北师大版八年级数学上册知识点梳理

第一章 三角形初步
[定义与命题]
定义：规定某一名称或术语的意义的句子。

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。

正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

注意：基本事实和定理一定是真命题。

[证明]
在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。

[三角形]
由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 [三角形按边分类]
三角形()
⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩
不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形
[三角形按内角分类]
三角形 锐角三角形：三个内角都是锐角
直角三角形：有一个内角是直角 钝角三角形：有一个内角是钝角 [三角形的性质]
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三内角和等于180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。

[三角形的三种线]
顶角的角平分线：三条，交于一点 三角形的中线：三条，交于一点 三角形的高线：三条，交于一点。

思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置
[全等形]
能够完全重合的两个图形叫做全等形. [全等三角形]
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. [全等三角形的性质]
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

还有其它推出来的性质：
全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

[三角形全等的证明]
边边边：三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）
边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)
角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN
∴OP平分∠AOB
[三角形的角平分线的性质]
三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
【最后】学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义。

（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上。

（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

切记切记
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。

第二章特殊三角形
[轴对称图形]
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

[轴对称]
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
[图形轴对称的性质]
①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

[轴对称与轴对称图形的区别]
[线段的垂直平分线]
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
[等腰三角形]
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰
所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
[等腰三角形的性质]
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）．
特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
[等腰三角形的判定定理]
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
[等边三角形]
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
[等边三角形的性质]
等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°
[等边三角形的判定方法]
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[逆命题和逆定理]
命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。

正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

注意：基本事实和定理一定是真命题。

互逆定理：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理。

其中一个定理叫做另一个定理的互逆定理。

注意：1.逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理一定是真命题。

2.所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理。

[
一、
二. 知识点回顾
1、 勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。

求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形
（1） 先确定最大边（如c ）
（2） 验证2
c 与2
2
b a +是否具有相等关系
（3） 若2
c =2
2
b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2
c ≠2
2
b a + 则△ABC 不是直角三角形。

3、 勾股数
满足2
2
b a +=2
c 的三个正整数，称为勾股数，如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17； （5）7，24，25 （6）9, 40, 41
第三章不等式
知识点一：不等式的概念
1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
要点诠释：
(1)不等号的类型:
①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个
量谁大谁小；
②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；
③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；
④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；
⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；
(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：
由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：不等式x－4＜1的解集是x＜5.
不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.
二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：
不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；
(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质
基本性质1：如果a<b，b<c，那么a<c。

不等式的传递性。

基本性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

基本性质4：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

要点诠释：
(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；
(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；
(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；
(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)
同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。

知识点三：一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释：
(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：
①左右两边都是整式(单项式或多项多)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；
不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

知识点四：一元一次不等式的解法
1.解不等式：
求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步
骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。

（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以
后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左。

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）
1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。

（性质
2、3要倍加小心）
2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式
是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原
不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同项；（5）化未知数的系数为1。

这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。

但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

第四讲图形与坐标
一．平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直的数轴，组成平面直角坐标系,水平的轴叫：x轴，竖直的轴叫：y轴，两轴的交点是原点，通常规定向或向上的方向为正方向。

1. 已知点A(x,y).1)若xy=0，则点A在__ _； 2)若xy>0，则点A在___________；
3)若xy<0，则点A在________________.
2. 坐标轴上的点的特征：x轴上的点______为0，y轴上的点______为0。

3. 象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点_________ ________；二四象
限角平分线上的点______________ ______。

4. 平行于坐标轴的点的特征：平行于x轴的直线上的所有点的______坐标相同，平行于y
轴的直线上的所有点的______坐标相同。

5. 点到坐标轴的距离：点P(),x y到x轴的距离为__y__，到y轴的距离为__x__；
三．坐标平面内点的平移情况：左右移动点的_____坐标变化，（向右移动____________，向左移动____________），上下移动点的______坐标变化（向上移动____________，向下移动____________）
知识一、坐标系的理解
知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标
知识点三：点符号特征。

知识四：求一些特殊图形，在平面直角坐标系中的点的坐标。

知识点五：对称点的坐标特征。

知识点六：利用直角坐标系描述实际点的位置。

需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系，找出对应点的坐标。

知识点七：平移、旋转的坐标特点。

第五章一次函数
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3自变量取值范围的确定方法
1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（如立方根）用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为大于等于0的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

（三角形三边，或者具体生活实际问题）5、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

9、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式y=kx (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2)必过点：（0，0）、（1，k）
(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限
(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
10、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数
一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-k
b ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)
（2）必过点：（0，b ）和（-k
b ，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩
⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0
0b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.
（6） 图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，
将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.
11、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），
.即横坐标或纵坐标为0的点.
12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2且b1≠b2
（2）两直线相交：k1≠k2
（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
(6)16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.。