分类计数原理
计数原理
计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法.注：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法. 注：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、典型习题导练1.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）种..A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种3.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）.A 300种 .B 240种 .C 144种 .D 96种4.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 （ ）.A 23种 .B 11种 .C 9种 .D 6种5.设集合{}54321，，，，=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）.A 50种 .B 49种 .C 48种 .D 47种6.从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有____个7三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到_______个不同的三位数（6不能作9用）.8集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立______个以A为定义域B为值域的不同函数9. 用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？答案：1 解析每次取一本书分三类：取一本中文书有5种，取一本数学书有4种，取一本英语书有3种，共有5+4+3=12种. 答案B2解析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D．3 解析能去巴黎的有4个人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的有5个、4个、3个，∴不同的选择方案有：4×5×4×3=240种，∴选.B4 解析设4人为甲、乙、丙、丁分步进行，第一步，让甲拿，有三种方法，第二步，没拿到卡片的人去拿，有三种方法，剩余两人只有一种拿法，所以共有3×3=9种方法.答案C5 答案B6解析：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个7解析：解法一第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有32＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.由分步计数原理，共可得到8×6＝48个不同的三位数.解法二：第一步，排百位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.根据分步计数原理，共可得到6×4×2＝48个不同的三位数.注：如果6能当作9用，解法1仍可行.8解析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.B从集合A 到集合B 的映射共有42=16个，只有都与－1，或－2对映的两个映射不符合题意，故以A 为定义域B 为值域的不同函数共有16－2＝14个.9解析：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个.（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个（5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.非常规计数方法 一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?二.分类讨论思想 例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。
分类计数原理
分类计数原理
分类计数原理是一种处理统计数据的方法，用于确定不同类别的个数。
该原理可以应用于各种问题，例如统计某一事件发生的概率、分析产品销售情况以及研究人口特征等。
通过分类计数原理，我们可以更好地理解数据，找出规律，并支持决策制定。
分类计数原理的核心思想是将数据按照不同的特征或属性进行分类，并计算每个类别的个数。
通过对不同类别进行统计，我们可以获取各个类别的数量，并据此进行进一步分析。
具体而言，分类计数原理通常遵循以下步骤：
1. 确定数据的特征或属性：首先，我们需要确定要统计的数据的特征或属性。
这可以是任何可以区分不同类别的特征，例如产品类型、地区、性别等。
2. 创建分类标准：根据确定的特征或属性，我们可以创建相应的分类标准。
例如，如果我们要统计不同产品类型的销售数量，可以创建以产品类型为标准的分类。
3. 进行分类计数：根据分类标准，我们对数据进行分类，并计算每个类别的个数。
这可以通过手工计数或使用计算机软件进行自动计数完成。
4. 分析和应用结果：根据分类计数的结果，我们可以进行进一步的数据分析和应用。
例如，我们可以比较不同类别之间的数
量差异，分析不同类别的趋势，或者根据统计结果做出相关决策。
总的来说，分类计数原理是一种简单有效的统计方法，可以帮助我们更好地理解和处理数据。
通过应用该原理，我们可以获得对数据的清晰概览，并从中找到有价值的信息，支持我们做出准确的分析和决策。
分类计数原理与分步计数原理详细解析
通过分类计数原理，我们可以将一个问题分解成多个子问题，进而进行逐步 解决。而分步计数原理则是通过分阶段的计数方法，得出最终的结果。
分类计数原理的定义
分类计数原理是一种方法，通过将问题划分为若干个互不重复且穷尽的分类，然后对每个分类进行计数， 最后将计数结果相加得到总数。
分类计数原理的应用
分类计数原理常于解决组合问题、概率问题和排列组合问题。它可以帮助 我们快速计算出不同情况下的可能性数量。
分类计数原理的实例
例如，有红、黄、蓝三种颜色的球，每种颜色的球各有两个。我们想要从中 选择两个球，问有多少种可能的组合方式？通过分类计数原理，我们可以将 问题分为三个分类：红球、黄球和蓝球。然后分别计算每个分类的组合数， 并将结果相加，得到总的组合数。
分步计数原理的定义
