双曲线基础题加答案
双曲线基础题10道-含答案
近距离为 2，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． y2 x2 1 34
C． y2 x2 1 49
B． y2 x2 1 9 16
D． y2 x2 1 9 34
3．若双曲线 1 ：
x2 a2
y2 b2
1（ a
0，b
0 ）的离心率为
2，则双曲线
2
：
y2 b2
x2 a2
1
的离心率为（ ）
A． 2 3 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
C． 3
【分析】由双曲线的离心率公式求解即可.
D． 5
【详解】因为双曲线 1 的离心率 e1
a2 b2 a2
2 ，所以 b2
3a2 ，
所以双曲线 2 的离心率 e2
a2 b2 b2
4 2 3 ． 33
故选：A
4．已知双曲线
x2 m
y2 8m
1（0
m
8 ）的一条渐近线与直线
x
3 y 1平行，则此 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
:
x2 a2
y2 b2
1
（ a 0,b 0 ）的两条渐近线分别交于 A, B 两点，若△ABF 是正三角形，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． 21
3
B． 7 2
C． 2 3 3
D． 7 3
试卷第 2页，共 3页
8．已知双曲线 C :
y2 a2
x2 b2
1a
6．若方程
2
x2 m
2
y2 m
1 表示双曲线，则
m
的取值范围是（
）
A． 2 m 2
双曲线(基础题)
基础巩固题组
一、选择题 1.(2017·郑州模拟)设双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，
则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±12x
B.y＝± 22x
C.y＝± 2x
D.y＝±2x
2.(2015·广东卷)已知双曲线 C：xa22－yb22＝1 的离心率 e＝54，且其右焦点为 F2(5，
5 A. 3
35 B. 5
6 C. 3
6 D. 2
4.已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，
则 cos ∠F1PF2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
5.(2017·成都调研)过双曲线 x2－y32＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲
线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|＝( )
A.4 3 3
B.2 3
C.6
D.4 3
二、填空题 6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x72－y32＝1 的焦距是____a22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a＝ ________.
10.已知椭圆 C1 的方程为x42＋y2＝1，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右 顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B＞ 2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围.
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
双曲线基础题(含答案)
双曲线基础题一、单选题1．已知动点(),P x y2=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支2．已知双曲线的两个焦点分别为()10,5F −，()20,5F ，双曲线上一点P 与1F ，2F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y −=B ．221169x y −=C ．221916y x −=D ．221169y x −=3．已知平面内两定点()13,0F −，()23,0F ，下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是（ ） A ．127PF PF −=± B ．126PF PF −=± C ．124PF PF −=±D ．22126PF PF −=±4．已知双曲线22:1169x y C −=的两焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，若110PF =，则2PF =（ ）． A ．16B ．18C ．4或16D ．2或185．若双曲线22:1916x y E −=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11B ．9C ．5D ．36．设双曲线22:4640C x y −+=的焦点为12,F F ，点P 为C 上一点，16PF =，则2PF 为（ ） A ．22B ．14C ．10D ．27．已知双曲线C ：221169x y −=的左右焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，则21PF PF −=（ ） A ．－8B ．8C ．10D ．8．若方程22122x y m m−=+−表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．22m −<<B ．2m >−C ．0m ≥D ．2m ≥9．已知方程22111x y k k−=+−表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（0，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 10．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4B ．－4C ．－14D ．1411．若方程22154x y m m +=−+表示的图形是双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞5B ．m ＜－4C ．m ＜－4或m ＞5D ．－4＜m ＜512．“102a <<”是“方程22121x y a a+=−表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．若双曲线221y x m−=的一个焦点为()3,0−，则m =（ ）． AB ．18 C．D ．814．椭圆22214x y a +=与双曲线22212x y a −=有相同的焦点，则=a （ ）A ．1−B ．1C ．1±D ．215．若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A．B．CD16．双曲线221916x y −=的左顶点与右焦点间的距离为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．817．若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同，则m 的值为（ ）A ．3±B ．4C ．6D ．918．已知椭圆221(1)x y a a +=>和双曲线221(0)x y m m −=>有相同焦点，则（ ）A ．2a m =+B ．2m a =+C ．222a m =+D ．222m a =+19．与双曲线22154x y −=有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22154x y +=C ．22110x y +=D ．221134x y +=20．若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同，则m 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1221．双曲线2214x y −=的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）AB ．