平面向量减法的几何意义
向量减法及其几何意义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
平面向量的加减法
，b＝ ，仍是零向量
a
(－a)＋a
－b
－a
0
向量减法的定义和法则
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？ 提示：是零向量． 问题2：根据向量加法，如何求作a－b? 提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法则进行．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向
量相当于加上这个向量的 相反向量
．
(2)几何意义：以O为起点，作向量 OA ＝
a， OB ＝b，则 BA ＝a－b，如图所示，即a－b可表示从
向量b的终点
指向 向量a的终点
的向量．
深化理解
1．向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算， 可以相互转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反 向量．
2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法 则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，
跟踪练习
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
B． AC
C． DA
D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
答案：C
()
2．如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____， a＋b＋c－d＝____.
答案：4 km/h
2．如图，一架飞机从 A 地按北偏西 30°的方向飞行 300 km 后 到达 B 地， 然后向 C 地飞行．已知 C 地在 A 地北偏 东 60°的方向处，且 A，C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方 向及 B、C 两地的距离．
平面向量的加法与减法性质
平面向量的加法与减法性质平面向量是在平面内具有大小和方向的量，可以进行加法和减法运算。
平面向量的加法与减法性质是研究向量运算规律的重要内容。
一、平面向量的表示与加法1. 平面向量的表示平面向量通常用一个有向线段来表示，线段的长度代表向量的大小，箭头方向表示向量的方向。
用大写字母表示向量，例如 A、B、C。
2. 平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设有两个平面向量 A 和 B，A 的起点为 O，终点为 P，B 的起点为 P，终点为 Q，则向量 A+B 的起点为 O，终点为 Q，即 A+B 的表示是由 A 和 B 的起点连线和连接 A 的终点和 B 的起点的线段组成。
3. 平面向量的加法性质（1）交换律：A+B = B+A（2）结合律：(A+B)+C = A+(B+C)（3）零向量：对于任意向量 A，有 A+0 = 0+A = A，其中 0 为零向量，零向量的大小为 0，方向可以是任意方向。
二、平面向量的减法平面向量的减法运算可以转化为加法运算。
设有两个平面向量 A 和B，A 的起点为 O，终点为 P，B 的起点为 O，终点为 Q，则向量 A-B可以表示为向量 A 的起点为 O，终点为 Q，再将向量 B 倒转180°，起点为 Q，终点为 P，即 A-B = A+(-B)。
三、平面向量的性质1. 平面向量的加法性质（1）交换律：A+B = B+A（2）结合律：(A+B)+C = A+(B+C)（3）零向量：对于任意向量 A，有 A+0 = 0+A = A2. 平面向量的减法性质（1）减去一个向量等于加上该向量的相反向量：A-B = A+(-B)（2）零向量：对于任意向量 A，有 A-0 = A3. 平面向量的数乘性质平面向量的数乘运算是指将向量的大小和方向同时进行数倍的运算。
设有一个平面向量 A 和一个实数 k，则 kA 的大小为 |k|*|A|，方向与 A的方向相同（当 k>0）或相反（当 k<0）。
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
平面向量的加减法
[精解详析] 因为 a＋b＝ BA ，c－d＝ DC ， 所以 a＝ OA ，b＝ BO ，c＝ OC ，d＝ OD ；如图所示，作 平行四边形 OBEC，平行四边形 ODFA，根据平行四边形法则 可得：b－c＝ EO ，a＋d＝ OF .
跟踪练习
1．如图，已知正方形 ABCD 的边长等于 1，
An1 An A0 An ，这可以称为向量加法
例题讲解
[例1] 如图所示，
已知向量a，b，c试作出向量a＋b＋c.
