∠FON ＝30°，∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是|FN |＝|OF |＝2，|FM |＝12|OF |＝1，所以|MN |＝3.故选B.20．(2022·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3 D ． 2 答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a .在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc ，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝b c ，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C.21．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1 答案 C解析 解法一：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a 2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.解法二：如图，设双曲线的右焦点为F (c,0)，一条渐近线为y ＝ba x ，则F 到该渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，又d 1＋d 2＝6，由梯形中位线可知2d ＝d 1＋d 2，即2b ＝6，b ＝3，∵双曲线离心率为2，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，∴a 2＝3.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.22．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .23．(2022·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C 的焦距为________．答案 4解析 双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±1m x ，即x ±my ＝0，又双曲线的一条渐近线为3x ＋my ＝0，即x ＋m3y ＝0，对比两式可得m ＝3.设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则有a 2＝m ＝3，b 2＝1，所以双曲线的焦距2c ＝2a 2＋b 2＝4.24．(2022·北京高考)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．答案 (3,0)3解析 在双曲线C 中，a ＝6，b ＝3，则c ＝a 2＋b 2＝3，则双曲线C 的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为31＋2＝ 3. 25．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形． 如图1所示，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2.三、模拟小题26．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为( )A ．±1B ．±2 C.±3 D ．±2 答案 C解析 由题设，渐近线为y ＝±33x ，不妨令P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，33x 0，而F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2，33x 0，F 2P →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－2，33x 0，又F 1P →·F 2P →＝x 20－4＋x 203＝0，∴x 0＝±3.故选C.27．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF ⊥AF 时满足|AF |>2|BF |，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．1<e <2B ．1<e <32 C.32<e <2 D ．1<e <3＋32 答案 B解析 设双曲线半焦距为c ，因BF ⊥AF ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得|BF |＝|y |＝b 2a ，而|AF |＝a ＋c ，于是得a ＋c >2·b 2a ，即a ＋c >2·c 2－a 2a ，整理得a >23c ，从而有e ＝c a <32，又e >1，所以双曲线离心率e 的取值范围是1<e <32.故选B.28．(2022·湖北黄石高三上调研)P 为双曲线x 2－y 2＝1左支上任意一点，EF 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF→的最小值为() A ．3 B ．4 C.5 D ．9 答案 C解析 如图，圆C 的圆心C 为(2,0)，半径r ＝2，PE →·PF →＝(PC →＋CE →)·(PC →＋CF →)＝(PC →＋CE →)·(PC →－CE →)＝|PC →|2－|CE →|2＝|PC →|2－4，则当点P 位于双曲线左支的顶点时，|PC →|2－4最小，即PE →·PF →最小．此时PE →·PF→的最小值为(1＋2)2－4＝5.故选C.29．(2022·重庆实验外国语学校高三上入学考试)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |＝2|FR |，则E 的离心率为( )A.174 B ．173 C.214 D ．213 答案 B解析 如图，令双曲线E 的左焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，RF ′，由对称性可知，点O 是线段PQ 的中点，则四边形PFQF ′是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有▱PFQF ′是矩形，设|FR |＝m ，则|PF ′|＝|FQ |＝2m ，|PF |＝2m －2a ，|RF ′|＝m ＋2a ，|PR |＝3m －2a ，在Rt △F ′PR 中，(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝4a 3或m ＝0(舍去)，从而有|PF ′|＝8a 3，|PF |＝2a 3，Rt △F ′PF 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝4c 2，整理得c 2a 2＝179，e ＝c a ＝173，所以双曲线E 的离心率为173.故选B.30．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 23－y 2＝1的两个焦点，点M 在直线x －y ＋3＝0上，则|MF 1|＋|MF 2|的最小值为( )A ．213B ．6 C.26 D ．5 答案 C解析 由双曲线C ：x 23－y 2＝1可得a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，可得c ＝2，所以F 1(－2，0)，F 2(2,0)，设点F 2(2,0)关于x －y ＋3＝0对称的点为P (m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋22－n 2＋3＝0，n m －2＝－1，可得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝5，所以P (－3，5)，所以|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |≥|PF 1|，当且仅当P ，M ，F 1三点共线时等号成立，|PF 1|＝[－3－(－2)]2＋(5－0)2＝26，所以|MF 1|＋|MF 2|的最小值为26，故选C.31．(多选)(2022·辽宁朝阳建平县高三上学期第一次联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO→＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则() A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0 B ．双曲线C 的离心率为132 C ．|OE→|＝1 D ．△OMN 的面积为6 答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO→＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |，即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94，a ＝2，b ＝3，e 2－1＝94，解得e ＝132.双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S△OMN ＝6.故选ABD.32．(多选)(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y ＝3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列结论正确的是( )A ．双曲线的方程为x 29－y 227＝1 B.|PF 1||PF 2|＝2C ．|PF 1→＋PF 2→|＝36 D ．点P 到x 轴的距离为3152 答案 ABD解析 ∵F 1(－c,0)到y ＝3x 距离为33，∴3c2＝33，解得c ＝6，又渐近线方程为y ＝3x ，则b a ＝3，结合a 2＋b 2＝c 2可解得a ＝3，b ＝33，则双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故A 正确；∵PQ 为∠F 1PF 2的平分线，∴S △F 1PQ S △F 2PQ ＝12×|PF 1|×|PQ |×sin ∠F 1PQ12×|PF 2|×|PQ |×sin ∠F 2PQ ＝|PF 1||PF 2|，又S △F 1PQ S △F 2PQ ＝|QF 1||QF 2|＝84＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2，故B 正确；由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝122＋62－1222×12×6＝14，则|PF 1→＋PF 2→|2＝PF 1→2＋2PF 1→·PF 2→＋PF 2→2＝122＋2×12×6×14＋62＝216，则|PF 1→＋PF 2→|＝66，故C 错误；在△PF 1F 2中，sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝154，设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×d ＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2，即12×12×d ＝12×12×6×154，解得d ＝3152，故D 正确．