2 CD ．122．等轴双曲线的一个焦点是()10,6F −，则其标准方程为（ ）A ．2211818x y −=B ．22199y x −=C ．2211818y x −=D ．22199x y −=23．等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π324．双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线方程为y x =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2 BC ．3 D25．等轴双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>焦距为4，则C 的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．1226．双曲线2214y x −=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C．y =D．2y x =±27．双曲线2228x y −=的渐近线方程是（ ）A ．12y x =±B ．2y x =± C．y = D．y x =28．已知双曲线()222:1016x y C b b−=>的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =± D ．34y x =?29．双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>A．y =B．y =C．2y x =±D．y x = 30．若直线31y x =−与双曲线22:1C x my −=的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．331．双曲线22143x y −=的离心率是（ ）A ．32B ．54C2D ．5232．若双曲线C 两条渐近线方程是y x =±，则双曲线C 的离心率是（ ）． ABC ．2D33．已知直线20x y −=双曲线22221y xa b−=的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2 CD34．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D二、解答题35．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，a =A ()5,2−； （2）焦点在y 轴上，焦距是16，离心率43e =； （3）离心率e =M ()5,3−． 36．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点)，()3,2； (2)焦点为()0,5−，()0,5，经过点⎝； (3)a b =，经过点()3,1−； (4)经过(3,−和9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭两点．37．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率为53，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆22159x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点.38．求适合下列条件的曲线标准方程.（1）虚轴长为16的双曲线的标准方程； （2）过点()1,3P −的抛物线的标准方程.39．求双曲线22494x y −=−的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程. 40．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程： (1)2277x y −=； (2)2228x y −=−． 41．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）焦距为(－5,2)，且焦点在x 轴上； （2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A (－5,6).42．m ，n 为何值时，方程221x y m n+=表示下列曲线：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线？43．已知曲线C 的方程为22173x y m m−=−−，根据下列条件，求实数m 的取值范围：(1)曲线C 是椭圆； (2)曲线C 是双曲线．。
【精品含答案】高考一轮复习8.2双曲线基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习8.2 双曲线基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （2007·全国I ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）（A ）112y 4x 22=-（B ）=-4y 12x 22 1（C ）16y 10x 22=-（D ）110y 6x 22=-2. 已知椭圆1n5y m 3x 2222=+和双曲线1n3y m 2x 2222=-有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）x 215y ±=（B ）y 215x ±= （C ）x 43y ±= （D ）x 43x ±=3. （2007·四川高考）如果双曲线12y 4x22=-上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）（A ）364 （B ）362 （C ）62 （D ）324. 已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A 。
△OAF 的面积为2a 2（O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）（A ）︒30 （B ）︒45 （C ）︒60 （D ）︒905. （2008·长春模拟）设P 为双曲线112y x 22=-上的一点，1F 、2F 是该双曲线的两个焦点，若=|PF |:|PF |213：2，则△21F PF 的面积为（ ）（A ）36（B ）12（C ）312（D ）246. （2007·浙江高考）已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上的一点，且21PF PF ⊥，ab 4|PF ||PF |21=⋅，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2（B ）3（C ）2（D ）3第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
双曲线基础专项练习含解析
双曲线一、单选题（共29题；共58分）1.已知双曲线的焦距为，则的离心率为（）A. B. C. D.2.已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A. 4B.C. 2D.5.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足，其中，分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.6.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A. (－，0)B. (－，0)C. (－，0)D. (－，0)7.已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双曲线的方程为（）A. B. C. D.8.已知双曲线的渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（）A. B. 或C. D. 或9.双曲线的焦点坐标是( )A. B. C. D.10.已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. (1,2), C. D.11.