[精解详析] 法一：如图 1 所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝ a，再作向量 AB ＝b，则得向量 OB ＝a＋b； 然后作向量 BC ＝ c，则向量 OC ＝ (a＋ b)＋ c ＝a＋b＋c 即为所求．
AB ＝a， BC ＝b， AC ＝c，试作以下
向量并分别求模． (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
解：(1)如图，由已知得：a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ，又 AC ＝c， 延长AC到E， 使| CE |＝| AC |. 则a＋b＋c＝ AE ，且| AE |＝2 2. (2)作 BF ＝ AC ，连接CF， 则D、C、F共线， 则 DB ＋ BF ＝ DF ， 而 DB ＝ AB － AD ＝a－ BC ＝a－b， ∴a－b＋c＝ DB ＋ BF ＝ DF 且| DF |＝2.
例题讲解
[例 2] 化简或计算：
(1) CD ＋ BC ＋ AB ； (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA .
[精解详析] (1) CD ＋ BC ＋ AB ＝( AB ＋ BC )＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD . (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA ＝( AB ＋ BC )＋( CD ＋ DF )＋ FA ＝ AC ＋ CF ＋ FA ＝ AF ＋ FA ＝0.
向量加法、减法运算及其几何意义
(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b
B
位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
若a ， b不共线，则 | a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
平行四边形法则
起点相同连对角
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
向量减法运算及其几何意义 课件
【审题路线图】1.向量的加减运算⇒向量加减法的三 角形法则⇒化简. 2.看到作图⇒向量加减法的三角形法则⇒作图的一般步 骤⇒作图.
【解析】1.选B.根据题意,得 AB BC AD AC AD DC. 2.方法一:如图①,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b， 则 OB＝a＋再b作， 则OC＝c， CB＝a＋b－c.
【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应 用.
3.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律,其次要分析 图形的性质,通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 化简运算.
方法二:如图②,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b，
则OB＝a＋再b作， 连CB接＝cO，C,则
OC＝a＋b－c.
【方法技巧】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b, 然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的 起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减 向量的终点的向量.
3.设a表示向西走10km,b表示向北走10 3 km,则a-b表 示( ) A.向南偏西30°走20 km B.向北偏西30°走20 km C.向南偏东30°走20 km D.向北偏东30°走20 km 【解析】选A.由减法的三角形法则易求得.
4. PA PB =________. 【解析】 PA PB BA. 答案:
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性
第33课 平面向量的减法
第四单元4.2.2《平面向量的减法》教案一、创设情境激发兴趣问题：我们知道，两个实数可以进行加减法运算.向量的加法已经学过了，那么两个向量的减法是怎么进行的呢?分析：我们把与向量a长度相等且方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作-a. 其中a和-a互为相反向量.则有：(1)-(-a )= a .(2)任一向量与其相反向量的和是零向量 , 即 a+(−a)=(−a)+a=0.(3)若a，b互为相反向量 , 那么a = -b，b = - a，a + b= 0.规定：零向量的相反向量还是零向量.a加上b的相反向量叫作a与b的差 ,即a+（-b）= a -b= 0.求两个向量差的运算，叫向量的减法.二、自主探究讲授新知如图 4-18，CB=b，根据相反向量的定义有：CB BC-== - b，则()AB CB AB BC AB CB-=+=+-.可见，在向量减法运算中类似结论依然成立.图 4-18由上述分析，可得结论：在向量运算中，减一个向量等于加上这个向量的相反向量.把求两个向量差的运算，叫作向量的减法，即a -b= a+（-b）.问题1：如何求两个非零向量的差向量呢？