数学难归纳06函数值域及求法教案

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函数——值域(教案)

函数（3）——值域二．教学目标：1. 会求常见函数的值域；2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等。

（一）复习：（提问） 1．函数的三要素；2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合；函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。

（二）新课讲解：例1、试画出下列函数图象。

（1）f(x)=x+1, (2)f(x)=(x-1)2+1,[)1,3x ∈练习：已知函数与分别由下表给出，那么((1))_____;((2))______((3))______;((4))_______f f f g g f g g ====1．观察法求函数值域例1．求下列函数值域：（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）21y x =- {2,1,0,1,2}x ∈--（3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（答案一[4,5]-），（答案二{3,0,1}-），（答案三(,1)(1,)-∞+∞），（答案四{1,0,1}-） 2．配方法求二次函数值域例2．已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x R ∈；（2）[0,)x ∈+∞；（3）[2,2]x ∈-；（4）[1,2]x ∈．解：（1）∵2(1)4y x =+-∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．（2）∵223y x x =+-的图象如图，当0x =时，min 3y =-，∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞．（3）根据图象可得：当1x =-时，min 4y =-，当2x =时，max 5y =，∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-．（4）根据图象可得：当1x =时，min 0y =，当2x =时，max 5y =，∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]．说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同；（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。

函数及定义域、值域求法教案

龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数及定义域、值域求法
教学重点1、理解并掌握函数和映射的概念和它们的异同点
2、理解定义域的概念，会求一些函数的定义域
3、理解值域的概念，会求一些函数的值域
教学难点1、函数与映射的异同点
2、求解函数的定义域和值域
教学目标1、掌握函数与映射的异同点
2、掌握函数定义域和值域的求法
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。

二、内容讲解：
知识点一：函数与映射
知识点二：函数的定义域
知识点三：函数的值域
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。

函数的值域教案

函数的值域教案教案标题：函数的值域教案教案目标：1. 理解函数的值域的概念；2. 能够确定给定函数的值域；3. 能够解决与函数值域相关的问题。

教案步骤：引入（5分钟）：1. 引入函数的概念，解释函数的定义和符号表示；2. 引入函数的定义域和值域的概念，并解释二者的区别；3. 提出一个问题，例如：对于函数f(x) = x^2，我们如何确定它的值域？探究（15分钟）：1. 分组讨论：让学生分成小组，每组选择一个函数进行研究；2. 指导学生分析所选函数的定义域和值域；3. 引导学生思考如何确定函数的值域，例如通过绘制函数图像、寻找函数的最大值和最小值等方法；4. 指导学生应用所学方法确定各自函数的值域，并与其他小组分享结果。

总结（10分钟）：1. 收集各组的结果，让学生分享他们所确定的函数值域；2. 引导学生总结确定函数值域的方法，并强调重要的观察点，例如函数的最大值、最小值以及是否存在水平渐近线等；3. 提出一些挑战性问题，例如如何确定复杂函数的值域。

应用（15分钟）：1. 分发练习题，让学生在课堂上或课后完成；2. 引导学生应用所学方法解决练习题中的问题；3. 鼓励学生互相合作、讨论和解答问题；4. 督促学生检查答案，并解释他们的解题思路。

拓展（5分钟）：1. 提出一个拓展问题，例如：如何确定反函数的值域？2. 引导学生思考并讨论拓展问题；3. 总结课堂内容，并鼓励学生在日常生活中应用所学知识。

教案评估：1. 观察学生在小组讨论中的参与程度；2. 检查学生在练习题中的解答情况；3. 评估学生对于函数值域概念的理解程度；4. 通过课堂讨论和问题解答，评估学生解决函数值域相关问题的能力。

教案扩展：1. 引导学生研究更复杂的函数，并确定其值域；2. 引导学生应用函数值域的概念解决实际问题；3. 引导学生研究函数值域的性质和特点，例如单调性、奇偶性等。

6函数的概念、定义域、值域求法-教师版

教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。

2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。

3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。

分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。

分段函数是一个函数，而不是几个函数。

在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。

4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。

函数的值域、解析式的求法精编(教案)

