数学(文)一轮教学案：第六章第2讲 等差数列及前n项和 Word版含解析

第2讲 等差数列及前n 项和

考纲展示 命题探究

1 等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．

2 等差中项

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.

3 等差数列的通项公式及其变形

通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.

4 等差数列的前n 项和

等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2

＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性

当d >0时，数列{a n }为递增数列；

当d <0时，数列{a n }为递减数列；

当d ＝0时，数列{a n }为常数列．

注意点 定义法证明等差数列时的注意事项

(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．

(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.

1．思维辨析

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )

(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )

(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )

(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×

2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )

A ．1 B.53 C ．2

D ．3

答案 C

解析 因为S 3＝(a 1＋a 3)×32

＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 1

2＝2.

3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于

( )

A ．8

B ．10

C ．12

D ．14 答案 C

解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2

＝3a 2＝12，∴a 2＝4. ∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2.

∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.

[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．

命题法1 等差数列的基本运算

典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝

50.

(1)求通项a n ；

(2)若S n ＝242，求n .

[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，

得方程组⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50. 解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10；

(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，

得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242，

解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．

【解题法】 等差数列计算中的两个技巧

(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

命题法2 等差数列的判定与证明

典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.

(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；

(2)求{a n }的通项公式．

[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，

∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n )

＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.

∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．

(2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1，

∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，

…，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得

a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2，

∴a n ＝n 2－2n ＋2.

【解题法】 等差数列的判定方法

(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数．

(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立．

(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .

(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .

1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．6

答案 B

解析 设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.

2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )

扫一扫·听名师解题

A ．a 1d >0，dS 4>0

B ．a 1d <0，dS 4<0

C ．a 1d >0，dS 4<0

D ．a 1d <0，dS 4>0

答案 B

解析 由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋

6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.

3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．

答案 －12