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为时，的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 612.已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.13.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.14.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.15.双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. 或 C. D. 或16.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. 2B.C.D.17.过点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A. B. C. D.18.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.19.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.20.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.21.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.22.已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 323.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 或 D. 或24.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A. B. C. D.25.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A. B. C. D.26.已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A. B. C. D.27.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.28.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）A. B. C. D.29.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共13分）30.设为曲线上一点，，，若，则________．31.已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为________.32.若点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为________33.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为________.34.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．35.双曲线- =1的渐近线方程是________，实轴长为________．36.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．37.双曲线的一个焦点是，一条渐近线是，那么双曲线的方程是________38.已知双曲线（，）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为________.39.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为________．40.双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数________.41.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为________.三、解答题（共5题；共55分）42.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求的面积.43.已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．（1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.44.已知双曲线：的实轴长为2.（1）若的一条渐近线方程为，求的值；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.45.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）求的面积．46.双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且=0，求l的斜率．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知，所以，故，所以，故答案为：C.【分析】根据求得的值，进而求得双曲线离心率.2.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知双曲线的焦点为，，，三角形高是，，边的中点，，代入双曲线方程得：，整理得：，，，整理得，求得，，.故答案为：C.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得．3.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】令，整理得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：D【分析】令双曲线的为，从而得到方程，化简后即得渐近线方程．4.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的，，，一个焦点设为，，一条渐近线设为，可得一个焦点到一条渐近线的距离为.故答案为：C.【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．5.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可得，，，设，则由，得，整理得.由，得，因为双曲线上恰有个不同的点满足，所以方程有两不等实根，所以只需，解得，则.故答案为：A【分析】先由题意，得到，，，设，根据，得，再与双曲线联立，消去，得到，根据双曲线上存在个不同的点满足，得到只需，求出，进而可求出离心率的范围.6.【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(－，0)故答案为：C【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解7.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由双曲线的离心率，且其右焦点为，可得，所以，所求双曲线的方程为，故答案为：B．【分析】由已知双曲线的离心率，右焦点为列式，得到，即可求出双曲线的标准方程.8.【答案】B【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所求双曲线的方程为: ;当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所以所求双曲线的方程为: .所以所求双曲线方程为: 或.故答案为：.【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在轴上时, ; 当双曲线的焦点在轴上时, ,结合可解得.9.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由得,故,故焦点坐标为故答案为：D【分析】将化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.10.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故答案为：．【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．11.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的两个焦点坐标为，设的坐标为，则△的面积为，，，代入双曲线方程解得，不妨取，，，故答案为：．【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△的面积为，确定的坐标，运用两点的距离公式，即可求得结论．12.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】【解答】因为为的边的中线，可知，双曲线上存在点满足，则，由，可知，则。