（一）常见函数的值域（1）一次函数)0(≠+=k b kx y （2）反比例函数)0(≠=k xky 的值域为{}0≠y y . （3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为⎪⎪⎫⎢⎡+∞-,442a b ac ；当0<a 时，值域为⎥⎤⎛-∞-a b ac 44,2.（二）求函数值域的方法（1）直接法（观察法）从自变量x 的范围出发，推出)(x f y =的取值范围，适合于简单的复合函数；【例1】求函数221x y +=的值域。

【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<210y y（2）配方法适用于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可化为二次函数型的函数；【例2】求函数223y x x =+- ()x R ∈的值域。

（4)1(2-+=x y ）【答案】{}4-≥y y【变式练习1】求函数()2f x =-【解】22)1(2522242)(---=-+-=x x x x f ，053()2f x ≤≤⇒-≤≤（3）换元法运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

形如y ax b =+±【例3】求函数y x =+【解析】令0)t t =≥，则212t x += 221(1)(0)22t t y t t ++∴=+=≥ 12y ∴≥【变式练习】求函数x x y 212-+=的值域。

【解析】令)0(21≥-=t x t ，则212t x -= 22151()(0)24y t t t t ∴=-++=--+≥∴当21=t ，即83=x 时，45m ax =y ，无最小值。

（4）判别式法（∆法）运用方程思想，把函数转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，依据二次方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x R ∈的分式；【例4】求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。

《函数的值域》教案全面版

...... 孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影
.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论
例 3．求函数 y
x2 5x 6 的值域
x2 x 6
方法一：去分母得
(y
1)
x
2
+(y+5)x
6y 6=0
①
当 y 1 时 ∵ x R ∴△ =(y+5) 2 +4(y 1)× 6(y+1) 0
孔明灯真的很漂
亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。
原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄
昏。风。无垠的旷野。一棵树。 ----就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样
③y x x 1 1 1 1
x1 x1
x1
1
∵
0
x1
∴y 1
即函数的值域是 { y| y R 且 y 1} （此法亦称分离常数法）
④当 x>0，∴ y x 1 = ( x x
1 ) 2 2 2， x
当 x<0 时， y
( x 1 ) =－ ( x x
1 )2 2 2 x
∴值域是 ( , 2] [2， + ). （此法也称为配方法）
x x
1 值域 1
解：∵ x2 x 1 ( x 1 ) 2 3 3 0 ， 2 44
∴函数的定义域 R，原式可化为 y(x2 x 1) x2 x 1 ,
整理得 ( y 1) x 2 ( y 1)x y 1 0，