了解观看课件思考自我分析思考理解记忆类比实数的加减法运算，使学生自然理解知识点，激发学生学习兴趣带领学生分析引导式启发学生得出结果带领学生总结加深理解1.不共线的两个非零向量a 与b 的减法：作法：如图4-19，在平面上任取一点A ，依次作AB = a ，BC =-b ，因为 a -b= a +（-b ），对向量 a 与（-b ）使用向量加法的三角形法则，得 a -b= a +（-b ）=AB +BC =AC .2. 共线的两个非零向量的减法： 当非零向量a 与b 共线时 , 在平面上任取一点A ，首尾相接作AB = a ，BC =-b ，同样可得 a -b= a +(-b ) =AB +BC =AC .情形一：a 与 b 方向相同，如图 4-20：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b 情形二：a 与 b 方向相反，如图 4-21：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b .理解记忆 思考 辨析 思考 归纳引导启发 学生 思考 仔细 分析 关键 词语 “首尾 相接“ 进一步 理解 加深 记忆第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路三、典型例题巩固知识例 1如图4-22(1) , 已知向量a，b，求作向量a-b，并指出其几何意义.解：如图 4-22(2)所示，以平面上任一点A为起点，作AB= a，AD=b，BC=-b，由向量减法的定义可知 ,AC=a+(-b)=a-b .连接AC,则向量AC即为所求的差向量.又因为AD+DB=AB，即b+DB=a ，所以DB=a-b .因此，向量减法的几何意义是：a-b表示把a与b平移到同一起点后 , 向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.例2填空：（1）AB AD-=_____________ ；（2）BC BA-=_____________ ；（3）OD OA-=_____________ .解：根据向量减法的定义，减一个向量等于加上它观察思考主动求解小组讨论交流通过例题领会帮助学生更好理解掌握知识点通过例题进一步领会的相反向量，可知， （1）AB AD -=+AB AD -（）=+AB DA DA AB DB =+=；（2）BC BA -=+BC BA -（）=+BC AB AB BC AC =+=；（3）OD OA -=+OD OA -（）=+OD AO AO OD AD +==.思考：当向量a 与b 不共线时，把和向量a+b 与差向量 a -b 作在一个图上，可以得出什么结论?方法提炼：向量减法作图的两种常用方法： 1. 定义法.向量 a 与 b 的差，即是向量 a 加上向量 b 的相反向量，即 a -b = a +(-b ).此时向量a 与向量-b 依然遵循“首尾相接，由始至终”的向量加法口诀.作法如图4-23所示：2. 几何意义法.如图 4-24，把向量a 与向量b 平移到同一起点后，向量b 的终点指向向量a 的终点的向量就是 a -b .即“同一起点，减指被减”.(减向量指向被减向量)思考 归纳 理解 记忆观察 思考 主动 求解 归纳 领会 掌握观察 学生 是否 理解 知识 点 及时 了解 学生 知识 掌握 的情 况 强化 思想 及时 练习 巩固 所学 知识四、随堂练习 强化运用 1.填空.(1)AB AD -=_____________；(2)BA BC -=_____________； (3)BC BA -=_____________；(4)OA OB -=_____________； (5)OD OA -=_____________.2.已知下列各组向量a ，b ，求作 a +b 和 a -b .3.根据图形填空.(1)OA OB -=_____________； (2)OC OA -=_____________ . 五、 课堂小结 归纳提高1. 向量减法的定义及几何意义.2. 向量减法的运算法则：三角形法则.3. 向量减法作图的两种常用方法. 六、布置作业 拓展延伸1.分层作业：（必做）习题4.2.2水平一；（选做）水平二2.读书部分：教材观察 思考领会 掌握 主动 求解 归纳 总结记录检验 学生 学习 效果 关注 学生 练习 中的 错误 使得 学生 在总 结中 提高 分层次 要求教学反思根据教师上课实际情况，课后填写：学生知识、技能的掌握情况、情感态度、思维情况、学生合作交流的情况，及时总结反思。
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
uuur
uuur
uuur
3.若| AB |＝5，| AC |＝8，则| BC |的取值范围是
( C)
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
4．若 a 与 b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
ABCD
中，设
uuur AB
uuur
＝a，AD
＝b，uBuCur
＝c，则
uuur DC
等于(
A)
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c
2.已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点， OA =a ， OB =b，OC =c，用 a，b，c 表示 OD .
【解析】 = - = - = - + =c-b+a.
B
ab
D
b a
d c
A
d b
cd
C a
c
O
作法：如图，在平面内任取一点O，作OuuAur
r a,
uuur OB
r b,
uuur OC
cr ,则OuuDur
r d,
BA a b,DC c d.
