长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九年级初赛试题及答案
第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题(含答案)
第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷1．如图1的A 和B 是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”，被称为“母碉堡”A 的半径是6米，“子碉堡”B 的半径是3米，两个碉堡中心的距离80AB =米．我侦察兵在安全地带P 的视线恰好与敌人的“母子碉堡”都相切，为了打击敌人，必须准确地计算出点P 到敌人两座碉堡中心的距离PA 和PB 的大小，请你利用圆的知识计算出____PA =，____PB =．2．小丽将一个边长为2a 的正方形纸片ABCD 折叠，顶点A 落到CD 边上的点M 的位置，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图2）．在折叠过程中，小丽发现当点M 在CD 边上的任意位置时，（点C D ，除外），CMG △的周长总是相等的，那么CMG △的周长为 ．3．国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观．某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最小需付租金 元． 4．光明路新华书店为了提倡人们“多读书，读好书”，每年都要开展分年级免费赠书活动，今年获得免费赠书的前提是：顺利通过书店前的A B C ，，三个房间（在每个房间内都有一道题，若能在规定的时间内顺利答对这三道题，就可免费得到赠书），同学们你们想参图1 A B CDEF GM图2 O 的半径AB AC ，的长分别为方程2(22x -+题目并不难哟，把答案写在下面吧！ A 房间答题卡： ； B 房间答题卡： ； C 房间答题卡： ．5．某校数学课外活动探究小组，在教师的引导下，对“函数(00)ky x x k x=+>>，的性质”作了如下探究：因为222(kk k y x x x x =+=-++=+ 所以当0x >，0k >时，函数kyx x=+有最小值=x =借助上述性质：我们可以解决下面的问题：某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为 元． 6．某公司员工分别住在A B C ，，三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一条直线上，位置如图3所示．公司的接送车打算在A 区，B 区，C 区中只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应在 ．二、选择题（每小题6分，共36分）7．如图是一个圆形的街心花园，AB C ，，是圆周上的三个娱乐点，且A B C ，，三等分圆周，街心花园内除了沿圆周的一条主要道路外还有经过圆心的沿AOB ，BOC ，AOC 三条道路，一天早晨，有甲、乙两位晨练者同时从A 点出发，其中甲沿着圆走回原处A ，乙沿着AOB ，BOC ，COA 也走回原处，假设他们行走的速度相同，则下列结论正确的是（ ） Ａ．甲先回到A Ｂ．乙先回到A Ｃ．同时回到A Ｄ．无法确定8．小明很喜欢打篮球，他是班里篮球队的主力队员，恰好这个星期他所在的九年级十个班要进行篮球比赛，比赛是每五个队进行单循环比赛，得分规则如下表，小组赛后总积分最高A 区 区区图3ABCOm图4现在小明若想直接进入半决赛，问小明所在的队至少要积（ ） Ａ．9分 Ｂ．10分 Ｃ．11分 Ｄ．12分 9．如图5，A B C ，，是固定在桌子上的三根立柱，其中A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现想将这三个圆片移动到B 柱上，要求每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A B C ，，三个柱之一，且较大的圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事至少要移动圆片的次数是（ ） Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8 Ｄ．910．有红、黄、绿三块面积均为220cm 的正方形纸片，放在一个底面是正方形的盒子内，它们之间互相叠合（如图6），已知露在外面的部分中，红色纸片面积是220cm ，黄色纸片面积是214cm ，绿色纸片面积是210cm ，那么正方形盒子的底面积是（ ） Ａ．2256cm 5Ｂ．254cmＣ．248cmＤ．2246cm 511．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中一次，小明套10次得61分，则小鸡被套中（ ） Ａ．2次 Ｂ．3次 Ｃ．4次 Ｄ．5次 12．如图7，在边长是20m 的正方形池塘周围是草地，池塘边A B C D ，，，处各有一棵树，且4AB BC CD ===m ，现用长5m 的绳子将一头牛拴在一棵树上，为了使牛在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ） Ａ．A 处或C 处 Ｂ．B 处Ｃ．B 处或D 处分）13．（本题12分）阳光中学全体学生都办理了一种“学生团体住院医疗保险”，保险公司按下表中的级距分段计算付给被保险人的“住院医疗险金”．A B图5图6图7（注：在被保险期间，被保险人按上述标准累计自付金额超过6 000元的部分，保险公司按100％的标准给付）现在，该中学的学生李明因病住院，除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外，李明的家人又支付了医疗费用3 000元．请问保险公司为李明支付了多少保险金？14．（本题12分）轻纺城服装批发市场经营季节性服装，当季节即将来临时，服装价格呈上升趋势．设某种服装开始时预定价为每件10元，从第一周上市开始每周（7天）涨价2元，从第5周开始保持20元的价格平稳销售；在季节即将过去时，从第11周开始，服装批发市场开始削价，平均每周削价2元，直到16周周末后，该服装已不再销售．（1）试建立价格y与周次x之间的函数关系；（2）若此服装每件进价Q与周次x之间的关系为：2≤≤，，试问该服装第几周每件销售利润=--+且是整数0.125(8)12(016)Q x x xM最大？15．（本题14分）如图8，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近B ∠的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P 点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的BDE △的面积最小？为什么？四、开放题（本大题满分40分）16．（本题20分）在生活中不难发现这样的例子：三个量a b ，和c 之间存在着数量关系a bc =．例如：长方形面积＝长×宽，匀速运动的路程＝速度×时间． （1）如果三个量ab ，和c 之间有着数量关系a bc =，那么： ①当0a =时，必须且只须 ；②当b （或c ）为非零定值时，a 与c （或b ）之间成 函数关系；③当(0)a a ≠为定值时，b 与c 之间成 函数关系．（2）请你编一道有实际意义的应用性问题，解题所列的方程符合数量关系：a bx x c=-，（其中x 为未知数，a b c ，，为已知数，不必解方程）．C图817．（本题20分）金字塔是古代世界著名的奇迹之一，矗立在尼罗河西岸的70多座金字塔，每年都吸引着来自世界各地的游客，流连在金字塔下，抬眼望去，几十层楼高的塔像柄巨剑直刺云天，显得气势非凡．此刻，游人心里很自然地会想：金字塔究竟有多高呢？假设你是一位游人，如何测量金字塔的高度呢？写出你的测量方案，并说明理由（注意：至少提供两种测量方案，并且，你的方案一定要切实可行）．参考答案一、填空题（每小题6分，共36分）1．160米，80米 2．4a 3．3 520元 4．A ：105︒或15︒；B：C ：15︒或75︒ 5．297 600 6．A 区二、选择题（每小题6分，共36分） 7～12．ＣＢＢＡＤ Ｂ三、解答题（13题12分，14题12分，15题14分，满分38分） 13．解：当住院医疗费为7 000元时，被保险人应支付：1000(155)3000(160)3000(170)2550⨯-+⨯-+⨯-= ％ ％ ％ （元）． 由于李明家支付费用30002550>元元 ，所以李明住院的医疗费用在7 000元至10 000元之间（即第4级别）． ················ 5分 所以超过7 000元部分的医疗费为：(30002550)(180)2250-÷-= ％ 元． 所以保险公司为李明给付的保险费应为：7000225030006250+-= 元． ··· 11分答：保险公司要再为李明给付保险金6 250元（付给医院）． ···························· 12分 14．解：（1）根据价格的“上升”、“平稳”、“削价”，建立分段函数．102(05)120(510)3402(1016)5x x x y x x x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩且是整数且是整数且是整数分分分≤≤，…………≤≤，………≤≤，………（2）每件利润＝每件售价－每件进价，即M y Q =-，所以当05x ≤≤时，221020.125(8)120.1256M x x x ⎡⎤=+---+=+⎣⎦． 所以当5x =时，M 取最大值9.125元．······················································ 7分 当510x ≤≤时，20.125216M x x =-+．所以当5x =时，M 取最大值9.125元．······················································ 9分 当1016x ≤≤时，20.125436M x x =-+．所以当10x =时，M 取最大值8.5元． ······················································· 11分以上x 的取值均为整数，因此，该服装第5周每件销售利润M 最大． ················ 12分15．过P 作直线DE AB ∥，交BC 于D ，交AC 于E ，在BC 上取点F ，使DF BD =，延长FP 交AB 于点G ，则BFG △的面积最小． ·········································· 6分 证明：若过P 任作一直线，交BC 于M ，交AB 于N ， 过G 作GK BC ∥，交MN 于K ． ····························································· 8分 由DP AB ∥，BD DF =知：DP 是BFG △的中位线，得PG PF =． 进而可得MPF KPG △△≌． ··································································· 12分 NPG MPF S S >△△，所以BMN BFG S S >△△． ····················································· 14分四、开放题（每小题20分，共40分） 16．（1）①b 或c 中有一个为零；②正比例；③反比例．（每空2分，共6分） （2）答案不惟一． 评分标准：（满分共计14分） ①编写题目符合实际（5分）；②解题所列方程符合所要求的数量关系（7分）； ③题目新颖、有创新意义（2分）． 17．方案一：应用相似三角形知识如图1所示：在距离金字塔一定距离的D F ，两点，分别竖立两个竿CD 和EF （长度都为h ），当人分别站在M N ，两点时能保证A C A E ，，，分别在一条直线上测出M N F N M D ，，的距离，则塔高即可得到（其中人的高度忽略不计）． 理由如下： ····························································································· 6分从图中易知：MCD MAB △△Rt ∽Rt ，NEF NAB △△Rt ∽Rt ． ················· 7分 可得AB MBCD MD =，即AB MD MB CD =．① ··············································· 8分 AB NBEF FN=，即AB FN NB EF =．② ······················································· 9分 ②－①得()()AB FN MD NB MB CD -=-． 又知MN NB MB =-，可得MN CDAB FN MD=-．因为CD 已知，MN FN MD ，，均可测出，所以AB 的高度可以计算得出． ························································· 10分C方案二：应用解直角三角形知识如图2所示，在平面内取C D ，两点，使B C D ，，三点在同一条直线上，用测角器在C D ，两点分别测得塔顶A 的仰角为αβ，，再测量出CD 间的距离，则塔高可求得（测角器的高度忽略不计）． ························································································ 6分 理由如下：在ACB △Rt 和ADB △Rt 中，cot CB AB α=，cot DB AB β=． ·························································· 7分 因为CB DB CD -=，所以cot cot AB AB CD αβ-=． ····························································· 8分 所以cot cot CDAB αβ=-．因为CD ，αβ，都可以测出，所以塔高AB 可求得． ···································· 10分 （方案设计合理，正确可酌情给分）ABC D E图1ACD 图2αβ。
长沙市课外读书活动2016年“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛 九年级复赛试题 参考答案
九年级数学复赛试题·第1版（共6 版）九年级数学复赛试题·第2版（共6 版）2016年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 复 赛 试 题 答 案一、选择题（每小题7分）1.选D ，理由：由2()()()y x a x b x a b x ab =−−=−++，知二次函数的自变量x 的二次项系系数为1，所以函数能取得最小值，当2ba x +=时， min y =222(4)(4b a b a ab −−=+−2.选B ，理由：由MA =MB =MC ，知∠ABC =90°，已知其周长为30，则AC +BC =17，且AC 2+BC 2=132，从而2222()()AC BC AC BC AC BC ⋅=+−+ =172-132=120，故S △ABC =3021=⋅BC AC 。
3.选C 理由：由)()())(13()(2c b b a c a c b b a −+−=−=−++−知,)(3)(2b a c b b a −=−+−即),(3))(12(c b b a −−=−−故123−−=−−c b b a ＜0 4. 选A ，理由：法一:可以证明BEC AEH Δ≅Δ法二: 如图，作出△ABC 的外接圆，延长CH 交AB 于点D ，交外接圆于点H ′，则由∠=BA H '∠'H CA =∠HBA 知'H D =DH ，亦知△A 'H B 与△AHB 关于AB 对称，从而这两个三角形的外接圆关于AB 对称，即这两个圆为等圆， 而∠ABH = 45°=∠BAC ，故AH =BC 。
5.选B ，理由：因为9n 能被9整除，所以它的数码和a 被9整除，则n 能被9整除，所以两位数n 只可能是18、27、36、45、54、63、72、81、90、99，用3去乘，把数字之和发生改变的63排除掉；同样，用7去乘可排除27、54，用9去乘可排除72、81，所以满足条件的两位数是18、36、45、90、99共5个。