函数的定义域和值域教案

函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。

三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。

（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。

比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。

2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。

（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。

（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。

- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。

3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。

请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。

（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。

高中数学求值域教案

高中数学求值域教案一、教学目标：1. 知识目标：理解求值域的概念，掌握求值域的计算方法。

2. 能力目标：能够独立解决求值域问题，灵活运用求值域的相关知识。

3. 情感态度目标：培养学生对数学问题的探究和思考能力，增强学生对数学的兴趣和信心。

二、教学重点和难点：1. 教学重点：求值域的概念和计算方法。

2. 教学难点：掌握如何确定函数的值域。

三、教学过程：1. 导入活动（5分钟）：教师简要介绍求值域的概念，并通过一个简单的例子引导学生思考什么是函数的值域。

2. 理论讲解（15分钟）：教师系统地介绍求值域的定义和计算方法，重点讲解如何确定函数的最大值和最小值。

3. 示例分析（20分钟）：教师通过几个实例讲解求值域的具体计算过程，引导学生掌握解题方法和技巧。

4. 练习与讨论（15分钟）：学生通过小组合作或个人练习，解决一些求值域问题，并在讨论中互相交流思路和方法。

5. 总结与拓展（5分钟）：教师对本节课的内容进行总结，并展示一些扩展问题，鼓励学生进一步挑战。

四、教学方法：1. 讲授法：通过系统地讲解，帮助学生建立求值域的概念。

2. 实例引导法：通过实例分析，帮助学生理解求值域的计算方法。

3. 合作探究法：通过小组合作，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。

五、教学资源：1. 教材教辅资料2. 多媒体设备六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习。

2. 作业表现：学生是否独立完成求值域问题，并能正确解答。

3. 课后反馈：通过课后作业批改和答疑，检验学生对求值域的理解和掌握程度。

《函数的值域》教案全面版

...... 孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影
∴函数的定义域为 R，
∴原函数可化为 2y x 2 -4yx+3y-5=0 ，由判别式
0，
即 16 y 2 -4×2y(3y-5)=-8 y 2 +40y 0(y 0),
解得 0 y 5，又∵ y 0, ∴ 0<y 5.
注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到
.
3 求函数的值域
①y x 2 x；
由此得 (5y+1) 2 0
检验 y
1 时x
5
1 5
5
6 2( )
5
2 （代入①求根）
∵2 定义域 { x| x 2 且 x 3}
∴y 1 5
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴ y 1
综上所述，函数 y
2
x 5x 6
x2
x
的值域为 { y| y 1 且 y 6
1
}
5
方法二：把已知函数化为函数
( x 2)( x 3) x 3
综上：函数是值域是六、板书设计（略）
1
{y|
3
y 3 }.
七、课后记：
你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。
（舞低杨柳楼心月歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那
桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。
b 时，其最小值 2a
ymin
b 时，其最大值 2a
ymax
(4ac b 2 ) ； 4a

函数的定义域和值域教案模板

函数的定义域和值域教案模板【前导部分】（引入概念，简述重要性）函数的定义域和值域是数学中非常重要的概念。

函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是函数在定义域内能够取到的所有函数值。

了解一个函数的定义域和值域，有助于我们理解函数的性质和应用，能够更好地解决与函数相关的问题。

【正文部分】一、定义域的概念及判定方法在介绍函数的定义域之前，我们先回顾一下函数的定义。

函数是一种将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起对应关系的规则。

在函数的定义中，自变量是我们输入的元素，而函数值则是和输入元素对应的输出。

1. 定义域的概念函数的定义域是指在这个函数中，自变量可以取哪些值。

在数学中，我们通常用一组数的集合来表示定义域。

2. 判定定义域的方法a. 对于代数式函数，我们需要注意函数中是否存在某些禁止的运算，例如分母为零的情况，以及根号内是负数的情况；b. 对于分段函数，我们则需要考虑每一段函数的定义域，并求取它们的交集。

二、值域的概念及判定方法1. 值域的概念函数的值域是函数在定义域内可以取到的所有函数值所组成的集合。

换句话说，值域是函数在纵坐标上的投影。

2. 判定值域的方法针对不同类型的函数，我们有不同的方法来判定其值域：a. 对于线性函数，我们可以通过函数的斜率来判断值域的范围；b. 对于二次函数，我们可以观察其开口方向和顶点坐标，从而确定值域的区间；c. 对于三角函数，我们则需要根据其周期性、奇偶性等特点来判定值域；d. 对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和对数的取值范围等条件。

【拓展应用】函数的定义域和值域不仅仅在数学中有重要的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

1. 物理学中的应用在物理学中，我们经常需要建立各种物理量之间的函数关系。

函数的定义域和值域在解决物理问题时能够帮助我们确定物理量的取值范围、判断物理规律的适用范围等。

2. 经济学中的应用在经济学中，函数的定义域和值域能够帮助我们确定经济模型中各个变量的取值范围，理解经济规律的限制条件，以及进行经济政策的制定和分析。

教案--函数定义域、值域、解析式的求法

领程教育一对一个性化辅导教案
正切函数
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-= 上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。

由上图可知，当点P 在线段AB 上时，|8x ||2x |y =++-=
9. 不等式法
利用基本不等式b
+
a≥
式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平
函数
（湖南卷）函数f(x)＝
若函数的定义域为，则
的定义域为，求的定义域．
2-
)x。