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
双曲线基础练习题(老师版)
双曲线基础练习题1．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率45=e 的双曲线为( A ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x (C)116922=-y x(D)1162522=-y x2.与椭圆125＋1622=y x 有共同焦点，且过点)10,2(-P 的双曲线是( A ) (A)14522=-x y (B)14522=-y x (C)13522=-x y (D)13522=-x y 3．设双曲线122=-m y x 的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是( B )(A )(0，3) (B )(3，＋∞) (C )(0，1) (D )(1，＋∞)4．若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围为( C ) (A )m ＞－1 (B )m ＞－2(C)m ＞－1，或m ＜－2 (D)－2＜m ＜15．若椭圆12222=+n y m x (m ＞n ＞0)与双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)有相同焦点F 1，F 2，设P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( C )(A )m －a(B ))(21a m - (C )m 2－a 2(D )a m -6．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( A )A ．－1B ．1C ．－1020 D.102解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m ＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( B )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( B )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( C )A ．(1，5)B ．(1，5)∪(5，＋∞)C ．(5，＋∞D ．[5，＋∞)[解析] 用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率ba >2时，才能保证y ＝2x与双曲线有公共点，∴c 2－a 2a 2>4，即c 2a 2>5. ∴ca> 5.10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( D ) A.65 B.125 C.32D ．3 解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2.∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32. 11．如果x 2|k |－2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是(A)A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(1,2)[解析] 方程化为：y 2k －1－x 2|k |－2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，|k |－2>0.∴k >2. 又c ＝k －1＋(k －2)＝2k －3>1，故选A. 12．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆焦点(3m 2－5n 2，0)，双曲线焦点(2m 2＋3n 2，0)．∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2.∴m 2＝8n 2.又∵双曲线渐近线为y ＝±6·|n |2|m |·x ，∴代入m 2＝8n 2，|m |＝22|n |，得y ＝±34x .13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( B )A.45B.53C ．2D.73[解析] 由题意|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，设P (x 0，y )，则x 0>0，∴23a ＝ex 0－a ，∴e ＝5a3x 0.∵|x 0|≥a ，∴a x 0≤1.∴e ＝53·a x 0≤53.故选B.14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线方程是( D )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，依题意c ＝7，∴方程可化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎨⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2. ∵x 2＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23， 解得a 2＝2.故所求双曲线方程为x 22－y 25＝1. 15．设点F 1、F 2为双曲线C ：16x 2－9y 2＝144的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝__90°__．16．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为___1＋52_____．[解析] 由已知F (－c,0)，A (a,0)，∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )， ∴由FB →·AB →＝0得－ac ＋b 2＝0，即c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52(另一根舍去)．17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是x y 31±=，求双曲线的方程．答案：若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程是x y 31±=，∴ )0(,192222>=-k k y k x又双曲线经过点)3,6(，所以223936k k -＝1，解得k 2＝1，,此时，双曲线为1922=-y x；若双曲线的焦点在y 轴上，因为渐近线方程是x y 31±=，所以，设所求方程为192222=-k x k y ，又双曲线经过点)3,6(，所以1936322=-k k ，此方程无解．综上，所求的双曲线为1922=-y x ．18．设F 1，F 2为双曲线1169:22=-x y C 的两个焦点，点M 为双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积．答案：由题意，双曲线的实半轴a ＝3，虚半轴b ＝4， 因为c2＝a2＋b2＝25，所以焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，因为∠F1MF2＝60°，所以|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos60°， 即100＝|F1M|2＋|F2M|2－|F1M|·|F2M|， ①又由双曲线定义，得‖F1M|－|F2M ‖＝6，平方得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|＝36， ②由①②，得|F1M|·|F2M|＝64，所以，△MF1F2的面积为31623642160sin ||||212121=⨯⨯=⋅=∆ M F M F S M F F .19．