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛--九-年-级-初-赛-试-题及标准答案
CABD M 第15题2０14年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题(时量：９0分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分,共40分）题号 12345６789１０答案１.设Ｐ=121220132012++,Ｑ＝121220142013++，则P 与Ｑ的大小关系是Ａ.P ＞Ｑ B ．P=Q C ．P<Q D ．不能确定２.边长为整数,周长等于2１的等腰三角形共有A.４个 B ．5个 C ．６个 D.7个3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数,当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时,k 的值可以取Ａ.8个 ﻩﻩB ．7个 ﻩﻩC.６个 Ｄ.5个 4.若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(b a +,ac ）在A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 Ｄ.第四象限5.如图，矩形ＡBCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于A.1５2B.143C.132 D ．1086.如图,⊙O 中，弦A Ｄ∥BC ,DA =DC ，∠AOC =16０°，则∠ＢCO 等于ﻫA. 20° B. ３0° C. 40° D ． 50°7.已知锐角△A ＢC 中，∠A ＝6０°，BD 和CE 都是△A ＢC 的高。
如果△A ＢC 的面积为12,那么四边形ＢCDE 的面积为 A.6 ﻩＢ．８ C.9 ﻩD ．108．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台(n 为质数)电视机,其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是A.１１ B ．13 ﻩ C.１7 ﻩ Ｄ.19 9．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、Ｂ，如果S △AOB ≤1，那么,k 的取值范围是 A.k ≤1 B. 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D. k ≤-1或k ≥1１0.如图,在梯形ＡBCD 中,A Ｂ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点,6AB BC CD ++=,5BE =,则梯形ＡBC Ｄ的面积等于A ． 13B ． 8C ． 132Ｄ． 4二、填空题(本大题共８小题，每小题4分,共３２分）１1．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31)5(2)3(222,则=-b a ． １2.若532=-+c b a , 8765=+-c b a ,则=-+c b a 529 .１3.若m ,n 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根,则=-+n m m 22．１4.已知3=xy ,那么yxyx y x +的值是 ． 15.如图，在△ABC 中，中线CM 与高线ＣD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 度. １6．已知t bac a c b c b a =+=+=+,那么直线t tx y +=一定通过第 象限． １７．不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数)的根总是x ＝1，那么=+b a .18.如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径， 四边形CDMN和DEFG 都是正方形． 其中,,C D E 在AB 上， ,F N学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼ABCD E 第10题Oxy第4题 A B C D 第6题O C B A D 第5题 第18题在半圆上，则两个正方形的面积之和为 ．. ﻬ三、解答题(本大题共2小题,每小题14分,共28分） 19．（本题满分14分)如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,与正比例函数x y 3=的图象交于点C ,点D 是线段OB 上的一个动点(不包含O 、B 两点），以ＡD 为边在其一侧作等边三角形AD Ｅ，ＤE 交ＡB 于Ｆ,A Ｄ交ＯC 于G ．(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似,为什么? (3)证明ＣＥ总与AB 垂直.ﻮ2０．(本题满分14分)如图１,在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合,另一直角顶点Ａ在y 轴的正半轴上，点Ｂ、C 的坐标分别为B （1２，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.,点M 、Ｎ分别从A 、Ｃ两点同时出发做匀速运动，其中点Ｍ沿AB 向终点Ｂ运动,速度为每秒1个单位;点N 沿ＣD 向终点D 运动,速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1)如图2,设点M 、N 的运动时间为t 秒,当t 为何值时,四边形MB ＣN 为平行四边形?（2)在(1)的条件下，连结ＤM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；(3)已知二次函数的图象经过D 及(1)中的点M 、N ,求该二次函数的解析式;（4）在运动过程中,是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形?如果存在,请求出直线ＭN 的解析式;如果不存在,请说明理由.（图3供解答本小题用）2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共4０分）题号123456７89１0x O B Ay C DGF E。
长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛 九 年 级 初 赛 试 题及答案
CABD M 第15题2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题（时量：90分钟 满分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 12345678910 答案1．设P ＝121220132012++，Q ＝121220142013++，则P 与Q 的大小关系是A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．不能确定2．边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取 A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 4．若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点（b a +，ac ）在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于A ．152B ．143C ．132D ．108 6．如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于 A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 50°7．已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。
如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为 A ．6 B ．8C ．9D ．108．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是 A ．11 B ．13 C ．17 D ．19 9．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是 A ．k ≤1 B ． 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D ． k ≤－1或k ≥110．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=,5BE =，则梯形ABCD 的面积等于A ． 13B ． 8C ． 132D ． 4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31)5(2)3(222，则=-b a ． 12．若532=-+c b a , 8765=+-c b a ，则=-+c b a 529 .13．若m ，n 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则=-+n m m 22??? ????? ．14．已知3=xy ，那么yxyx y x +的值是 ． 15．如图，在△ABC 中，中线CM 与高线CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 度. 16．已知t bac a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx y +=一定通过第 象限． 17．不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，那么=+b a ．18．如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径, 四边形CDMN和DEFG 都是正方形. 其中,,C D E 在AB 上, ,F N学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼ABCD E 第10题Oxy第4题 A B C D 第6题O C B A D 第5题第18题在半圆上，则两个正方形的面积之和为?? ????? ．.三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．（本题满分14分）如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与正比例函数x y 3=的图象交于点C ，点D 是线段OB 上的一个动点（不包含O 、B 两点），以AD 为边在其一侧作等边三角形ADE ，DE 交AB 于F ，AD 交OC 于G .(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似，为什么？ (3)证明CE 总与AB 垂直.20．（本题满分14分）如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合，另一直角顶点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 的坐标分别为B （12，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.，点M 、N 分别从A 、C 两点同时出发做匀速运动，其中点M 沿AB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位；点N 沿CD 向终点D 运动，速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.（1）如图2，设点M 、N 的运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形MBCN 为平行四边形？ （2）在（1）的条件下，连结DM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；（3）已知二次函数的图象经过D 及（1）中的点M 、N ，求该二次函数的解析式；（4）在运动过程中，是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形？如果存在，请求出直线MN 的解析式；如果不存在，请说明理由.（图3供解答本小题用）x O B Ay C DGF E2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDABBCCCD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11、3； 12、28； 13、4； 14、32±；15、30︒； 16、二、三； 17、21-； 18、2R三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．(1)在y=-3x+23中，令x=0得y=23,令y=0得x=2， ∴A 的坐标为(2，0)，B 的坐标为(0，23).由⎩⎨⎧=+-=x 3y 32x 3y 得⎩⎨⎧==3y 1x ，即C 的坐标为(1，3). ……………………………………（4分）(2) △ADF ∽△ACG. 由tan ∠OAB=3得∠OAB=60?，由tan ∠AOC=3得∠AOC=60?, ∴△OAC 为等边三角形。
长沙市学用杯初中数学九级初赛模拟试题答案
2022年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准11、-2； 12、-12； 13、20152014； 14、31131+-=x y ；15、32，98； 16、2； 17、-32； 18、22三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：11()13060x +=，解得：x =20．即甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程. …………………3分（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：111013060y ⨯+=，解得y =40． ∴完成这项道路改造工程共需40天. ………………………………………6分 （3）因为甲工程队单独完成工程需×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，要想使施工费尽可能少，甲工程队要少参与，即合作的时间要尽可能少，剩下的由乙单独完成，设甲、乙两个工程队合作m 天，乙工程队再单独工作n 天，则由题意可知111()1306060m n ++=，整理得603n m =-． ………………………………8分 ∴乙工程队还需单独做（60-3m ）天，得：（1+）m ＋1×（60-3m ）≤65．即3.5 m ＋60-3m ≤65，解得m ≤10．甲、乙两个工程队最多能合作10天.…10分 （4）甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成，必须合作．又由（3）知75＞60，因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做，即做满24天．设应安排他们合作t 天，由题意可得：112413060t +⨯=，解得：t =18.即：安排甲、乙两工程队合作18天，剩下的部分乙工程队单独做6天，施工费为：×18+1×24=69（万元）．…………14分B CAA 1E 1A 2E 2xy O B 1D 20.解：（1）∵点A （-1，4）在双曲线ky x =上， ∴k=-4. 故双曲线的函数表达式为xy 4-=．……2分设点B （t ，-4t），t ＞0，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-+-=.44n mt tn m ，解得4m t =-，4(1)t n t -=. ∴AB 所在直线的函数表达式为()414t y x t t-=-+．……5分于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，tt )1(4-）， 故()141132AOB t S t t∆-=⨯⨯+=（）．整理得：22320t t --=， 解得2t =，或t ＝12-（舍去）．所以点B 的坐标为（2，2-）．………………7分因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上， 4422a b a b -=⎧⎨+=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=-⎩，∴a =1，b =-3，k = -4． ……………………9分 （2）如图，∵AC ∥x 轴，∴C （4，4），于是CO ＝42. 又BO =22，∴2=BOCO．……………………………………………………10分 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴正半轴相交于点D ，则点D 的坐标为（3，0）. 因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 逆时针旋转90︒，得到△11B OA .这时，点1B （2，2）是CO 的中点，点1A 的坐标为（-4，-1）．延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，那么这时点1E （-8，-2）是符合条件的点． ………………………………………………………12分（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形得△12B OA ，得到点2A （-1，4-），延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（-2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（-8，-2）或（-2，8-）． …………………………14分。