初中函数值域教案

初中函数值域教案目标本课程旨在帮助初中学生理解和求解函数的值域，并培养他们的分析和问题解决能力。

通过本课程的研究，学生将能够：1. 理解函数值域的概念和意义；2. 掌握求解简单函数值域的方法；3. 运用函数值域知识解决实际问题。

内容1. 函数值域的概念- 介绍函数值域的定义和含义；- 通过例子引导学生理解函数值域的概念。

2. 函数值域的求解方法- 解释如何求解简单函数值域；- 提供一些常用函数值域求解方法的步骤和技巧；- 给出练题，让学生熟练掌握函数值域的求解方法。

3. 函数值域在实际问题中的应用- 通过实际问题引导学生思考函数值域的应用场景；- 提供一些实际问题，让学生应用函数值域的知识解决问题；- 鼓励学生分享自己的解决思路和方法。

教学步骤步骤一：导入- 通过一个生动的例子引入函数值域的概念；- 引发学生对函数值域的思考。

步骤二：概念讲解- 讲解函数值域的定义和含义；- 通过示意图和图表展示函数值域的概念。

步骤三：例题演示- 选取一些简单的函数，演示如何求解其值域；- 引导学生跟随演示，并提供解题思路和方法。

步骤四：练与巩固- 针对函数值域的求解方法，设计一些练题；- 分组进行练，并互相讨论解题思路。

步骤五：应用拓展- 给出一些实际生活中的问题，让学生运用函数值域的知识解决问题；- 鼓励学生分享解决方案，展示不同的思考和方法。

步骤六：总结和反思- 通过回顾本节课的内容，总结函数值域的求解方法和应用场景；- 鼓励学生提出问题和反思，加深对函数值域的理解。

教学资源为了支持教学，我们将提供以下资源：- 示例函数与值域的练题；- 函数值域的求解方法总结手册。

评估标准学生将根据以下标准进行评估：1. 对函数值域的理解程度；2. 准确求解函数值域的能力；3. 在实际问题中应用函数值域的能力。

通过本节课的学习，希望学生能够掌握并灵活运用函数值域的知识，同时培养他们的分析和问题解决能力。

高考数学难点突破_难点06__函数值域及求法

高考数学难点突破_难点06__函数值域及求法函数值域及求法是高考数学中的一个重要难点。

本文将介绍函数的值域的概念、求法及一些常见的解题思路。

一、函数值域的概念函数的值域是指函数在定义域内取到的所有可能的函数值的集合。

简单来说，就是函数所有可能的输出值构成的集合。

二、值域的求法1.函数图像法：根据函数的图像来判断函数的值域。

当函数的图像是一个区间时，值域就是这个区间。

当函数的图像是一个集合时，值域就是这个集合。

2.分析法：根据函数的定义和性质来进行分析。

a.奇偶性：如果函数是奇函数，即对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。

如果函数是偶函数，即对于任意的x，有f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于x轴对称。

b.函数的单调性：如果函数在定义域上是单调递增或单调递减的，那么可以通过求出函数的最值来确定值域。

c.函数的周期性：如果函数是周期性的，那么可以根据周期性来确定值域。

比如正弦函数的值域是[-1,1]，余弦函数的值域也是[-1,1]。

d.函数的极限：如果函数在定义域的一些点处的极限存在，那么该点处的极限就是函数的值域。

三、一些解题思路1.利用函数的性质进行求解：利用函数的奇偶性、单调性、周期性、极限等性质进行求解。

2.利用导数进行求解：如果函数存在可导性质，可以通过求导数来分析函数的变化趋势，从而确定值域。

3.利用反函数进行求解：如果函数存在反函数，可以通过求反函数的定义域和值域来确定原函数的值域。

4.利用函数的定义进行求解：通过函数的定义式，对函数进行变形、化简，从而求出函数的值域。

四、例题解析考虑函数f(x)=1/(x-1)，我们来求函数的值域。

首先，由函数的定义可知，函数的定义域是x≠1然后，我们可以通过分析函数的性质来确定它的值域。

对于函数f(x)=1/(x-1)，我们可以看出它是一个单调递增函数。

当x逼近无穷大时，函数的值也会无限接近于0。

所以，当x→∞时，f(x)≈0。

专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略（1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域（7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________．【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．热点二求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．热点三求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__．四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。