【变式练习】
如图，已知a,b, 求作 a b.
（2）
（1）a
ab
a
b
b
（3）
a
（4）
ab
a
b
r
b r ra
.
7.在平行四边形 ABCD 中，| + |=| - |，则有
()
A. =0 C.ABCD 是矩形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aa a
OA B C
－a
a
uuur
OC = a＋a＋a
－a －a
uuur
P NMO
用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？
（2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
探究： uur uur 给定平面内两个向量 e、1 e2，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？
N
B
uuv
e2
A
uv e1
M
e2
分解
a
平移
共同起点
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
取等号.
思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关 系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
理论迁移
例1 如图，已知向量a，b，c，求作
O L
uuuur 则OM＝
uuur uuur OA OB (线段AB中点的向量表达式）
2
例2.设ueu1r,ueu2r是不共线的非零向量， （ 1） 证 明 ：u且ar,ubuuarr可=以ueu1r作- 2为ueu2r一,ubr组= ue基u1r +底3eu；u2r
向量的减法运算
详细描述
向量的模可以通过勾股定理计算得出，即向量模的平方等于分量的平方和。在二维平面中，向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$；在三维空间中，向量模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有传递性、 三角不等式等基本性质。
反身性
$vec{A} + (-vec{A}) = vec{0}$。
03
向量的减法运算
向量减法的定义
定义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法的规则 进行计算得到的。
数学表示
设$vec{A} = (x_1, y_1)$和$vec{B} = (x_2, y_2)$，则$vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
05
向量减法的注意事项
零向量的特殊性
零向量与任意向量相 减，结果仍为该任意 向量。
零向量无法与非零向 量进行除法运算。
零向量减去零向量结 果仍为零向量。
减法运算与加法运算的关系
01
向量的减法可以看作是加法运算的逆运算。
02
向量A减去向量B等于向量A加上向量B的相反向量。
03
向量减法满足结合律和交换律，即A-B-C=A-(B+C) 且A-B=B-A。
化。
电流与电压的减法运算
总结词
描述电流与电压的减法运算在物理中的具体应用。
详细描述
在电路分析中，电流和电压是描述电路工作状态的重 要物理量。向量的减法运算在电流与电压的计算中具 有实际意义。通过电流的减法运算，可以计算出电路 中的总电流和分支电流；通过电压的减法运算，可以 分析电路中电位的变化和电能的传输情况。通过这些 计算和分析，可以进一步了解电路的工作原理和性能 特点，为电子设备和系统的设计提供理论支持。
平面向量向量减法运算及其几何意义
平面向量向量减法运算及其几何意义
平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量，即将一个向量
从另一个向量的起点处移至终点处的操作。
设有平面上的两个向量u和v，其起点坐标分别为A和B，终点坐标
分别为C和D。
则用向量表示的字母表示如下：
向量u：AB→= vec(AB)
向量v：CD→= vec(CD)
平面向量减法运算定义为：用终点坐标表示的第二个向量反向平移至
起点坐标表示的第一个向量上。
即向量差u-v定义为：AE→= vec(AE), 其中E为D向量反向平移到
B点得到的点。
几何意义上来说，平面向量减法运算的结果是一个新的向量，它表示
了以第一个向量作为起点、第二个向量作为终点的向量。
为了更好地理解平面向量减法运算及其几何意义，可以从以下两个方
面加以说明：
1.矢量相加示意图：
首先，在平面上绘制向量u和v的起点A和C，终点B和D，并连接
AB和CD。
然后，选择一个与向量v等长，且与向量AB平行的向量，将其
起点放在D点，连接BD。
最后，将向量BD平行平移至A点，得到向量AE，即为u-v的结果。
2.减法与加法的关系：
平面向量减法运算可以理解为向量加法的逆运算。
也就是说，若u-v=AB→，则有u=v+AB→。
换句话说，当我们需要求u-v时，可以通过已知向量v和向量AB的终点坐标C，按照向量加法的定义，将向量v平移至C点得到向量CD→，然后连接AC，即可得到u=AC→。
总结起来，平面向量减法运算的几何意义是将第二个向量反向平移至第一个向量的起点处，得到一个新的向量。
在表示和操作上，减法与加法有着密切的关系。
向量减法及其几何意义
2.2.2向量减法运算及其几何意义
教师：唐小娇
复习向量加法的平行四边形法则
a
a b
A
B
a+b
C
b
D
作法： 作 AB= a, AD =b,以AB，AD为邻边 作平行四边形，则 AC = a + b 。
复习向量的加法的三角形法则
B
b
a+ b
C
a
b
a
A.