第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题(A)
全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．一、选择题（每小题6分，共30分）1．校园内一个半径为10米的圆形草坪，如图1，一部分学生为走“捷径”，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些学生踩坏了花草，其实仅仅少走了（假设2步为1米，结果保留整数）（）A．4步B．5步C．6步D．7步2．小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图2所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（）A．两个矩形相似B．两个矩形不一定相似C．两个矩形一定不相似D．无法判断两个矩形是否相似3．如图3，方台村为了抽取水库的水来浇灌山上的果木树，准备在山坡上建一个抽水泵站．已知山坡上有A、P、Q三处可供选择，且测得A到水库C的距离为50m，P到C的距离为40m，Q到C的距离为35m，山坡的坡角∠ACB=15°．由于大气压的影响，此种水泵的实际吸水扬程AB不能超过10m，否则无法抽取水库的水，则水泵站应建在（sin15°=0.258 8，cos15°=0.965 9，tan15°=0.267 9）（）A．A处B．P处C．Q处D．A、P、Q均可4．宏光学校有一面积为100米2的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为50cm，每块0.8元；小地板砖对角线长为40cm，每块0.6元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖700块以上者给予9折优惠，凡购买小地板砖1 000块以上者给予7折优惠；乙公司的优惠办法是：凡购买700元以上者，不管购买大块还是小块均按8折优惠．在质量、服务条件相同的情况下，为使学校支付的费用最少，请你为该校选择最佳购买方案（）A．到甲公司购买大块地板砖B．到乙公司购买大块地板砖C．到甲公司购买小块地板砖D．到乙公司购买小块地板砖5．如图4，在某条公路上，从里程数8m开始到4 000m止，每隔8m将树与灯按图中的规则设立：在里程数8m处种一棵树，在16m处立一盏灯，在24m处种一棵树（相邻的树与树、树与灯之间的距离都是8米）……，且每两盏灯之间的距离相等．依此规则，下列里程数800m~824m之间树与灯的排列顺序中正确的是（）二、填空题（每小题6分，共30分）6．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量（单位：千克） 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3西瓜个数（单位：个） 1 2 3 2 1 1根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是千克．7．你是否用电脑进行过图案设计？图5（1）是小明在电脑上设计的小房子，然后他又进行变化，得到图5（2）；小亮也在电脑上设计了一个图案，如图5（3），如果小亮也按小明变化图形时的规律对图5（3）进行变化，得到的图案是（画出简图）．8．某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图6所示，两端由两个半圆组成，一周约250米，在一次400米跑比赛中，第一道从起点A要跑一圈半到终点C．第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽1米）．为公平起见，第二跑道起点B应比第一跑道向前移动．9．自行车轮胎安装在前轮上行驶6 000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶4 000千米．为了行驶尽可能远的路程，如果采用当自行车行驶一定路程后将前、后轮胎调换使用的方法，千米．10．已知，如图7，斜坡PQ坡度为41:3i ，坡脚Q旁的点N处有一棵大树MN．近中午的某个时刻，太阳光线正好与斜坡PQ垂直，光线将树顶M的影子照射在斜坡PQ上的点A 处．如果AQ=4米，NQ=1米，则大树MN的高度为．三、解答题（本大题共60分）11．（本题10分）判断决策：三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在正常情况下，产品的平均寿命是8年，商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂家出售的半导体收音机寿命进行了抽样统计，结果如下(单位：年)：甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15；乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11；丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13；请你利用所学统计知识，对上述数据进行分析并回答以下问题：（1）这三个厂家的广告，分别利用了哪一种反映数据集中趋势的特征数？（2）如果你是顾客，应选购哪个厂家的产品？为什么？12．（本题15分）方案设计：东风汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆．现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：每辆甲型车租金（元/天）每辆乙型车租金（元/天）A地 1 000 800B地900 600（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y（元），求y 与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26 800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案．13．（本题15分）实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈．图8（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载此拱圈高AB为10.0m（含拱圈厚度和拉杆长度），横向分跨CD为40.0m．（1）试在示意图（图8（2））中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面M（BC的中点）处装有一盏路灯(P点)，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN不得少于1.1m，试求路灯支柱PM的最低高度．（结果精确到0.1m）14．（本题20分）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：（1）如图9，已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（2）如图10，将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图11）？请说明理由．（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．四、开放题（本题30分）15．杨子晚报报道《你家用“峰谷电”合不合算？》：“峰谷电”的含义是这样的，每天8∶00到22∶00用电每千瓦时是0.56元（峰电）；22∶00至次日8∶00每千瓦时是0.28元（谷电）．0.52元．（1）根据你家的平时用电情况，算一算，你家用这样的“峰谷电”合算吗？（2）请根据“峰谷电”的使用，编拟一道数学实际应用问题，并给出解题过程，注明用的什么数学知识．第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题 （A ）卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．B 2．C 3．C 4．C 5．D二、填空题（每小题5分，共30分）6．3 1257．8．2π米9．4 80010．8米三、解答题（每小题15分，共60分）11．解：（1）因为甲厂的收音机寿命的平均数是8年，众数是5年，中位数是7年；乙厂的收音机寿命的平均数约是6.45年，众数是8年，中位数是6年；丙厂的收音机寿命的平均数约是7.36年，众数是4年，中位数是8年． ···································································· 6分 所以，甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用中位数； ·············································· 8分（2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高，因此，顾客应选购甲厂的产品．·········································· 10分12．解：（1） 1 000(20)900800600(10)26 000100(010)y x x x x x x =-+++-=+≤≤；·········································· 6分（2）依题意，得26 00010026 800x +≥，又因为010x ≤≤，∴810x ≤≤．因为x 是整数，∴x =8，9，10，方案有3种． ·································································· 9分 方案1：A 地派甲型车12辆，乙型车8辆；B 地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2：A 地派甲型车11辆，乙型车9辆；B 地派甲型车9辆，乙型车1辆；方案3：A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆．································· 12分（3）∵26 000100y x =+是一次函数，且1000k =>，∴y 随x 的增大而增大． ∴当10x =时，这30辆车每天获得的租金最多．∴合理的分配方案是A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆． ············ 15分13．（1）如右图，以A 为坐标原点，BA 所在直线为轴建立直角坐标系xAy ，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以y 轴为对称轴，故可设抛物线解析式为：2y ax =， ······························································ 4分 由题意抛物线过点(2010)D -，，代入得140a =-，故拱圈外沿抛物线的解析式为： 2140y x =-． ························································································································· 8分 （2）设(10)N k -，，则：21(10) 2.5(m)40k =-⨯-=-， ∴107.5(m)MN k =+=， ································································································· 12分 ∴7.5 1.18.6PM MN PN =++=≥（m ），即路灯支柱PM 的最低高度为8.6米．（其余解法可类似给分）． ······································ 15分14．解：（1）当正三角形ABC 向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是三条等弧，所以其中心O 经过的路程为：120π32π180R R ⨯=． ········································································ 3分 （2）中心O 经过的路程为90π42π180R R ⨯=． ···································································· 6分 （3）当n 边形向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是n 条等弧，这些弧的半径为R ，所对的圆心角为360n，所以中心O 经过的路程为360π2π180R n n R ⨯= ． ·························· 10分 （4）是定值2πR ，理由如下： 在△ABC 中，设A B C αβγ∠=∠=∠=，，，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为R ，把△ABC 沿直线l 向右翻滚一周时，其外心O 经过的路线是三条弧，当AC 边与直线l 重合时，C 与C '重合，A 与A '重合，B 与B '重合，连接CO 、C O ''，则ACO AC O '''∠=∠，所以180OCO ACA γ''∠=∠=- ，所以(180)π180R l γ-=，同理，另两条弧长分别为：(180)π180R α-，(180)π180R β-，所以外心O 所经过的路程为2πR ． ······························ 16分 通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值． ······················································································································ 20分四、开放题（本题30分）15．（1）答案不惟一，可选择自己家每月（或平均每天）的用电情况，计算说明．只要合理即可得分．（本小问10分）；（2）答案不惟一，本小问共20分，编写题目合理可得10分，再写出解题过程，并说明所用数学知识可得20分，以下题目可参考．题1：（用一元一次方程知识编拟）某户居民今年二月份起使用“峰谷电”，三月份经记录这两个月使用“谷电”150千瓦时，已知两月共付电费112元．问该居民使用“峰谷电”多少（“峰谷电”中，“峰电”是8∶00到22∶00用电，“谷电”是22∶00到次日8∶00，下同）题2：（用二元一次方程知识编拟）某户居民今年三月份使用“峰谷电”，付电费112元，比原来节约了60.8元，问该户居民使用“峰电”，“谷电”各多少千瓦时？题3：（用不等式知识编拟）某户居民今年三月份使用电量300千瓦时，当“峰电”占总电量的多少时，使用“峰谷电”才合算？题4：（用函数知识编拟）某户居民今年三月份起使用“峰谷电”，平均每天使用“峰电”8千瓦时，写出三月份（31天）该户居民的电费（y元）与每天“谷电”的用电量x（千瓦时）之间的函数关系式．。