以双曲线1:2222=-b y a x C (a ＞0，b ＞0)的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e ． 答案：(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ；(2)在双曲线C 中，半焦距22b a c +=，所以离心率ab a ace 221+==；双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a a xb y ，其半焦距为22b a +，所以离心率bb a e 222+=.所以，1112222222221=+++=+b a b b a a e e .20．F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，又离心率为2.求双曲线的方程．[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c .由余弦定理，得(2c )2＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|·(1－cos60°)，∴4c 2＝c 2＋|PF 1|·|PF 2|， 又S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin60°＝123，∴|PF 1|·|PF 2|＝48，∴3c 2＝48，c 2＝16得a 2＝4，b 2＝12.所求双曲线方程为x 24－y 212＝1.。
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
高中双曲线基础练习题及讲解
高中双曲线基础练习题及讲解### 高中双曲线基础练习题及讲解#### 双曲线的定义与性质双曲线是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有点到两个固定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。
双曲线有以下基本性质：1. 焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是常数。
2. 实轴与虚轴：双曲线有两条对称轴，分别称为实轴和虚轴。
3. 离心率：双曲线的离心率大于1。
#### 练习题一：双曲线的标准方程给定一个双曲线，其焦点在x轴上，中心点为(0, 0)，且a=3，b=2，求双曲线的方程。
解答步骤：1. 根据双曲线的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
2. 代入给定的a和b的值，得到 \(\frac{x^2}{3^2} -\frac{y^2}{2^2} = 1\)。
3. 简化得到 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。
#### 练习题二：双曲线的焦点坐标已知双曲线的中心点为(0, 0)，a=4，b=3，求双曲线的焦点坐标。
解答步骤：1. 计算离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
2. 计算焦点到中心的距离 \(c = ae\)。
3. 由于焦点在x轴上，焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)。
4. 代入数值计算，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
#### 练习题三：双曲线的渐近线方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，求其渐近线方程。
解答步骤：1. 渐近线方程形式为 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)。
2. 代入a和b的值，得到 \(y = \pm \frac{3}{4}x\)。
#### 练习题四：双曲线的参数方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\)，求其参数方程。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
高二数学双曲线试题
高二数学双曲线试题1.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，易求M坐标为，在三角形中，即，由得，答案选B.【考点】双曲线的性质2.已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为，且，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：双曲线的焦点为，且两曲线的一个公共点为在y轴右侧，因为，因此可设点,所以,所以，所以双曲线的离心率为．【考点】双曲线、抛物线的定义及性质．3.与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．【考点】双曲线的性质和应用．4.已知集合P={x|1≤x≤8，x∈Z}，直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1有且只有一个公共点，其中m、n∈P，则满足上述条件的双曲线共有__________________个.【答案】3【解析】依题意，将直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的方程联立，消去y得：（m-4n）x2-4nx-n-1=0；分①直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相切，②直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相交，讨论，分利用判别式与直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的一条渐近线y=x平行即可求得答案．【考点】直线与双曲线的位置关系.5.已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________.【答案】【解析】由题可得P（，4），∵，∴把P（，4）代入双曲线标准方程，解方程组即可.【考点】双曲线的标准方程.6.双曲线的焦距是10，则实数的值是（）A．B．4C．16D．81【答案】C【解析】由双曲线的方程，可得，而，所以由可得，故选C.【考点】双曲线的定义及其标准方程.7.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 ( )A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】因为双曲线渐近线方程是，所以又因为,所以等于2或18【考点】双曲线定义，渐近线方程8.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴，离心率＝，∴，故选C．【考点】1、双曲线的性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．9.抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得. 解：依题意知抛物线的准线方程为，代入双曲线的方程得，不妨设，设准线与轴的交点为，∵是直角三角形，所以根据双曲线的对称性可知，为等腰直角三角形，所以即，解得，∴，所以离心率为，选D.【考点】双曲线的性质.10.若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线,离心率为,且过点,则曲线的方程为________.【答案】【解析】离心率为的圆锥曲线是双曲线，而且是等轴双曲线，故可设基方程为，把点代入可求出．因此双曲线方程为．【考点】等轴双曲线的标准方程．11.过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.