方法：首尾顺次相连，由首至尾 注意代数表达式
AB+BC=AC
(2) 任一向量与其相反向量 的和是零向量， 即：a (a) (a) a 0
(3) 如果 a, b 是互为相反的向量，则 ： a b , b a, a b 0
新知探究：
向量的减法的概念：
向量 a与向量 b 的差就是向量 a 加上向量的 b 的相反向量 B 即：
1、看图填空：
AB AD AC
BC CD BD
2、思考：
A
D
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
AC AD BD BC
新知探究
我们都知道减法是加法的逆运算，减去一个数等于加上这 个数的相反数 类似地：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
1、相反向量
与 a 长度相等，方向相反的 向量，叫做a 的相反向量 记作 - a (1) - (-a ) a
abcdacbd???????????????????解法一解法二0??????????????bddbbdcdcbbdcdacabbdaccdab??0???????????adadcdacbdabbdaccdab??3???????????cdbdacabdbadbcabdbacab21练一练
向量的减法运算
Ԧ
与中至少有一个为零向量；
Ԧ
|Ԧ − | = |||
Ԧ − |||成立的充要条件是与同向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量.
Ԧ
向量的三角不等式
Ԧ − ≤ Ԧ ± ≤ Ԧ +
Ԧ + ≤ Ԧ + ，当且仅当Ԧ 与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
a
b
B
a-b
几何意义 Ԧ − 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
思考3 向量的三角不等式是什么？
Ԧ − ≤ Ԧ ± ≤ Ԧ +
A
A．[3，8]
B．(3，8)
C．[3，13]
D．(3，13)
经典例题
向量减法的几何意义
Ԧ
Ԧ
例1（教材P12 例3）如图，已知向量,
Ԧ , ,
Ԧ ，求作向量
Ԧ − ，Ԧ − .
a
b
b
d
d
a
c
c
O
练一练 如图，已知向量,
Ԧ , 不共线，求作向量
Ԧ
Ԧ + − .
Ԧ
经典例题
经典例题
用已知向量表示未知向量
例3（教材P12例4）如图，在平行四边形中， = ，
Ԧ
= ，用
,
Ԧ 表示向量, .
注意向量的方向
向量 AC a + b
向量 DB a - b
练一练 如右图, 在四边形中，设 = ，
Ԧ
= ，
Ԧ + Ԧ − .
(2) − − ( − ).
