《概率统计》 试题试卷及答案(B卷)

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5)p - (C) C ),(2σμ∑=-n i i X X n

1

2)(1 )2

(μ已知)的下列估计量中，为无偏估计量的是 。B ）=-=n

i n 2211σ（D ）-=i n 241

1σ （B ）114X (D)115X 4.0)=B ，则P }4=，则(X D +2(X D 3

，假如该厂中

2．设(),(),()

P AB P AB P AB P A B P A B ===，求概率(),(),(),(),() P A p P B q P A B r

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3．设随机变量X的概率密度为

2

3

2, ()

0,

x

X

x e x f x

x

-

⎧⎪

=⎨

⎪⎩

4．二维随机变量(,)

X Y的联合密度为(,)

f x y 密度()

f x y及()

f y x．

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5．设随机变量Y 是随机变量X 的线性函数，65+=X Y ，且3)(=X D ，求

Cov()X ,Y 和XY ρ.

.

6．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，即 ,2,1,0 ,!

}{==

=-x e x x X P x

λλ．

n X X X ,,,21 是来自X 的样本，求参数λ的最大似然估计．

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四、综合应用题：(13分)

设连续型随机变量X 的分布函数为()1,F x A B ⎧

⎪⎪

=+⎨⎪

⎪⎩

（1）参数,A B ；（2）X 的概率密度函数()f x ；（3

《概率统计》 参 考 答 案 与 评 分 标 准

一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1~5：BBBAB ；6~10：BBDBB 。 二、填空（每小题3分，共15分）

1、0.52； 2

、 3、=-)13(X E 2；=+)52(X D 36； 4、27； 5

、02()0,Y

y f y others

<<=⎩

三、计算题（每小题7分，共42分）

1．解:（1）设事件B 表示“新工人参加了培训”，则B 就表示“新工人没有参加培训”，从而B 与B 构成一完备文件组。设事件A 表示“新工人能完成定额”，由全概率公式

()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ (2 分)

而 ()0.80,()1()10.800.20P B P B P B ==-=-= (|)0.86,

(|)0.35P A B P A B ==

∴ ()0.800.860.200.350.758P A =⨯+⨯= (5分) （2）由贝叶斯公式

()(|)0.800.86

(|)0.908(|)()(|)0.7580

P B P A B P B A P A B P B P A B ⨯===+ (7分)

2．解：（1）由加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-

∴ ()()()()P AB P A P B P A

B p q r =+-=+- (2 分)

（2）∵ AB A B A AB =-=- 由于AB B ⊂

∴ ()()()()P AB P A P AB p p q r r q =-=-+-=- (4 分) （3）∵ 由德莫根律 AB A

B =

∴ ()()1()1P AB P A B P A

B r ==-=- (5 分)

（4）∵ A

B AB = ∴ ()1()1()1P A

B P A

B p q r r p q =-=-+-=+-- (6分) （5）()()()()(1)()1P A B P A P B P AB p q r q p r =+-=+---=+- (7 分)

3．解 则当0y ≤时，()0Y f y =；当0y >，则

2

23

(){}{}{0x

F y P Y y P X y P X x e dx

-

=≤=≤=<≤=(4 分)

上式两边对y求导数，由变上限积分求导公式有

2

3

()()y

Y

f y F y e ye

--

'

===，(6 分)所以2

Y X

=的概率密度函数为0,0

()

,0

Y y

y

f y

ye y

-

≤

⎧

=⎨

>

⎩

；(7 分) 4．解当1

0<

2

1

27

8

()(,)8()

3

X x

f x f x y dy xy dy x x

+∞

-∞

===-

⎰⎰，(2 分) 而当0

x≤或1

x>时，由于(,)0

f x y=，所以()0

X

f x=，因此X 的边缘密度函数为：7

8

(),01,

()3

0,

X

x x x

f x

⎧

-<<

⎪

=⎨

⎪⎩其他,

(3 分)

类似地有：

3

4,01,

()(,)

0,

Y

y y

f y f x y dx

+∞

-∞

⎧<<

==⎨

⎩

⎰

其他.

(5 分)

由条件密度函数计算公式有

当1

0<

时，

2

,0

(,)

()

()

0,

Y

x

x

f x y

y

f x y

f y

⎧

<

⎪

==⎨

⎪

⎩其他,

，(6 分)

当1

0<

时，

2

6

3

,1,

(,)

()1

()

0,

X

y

x

f x y

f y x x

f y

⎧

<

⎪

==-

⎨

⎪⎩其他.

(7 分)

5．解Cov()Cov(56)Cov(5)Cov(6)

X,Y X,X X,X,X

=+=+

5Cov()05()15

X,X D X

=+==，(4 分) 又75

)

(

25

)6

5(

)

(=

=

+

=X

D

X

D

Y

D，所以

15

1

15

XY

ρ====. (7分)