【高三】2021届高考数学函数值域求法知识归纳复习教案

【高三】2021届高考数学函数值域求法知识归纳复习教案2.函数值域求法一、知识分类：1、基本初等函数的值域：（1）主要功能范围：R（2）反比例函数的值域：（3）二次函数的范围：时，；时，；给定值范围的二次函数：由图象考虑取：（4）指数函数的取值范围：（5）对数函数的值域：r（6）幂函数取值范围：当，取值范围为或，当，取值范围为，当，取值范围为或（7）三角函数的值域分别为：2.查找功能范围的方法：（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（2）二次函数法：用变换法将函数变换成二次函数，求出取值范围；（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。

（4）逆表示：将函数的值域转换为其逆函数的值域；（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；（6）单调性方法：利用定义域上函数的单调性来寻找值域；（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；（8）图像法：当可以使用函数图像时，可以通过图像获得其值范围；（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；（10）几何意义法：通过组合数字和形状、变换坡度、距离等计算值范围。

二、典例讨论：问题类型1。

基本函数的复合函数：例1、求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）呢？（5）已知，找到函数的值范围。

解：的定义域为，由此可得值域为[0，3]；问题类型2。

其他功能例2、求下列函数的值域：（1）分子常数法：点评：适用一次分式函数型（2）逆表示法：点评：类似地：（3）方法：求函数y=取值范围的因式分解，可以先近似。

解：∵，∴函数的定义域r，原式可化为,整理得，若y=1,即2x=0,则x=0；若y1,∵r，即有0，∴,解得且y1.总之：函数的值范围是{y}点评：适用二次分式函数型，先因式分解，能约先约。

（4）特别是：基本不等式方法、推导方法：（5）配方法：解决方案：，（6）换元法：换元法：三角变换法：（7）函数单调性法：用的单调性：备注：可通过导数法获得（8）分段函数图象法：求y=x+1+x-2的值域.解决方案：将函数转换为分段函数形式：绘制其图像（下图）。

求函数值域教案

求函数的值域的常用方法一、教学目标:（1）知识与技能：了解函数值域的概念，掌握求函数值域的几种常用方法并会灵活运用。

（2）过程与方法：通过小组合作、自主探究等多种学习方法，灵活运用求函数值域的方法。

（3）情感、态度和价值观：发展学生的思维能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

二、教学重难点：（1）重点：常用的求函数值域的方法（2）难点：能灵活运用求函数值域的方法来解决实际问题。

三、教学准备：导学案、多媒体四、教学方法：合作探究，知识讲解五、教学过程：（1）知识回顾：求函数定义域的几种形式。

（2）值域概念：函数自变量x的对应的函数值的取值集合构成了函数的值域。

（3）求函数值域的几种常用方法：例1：求下列函数的值域（1）1y=x+由直接观察法可以知道函数y的取值范围是[)∞1，+注：本题采用直接观察法，根据函数表达式特征，从函数自变量的变化范围出发，直接得出函数值域的一种简单方法.例2：求函数3x 2x y 2++=在下面给定区间上的值域:①[-4, -3]; ②[-4, 1）;注：形如 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的二次函数常用图象法求函数的值域, 包括今后要学习的分段函数求函数值域也用到图像法。

例3：求函数1-x -x y =的值域注：通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).例4:求函数1x 3x 2y ++=的值域注：形如例4这样的分式函数一般都采用分离常数法。

例5：求函数1x 1-x y 22+=的值域注：当函数表达式中自变量易于解出时，反解函数所示方程，进而得到值域.例6：求函数1x x 1x -x y 22+++=的值域注：这是反解法的一种特殊情形.当函数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不解出方程，而直接利用判别式来求解值域六、本课总结：本节课主要讲了求函数值域的六种方法，如直接观察法、图像法、换元法、分离常数法、反解法和判别式法。