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 54. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形5. 若一个圆的半径为r，则它的周长为（）。
A. 2rB. 2πrC. πr²D. r²/2二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。
（）2. 任何数乘以0都等于0。
（）3. 对角线相等的四边形一定是矩形。
（）4. 一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的解可以用公式x = [-b ± √(b² 4ac)] / 2a求得。
（）5. 任何数都有倒数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角的度数为______°。
2. 若2x 5 = 0，则x的值为______。
3. 若一个圆的直径为10cm，则它的面积为______cm²。
4. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第5项的值为______。
5. 若sinθ = 1/2，且θ是锐角，则θ的度数为______°。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。
2. 请简述一元一次方程的求解方法。
3. 请简述等差数列的定义及通项公式。
4. 请简述平行四边形的性质。
5. 请简述圆的周长和面积的计算公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长是24cm，求长方形的长和宽。
“数学 ”全国数学知识应用竞赛 九年级初赛试题
第二届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．初三（2）班生物兴趣小组培养了一种微生物，该微生物每天增加一倍，经过10天后，整个实验瓶充满微生物，则经过天微生物所占的体积是实验瓶体积的一半.2．小明从十字路口开始以4米/秒的速度向北前进，此时小峰在十字路口东方50米A处以3米/秒的速度向西前进，则经过秒后，此二人的距离为85米.3．小刚在一次投镖游戏中投了多于11支镖，共得100环，且每发都命中8、9或10环，则他打中8环的次数为次.4．在一次航空模型的设计制作中，需将两个半径为12cm和4cm的圆木棍用铁丝紧紧扎在一起，则最少需铁丝cm（接头忽略不计）.5．一城市出租车的收费标准如下表，四位同学到郊外写生，到达目的地后，出租车打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.1元，请付29元，谢谢！”则基本价N= 元（N<12）.61米/秒的速度向东匀速走开，某时他的影子长1.3米，再过2秒，他的影子长为1.8米，则路灯高度为米. 7．某书店对同学们购书实行优惠，规定：（1）如一次购书不超过30元，则不予以折扣；（2）如一次购书超过30元，但不超过50元，按标价给予九折优惠；（3）如一次购书超过50元，其中50元给予九折优惠，超过50元的部分给予八折优惠，李华同学两次去购书，分别付款23元与36元，如果他只去一次购买同样的书籍，则应付款元. 8．如图1，张敏同学的狼狗“赛赛”的狗窝是8×8的正方形，用长为12的皮带将狗拴在A 点，在狗窝外面狗所能活动的面积为.二、选择题（每小题5分，共50分）9α，则它们公共部分（图2中阴影部分）的面积为（）.（A）1sinα（B）1cosα（C）sinα（D）110．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的2.5倍，那么小强骑摩托车的速度是小青步行速度的（）. （A）2倍（B）3倍（C）4倍（D）5倍11．学校大门如图3所示是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地4米高处各有一挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则该校门的高度（精确到0.1米）为（）.（A ）9.2米（B ）9.1米 （C ）9米（D ）5.1米12．某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是 （ ）.（A ） 81（B ）82 （C ）83 （D ）8413．初三某班在庆祝申奥成功的活动中，制作某种喜庆用品需将一张半径为2的半圆形纸板沿它的一条弦折叠，使得弧与直径相切，如图4所示，如果切点分直径为3:1两部分，则折痕长为 （ ）.（A （B （C ）D 14．在居委会提出的“全民健身”倡导下，甲、乙两人早上晨练，同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点，改为跑步，而乙则是先跑步到中点，改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车速度快，若某人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数图象表示，则下图给出的四个函数图象中，甲、乙两人的图象情况只能是 （ ）.（A ）甲是图（1），乙是图（2）（B ）甲是图（1），乙是图（4）（C ）甲是图（3），乙是图（2）（D ）甲是图（3），乙是图（4）15．如图5，某海关缉私艇巡逻到达A 处时，接到 情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑的船只，正以24海里/小时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏 西45°的方向快速前进，经过一小时的航行，正好在C 处截住可疑船只，则该艇的速度约为)1.414≈≈≈（ ）. （A ）44（B ）45（C ）46（D ）4716．本市一房地产公司在西部大开发活动中，成功中标一块锐角三角形地皮，现要在此地皮上建一个供市民休闲娱乐的正方形广场，若三角形地皮的三边长分别为a 、b 、c ，且a >b >c ，则正方形广场的两个顶点放在哪条边上可使广场面积最大 （ ）.（A ）最小边c 上（B ）中间边b 上 （C ）最大边a 上 （D ）哪条边上都一样17．两名初三学生被允许参加高中学生举行的象棋比赛，每个选手都同其他每个选手比赛一A B C 图5 图4图3 (2) (3) (1) (4)次，胜得一分，和得半分，输得零分，两名初三学生共得8分，每个高中学生都和高中其他同学得到同样分数，则参赛的高中学生人数为（）. （A）7 （B）9 （C）14 （D）7或1418．编号为1到101的101个小球分放在两个盒子A和B中，40号小球在盒子A中，把这个小球从盒子A中移至盒子B中，这时盒子A中小球号码数的平均数增加了14，B中小球号码数的平均数也增加了14，则原来在盒子A中的小球个数为（）.（A）70 （B）71 （C）72 （D）73三、解答题（每小题20分，共40分）19．某下岗职工开办的一小型服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图6），现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角中剪出一种扇形（做成不同形状的玩具用），使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的其他边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切.请你设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出示意图，并标上半径即可）.20．某地引进外资兴办的一家公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，（2）如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司所获年利润随广告费的增大而增大？四、开放题（本大题20分）21．请用一个长方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具），写出你的作法，并说明理由.图6。
2015年长沙市“学用杯”初中数学九年级决赛试题及答案
2015年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 复 赛 试 题（2015年3月28 日（星期六）上午 9:00—11:00 时量：120分钟 满分：150分）题号1 2 3 4 5 答案1．若二次函数y ax bx c =++（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1,0),(0,-1)，则s a b c =++的值的变化范围是A ．02s <<B ．01s <<C ．10s -<<D ．20s -<<2．如右图，边长分别为a ，b ，c 的三个正方形紧靠在一起，有两个顶点在三角形内，其余各顶点均在一个直角三角形的边上，则a ，b ，c 之间的关系为A ．2b c a = B ．b c a =+ C ．222b c a =+ D ．22ab c bc a +=+315b ，则4322012376b b b b -+++的值为A ．136B ．22C ．0D ．－8 4．若P 为质数，P 3+3仍为质数，则P 17+33的末位数字是A ．5B ．7C ．9D ．不能确定5．下述三个图，都是由两个全等的直角三角形摆放而成，由这样的图推证勾股定理，能够推证勾股定理的图形的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a ，b ，c ，d 是四个不同的有理数，且满足()()20150a c a d +++=，()()20150b c b d +++=，则()()a c b c ++的值为 ．7．如右图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝60°，BC ＝1，CD 12 DA ＝3，则AB ＝ ．8．从分别写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任意取出2张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数 字，组成一个两位数，则所组成的数是6的倍数的概率为 ．9．已知有理数a ，b ，c 满足111151617ab ac bc a b a c b c ===+++，，，则3332223()()()a b c abca b b c c a ++--+-+- 的值为 ．10．如右图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与∠ABC 的平分线交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝ ．三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知二次函数222y x mx n =+-．（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记m ，n +4两数中较大者为P ，试求P 的最小值；（2）若m ，n 变化时，这些函数的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆．证明：这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标．12．有一种室内游戏，魔术师要求参与者想好一个三位数abc ，然后魔术师要求他记下五个数：,,,,acb bac bca cab cba ，并把这五个数加起来求出和N ．只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc是多少．如果N ＝3194，请你确定这个三位数abc ．13．能否在凸六边形中作若干（不是所有的）条对角线，使得每条对角线都在凸六边形内恰好与别的3条（第10题图）对角线相交？14．如下图，△ABC 的内切圆⊙I 与边BC 、AC 分别切于点D 、E ，直线BI 与直线DE 交于点F ，过F 作BC 的平行线交AC 于点N ，（1）求证A 、I 、E 、F 四点共圆； （2）求:AN NC 的值．（第14题IFE BNAC2015年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛复 赛 试 题 参 考 解 答一、选择题（每题7分）1．选D ．理由：由于图象过点（－1，0）、（0，－1），则有10.c a b c =-⎧⎨-+=⎩，从而1a b c b =-=+，即知112s a b c b b b =++=++-=.又由题设条件知图象开口向上，有0a >且02ab->，即得20b <.由1b a =-及0a >推知1b >-.故22b >-.有20s -<<. 2．选B ．理由：由边长分别为a ，c 的正方形上方的两个小直角形相似有b a ac b c-=-，即()()b a b c ac --=，化简得b a c =+.3．选B ．理由：由题设知9<15<16，从而15153，于是153b =+，即15=9+6b +b 2，亦即b 2+6b=6.又432432222220()20))2022123762636)(6(6(6b b b b b b b b b b b b b -=-=-=++++++++++ .4．选A ．理由：由P 3+3为质数，可知P 为偶数，又P 为质数，则P =2. 从而P 17+33=217+33=（24）4×2+33.因（24）4的末位数为6，则217的末位数为2，因此P 17+33的末位数为5.5．选D ．理由：如右图，均联结两个直角三角形的锐角顶点. 均考虑四边形ADBC 的面积. 图（1）S 四边形ADBC 211=22ABC ABD S S ab c ∆∆+=+ 又S 四边形ADBC ＝S 梯形BCED －S △AED 211()22a b ab =+- 由221111()2222ab c a b ab +=+-有222a b c += 图（2）S 四边形ADCB 211=22ADC ACB S S b ab ∆∆+=+ 又S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB 211()22c a b a =+- 由221111()2222b abc a b a +=+-有222a b c += 图（3）S 四边形ACBD 211=22ACB ABC S S ab c ∆∆+=+ 又S 四边形ACBD ＝ACB S ∆+ABE S ∆+AED S ∆－BDE S ∆21111()2222ab b ab a b a =++-- 由上即有222a b c +=.此图（3）也可以考虑四边形ABED 的面积.二、填空题6．填2015．理由：由两个条件有2()20150a a c d cd ++++=，2()20150b b c d cd ++++=，知a ，b 是关于x 的方程2()20150x c d x cd ++++=的两个不同的根，由韦达定理，有()a b c d +=-+，2015ab cd =+.因此2()()()a c b c c c a b ab ++=+++[]2()20152015c c c d cd =+-+++=．7．填5．理由：如图，延长AD 、BC 交于点E ，则△ABE 为正三角形．设AB ＝x ，则DE =x －3，CE =x －1，∠DEF ＝60°．作DF ⊥CE 于点F ，则∠EDF ＝30°， 从而11(3)22EF DE x ==-111(3)(1)22CF CE EF x x x =-=---=+．