故选ABD.33．(2022·湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，右焦点为F ，则以原点为圆心，|OF |为半径的圆的面积为________．答案 5π解析 由x 2－my 2＝m (m >0)可得x 2m －y 2＝1，所以a ＝m ，b ＝1，所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±1m x ，因为双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，所以－1m ×2＝－1，可得m ＝4，所以c ＝a 2＋b 2＝m ＋1＝5，所以右焦点为F (5，0)，所以|OF |＝5，以|OF |为半径的圆的面积为π×(5)2＝5π.34．(2022·上饶模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积为________．答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|AB |＝|BF 1|，∴△F 1AB 为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△F 1AB 为等腰直角三角形．∴|AB |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.∴S △F 1AB ＝12|AB |·|BF 1|＝12×22×22＝4.一、高考大题1．(2022·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．解 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12， 则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12(x A ＋x B )＋14 ＝(1＋k 21)－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21－12·2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14＝(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16. 同理得|TP |·|TQ |＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16. 因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16， 所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 二、模拟大题2．(2022·湖南岳阳第一次模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为52，点P (4，3)在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点(1,0)的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM →·QN→为常数？若存在，求出点Q 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－3b 2＝1，c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.∴双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，设定点Q (t,0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x24－y 2＝1，x ＝my ＋1，得(m 2－4)y 2＋2my －3＝0.∴m 2－4≠0，且Δ＝4m 2＋12(m 2－4)＞0，解得m 2＞3且m 2≠4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－2m m 2－4，y 1y 2＝－3m 2－4，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－2m 2m 2－4＋2＝－8m 2－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3m 2m 2－4－2m 2m 2－4＋1＝－4m 2＋4m 2－4＝－4－20m 2－4.∴QM →·QN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝－4－20m 2－4＋t ·8m 2－4－3m 2－4＋t 2＝－4＋t 2＋8t －23m 2－4为常数，与m 无关，∴8t －23＝0，即t ＝238，此时QM →·QN→＝27364.∴在x 轴上存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫238，0，使得QM →·QN →为常数27364.3．(2022·广东珠海高三摸底)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且经过点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点A 是C 上一定点，过点B (0,1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，若k AP ＋k AQ 为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．解 (1)由题意a 2＋b 2＝c 2＝2.且54a 2－14b 2＝1.联立解得a ＝b ＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 2＝1. (2)设A (m ，n )，过点B 的动直线为：y ＝tx ＋1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝tx ＋1得(1－t 2)x 2－2tx －2＝0，由1－t 2≠0且Δ>0，解得t 2<2且t 2≠1，所以x 1＋x 2＝2t1－t 2，x 1x 2＝－21－t 2，k AP ＋k AQ ＝λ，即y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝λ，即tx 1＋1－n x 1－m ＋tx 2＋1－nx 2－m ＝λ，化简得(2t －λ)x 1x 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )(x 1＋x 2)－2m ＋2mn －λm 2＝0， 所以(2t －λ)－21－t 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )2t 1－t 2－2m ＋2mn －λm 2＝0， 化简得m (λm －2n )t 2＋2(λm －n －1)t ＋2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m (λm －2n )＝0，λm －n －1＝0，2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0如果m ＝0，那么n ＝－1，此时A (0，－1)不在双曲线C 上，舍去． 因此m ≠0，从而λm ＝2n ＝n ＋1，所以n ＝1，代入2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 得2λ＝λm 2，解得m ＝±2，此时A (±2，1)在双曲线C 上． 综上，A (2，1)，λ＝2或A (－2，1)，λ＝－ 2.4. (2022·广东普通高中高三阶段性质量检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若△ABC 的面积为2＋1.(1)求双曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx －1与双曲线E 的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求|MN ||PQ |的取值范围．解 (1)因为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)为等轴双曲线，可得a ＝b . 设双曲线的焦距为2c ，c >0， 故c 2＝a 2＋b 2＝2a 2，即c ＝2a . 因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将x B ＝c ＝2a 代入双曲线的方程可得|y B |＝a ，故|BC |＝2a . 又△ABC 的面积为1＋2，即12|BC |·|AF |＝12×2a ×(a ＋c )＝1＋2， 解得a ＝1.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.(2)由题意可得直线l ：y ＝kx －1与双曲线的左右两支分别交于M ，N 两点， 联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，可得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以1－k 2≠0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)(－2)>0，x M x N ＜0，可得－1<k <1， 且x M ＋x N ＝－2k1－k 2，x M x N＝－21－k 2， 所以|MN |＝(x M －x N )2＋(y M －y N )2 ＝1＋k 2|x M －x N |＝1＋k 2·(x M ＋x N )2－4x M x N ＝21＋k 2·2－k 21－k 2，联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝kx －1，可得x P ＝1k －1，同理可得x Q ＝1k ＋1， 所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k －1－1k ＋1＝21＋k 21－k 2，所以|MN ||PQ |＝21＋k 2·2－k 221＋k2＝2－k 2， 其中－1<k <1，所以|MN ||PQ |∈(1，2]．。