【答案】2.【解析】本题MN实质上是双曲线的通径，(可令代入双曲线方程求出的坐标，从而得出通径长)，根据题意应该有，.【考点】双曲线的通径与离心率.12.已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离是．（Ⅰ）求双曲线的方程及渐近线方程；（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k的值．【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）＝【解析】本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知识，考察学生运算能力、综合分析和解决问题的能力.（Ⅰ）离心率为，∴，∴①，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式得到：②，两式联立，可求出，∴双曲线方程为，渐近线方程为：；（Ⅱ）两点在以为圆心的同一个圆上，的中垂线过点,将直线与双曲线联立，消去，可得，设，中点为，则∴，解得＝，并检验是否满足(.试题解析：（Ⅰ）直线的方程为：即又原点到直线的距离由得 3分所求双曲线方程为 4分（注：也可由面积法求得）渐近线方程为： 5分（Ⅱ）方法1：由（1）可知（0，－1），设,由得： 7分∴3＋3＋＝3＋3＋，整理得：＝0，∵，∴，∴，又由－10＋25－3＝0 （），∴y＋y＝， 10分2＝7， 11分由△＝100－4（1－3）（25－3）>0=7满足此条件，满足题设的＝. 12分方法2：设，中点为，由， 7分∵，的中垂线过点 9分∵∴ 11分整理得解得＝.（满足 12分【考点】1、双曲线的标准方程；2、点到直线的距离公式和直线方程；3、韦达定理.13.双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】中，所以，双曲线的焦距为2c=,故选D。
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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =A ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =，则12PF PF +=A ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:2x =与x 轴的交点,若60,PMF ∠=45PFM ∠=,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率2e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点()P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若O E F =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144y=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．42324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点()P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(13)k∴∈--，，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
(完整版)双曲线基础训练题(含答案)
双曲线基础训练题1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是 （ D ） A ．x 2－4y 2=1B ．x 2－4y 2＝1C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ） A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[ B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x。
双曲线练习题带答案,知识点总结(基础版)
双曲线重难点复习一．知识点总结双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a F F <）1 a 半实轴长；b 半虚轴长；c 半焦距；a 、b 、c 之间满足c a b =+. e 叫做椭圆的离心率，ce a=且1e >.e 越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e =渐近线方程为y x =±3.y y=0b ax x y x a b±=±焦点在轴上和在轴上的渐近线方程分别为和，容所以常把双曲线标准方程右边的常数写成，分解因式即得渐近易记错，线方程。
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.122ta 5n2.PF F S b θ= 焦点三角形的面积22222222222222226.1010x y x y a b a b x y x y b a b aλλλλ-=-=≠-=-=≠与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）；与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）.1.已知F 为双曲线C ：116922=-y x 的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A （5,0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 442．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的焦距为20x y +=垂直，则双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 2214y x -= C. 22331205x y -= D. 22331520x y -= 【答案】A【解析】由题可知2c =，则c =．渐近线方程为12y x =，则12b a =．又222c a b =+可得，224,1a b ==．所以双曲线的方程为2214x y -=；故本题答案选A ．视频3．已知O 为坐标原点，设F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 12【答案】A【解析】延长F 1H 交PF 2于点Q ，由角分线性质可知|PF 1|=|PQ |,根据双曲线的定义，||PF 1|−|PF 2||=2，从而|QF 2|=2，在ΔF 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |=1.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.4.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为( ) A ．．4 D ．85.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，则渐近线的斜率为（A （B （C ）1或1-（D ）2或2- D6．已知双曲线x 2－23y ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ·2PF的最小值为________．-27.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 答案 B解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B. 8与双曲线622=-y x的左支交于不同的两点，（）A ．()11-， C【答案】C试题分析：联立方程2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()2214100k x kx ---=…① 若直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根k 9．