直线倾斜角、斜率、斜率公式,直线方程的各种表示方法

承接上次课：

倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角

关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 斜率：一条直线的倾斜角()2

π

αα≠

的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.

时，斜率不存在。

当时，当的增大而减小；

随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；

也随的增大而增大，随时，当2

;0 0,0)2

(

,0 )2

,0 (π

ααααππ

αααπ

α=

==<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21

21

y y k x x -=-. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D )

A. k 1< k 2

B. k 3< k 1

C. k 3< k 2

D. k 1< k 3

例题2：若经过P （－2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m=（ A ）

A 、1

B 、4

C 、1或3

D 、1或4

例题3：若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ B ）

A 、1

B 、－1

C 、0

D 、7

例题4：直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ B ）

A 、45°

B 、135°

C 、45°或135°

D 、－45°

例题5：若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围. 解：(-2,1)

学习小结：

1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.

2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=

时，直线的斜率是不存在的

题型一：已知两点坐标求直线斜率

例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率

（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3)

题型二：求直线的倾斜角

例题2：设直线L 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转︒45，得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( D )

A.︒+45α

B.︒-135α

C.α-︒135

D.[︒-⎢⎣⎡∈︒+∈1354

3454

30αππααπα，为）

，；当）时，为，当 例题3：变式：已知直线L 1的倾斜角为α，则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β=

题型三：斜率与倾斜角关系

例题4：当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围：

1)1(-≥k 1)2(≤k 33)3(≤<-k

题型四：利用斜率判定三点共线

例题5：已知三点A （a,2），B （5,1），C （-4,2a ）在同一条直线上，求a 的值。

利用斜率相等即可

即AB 的斜率=BC 的斜率 用两点式计算斜率

(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5) (5-a)(2a-1)=9 -2a ²+11a-5=9 2a ²-11a+14=0 (2a-7)(a-2)=0 ∴a=7/2 或a=2

不存在)3(3

5)2(2

3)1(-==k k 000==-=∈βααπβπα，当，

），，（当3(1)[0,)[,)

24(2)[0,](,)422(3)[0,](,)33

ππαπππαπππαπ∈⋃∈⋃∈⋃2

7

2==a a 或

题型五：平行于垂直的判定

例题6：已知A （1，-1），B （2,2），C （3,0）三点，求点D 的坐标，使直线,AB CD ⊥且CB//AD.

题型六：综合应用

例题7：变式：若三点A （3,1）,B(-2,k)，C （8,1）能够成三角形，求实数k 的取值范围。 解：能够成三角形则不能共线 AC 垂直y 轴 是y=1 则k ≠1

例题8：已知两点A （-3,4），B （3,2），过点P （2，-1）的直线L 与线段AB 有公共点，求直线L 的斜率k 的取值范围

)

1,0(1233,2,11

1,3

,3),D D y x y x k k k x y k k k x y

k k y x BC

AD BC AD CD AB CD AB ⎩⎨

⎧=+=+=-=-+=

-=⋅-==得点坐标为（解：设

例题1.下列命题正确的个数是 ( C )

1) 若a 是直线L 的倾斜角，则︒<≤︒1800a 2）若k 是直线的斜率，则R k ∈

3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角 A ．1 B.2 C.3 D.4 例题2.直线L 过(,)a b , (,)b a 两点，其中0,≠≠ab b a 则 （ D ）

A.L 与x 轴垂直

B. L 与y 轴垂直

C.L 过原点和一，三象限

D.L 的倾斜角为︒135 例题3.已知点)1,1(),321,1(-+B A ,直线L 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，则L 的斜率为 （ B ）

A.1 3

3.B 3.C D.不存在

例题4.直线L 经过二、三、四象限，L 的倾斜角为a ，斜率为k ，则 （ B ） 0sin .>a k A 0cos ..>a k B 0sin .≤a k C 0cos .≤a k D 例题5.若),0(),2,(),5,1(a C a a B a A ---三点共线，则a= 2

例题6.已知四边形ABCD 的顶点为)5,2(),3,3(),1,6(),,(D C B n m A ,求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形。

86251829(

,),(,)131355

A A 解：有两种情况

1、AB//CD 角A=90=角D （5-3）/（2-3）=(n-1)/(m-6) 2m+n=13

(n-5)/(m-2)=1/2 m=18/5 n=29/5

2、AD//BC 角A=90=角B (n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/3 2m+3n=19

(n-1)/(m-6)=3/2 3m-2n=16 m=86/13 n=25/13

两直线平行与垂直的判定 ：

平行：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k

垂直：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.

即12l l ⊥⇔

121k k =-

⇔121k k =- 学习小结：

1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.

2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.