解：(1)原式= − = ;
数学-向量的减法运算
向量的减法运算高中数学1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算．导语 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？一、向量的减法运算问题1 在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？提示 减去一个数等于加上这个数的相反数．知识梳理 1．相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .2．向量的减法：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法．注意点：(1)零向量的相反向量仍是零向量．(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0．(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．例1 (多选)若非零向量m 与n 是相反向量，则下列正确的是( )A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n | D ．m 与n 方向相反答案 BCD解析 相反向量的大小相等、方向相反，故A 错误．跟踪训练1 (多选)下列命题中，正确的是( )A ．相反向量就是方向相反的向量B ．向量与是相反向量AB→ BA → C ．两个向量的差仍是一个向量D ．相反向量是共线向量答案 BCD二、向量减法的几何意义问题2 如何进行向量的减法运算？提示 转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．知识梳理 已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则＝a －b .即a －b 可以表示为OA → OB → BA→ 从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．例2 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .解 方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，再作OA → AB → OB→ ＝c ，则＝a ＋b －c .OC → CB→方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，再作＝c ，连OA → AB → OB → CB→ 接OC ，则＝a ＋b －c .OC→ 反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练2 如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .解 如图，在平面内任取一点O ，作向量＝a ，＝b ，则向量＝a －b ，再作向量OA → OB → BA→ ＝c ，则向量＝a －b －c .BC → CA→三、向量加减的混合运算例3 (1)化简：①＋－－；BA→ OD → OA → BC → ②(＋＋)－(－－)．AC → BO → OA → DC→ DO → OB → 解 ①＋－－＝(－)＋(－)BA → OD → OA → BC → BA → BC → OD→ OA → ＝＋＝.CA→ AD → CD → ②(＋＋)－(－－)AC → BO → OA → DC→ DO → OB → ＝＋－＋AC→ BA → OC → OB → ＝＋＋＋AC→ CO → OB → BA → ＝＋＝0．AB→ BA → (2)如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且＝，则化简＋－－的结果BP → QC → AB→ AC → AP → AQ → 为( )A ．0 B. C. D.BP → PQ → PC→ 答案 A解析 ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0．AB → AC → AP → AQ → AB → AP → AC→ AQ → PB → QC → QC → BP → 反思感悟 (1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和．②起点相同且为差．跟踪训练3 (1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有( )AC→ A.＋ B.－AO→ OC → AO → OC → C.－ D.－OA→ OC → OC → OA →答案 AD (2)化简下列各式：①－＋－；OM→ ON → MP → NA → ②(－)＋(－)．AD → BM → BC→ MC → 解 ①－＋－＝＋－＝－＝.OM→ ON → MP → NA → NM → MP → NA → NP → NA → AP → ②(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.AD → BM → BC → MC → AD → MB → BC → CM → AD → MB → BC → CM → AD → AD → 四、向量加减法的综合应用例4 如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且＝a ，＝b ，＝c ，试用a ，b ，c 表示向量，，，及.AB → AC → AE → BD→ BC → BE → CD → CE →解 ∵四边形ACDE 是平行四边形，∴＝＝c ，CD→ AE → ＝－＝b －a ，BC→ AC → AB → ＝－＝c －a ，BE→ AE → AB → ＝－＝c －b ，CE→ AE → AC → ∴＝＋＝b －a ＋c .BD→ BC → CD → 反思感悟 (1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．