由勾股定理，有2222DE EF DC CF -=-即22231(3)()12()22x x x -+-+=-，解得5x =．8．填15．理由：能解组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54共8个，又是偶数的则只有4个：12，24，42，54．故所求概率为41205=．9．填1911008．理由：由题设条件有1115ab+=，1116ac+=，1117bc+=，三式相加有11124abc++=，于是由此式分别减去前三式可得17a =，18b =，19c =．因33322213()()()()2a b c abc a b c a b b c c a ⎡⎤++-=++-+-+-⎣⎦，从而333222311111191()()()()()227891008a b c abc a b c a b b c c a ++-=++=++=-+-+-．10．填50︒．理由：如图，作PF BD ⊥于点F ，作PG AC ⊥于点G ，作PE AB ⊥于点E ， 则PE PF PG ==，从而P 也在∠EAG 的平分线上.由1211()4022BPC PCF PBC ACF ABC BAC ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒， 得∠BAC ＝80°．于是100EAC ∠=︒，故50CAP ∠=︒．三、解答题 11．（1）由二次函数过点（1，1）得 22n m =． ………2分注意到2211(4)(4)(28)(4)(2)222n m n n n n n n -+=-+=--=-+………4分所以 22242n n p n ⎧≤-≥⎪=⎨⎪+-<<⎩当或n 4当n 4 ………8分再利用图象知，当n =－2时，min 2p =． ………10分 （2）设图象与坐标轴的三个不同交点为212(0),(0),(0)A x B x C n -，，， ………12分 又212x x n =-，若0n =，则与三交点不符， 故2120x x n =-<，所以12,x x 分别在原点左右两侧. ………16分 又2121x x n = ，所以，存在点0(0,1)P 使得0OA OB OP OC = . ………18分 故A 、B 、C 、P 0四点共圆.即这些圆必过定点0(0,1)P ． ………20分12．由题设得，3194acb bac bca cab cba ++++=. ………2分 两边加上abc 得222()3194a b c abc ++=+ ………4分 则222()2221486a b c abc ++=⨯++ ………6分 即知86abc +是222的倍数，且14a b c ++> ………10分 设86222abc k +=，因abc 是三位数， 依次取k =1，2，3，4，分别得出abc 的可能值为136，358，580，802． ………18分 注意到14a b c ++>，知abc 为358． ………20分13．如右图所示，在凸六边形中有两类对角线： 一类是“长对角线”，它们连接两个相对顶点如A 2A 5； 另一类是“短对角线”，它们连接两个间隔一顶点的顶点 如A 1A 3、A 2A 6、A 2A 4等． ………5分 如果仅作长对角线，题中所要求的性质不能满足，因此，在所作的对角线中一定要有短对角线 ………10分 但是，一旦作了某条短对角线，如图A 1A 3，那么，它只能与由A 2所引出的三条对角线在形内相交．因此，此时就要作短对角线A 2A 4和长对角线A 2A 5；………15分 再对短对角线A 2A 4作类似的考虑，发现又要作短对角线A 3A 5和长对角线A 3A 6；继续这种下去，就会发现，所有的对角线都需要作出． 此时，显然不能满足题目要求．………20分14．如右图，（1）连接AI 、IE ，则IE AE ⊥. ………2分且1902AEF DEC C ∠=∠=︒-∠，以及11180180(90)9022AIF AIB C C ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠．………8分从而AEF AIF ∠=∠．故A 、I 、E 、F 四点共圆． ………10分（2）连接AF ，由A 、I 、E 、F 四点共圆，知90AFI AEI ∠=∠=︒．即知△ABF 为直角三角形．………12分 设直线FN 交AB 于点M ，由MF ∥BC ，知MFB FBC FBM ∠=∠=∠，从而△MBF 为等腰三角形，………14分 即MF =MB ．由ABF ∠与BAF ∠互余，MFB ∠与MFA ∠互余， ………16分 则MFA MAF ∠=∠，有MF =MA ．即知M 为AB 的中点，从而N 为AC 的中点． ………18分 故:1AN NC = ………20分IFE BNDAC更多长沙中考资讯、政策，尽请关注家长帮长沙站微信公众号（changshajzb）。
长沙市课外读书活动2017年学用杯初中数学应用与创新能力大
长沙市课外读书活动2017年学用杯初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题（时量：90分钟 满分：100分）（考试时间：2017年2月24日（星期五）下午 16:00-17:30）A ．B ．C ．D ．2．已知实数,,a b c 满足222a b c ＋＋＝9，则代数式222()))a b b c c a －＋(－＋(－的最大值是A ．27B ．18C ．15D ．123．在△ABC 中，∠A ＞∠B ＞∠C ，∠A ≠90°，画直线使它把△ABC 分成两部分，且使其中一部分与△ABC 相似，这样的互不平行的直线有 A ．2条 B ．4条 C ．6条 D ．8条4．函数xy 2-=的图象大致在 A ．第一、三象限 B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限5．设10<<k ，关于x 的一次函数)(x kx y -+=11，当2≤≤x 1时的最大值是A . kB .6．有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另一个数，用这种方法计算了四次，分别得到以下四个数86，92，100，106．则原来那四个数的平均数是 A . 24B . 48C . 96D . 1927．若不等式组⎩⎨⎧≤≥0-80-b x a x 9的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a, b 组成的有序数对（a, b ）共有A .17个B . 64个C . 72个D . 81个8．如图，在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN=45°，记AM =m , MN =n , BN =x ，则以x ，m ,n 为边长的三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x ，m ，n 的变化而变化3663618（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，四边形ABCD的面积为8，则BE的长为A．2 B．22C．3 D．310．如图，已知△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长为A．B．C．D．1二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．计算：=⨯⨯⨯⨯⨯⨯222222222221009943211100199141312ΛΛ))(())()((-----.12．对于实数x，y，定义一种运算“*”：x*y＝ax+by+c．其中a，b，c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3*5=15，4*7=28，那么1*1= ．13．已知△ABC中，AB32=，AC=2，BC边上的高为3，则BC的长等于____ ．14．已知直线by=（b为常数）与函数342+-=xxy的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．15．一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为_____ ．16．小明将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用的大、小盒子多于10个，则大、小盒子的个数分别为．17．设抛物线)(02≠++=acbxaxy的顶点为（-2，1），且02=++cbxax的两根之差的绝对值为2，则=++cba．18．如图，△ABC的面积为1，BD:DC=2:1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为____ ．（第18题图）21215-23三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．（本题满分14分）如图，AB 切⊙O 于点A ，且交直径EC 的延长线于B , ∠CAD =∠B ,AB=415, BC=45,求弦CD 的长．20．（本题满分14分）已知函数112222+--+=x a x a y ）（)(，其中自变量x 是正整数，a 是 正整数，当x 为何值时，函数值最小？。
长沙市学用杯初中数学九级初赛模拟试题
九年级数学初赛·第1版（共 4 版） 九年级数学初赛·第2版（共 4 版）2015年《中学生理化报》课外读书活动长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题考试时间：2015年3月6日16:00——17:30（时量：90分钟 满分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．将三角形ABC 的各顶点的纵坐标都乘以-1，则所得三角形与三角形ABC 的关系是A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．将三角形ABC 向左平移了一个单位2．已知a 、b 为抛物线y =(x -c )(x -c -d )-2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则|a -c |+|c -b |的值为 A ．a -b B ．b -a C ．a +b D ．a +b -2c3．下面四个所给的选项中平面图形，能折成左边的立体图形的是4．在一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，它们除颜色外其余均相同。
随机从中摸出一球记录颜色后将它放回袋中，充分摇匀后再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是 A ．52B ．32C ．54D ．2545．如果|x |＞x ，且kp ＜0，那么在自变量x 的取值范围内，正比例函数y =kx 和反比例函数y =xp在同一坐标系中图象示意图正确的是ABCD6．如图AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若31AB CD ==，，则sin APD ∠的值为A .223B . 13C .12D .327．若函数y =(k 2-1)x 2-2(k +1)x +1（k 为常数）的图象与x 轴没有公共点，则k 的取值范围是A . k ＜-1B . k ＜0，且k ≠ -1C . k ≤-1D . k =1 ，或k ≤-18．如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 A . 12B . 13C . 15D . 179．若 ab ≠0 ，则等式ab b b a -=--351成立的条件是A ．a > 0 , b > 0B ．a > 0 , b < 0C ．a < 0 , b > 0D ．a <0 , b < 010．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2015次相遇在A ．边AB 上 B. 边BC 上 C ．边CD 上 D ．边DA 上二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．定义2a b a b *=-，则(12)3**= .12．已知A (1x ，1y )，B (2x ，2y )都在反比例函数y ＝6x的图象上，若1x 2x ＝-3，则1y 2y ＝ ．13．设方程20142x 2-2015×2013x -1=0的较大根是r ，方程2015x 2-2016x +1=0的较小根是s ，则r -s 的值是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0）、A （0，6）、B （4，6）、C （4，4）、D （6，4），E （6，0），若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ． 15．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m x m x 的两个实数根，当m = 时，2221x x +有最小值，最小值是 .16．如图，P 是平行四边形内一点，过点P 分别作AB ,AD 的平行线，交平行四边形的四边于E 、F 、G 、H ，若S 四边形PFCG =10，S 四边形AHPE =6，则S 三角形PBD = ．.17．设a 2+2a -1=0，b 4-2b 2-1=0，且1-ab 2≠0，则52213⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 ．18．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的点，且3AE =EB ，有一只蚂蚁从E 点出发，在正方形内依次触碰到边BC 、CD 、DA 上的点F 、G 、H ，最后回到E 点，蚂蚁所走的最小路程是 ．（第8题）（第6题）（第10题）（第14题）（第16题）（第18题）学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．（本题满分14分）某道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元．请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费．. 20．（本题满分14分）如图，抛物线2y ax bx=+（a>0）与双曲线kyx=相交于点A，B. 已知点A的坐标为（-1，4），点B在第四象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB 的点E的坐标．A COBxy九年级数学初赛·第3版（共 4 版）九年级数学初赛·第4版（共 4 版）。
第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题A卷(含答案)