分步计数原理是一种方法，通过将复杂的问题分解为多个简单的步骤来求解。每个步骤都可以通过简单 的计数方法得出结果，然后将各个步骤的计数结果进行相乘或相加，得到最终的解。
分步计数原理的应用
分步计数原理通常用于解决排列问题、事件序列问题和树状图问题。它可以 帮助我们更好地理解问题的结构，并找出解决问题的有效方法。
分步计数原理的实例
例如，假设一本书包含3个章节，每个章节有4个小节，每个小节有2个练习题。 我们想计算完成整本书需要多少个步骤。通过分步计数原理，我们可以分别 计算每个阶段需要的步骤数，并将结果相乘，得到最终的步骤数。
分类计数原理和分步计数原理的区别
分类计数原理着重于将问题分解为不同的互斥分类，然后计算每个分类的数量，最后将结果相加。而分 步计数原理则是将问题分解为多个不同的步骤，每个步骤通过独立的计数方法得出结果，再将各个步骤 的结果进行相乘或相加。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
分类计数原理
分类计数原理
分类计数原理是一种统计方法，它统计某个事件发生次数，以及每种
分类发生次数并且最终结果以百分比形式显示出来。
通常这种统计方法用
来衡量某一类型事件的特征，以及特征之间的相关性。
例如，一个抽样调
查的结果可以按照受调查者的种族、学历、收入等分类来统计，从而得出
每个分类的比例和比例之间的关系。
分类计数是一种简单的统计方法，它根据每个分类的发生次数来统计，因此需要一个可靠的统计数据库，而这就是要求收集数据的重要性。
此外，分类计数不仅仅要收集事件发生次数，还要收集特定分类每次发生的次数，以便更准确地统计结果。
最后，分类计数统计还可以针对不同的特征进行
多次统计，这样就可以得出不同特征的发生次数，以及比较这些发生次数
之间的关系。
分类计数原理和分步计数原理
分步计数原理的核心思想是“分步”，即根据事件的某些特征将 其分成不同的步骤，然后分别计算每一步中的方法数，最后将这 些方法数相乘得到复杂事件的总方法数。
两者关系与区别
关系
分类计数原理和分步计数原理都是解决复杂事件计数问题的方法，它们的核心思想都是将复杂事件进行分解，然 后分别进行计算。
04 计数原理在算法中的应 用
动态规划算法
最优子结构
动态规划算法通过把原问题分解为若干个子问题，并求解子 问题的最优解，进而得到原问题的最优解。这种通过子问题 的最优解来推导原问题最优解的方法体现了分类计数原理的 思想。
状态转移方程
动态规划算法中，通常定义一个状态转移方程来描述子问题 之间的关系。这个方程可以帮助我们计算出每个子问题的最 优解，并最终得到原问题的最优解。状态转移方程的构建和 求解过程体现了分步计数原理的思想。
路线规划问题
从起点到终点需要经过三个城市，每两个城市之间都有多 条路线可选。根据加法原理和乘法原理，可以计算出从起 点到终点所有可能的路线组合数。
彩票选号问题
一张彩票需要选择7个号码，每个号码可以是1~49中的任 意一个。根据乘法原理，共有 $49 times 48 times 47 times 46 times 45 times 44 times 43 $ 种不同的选号方 式。
组合问题
排列与组合的区别
排列是把元素按顺序排列，而组合是 把元素无顺序地组合起来。
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n）的所有排列的个数，叫做从n 个元素中取出m个元素的组合数。
概率统计问题
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相 等，则事件A发生的概率等于事件 A包含的样本点个数与样本空间包
分类计数原理和分步计数原理
分类计数原理和分步计数原理一、知识梳理1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法，在一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法..........在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m m m N n+⋅⋅⋅++=21种不同的方法 对于分类计数原理，我们应该注意以下几点：(1)分类原理又叫加法原理；(2)在分类时，标准要明确：(3)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法2、分步计数原理完成一件事需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的 方法，做第二步有m 2种不同的方法..........做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m m m N n∙∙∙= 21 种不同的方法对于分步计数原理我们还要注意以下几点：(1)分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成，所以分步计数原理原理又称乘法原理；(2)分步时，应根据问题的特点，确定一个分步的标准；(3)分步时还要注意，满足完成一件事必须并且只有连续完成n 个步骤后这件事才算完成例题1、国庆节期间，某家庭欲从甲地去乙地旅游，一天中从甲地有火车3班，有汽车2班可以到达乙地，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？2:一班有学生56人，其中男生有38人，从中选取1名男生和1名女生作代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？3、在3张卡片的正反两面上，分别写着1和2,4和5,7和8，将它们并排组成三位数，一共能组成多少个不同的三位数？4、二次函数cy+=2，其中{}5,4,3,2,1,0+axbxba，则可以得,∈,c到多少个不同的二次函数？5、用4种不同的颜色给如图所示的图形上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？6、将3种农务全部种植在下图的5块实验田中，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？7、如图，所示的是某城市中M,N两地间整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中矩形的边前进，则某人从M地经过A到N地有多少不同的走法？8、把5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？