经过双曲线4−y 2=1右焦点的直线与双曲线交于A ,B 两点，若 AB =4，则这样的直线的条数为（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条 【答案】B【解析】由双曲线x 24−y 2=1，可得a =2,b =1，若AB 只与双曲线右支相交时，AB 的最小值距离是通径长度为2b 2a=1,∵AB =4>1,∴此时有两条直线符合条件；若AB 只与双曲线两支相交时，此时AB 的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为2a =4，距离无最大值；∵AB =4,∴此时有1条直线符合条件；综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.10．P 是双曲线C :x 2−y 2=2左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ,F 2是双曲线C 的右焦点，则 PF 2 + PQ 的最小值为（ ） A.22B. 2C. 3 2D. 2+22【答案】C【解析】由题知|PF 2|−|PF 1|=2a =2 2，则|PF 2|+|PQ |=|PF 1|+|PQ |+2 2，由对称性，当F 1,P ,Q 在同一直线上时|PF 1|+|PQ |最小，由渐近线方程y =x ，|F 1O |=2知|F 1Q |= 2 则|PF 2|+|PQ |的最小值为3 2．故本题答案选C ．11．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的点，12,F F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且12•0PF PF = ，若12F PF ∆的面积是9，则a b +的值等于（） A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B【解析】双曲线的离心率是5344c b a a ==⇒=，120PF PF ⋅=1212,PF PF PFF ∴⊥∴ 的面积121219182S PF PF PF PF =⋅=∴⋅=，． 在12PF F 中，由勾股定理可得222222*********||2?4369c PF PF PF PF PF PF a a b a =+=-+=+∴+=+（），，34b a ∴=∴=，，7a b ∴+=，故选 C ．12．若双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的一条渐近线被圆 x −2 2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 2 33【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 a >0,b >0 的渐近线方程为bx ±ay =0，圆心 2,0 到渐近线距离为d = 2−12= 3，则点 2,0 到直线bx +ay =0的距离为d =22=2b c= 3，即4(c 2−a 2)c =3，整理可得c 2=4a 2，双曲线的离心率e = c 2a = 4=2．故选A ．13．右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率是（）C. 2D.【答案】A14．右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，且120AOB ∠= ，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 【答案】C 【解析】如下图：，（0a >，0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）B. ()1,2C.D. ()2,+∞ 【答案】D【解析】AB 是双曲线通径，即2222a a cbc a +<=-，2220c ac a -->，即，故选D ．16．设1F ，2F 分别为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：222222221(0,0)x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（）A. 92B. 2C. 32D. 54【答案】B【解析】设12,m MF n MF ==，所以1122122{{ 2m n a m a am n a n a a+==+∴-==-，由1290F MF ∠= 得()()()()222222212121222c m n a a a a a a =+=++-=+，222222212121222222121122a a a a c a a c c c e e +∴=+∴==+=+，1234e e =∴= 17．已知双曲线C :x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)，F 1,F 2分别为其左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ,B 两点，若|AB |:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 4C. 13D. 15 【答案】A 【解析】∵|AB|:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5，不妨令 AB =3， BF 2 =4，|AF 2|=5， ∵|AB |2+|BF 2|2=|AF 2|2 ，∴∠ABF 2=90∘又由双曲线的定义得：|BF 1|−|BF 2|=2a ，|AF 2|−|AF 1|=2a ∴|AF 1|+3−4=5−|AF 1|,∴|AF 1|=3 ，|BF 1|−|BF 2|=3+3−4=2a ,∴a =1在RtΔBF 1F 2 中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=62+42=52， 又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52,∴c = 13 所以双曲线的离心率e =c = 13 ，故选C.18．已知12,F F 是双曲线的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且则该双曲线的离心率为B. D. 2【答案】A则A. 19．已知F 为双曲线的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过,F A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3A B F A = ，则此双曲线的离心率为__________．【解析】F 为双曲线的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，。
双曲线基础练习题(后附答案)
双曲线基础练习题（后附答案）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0）5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________.14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________. 16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题 1. 求以椭圆18522=+y x 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
双曲线轨道基础练习题
双曲线轨道基础练习题问题1一列火车以速度为 $v_0$ 的恒定速度沿着双曲线轨道行驶。
在火车行驶的过程中，火车司机注意到离他最近的两个点的关系如下图所示：根据图示，请回答以下问题：1. 在双曲线轨道的顶点处，火车的运动状态怎样？2. 在双曲线轨道的焦点处，火车的运动状态怎样？3. 在双曲线轨道的渐近线处，火车的运动状态怎样？问题2火车在双曲线轨道行驶的过程中，通过了两个特定的点：点A 和点B。
已知点A离轨道焦点的距离为 $d_1$，点B离轨道焦点的距离为 $d_2$。
根据这些信息，请回答以下问题：1. 火车通过点A时的速度是多少？2. 火车通过点B时的速度是多少？问题3火车沿着双曲线轨道运行，在离焦点的距离为 $d$ 处的一个特定点上，火车司机测量到自己的运动速度为 $v$。