第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信，沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考、细心演算，交一份满意的答卷．（注：可使用计算器．）一、选择题（每小题6分，共30分）1．如图1，在圆环路上均匀分布着四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存，现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1∶2∶3∶5．若运费与路程、运的产品数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁2．王村和元村之间有一座小山，县里计划修建一条通过此小山的公路，以方便两村村民的来往，如图2，经测量，从坡底B到坡顶A的坡角为30°，斜坡AB长为100米，根据地形，要求修好后的公路路面BD的坡度是1∶5（假设A，D两点处于同一铅垂线上）．为减少工程量，若AD≤20米，则直接开挖，若AD＞20米，就要重新设计，根据你所学过的知识，你认为（）（A）不用重新设计，因为AD＜20米（B）不用重新设计，因为AD=20米（C）需要重新设计，因为AD＞20米（D）应用所给数据无法计算AD的长，因此，不能判断是否需要重新设计3．由于矩形和菱形特殊的对称美和矩形的四个角都是直角，从而为密铺提供了方便，因此墙砖一般设计为矩形，而且图案以菱形居多，如图3所示，是长为30cm，宽为20cm的一块矩形瓷砖，E、F、G、H分别是矩形四边的中点，阴影部分为黄色，其它部分为淡蓝色，现有一面长为6m，高为3m的墙面准备贴这种瓷砖，那么：这面墙要贴的瓷砖数及全部贴满后这面墙上最多出现的与图3中面积相等的菱形个数分别为（）(A)288、561 (B)300、561(C)288、566 (D)300、5664．一位警察奉命追击一名正在向南偏西30°方向逃蹿的罪犯，如图4，警察的位置在点()B--，，图中的阴影部分表示一条A，，罪犯的位置在点(18012030东西走向宽20米的河道，如果警察追击的速度是8米/秒，罪犯逃跑的速度是7.5米/秒，且警察经过河道时正好有一座垂直于河道两岸的桥，要想在最短的时间内追上罪犯，警察至少要追击的时间为（）(A)19分钟(B)20分钟(C)21分钟(D)22分钟5．如果我们把地球赤道看成一个圆，并且在地球赤道上空同样高度的位置有等距离的三颗地球同步通讯卫星，使卫星发射的信号能够覆盖全部赤道，那么卫星高度至少为（）(地球半径为R≈6370km)(A)6370km(B)9555km(C)955.5km(D)9007km二、填空题（每小题6分，共30分）6．育英中学举行秋季运动会，王建同学参加铅球比赛，铅球出手时距地面1.6m，当铅球达到最大高度1.96m时水平方向距王建3m，若前一位选手成绩为9.9m，那么王建________（“能”或“不能”）超过他，成绩为________m．（设铅球在空中飞行路线呈抛物线）7．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过25米/秒，如图5，一辆汽车在一条城市街路上沿东西方向行驶，某一时刻刚好行驶到距车速检测仪A点距离为40米的C（位于A点北偏东30°处）处，过了3秒钟，到达B点，（位于A点北偏西45°）此时小汽车距车速检测仪间的距离为60米，那么这辆汽车是否超速？________．（“超速”或“不超速”）8．新学期开学，光明中学开展了一项名为“提倡节约，回收利用，从我做起”的活动．九年级（2）班李琼同学利用废旧的易拉罐制作了一个笔筒（罐与罐之间已用双面胶封紧），如图6所示．为了美观，现欲将笔筒的侧面包上礼品纸，已知易拉罐的半径为r，高为h，则需礼品纸的面积为________．9．如图7，有位农场主有一大片田地，其形状恰好是一个平行四边形，并且在对角线BD上有一口水井E．农场主临死前留下遗嘱，把两块三角形的田地（即图7中阴影部分）给小儿子，剩下的全部给大儿子，至于水井E，正好两儿子共用，由于平行四边形两边长不同，所以遗嘱公布之后，亲友们七嘴八舌，议论纷纷，认为这个分配不公平，那么你认为________．(填“公平”或“不公平”)理由是______________．10．某种消费品每件60元，不收附加税时，每年大约销售80万件，若政府收附加税时，每销售100元要征税x元（叫做税率x%），则每年销售量将减少203x万件，要使每年在此项经营中收取的税金不少于128万元，问税率x%的范围是________，当税率x%=________时，所收取的税金最多，为________万元．三、解答题（本大题共90分）11．（本题16分）实践应用：如图8，某居民住宅阳台的宽AB向有一玻璃窗CD与地面垂直，该玻璃窗的下端C与地面距离AC=1.5米，上端D与地面距离AD=3.5米，紧靠墙壁的花架上有一盆花（花盆及花的大小忽略不计），记为点P，与地面距离PB=0.5米．如果太阳光线的角度合适，就可以照射到花盆上．（1）求清晨第一缕照射到花上的太阳光线CP与地面的夹角α的度数；（2）已知太阳光线与地面的夹角在正午前大约每小时增大15°，在正午后大约每小时减小15°，而这盆花每天需阳光照射3小时才能正常生长．问：如果不移动这盆花的位置，它能否正常生长，请说明理由．12．（本题18分）猜想归纳：如图9，已知正方形ABCD的边长为2k (k是正整数)，半径为1的⊙O分别与AD，AB相切．沿AB→BC→CD→DA的方向使⊙O在正方形ABCD 的边上滚动．当⊙O第一次回到起始位置时停止运动．(1)当k=1时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________圈；当k=2时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________；当k=n时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________．(2)当k=n时，⊙O从开始滚动到停止，滚过的面积是多少？13．（本题18分）实验探究：为发挥广大读者艺术特长，我报《数学专页》于2006年1月份举办了一次栏标设计大赛，截至4月份大赛已圆满结束．本次比赛收到了近千幅设计作品，其中一幅参赛作品如图10．同学们，你注意到栏标中的三个圆了吗？现依据三个圆的大小，剪了三张圆形纸片，它们的面积分别记为123S S S ，，，借助课桌，不给你任何工具，你能比较出12S S 与3S 的大小关系吗？写出你的方法步骤，并说明理由．14．（本题18分）信息处理：假日里，小红和爸爸、妈妈想到风景如画的天波山去游玩，他们经过了解得到如下信息：如果他们从本市汽车站出发到天波山去，那么只有一条道路可走．但顺着这条路，他们既可以乘坐公共汽车，也可以骑自行车，也可以将两者结合进行．综合起来，有以下四种不同的方案可以采用．方案1：他们可以全程乘坐汽车．但汽车要在中途荷花湖站停留30分钟．方案2：他们也可以全程骑自行车．如果他们在汽车驶离汽车站的同时开始骑自行车也从汽车站出发，那么当汽车到达天波山的时候，他们还有1km 的路程．方案3：他们可以先骑自行车到达荷花湖站，然后再乘坐汽车．如果他与汽车同时离开汽车站，那么当他们骑自行车行驶4km 的路程时，汽车已经到达荷花湖站．但是因为汽车要停留30分钟，所以当汽车正要离开荷花湖站时他刚好赶上，于是他就可以坐上汽车，前往天波山．方案4：他们可以先乘坐汽车，到达荷花湖站之后，其余的路程再骑自行车．这是最快的方案，他们可以比汽车提前一刻钟到达天波山．根据以上信息，请你求出汽车站到天波山的距离是多少千米？15．（本题20分）方案设计：儿童公园有一块半圆形空地，如图11所示，根据需要欲在此半圆内划出一个三角形区域作为健身场地，其中内接于此三角形的矩形区域为儿童游乐场，已知半圆的直径AB=100米，若使三角形的顶点C在半圆上，且AC=80米．那么请你帮设计人员计算一下：△ABC中，C到AB的距离是多少米？如果使矩形游乐场DEFN面积最大，此矩形的高DN应为何值？在实际施工时，发现在AB上距B点18.5米处有一棵古树，那么这棵树是否位于最大游乐场的边上？若在，为保护古树，请你设计出另外的方案以避开古树．参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．D 2．C 3．D 4．C 5．A二、填空题（每小题6分，共30分）6．能，10 7．不超速 8．()26rh π+9．公平，△AED 和△CEB 的面积之和等于ABCD 的面积的一半；10．4%≤x %≤8%，6%，144三、解答题（本大题共90分）11．（本题16分）解：不能． ············································································ 2分 理由：过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PB =0.5米，∴CE =CA －EA =CA －PB =1.5－0.5=1(米)． ···························································· 3分又AB =PE =． ············································································ 4分在Rt △CEP 中，CE =1，PE =，∴2PC =，30α∴=∠． ···································································· 7分如右图，假设PD 为能照到花盆上的最后一缕阳光，则DE =AD －AE =3.5－0.5=3（米）， ··········································· 8分又PE =，∴PD = ···························································································· 9分 ∴∠DPE =60°，∠DPC =30°． ······································································ 13分 由题意知，不移动这盆花能照射2小时，所以不能正常生长． ······························· 16分12．（本题18分）略解：（1）3，5，21n +；······················································· 9分（2）如图，ABCD A B C D S S ''''-四边形四边形()()222n n =π+-π-2()()()()n n n n =π+2+π-2π+2-π-2⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 24n =π⨯8n =π． ····································································································· 14分 88S n n π⎛⎫=π-41-=π+π-4 ⎪4⎝⎭阴影部分． ························································ 17分 ∴⊙O 滚过的面积为8n π+π-4． ·································································· 18分13．（本题18分）能．第一步：先将三张圆形纸片对折，得三张半圆纸片如图1，折痕为三个圆的直径，第二步：把两张小的半圆形纸片分别放在课桌的一个角的两边上，如图2，直径的端点分别落在A ，C ，B 三处．第三步：把大的半圆形纸片的直径的一个端点与A 重合，看另一端点能否与B 重合，如图3．如重合，则123S S S +=；如不重合，则123S S S +≠． 下面说明当大半圆纸片的直径的另一端点与B 重合时，123S S S +=．如图3，因为桌角是直角，所以∠ACB =90°．在Rt △ACB 中，根据勾股定理222AC BC AB +=． 所以222AC BC AB πππ+=444． 所以222222AC BC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫π+π=π ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即123S S S +=．(本题说明方法可得10分，说明相等或不相等的理由可得满分，其他情况可酌情给分)14．（本题18分）解：设汽车站到荷花湖站的距离为xkm ，则当汽车在中途停留30分钟时，他们走了（x -4）km ，从而可知他们骑自行车每小时走（2x -8）km ，因为汽车走了xkm ，他们走了4km ，所以汽车每小时走()42x x -km ． ············································································· 2分 设荷花湖站到天波山的距离为ykm ，那么依据题意可得：()()116428221110428422x y x y x x x y y x x x +-+⎧=+⎪--⎪⎪⎨⎪+=+⎪--⎪⎩ ①…………分 ②…………分 由①化简得：4xy x y -= ③ ····································································· 12分 由②化简得：2284xy y x x =+- ④ ··························································· 14分 ③×2与④相减，整理得260x x -=，解之得：10x =，26x =．············································································· 17分 所以，汽车站到荷花湖站的距离为6km ，荷花湖站到天波山的距离为3km ，所以汽车站到天波山的距离是9km ． ······················································································ 18分15．（本题20分）解：（1）如图4，∵AB 是直径，且AB =100，AC =80，∴60BC ==， ············································································ 2分∴1122ABC S AC BC AB h ==△， ····································································· 4分 即60×80=100h ，∴h =48．∴C 到AB 距离为48米． ················································································ 6分(2)设DN 为x 米，则∵△CNF ∽△CAB ，∴h DN NF h AB-=． ∴()1004848x NF -=，··················································································· 9分 ∴()210048*********DEFNx S x x x -==-+矩形， ················································ 11分 当x =24时，游乐场面积最大． ········································································ 12分(3)当游乐场面积最大时，DN =EF =24米，84tan 63EF AC ABC BE BC =∠===， 63tan 84DN BC BAC AD AC =∠===． 易得BE =18米，AD =32米． ··········································································· 15分 则BD =68米，又BM =18.5米，∴BE ＜BM ＜BD ，∴大树位于欲修建的游乐场边上，应重新设计方案． ··········································· 17分 由圆的对称性，可把△ABC 划分到半圆的左边． ················································· 20分。
2019-2020学年九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题