9、如图所示，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）A.288种B.264种C.240种D.168种10、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A.10种B.20种C.36种D.52种11、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种12、三只口袋内袋有大小不同的小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红色小球，若从三只口袋中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？13、已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一，第二象限内不同点的个数为（）A、18B、16C、14D、1014、4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？15、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？16、由0，1，2，3，4，5，6这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？17 、将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的5个区域，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？18、用0，1，2，3，4这5个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）四位密码？5X4X3X2=120（2）四位数？4X4X3X2=96（3）四位奇数？19、如图所示的5X3个方格中有多少个矩形？20、某单位职工义务献血，在体验合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少不同的选法？21、三人传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A.6种B.8种C.10种D.16种22、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A,B两种作物，每种作物种植1垄，为有利作物生长，要求A,B两种作物的间隔不少于6垄，则不同的选择方法有多少种？23、四张卡片的正反面分别有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？24、书架上原来并排放着5张不同的书，现要再插入3本不同的书，不同的插法的种数有多少种？25、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从0000⨯⨯⨯⨯共10000个号码，⨯⨯⨯⨯⨯到9999⨯⨯⨯⨯⨯规定：凡卡号的后四位带有数字“4”和“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数多少个？。
分类计数原理的实例
分类计数原理的实例
分类计数原理（也称为分步计数原理）是数学中用于计算多个步骤中不同选项的总数的方法。
它表达为：如果一件事情可以分解为若干个相互独立的步骤，而每个步骤都有若干个选项，那么整个事情的总数就是每个步骤选项的乘积。
以下是一些分类计数原理的实例：
例子1：顾客点餐
假设一家餐馆有3种主菜、4种汤和2种甜点，顾客可以选择其中一种主菜、一种汤和一种甜点。
使用分类计数原理，我们可以计算所有不同点餐组合的总数为3 ×4 ×2 = 24。
例子2：密码锁
假设一个密码锁有3个拨盘，每个拨盘上有10个数字（0-9）。
使用分类计数原理，我们可以计算所有不同的密码组合总数为10 ×10 ×10 = 1000。
例子3：组队比赛
假设有8个人参加篮球比赛，其中4个人要组成一个队伍。
使用分类计数原理，我们可以计算不同的队伍组合总数为C(8,4) = 8! / (4! ×(8-4)!) = 70。
例子4：排列组合
假设有5个人参加比赛，奖牌分为金牌、银牌和铜牌。
使用分类计数原理，我们
可以计算不同的奖牌排列组合总数为P(3,3) = 3! = 6。
这些例子展示了在不同情境下如何使用分类计数原理来计算不同选项的总数。
通过将复杂问题分解为简单的步骤，并使用乘法原理将这些步骤组合起来，我们可以更有效地计算结果。
分类计数原理、分步计数原理
分类计数原理、分步计数原理授课难点：1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。
2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。
一、概念与规律1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。
在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。
2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。
3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。
分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。
二、例题讲解例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。
（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取1个4球，有多少种不同的取法。
解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。
（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。
根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。
即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。
分类计数原理
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学 生物学 化学 医学 物理学