跟踪训练4 在四边形ABCD 中，设＝a ，＝b ，＝c ，则等于( )AB → AD → BC → DC→A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c答案 A解析 ＝－＝＋－＝a ＋c －b ＝a －b ＋c .DC→ AC → AD → AB → BC → AD →1．知识清单：(1)向量的减法运算．(2)向量减法的几何意义．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算．1．在△ABC 中，若＝a ，＝b ，则等于( )BA → BC → CA→ A ．a B ．a ＋b C ．b －a D ．a －b答案 D解析 ＝－＝a －b .CA→ BA → BC → 2．化简－＋＋等于( )OP→ QP → PS → SP → A. B. QP → OQ → C. D.SP → SQ → 答案 B解析 原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.OP → PQ → PS → SP → OQ → OQ→ 3．已知在四边形ABCD 中，－＝－，则四边形ABCD 一定是( )DB→ DA → AC → AD → A ．平行四边形 B ．菱形C ．矩形 D ．正方形答案 A解析 由－＝－，可得＝，DB → DA → AC → AD → AB→ DC →所以四边形ABCD 一定是平行四边形．4．若菱形ABCD 的边长为2，则|－＋|的长度为________．AB→ CB → CD → 答案 2解析 |－＋|＝|＋＋|＝||＝2.AB → CB → CD → AB → BC → CD → AD→ 课时对点练1.如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，则用a ，b 表示向量和分别是( )AB → AD → AC→ BD →A ．a ＋b 和a －bB ．a ＋b 和b －aC ．a －b 和b －aD ．b －a 和b ＋a 答案 B解析 由向量的加法、减法法则，得＝＋＝a ＋b ，AC→ AB → AD → ＝－＝b －a .BD→ AD → AB → 2．下列各式中，恒成立的是( )A.＝ B ．a －a ＝0AB→ BA → C.－＝ D.－＋＝0AB→ AC → BC → AB→ CB → CA → 答案 D解析 选项D 中，－＋＝＋＋＝＋＝0．AB→ CB → CA → AB → BC → CA → AC → CA → 3.如图所示，在矩形ABCD 中，O 是两条对角线AC ，BD 的交点，则＋－等于( )AO→ OD → AB →A. B.AB → BD → C. D.AD → AC →答案 B4．在边长为1的正三角形ABC 中，|－|的值为( )AB→ BC → A ．1 B ．2 C. D.323答案 D解析 如图，作菱形ABCD ，则|－|＝|－|＝||＝.AB → BC → AB → AD → DB→ 35．(多选)下列结果恒为零向量的是( )A.－(＋) B.－＋－AB→ BC → CA → AB→ AC → BD → CD → C.－＋ D.＋＋－OA→ OD → AD → NO→ OP → MN → MP →答案 BCD解析 A 项，－(＋)＝－＝＋；B 项，AB→ BC → CA → AB → BA → AB → AB → －＋－＝＋＝0；C 项，－＋＝＋＝0；D 项，＋＋AB → AC → BD → CD → CB → BC → OA → OD → AD → DA → AD → NO→ OP → －＝＋＝0．MN→ MP → NP → PN → 6．点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则－等于( )AF→ DB → A. B. C. D.FD → FC → FE → BE → 答案 D解析 ∵＝，∴－＝－＝.由三角形中位线定理得＝，故选D.DB → AD → AF → DB → AF → AD → DF → DF→ BE → 7．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.答案 0 2解析 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线，所以|a －b |＝2.8．在矩形ABCD 中，||＝2，||＝4，则AB → BC→|＋－|＝________，|＋＋|＝__________.CB → CA → DC → CB→ CA → DC → 答案 4 85解析 在矩形ABCD 中，因为＋－＝＋＋＝＋，所以CB→ CA → DC → CB → CA → CD → CA → CA → |＋－|＝2||＝4.因为＋＋＝＋＋＝＋，所以|＋＋CB → CA → DC → CA → 5CB → CA → DC → CB → CA → AB → CB → CB → CB → CA → |＝2||＝8.DC → CB → 9.如图，O 为△ABC 内一点，＝a ，＝b ，＝c .求作：OA → OB → OC→(1)b ＋c －a ；(2)a －b －c .解 (1)如图所示，以，为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则＝＋＝b ＋c ，OB → OC → OD→ OB → OC → 所以b ＋c －a ＝－＝.OD→ OA → AD → (2)由(1)知，＝b ＋c ，OD→ 则a －b －c ＝－＝.OA→ OD → DA → 10．如图所示，在平行四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，先用a ，b 表示向量和，并AB → AD → AC→ DB → 回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？