2019-2020学年九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题（A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1（A ）6-＜t ＜112- （B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-（A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）812．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点（不是端点），满足CD AB ⊥，DE CO ⊥，垂足为E ．若10CE =，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．（第12题）13.设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新大赛（初三）试题参考答案 一、选择题1．C解：1!1=，2!2=，3!6=，4!24=，又知5!，6!，7!，8!，9!，10!的末位数均为0，而1!2!3!4!+++的末位数是3，所以，1!2!3!10!++++的末位数是3．2．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以：22212ab bc ca a b c ++=-++． 3．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得 ：6-＜t ≤112-． 4．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC5．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．二、填空题 6．9解：由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y，（第4题）z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯． 8．20413解：如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=．所以，四边形AEFD 的面积是20413．9．207解：设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．10解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100221002100200⎛⎫⎫=⨯+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)， C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CEBE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒……10分（第7（乙）题）（第11题）因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：连接AC ，BC ，则90ACB ∠=︒．又CD AB ⊥，DE CO ⊥，由Rt △CDE ∽Rt △COD 可得2CE CO CD ⋅=，由Rt △ACD ∽Rt △CBD 可得2CD AD BD =⋅，所以CE CO AD BD ⋅=⋅．设AD a DB b ==，，a b ，为正整数，则2a bCO +=，又10CE =，代入上式得102a bab +⋅=， …………10分整理得：(5)(5)25a b --=．考虑到a b >，只能是550a b ->->，得52551a b -=-=，． 因此30AD a ==． …………20分13．解：不能．依题意，得 111()()()222a y zb x zc x y =+=+=+，，． 因为2y z =，所以211(1)()()222z z a y z z z +=+=+=．又由于z 为整数，a 为素数，所以2z =或3-，3a =．…………10分当2z =时，2242)16y z x ====，．进而，9b =，10c =，与b ，c 是素数矛盾；…………15分当3z =-时，0a b c +-<，所以a ，b ，c 不能构成三角形的三边长．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10ki m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)ki m +，即i 为m 的魔术数．所以，n 的最小值为7． …………20分（第12题）。
长沙市课外读书活动“学用杯”初中数学应用与创新能
九年级数学初赛·第1版（共 4 版） 九年级数学初赛·第2版（共 4 版）长沙市课外读书活动2016年学用杯初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题（时量：90分钟 满分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．已知点P 是直线04=-+y x 上一动点，O 为原点，则OP 的最小值为A ．2B ．2C ．22D ．42．已知52015=-xx ，则21)1()2(23-+---x x x = A ．2015B ．2016C ．2017D ．20193．下列判断正确的是A ．顶角相等的两个等腰三角形全等B ．有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等C ．腰相等的两个等腰三角形全等D ．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等4．已知一元二次方程2x ²+mx -7=0的一个根为x =1，则另一根为 A ．1B ．2C ．27-D ．-55．已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是ABCD6．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次.将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是 A . 4527 B . 5247C . 5742D . 72457．若不等式组⎩⎨⎧>-<+mx x x 148的解集是x >3，则m 的取值范围是A . m ＞3B . m ≥3C . m ＜3D . m ≤38．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在第二象限，点B 在x 轴负半轴上，△OAB 的面积是9，P 是AB 中点，若函数xk y =（x <0）的图像经过点A 、P ，则k 的值为A . -6B . -4C . -3D . -29．如图，平面内有四条线段AB 、BC 、CD 、DA 首尾顺次相接，点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的角平分线与∠BCD 的角平分线交于点F ．若∠B =26°，∠D =62°，则∠AFC =A ．131°B ．132°C ．133°D ．134°（第9题图） （第10题图）10．如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作半圆⊙O 与边 BC 交于点D ，过D 作半圆的切线与边AC 交于点E ，过E 作EF ∥AB ，与BC 交于点F ．若AB =20，OF = 7.5，则CD ＝A ．7B. 8C ．9D ．10二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．同时投掷两颗骰子，若P (a )表示两颗骰子面朝上的点数之和为a 的概率，则P (1)+P (2)+P (3)+P (4)+P (5)= .12．“*”表示一种运算，规定x *y ＝1xy －1(x ＋1)(y ＋A )．若1*3＝112，则2015*2016= ．13．设7=--c b a ，17222=++c b a ，则ab ca bc --= ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限， ⊙P 与x 轴交于O 、A 两点．若点A 的坐标为(6，0)， ⊙P 的半径为，则点P 的坐标为 ．15．已知a +b =688，b -c =-642，则(b +c )- (3-2a )的值为 .16．九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片．如果全班有x 名学生，则根据题意列出方程为 ． 17．已知βα、是方程0532=--x x 的两个实数根，则 ββα3222-+的值是 ．18．如图，在菱形 ABCD 中，已知∠ABC = 60°，直线EF 过点D ，且与 BA 、BC 的延长线分别交于点 E 、F ，M 是CE 与AF 的交点．若CM =4，EM =5，则AC =_________ ．学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼（第14题图） （第18题图）三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．（本题满分14分）已知关于x的方程rx2+(r+1)x+r-1=0的所有根都是整数，求整数r的值．20．（本题满分14分）在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=2ACAB ．EDOCBA九年级数学初赛·第3版（共 4 版）九年级数学初赛·第4版（共 4 版）。
九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题
长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛九年级决赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交． 4.本试卷共6页，三道大题，14道小题.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．对正整数n ，记!12n n =⨯⨯⨯…，则1!2!3!10!++++的末位数是（ ）． （A ）0（B ）1（C ）3（D ）5 2．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为 （ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）13．已知关于x 的不等式组 255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112- （B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-4．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有（第4题）理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC5．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A）3 （B ）4 （C ）6（D ）8二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．9．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．10．22121+-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交（第5题）（第8题）于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．12．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点（不是端点），满足CD AB ⊥，DE CO ⊥，垂足为E ．若10CE =，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．（第11题）（第12题）13.设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．20XX 年长沙市“学用杯”数学应用与创新大赛（初三）试题参考答案 一、选择题1．C解：1!1=，2!2=，3!6=，4!24=，又知5!，6!，7!，8!，9!，10!的末位数均为0，而1!2!3!4!+++的末位数是3，所以，1!2!3!10!++++的末位数是3．2．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以：22212ab bc ca a b c ++=-++． 3．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得 ：6-＜t ≤112-． 4．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC5．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．二、填空题 6．9解：由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为 83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．20413解：如图，连接AF ，则有：（第4题）（第7（乙）题）45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=．所以，四边形AEFD 的面积是20413．9．207解：设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．10解：设0k >，那么=111112(1)21k k k k ⎡⎤⎫=+=+-⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)， C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CEBE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒……10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：连接AC ，BC ，则90ACB ∠=︒．又CD AB ⊥，DE CO ⊥，由Rt △CDE ∽Rt △COD 可得2CE CO CD ⋅=，由Rt △ACD ∽Rt △CBD 可得（第11题）（第12题）2CD AD BD =⋅，所以CE CO AD BD ⋅=⋅．设AD a DB b ==，，a b ，为正整数，则2a bCO +=，又10CE =，代入上式得 102a b ab +⋅=，…………10分整理得：(5)(5)25a b --=．考虑到a b >，只能是550a b ->->，得52551a b -=-=，． 因此30AD a ==． …………20分 13．解：不能．依题意，得 111()()()222a y zb x zc x y =+=+=+，，． 因为2y z =，所以211(1)()()222z z a y z z z +=+=+=．又由于z 为整数，a 为素数，所以2z =或3-，3a =．…………10分当2z =时，2242)16y z x ====，．进而，9b =，10c =，与b ，c 是素数矛盾；…………15分当3z =-时，0a b c +-<，所以a ，b ，c 不能构成三角形的三边长．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10ki m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)ki m +，即i 为m 的魔术数．所以，n 的最小值为7． …………20分。
2019-2020学年九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题.docx
a1，a2，⋯ ，an中的
一个正整数M是i，j (1≤i＜j≤7)的公共的魔 数， 即7|(10M
i)，7|(10M
j)．
有7|(j
i)，但0＜j
i
≤6，矛盾．
a1，a2，⋯，an
1 2
7
故n≥7．⋯⋯⋯⋯10
分
又当
m
， ，⋯，
， 任意一个正整数
， 其k位数（k
正整数）．10k
2019-2020学年九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题
一
二
三
题
号
总
分
1～5
6～10
11
12
13
14
得
分
评卷人
复查人
（A）0
（B）1
（C）3
（D）5
（A）
1
（B）0
1
（ ）1
（ ）
2
C
D
2
（A）6＜t＜
11
（B）6
≤t＜
11
2
2
（C）
6＜t≤
11
（D）6
≤t≤
11
2
2
（A）OD
（B）OE
（C）DE
a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
14．如果将正整数
M放在正整数
m左侧，所得到的新数可被
7整除，那么称
M为
m的“魔术
数”（例如，把
86放在
415的左侧， 得到的数
86415能被
7整除，所以称
86为
415的魔术
数）．求正整数
n的最小值， 使得存在互不相同的正整数
(竞赛)第二届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 九年级初赛试题
