长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九年级初赛试题及答案

C

A

B

D M 第15题

2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛

九 年 级 初 赛 试 题

（时量：90分钟 满分：100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

题

号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 答

案

1．设P ＝121220132012++，Q ＝1

21

220142013++，则P 与Q 的大小关系是

A ．P ＞Q

B ．P ＝Q

C ．P ＜Q

D ．不能确定

2．边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有

A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．7个

3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取 A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 4．若二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，则点（b a +，ac ）在

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．如图，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于

A ．152

B ．143

C ．132

D ．108 6．如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于 A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 50°

7．已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。如果△ABC 的面积为12，

那么四边形BCDE 的面积为 A ．6 B ．8

C ．9

D ．10

8．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是 A ．11 B ．13 C ．17 D ．19 9．直线k x y +=

2

1

与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是 A ．k ≤1 B ． 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D ． k ≤－1或k ≥1

10．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=,

5BE =，则梯形ABCD 的面积等于

A ． 13

B ． 8

C ． 13

2

D ． 4

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31

)5(2)3(2

2

2

，则=-b a ． 12．若532=-+c b a , 8765=+-c b a ，则=-+c b a 529 .

13．若m ，n 是一元二次方程0132

=-+x x 的两个根，则=-+n m m 22

??? ????? ．

14．已知3=xy ，那么y

x

y

x y x +的值是 ． 15．如图，在△ABC 中，中线CM 与高线CD 三等分ACB ∠，

则B ∠等于 度. 16．已知

t b

a

c a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx y +=一定通过第 象限． 17．不论k 取什么实数，关于x 的方程

16

32=--+bk

x a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，那么=+b a ．

18．如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径, 四边形CDMN

和DEFG 都是正方形. 其中,,C D E 在AB 上, ,F N

学校： 姓名： 考场： 考号：

☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼

A

B

C

D E 第10题

O

x

y

第4题 A B C D 第6题

O C B A D 第5题

第18题

在半圆上，则两个正方形的面积之和为?? ????? ．.

三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）

19．（本题满分14分）

如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与正比例函数x y 3=的图象交于点C ，点D 是线段OB 上的一个动点（不包含O 、B 两点），以AD 为边在其一侧作等边三角形ADE ，DE 交AB 于F ，AD 交OC 于G .

(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似，为什么？ (3)证明CE 总与AB 垂直.

20．（本题满分14分）

如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合，另一直角顶点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 的坐标分别为B （12，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.，点M 、N 分别从A 、C 两点同时出发做匀速运动，其中点M 沿AB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位；点N 沿CD 向终点D 运动，速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.

（1）如图2，设点M 、N 的运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形MBCN 为平行四边形？ （2）在（1）的条件下，连结DM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；

（3）已知二次函数的图象经过D 及（1）中的点M 、N ，求该二次函数的解析式；

（4）在运动过程中，是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形？如果存在，请求出直线MN 的解析式；如果不存在，请说明理由.（图3供解答本小题用）

x O B A

y C D

G

F E