解 由向量的平行四边形法则，得＝a ＋b ，＝－＝a －b .AC → DB→ AB → AD → 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD 为矩形；当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD 为菱形；当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．11．已知O 是平面上一点，＝a ，＝b ，＝c ，＝d ，且四边形ABCD 为平行四边OA → OB → OC → OD→ 形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b －c ＋d ＝0答案 B解析 易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD 中有＝，所以OB → OA → AB → OC → OD → DC → AB→ DC → －＝－，即b －a ＝c －d ，也即a －b ＋c －d ＝0．故选B.OB→ OA → OC → OD → 12．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且||＝4，|＋|＝|－|，则BC → AB→ AC → AB → AC → ||＝______.AM→ 答案 2解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB (图略)，由向量加减法的几何意义可知，＝＋，＝－，AD→ AB → AC → CB → AB → AC → ∵|＋|＝|－|，AB → AC → AB→ AC → ∴||＝||，AD → CB → 又||＝4，M 是线段BC 的中点，BC→ ∴||＝||＝||＝2.AM → 12AD → 12BC → 13．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，＝a ，＝b ，＝c ，则OA → OB → OC→ ＝________.(用a ，b ，c 表示)OD→答案 a ＋c －b解析 由已知得＝，AD→ BC → 则＝＋＝＋＝＋－＝a ＋c －b .OD→ OA → AD → OA → BC → OA → OC → OB →14．若O 是△ABC 内一点，＋＋＝0，则O 是△ABC 的________心．OA→ OB → OC → 答案 重解析 如图，以，为邻边作▱OBDC ，则＝＋.OB → OC → OD→ OB → OC →又＋＋＝0，OA→ OB → OC → ∴＋＝－，OB → OC → OA → ∴＝－，OD → OA → ∴A ，O ，D 三点共线．设OD 与BC 的交点为E ，则E 是BC 的中点，∴AE 是△ABC 中BC 边的中线．同理可证另两条边的中线也过点O ，故O 是△ABC 的重心．15．有下列不等式或等式①|a |－|b |<|a ＋b |<|a |＋|b |；②|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b |；③|a |－|b |＝|a ＋b |<|a |＋|b |；④|a |－|b |<|a ＋b |＝|a |＋|b |.其中，一定不成立的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①当a 与b 不共线时成立；②当a ＝b ＝0或b ＝0，a ≠0时成立；③当a 与b 共线，方向相反，且|a |≥|b |时成立；④当a 与b 共线，方向相同，且|a |>|b |时成立．16.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，求：AB → BC → AC→(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.解 (1)由已知得a ＋b ＝＋＝，AB → BC → AC →∵＝c ，∴延长AC 到E ，使||＝||，如图所示，AC → CE → AC → 则a ＋b ＋c ＝，AE → 且||＝2.AE → 2∴|a ＋b ＋c |＝2.2(2)作＝，连接CF ，则＋＝，BF → AC → DB → BF → DF → 而＝－＝－＝a －b ，DB → AB → AD → AB → BC → ∴|a －b ＋c |＝|＋|＝||且||＝2.DB → BF → DF → DF → ∴|a －b ＋c |＝2.。
向量的线性运算：减法
向量减法运算中的注意事项
注意向量的方向
在进行向量减法运算时，需要注意被减向量和减向量的方向。如果方向不一致，需要先进 行方向调整再进行减法运算。
注意向量的维度
被减向量和减向量必须具有相同的维度才能进行减法运算。如果维度不同，需要先进行维 度调整再进行减法运算。
注意结果的合理性
在进行向量减法运算后，需要检查得到的结果是否合理。例如，如果得到的结果向量为零 向量或不合理向量（如模长为负数），则需要重新检查计算过程并找出错误原因。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位移的分解
当已知质点的合位移和其中一个分位移时， 可以通过向量的减法运算求出另一个分位移。 同样地，两个分位移的向量差即为质点的位 移变化量。
05
向量减法的计算技巧与注意
事项
向量减法的计算步骤
确定被减向量和减向量
在进行向量减法运算时，首先需要确定被减向量和减向量，即明 确要进行减法运算的两个向量。
向量的线性运算：减 法
• 向量减法的基本概念 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在几何中的应用 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法的计算技巧与注意事项
目录
01
向量减法的基本概念
向量减法的定义
向量减法定义
设有两个向量a与b，它们的差a b是一个向量，其方向与a、b的方 向有关，大小等于a、b的大小之差。
坐标运算性质
坐标运算具有直观性和便捷性，方便进行向量的加减、数乘 等运算。同时，坐标运算也遵循向量加法的交换律和结合律 。
03
向量减法在几何中的应用
求解两点的距离
向量减法与距离公式
在二维或三维空间中，两点间的距离 可以通过对应向量的减法运算和模长 计算得到。
具体应用