根据这些信息，请回答以下问题：1. 火车在相同的轨道上，经过轨道焦点时的速度是多少？2. 那么，火车在相同的轨道上，通过点A时的速度是多少？问题4假设双曲线轨道的离心率为 $e$，轨道焦点到轨道顶点的距离为 $a$，轨道的渐近线交轴的点为D。
根据这些信息，请回答以下问题：1. 轨道焦点与轨道顶点的距离是多少？2. 轨道的渐近线与轴的交点D离轨道焦点的距离是多少？3. 怎样计算轨道焦点与点D之间的距离？问题5一列火车以速度为 $v_0$ 的恒定速度沿着离心率为 $e$ 的双曲线轨道行驶。
火车通过点A时的速度为 $v_A$，通过点B时的速度为 $v_B$。
根据这些信息，请回答以下问题：1. 通过点A时火车的能量是多少？2. 通过点B时火车的能量是多少？。
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双曲线基础练习题12
1．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率4
5=e 的双曲线为( ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x (C)116
922=-y x (D)1162522=-y x 2.与椭圆125
＋162
2=y x 有共同焦点，且过点)10,2(-P 的双曲线是( ) (A)14522=-x y (B)14
52
2=-y x (C)13522=-x y (D)13522=-x y 3．设双曲线12
2
=-m y x 的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是( ) (A)(0，3)
(B)(3，＋∞) (C)(0，1) (D)(1，＋∞)
7．双曲线x 24＋y 2k
＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－12,0)
C ．(－3,0)
D ．(－60，－12)
8．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
12．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2
3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．x ＝±152y
B ．y ＝±152x
C ．x ＝±34y
D ．y ＝±34
x 15．设点F 1、F 2为双曲线C ：16x 2－9y 2＝144的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|
＝32，则∠F 1PF 2＝____．
16．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为________．
17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是x y 3
1±
=，求双曲线的方程．
18．设F 1，F 2为双曲线116
9:2
2=-x y C 的两个焦点，点M 为双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积．
双曲线基础练习题
1． A )2. A )3． B )
7．双曲线x 24＋y 2k
＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( B ) A ．(－∞，0) B ．(－12,0)
C ．(－3,0)
D ．(－60，－12)
解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4
. 又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k 4
<4，解得－12<k <0. 8．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( B )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
解析 由题意知在双曲线上存在一点P ，
使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．
又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，
即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，
即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .
又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<c a
≤3，即1<e ≤3. 12．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2
3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）
A ．x ＝±152y
B ．y ＝±152x
C ．x ＝±34y
D ．y ＝±34
x [解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆焦点(3m 2－5n 2，0)，双曲线焦点(2m 2＋3n 2，0)．∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2. ∴m 2＝8n 2.又∵双曲线渐近线为y ＝±
6·|n |2|m |·x ， ∴代入m 2＝8n 2，|m |＝22|n |，得y ＝±
34x . 15．设点F 1、F 2为双曲线C ：16x 2－9y 2＝144的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|
＝32，则∠F 1PF 2＝__90°__．
16．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为___1＋52
_____．
[解析] 由已知F (－c,0)，A (a,0)，∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，
∴由FB →·AB →＝0得－ac ＋b 2＝0，即c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0，
解得e ＝1＋52
(另一根舍去)． 17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是x y 3
1±=，求双曲线的方程． 答案：若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程是x y 31±
=，∴ )0(,192
2
22>=-k k y k x 又双曲线经过点)3,6(，所以223936k
k -＝1，解得k 2＝1，,此时，双曲线为1922=-y x ； 若双曲线的焦点在y 轴上，因为渐近线方程是x y 3
1±=，所以，设所求方程为192
2
22=-k x k y ， 又双曲线经过点)3,6(，所以1936322=-k k ，此方程无解．综上，所求的双曲线为
1922
=-y x ．
18．设F 1，F 2为双曲线116
9:2
2=-x y C 的两个焦点，点M 为双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积．
答案：由题意，双曲线的实半轴a ＝3，虚半轴b ＝4，
因为c2＝a2＋b2＝25，所以焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，
因为∠F1MF2＝60°，所以|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos60°，
即100＝|F1M|2＋|F2M|2－|F1M|·|F2M|， ①
又由双曲线定义，得‖F1M|－|F2M ‖＝6，平方得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|＝36， ②
由①②，得|F1M|·|F2M|＝64，
所以，△MF1F2的面积为
31623642160sin ||||212121=⨯⨯=⋅=∆ M F M F S M F F .。