第二届“学用杯” 全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．初三（2）班生物兴趣小组培养了一种微生物，该微生物每天增加一倍，经过10天后，整个实验瓶充满微生物，则经过 天微生物所占的体积是实验瓶体积的一半.2．小明从十字路口开始以4米/秒的速度向北前进，此时小峰在十字路口东方50米A 处以3米/秒的速度向西前进，则经过 秒后，此二人的距离为85米.3．小刚在一次投镖游戏中投了多于11支镖，共得100环，且每发都命中8、9或10环，则他打中8环的次数为 次.4．在一次航空模型的设计制作中，需将两个半径为12cm 和4cm 的圆木棍用铁丝紧紧扎在一起，则最少需铁丝 cm （接头忽略不计）.5．一城市出租车的收费标准如下表，四位同学到郊外写生，到达目的地后，出租车打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.1元，请付29元，谢谢！”则基本价N = 元（N <12）.6．王宏身高1.7米，为了测出路灯的高度，他从路灯出发沿平直道路以1米/秒的速度向东匀速走开，某时他的影子长1.3米，再过2秒，他的影子长为1.8米，则路灯高度为 米. 7．某书店对同学们购书实行优惠，规定：（1）如一次购书不超过30元，则不予以折扣；（2）如一次购书超过30元，但不超过50元，按标价给予九折优惠；（3）如一次购书超过50元，其中50元给予九折优惠，超过50元的部分给予八折优惠，李华同学两次去购书，分别付款23元与36元，如果他只去一次购买同样的书籍，则应付款 元.8．如图1，张敏同学的狼狗“赛赛”的狗窝是8×8的正方形，用长为12的皮带将狗拴在A 点，在狗窝外面狗所能活动的面积为 .二、选择题（每小题5分，共50分）9．在一次义务植树活动中，同学们经过两条宽度都是1的公路，它们的交角为α，则它们公共部分（图2中阴影部分）的面积为 （ ）.（A ）1sin α（B ）1cos α（C ）sin α（D ）1 10．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的2.5倍，那么小强骑摩托车的速度是小青步行速度的 （ ）（A ）2倍 （B ）3倍 （C ）4倍 （D ）5倍11．学校大门如图3所示是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地4米高处各有一挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则该校门的高度（精确到0.1米）为 （ ）.（A ）9.2米 （B ）9.1米 （C ）9米（D ）5.1米12．某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是 （ ）.（A ）81 （B ）82 （C ）83 （ D ）8413．初三某班在庆祝申奥成功的活动中，制作某种喜庆用品需将一张半径为2的半圆形纸板沿它的一条弦折叠，使得弧与直径相切，如图4所示，如果切点分直径为3:1两部分，则折痕长为（ ）.（A（B（C）D14．在居委会提出的“全民健身”倡导下，甲、乙两人早上晨练，同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点，改为跑步，而乙则是先跑步到中点，改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车速度快，若某人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数图象表示，则下图给出的四个函数图象中，甲、乙两人的图象情况只能是 （图4 图3 (2) (3) (1) (4)（A ）甲是图（1），乙是图（2） （B ）甲是图（1），乙是图（4）（C ）甲是图（3），乙是图（2） （D ）甲是图（3），乙是图（4）15．如图5，某海关缉私艇巡逻到达A 处时，接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑的船只，正以24海里/小时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过一小时的航行，正好在C 处截住可疑船只，则该艇的速度约为)1.414≈≈≈（ ）. （A ）44 （B ）45 （C ）46 （D ）4716．本市一房地产公司在西部大开发活动中，成功中标一块锐角三角形地皮，现要在此地皮上建一个供市民休闲娱乐的正方形广场，若三角形地皮的三边长分别为a 、b 、c ，且a >b >c ，则正方形广场的两个顶点放在哪条边上可使广场面积最大 （ ）.（A ）最小边c 上（B ）中间边b 上 （C ）最大边a 上 （D ）哪条边上都一样17．两名初三学生被允许参加高中学生举行的象棋比赛，每个选手都同其他每个选手比赛一次，胜得一分，和得半分，输得零分，两名初三学生共得8分，每个高中学生都和高中其他同学得到同样分数，则参赛的高中学生人数为 （ ）.（A ）7 （B ）9 （C ）14 （D ）7或1418．编号为1到101的101个小球分放在两个盒子A 和B 中，40号小球在盒子A 中，把这个小球从盒子A 中移至盒子B 中，这时盒子A 中小球号码数的平均数增加了14，B 中小球号码数的平均数也增加了14，则原来在盒子A 中的小球个数为 （ ）. （A ）70 （B ）71 （C ）72 （D ）73三、解答题（每小题20分，共40分）19．某下岗职工开办的一小型服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图6），现找出其中一种，测得∠C =90°，AC =BC =4，今要从这种三角中剪出一种扇形（做成不同形状的玩具用），使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的其他边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切.请你设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出示意图，图6A B C 图5并标上半径即可）.20．某地引进外资兴办的一家公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司所获年利润随广告费的增大而增大？四、开放题（本大题20分）21．请用一个长方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具），写出你的作法，并说明理由.。
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C
A
B
D M 第15题
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛
九 年 级 初 赛 试 题
（时量：90分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题
号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 答
案
1．设P ＝121220132012++，Q ＝1
21
220142013++，则P 与Q 的大小关系是
A ．P ＞Q
B ．P ＝Q
C ．P ＜Q
D ．不能确定
2．边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取 A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 4．若二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则点（b a +，ac ）在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．如图，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于
A ．152
B ．143
C ．132
D ．108 6．如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于 A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 50°
7．已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。
如果△ABC 的面积为12，
那么四边形BCDE 的面积为 A ．6 B ．8
C ．9
D ．10
8．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是 A ．11 B ．13 C ．17 D ．19 9．直线k x y +=
2
1
与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是 A ．k ≤1 B ． 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D ． k ≤－1或k ≥1
10．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=,
5BE =，则梯形ABCD 的面积等于
A ． 13
B ． 8
C ． 13
2
D ． 4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31
)5(2)3(2
2
2
，则=-b a ． 12．若532=-+c b a , 8765=+-c b a ，则=-+c b a 529 .
13．若m ，n 是一元二次方程0132
=-+x x 的两个根，则=-+n m m 22
??? ????? ．
14．已知3=xy ，那么y
x
y
x y x +的值是 ． 15．如图，在△ABC 中，中线CM 与高线CD 三等分ACB ∠，
则B ∠等于 度. 16．已知
t b
a
c a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx y +=一定通过第 象限． 17．不论k 取什么实数，关于x 的方程
16
32=--+bk
x a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，那么=+b a ．
18．如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径, 四边形CDMN
和DEFG 都是正方形. 其中,,C D E 在AB 上, ,F N
学校： 姓名： 考场： 考号：
☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼
A
B
C
D E 第10题
O
x
y
第4题 A B C D 第6题
O C B A D 第5题
第18题
在半圆上，则两个正方形的面积之和为?? ????? ．.
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
19．（本题满分14分）
如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与正比例函数x y 3=的图象交于点C ，点D 是线段OB 上的一个动点（不包含O 、B 两点），以AD 为边在其一侧作等边三角形ADE ，DE 交AB 于F ，AD 交OC 于G .
(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似，为什么？ (3)证明CE 总与AB 垂直.
20．（本题满分14分）
如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合，另一直角顶点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 的坐标分别为B （12，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.，点M 、N 分别从A 、C 两点同时出发做匀速运动，其中点M 沿AB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位；点N 沿CD 向终点D 运动，速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.
（1）如图2，设点M 、N 的运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形MBCN 为平行四边形？ （2）在（1）的条件下，连结DM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；
（3）已知二次函数的图象经过D 及（1）中的点M 、N ，求该二次函数的解析式；
（4）在运动过程中，是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形？如果存在，请求出直线MN 的解析式；如果不存在，请说明理由.（图3供解答本小题用）
x O B A
y C D
G
F E
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛
九 年 级 初 赛 试 题
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
B
D
A
B
B
C
C
C
D
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11、3； 12、28； 13、4； 14、32±；
15、30︒； 16、二、三； 17、2
1-； 18、2
R
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
19．(1)在y=-3x+23中，令x=0得y=23,令y=0得x=2， ∴A 的坐标为(2，0)，B 的坐标为(0，23).
由⎩
⎨⎧=+-=x 3y 32x 3y 得⎩⎨⎧==3y 1
x ，
即C 的坐标为(1，3). ……………………………………（4分）
(2) △ADF ∽△ACG. 由tan ∠OAB=3得∠OAB=60?，
由tan ∠AOC=3得∠AOC=60?, ∴△OAC 为等边三角形。
又∵△ADE 也为等边三角形， ∴∠OCA=∠ADE=60?,
而∠DAF=∠CAG ，∴△ADF ∽△ACG 。
…………………………………………（10分） (3)∵∠OAC=∠DAE ，
∴∠OAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠OAD=∠CAE, 在△OAD 和△CAE 中，
⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=AE
AD CAE OAD CA OA
∴△OAD ≌△CAE
∴∠ACE=∠AOD=90?，即CE 总与AB 垂直. ……………………………………（14分）
20.解：（1）由MB=NC 得12—t=3t ∴t=3
故当t=3时，四边形MBCN 为平行四边形 ………………（3分） （2）连结AP 可知AD=8，AM=3， ∴DM=2238+=73
∴
DM
AD
AD PD =
， ∴PD=DM AD 2
=73
64=737364 ………………（6分）
（3）可知DN=DC —NC=14—3×3=5，∴N （5，0）又M （3，8），D （0，0） 设过D 、M 、N 的二次函数的解析式为y = a x （x —5），将（3，8）代入
得8=3×（3-5）·a ∴a = —
3
4 所求解析式为y = —34x （x —5），即y = —34x 2 +
320
x ……（10分） （4）假设存在MN 与⊙E 相切，切点为F ，作MG ⊥DC 于G
可知MF=MA=t ，FN=DN=14—3t ， ∴MN=14—2t ，NG = t —(14—3t) = 4t —14
Rt △DMG 中，MN 2=NG 2+MG 2得 (14—2t ) 2 = (4 t —14 ) 2 +82
∴t 1=2，t 2=3
8
∴M 1（2，8），N 1（8，0）和M 2（38
，8），N 2（6，0）
设直线MN 的解析式为y=k x +b ， 将M 1（2，8），N 1（8，0）代入 得M 1N 1……：y = —
34x +3
32
将M 2（38
，8），N 2（6，0）代入
得M 2N 2……：y = —
512x +572 故存在直线MN ：y = —
34x +3
32
或y = —
512x +5
72 与⊙E 相切。
………………………………………………………（14分）。