北师大版数学高一-课堂新坐标14-15数学必修2讲义 第2章 解析几何初步(144页)

第二章解析几何初步

§1直线与直线的方程

1．1直线的倾斜角和斜率

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．

2．过程与方法

通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．

3．情感、态度与价值观

通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．

●重点难点

重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．

难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．

直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．

(教师用书独具)

●教学建议

教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．

●教学流程

创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正

课标解读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)． 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点).

直线的倾斜角和斜率

【问题导思】

1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？ 2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？

3．直线l 1，l 2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？

【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样．

1．直线的确定

在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．

2．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，通常用α表示．

(2)范围：0°≤α<180°. 3．直线的斜率

直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝{ tan α，α≠90°

，不存在，α＝90°. 4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系

倾斜角α 直线特点 斜率k 的变化

0° 垂直于y 轴 k ＝0

0°<α<90° 由左向右上升 随着倾斜角在0°→90°间逐渐增大，直线的斜率k

也逐渐增大，且恒为正值

α＝90° 垂直于x 轴 k 不存在

90°<α<180°

由左向右下降

随着倾斜角在90°→180°间逐渐增大，直线的斜率

k 也逐渐增大，且恒为负值 5.过两点的直线斜率的计算公式

经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1

x 2－x 1

.

求直线的倾斜角 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，

得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )

A ．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°

【思路探究】倾斜角的

取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°

【自主解答】由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；

而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，

l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.

【答案】 D

1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A将出现大于等于180°的角；选项B、C将出现小于0°的角．

2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；

②x轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．

图2－1－1中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．

图2－1－1

【解】设直线l的倾斜角为β，图①中α是直线l的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l的倾斜角，β＝180°－α；

图③中α不是直线l的倾斜角，β＝α；

图④中α不是直线l的倾斜角，β＝90°＋α.

求直线的斜率

(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；

(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率．

【思路探究】(1)利用过两点的直线的斜率公式求得．

(2)利用斜率的定义求．

【自主解答】(1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公

式得k ＝7－3

2－1

＝4.

(2)因为直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的倾斜角为45°，所以直线l ′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l ′的斜率k ′＝tan 135°＝－1.

1．熟记斜率公式是解答本题的关键．

2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x 轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．

将本题中的两点改为(1,1)，(－1，－2)其余不变． 【解】 k ＝－2－1－1－1＝3

2.

直线的倾斜角、斜率的综合应用 已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (3,1)，且与线段AB 相交，求直

线l 的斜率的取值范围．

【思路探究】 欲使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率与直线PA ，PB 的斜率有必然的关系，通过画图可知．

【自主解答】 设直线l 的斜率为k ，当l 与线段AB 相交时，k PB ≤k ≤k PA ， 又∵k PA ＝1＋33－2＝4，k PB ＝1＋23＋3＝1

2

，

∴1

2

≤k ≤4， 即直线l 的斜率的取值范围为12，433，3－1

2

，3)．