B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个 阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号，总 共能编出多少个不同的号码？
分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能 与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且 它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的 号码。
3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不 同的投法？
4、已知 a { 3 ,4 ,6 } ,b { 1 ,2 ,7 ,8 } ,r { 8 ,9 }
则方程 (xa)2பைடு நூலகம்yb)2r2可表示不同的圆的 个数有多少？
课堂练习
5、已知二次函数 yax2 bxc. 若
a ,b ,c { 3 , 2 ,0 ,1 ,2 ,3 } .则可以得到多少个
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理在组合数学中，分类计数原理和分步计数原理是最基本的计数原理，它们可以被广泛用于不同的数学和科学领域。
在下文中，我将对这两种原理作出详细解释和讲解，并展示它们如何应用于实际问题。
一、分类计数原理分类计数原理被用于解决一个问题的情况下，将其分为几个子问题，并计算每个子问题的解的数量，然后相加得到问题的总体解决方案。
注重的是，这些子问题应该互不重叠且要考虑清楚它们之间的关系。
例如，我们考虑有一个小学班级，有20位学生，他们的血型各不相同。
计算共有多少种血型组合。
我们可以将这个问题分为4个子问题，代表着不同的血型类型。
对于每个子问题，我们可以使用排列或者组合的方法来计算该血型的数量，然后将每一个子问题的数量相加。
这样，我们就可以得到总体的解决方案。
二、分步计数原理分步计数原理是一种解决复杂问题的方法，它涉及到一个问题的解决过程中很多步骤。
即将一个复杂问题分解成若干个容易解决的子问题，并计算这些子问题的解后，将这些解组合在一起，得到该问题的总体解决方案。
例如，考虑一个盒子里包含5个白色球和3个黑色球。
现在要从盒子里取出两个球，重复取球，求得到的颜色组合。
第一步，从盒子里选取任意一个球，有8种可能性。
第二步，将该球放回盒子中，再次从盒子中取出一个球。
这个步骤中，所选的球可能是白色或者黑色，因此共有2种可能性。
这样，共有8×2=16种可能性。
其中，白球配对的组合有5×4=20个组合，黑球配对的组合有3×2=6个组合。
所以，总共的组合数为20+6=26种可能性。
三、分类计数原理与分步计数原理的应用分类计数原理和分步计数原理这两种计数原理可用于许多学科领域，如数论，几何学，统计学等。
下面是一些典型的应用示例：1. 在密码学中，分类计数原理和分步计数原理被用来设计可靠的密码系统，防止信息泄露。
2. 在机器学习中，使用分类计数原理和分步计数原理来构建决策树，以区分不同的数据集群。
计数原理和排列组合
计数原理、知识要点1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m!种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= _____________ 种不同的方法。
注意：1 )分类要全、清； 2 )任何一种方法均能完成此事；3)各类方法相互独立。
2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m!种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有的N=________________________________________________________________________________ 种不同的方法。
注意：1 )各步方法数相互独立；2)每步均完成后才能完成这件事。
3、用两个原理解决实际问题时可按下列步骤进行思考：(1)做什么事？定目标；(2 )怎么做？一一定方法(分类、分步、先分类后分步、先分步后分类等) ；(3)确定每类或每步的方法数；(4)利用原理计算出方法总数并作答。
二、例题分析：例1 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2 :如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三、巩固练习：1.某班级有男三好学生5人，女三好学生4人。
(1)从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?2、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码4、如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？甲地地到丙地有2条路可通。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理在概率统计中，分类计数原理和分步计数原理是两种常用的计数方法，它们在解决排列组合和概率计算问题时起着重要的作用。
本文将分别介绍这两种计数原理的概念、应用和区别。
分类计数原理是指将一个复杂的问题分解成若干个简单的子问题，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相加得到最终结果的计数方法。
这种方法在解决排列组合问题时特别有效。
例如，求一个集合中所有满足某种条件的子集个数，就可以通过分类计数原理将问题分解成若干个子问题，然后分别计算每个子问题的解的个数，最后将它们相加得到最终结果。
分步计数原理是指将一个复杂的问题分解成若干个步骤，通过计算每个步骤的解的个数，再将它们相乘得到最终结果的计数方法。
这种方法在解决排列组合问题时同样非常有用。
例如，求一个事件发生的总次数，就可以通过分步计数原理将问题分解成若干个步骤，然后分别计算每个步骤的解的个数，最后将它们相乘得到最终结果。
分类计数原理和分步计数原理在解决问题时各有优势。
分类计数原理适用于将复杂问题分解成简单子问题的情况，而分步计数原理适用于将复杂问题分解成若干步骤的情况。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择使用分类计数原理或分步计数原理，以便更快更准确地解决问题。
需要注意的是，分类计数原理和分步计数原理并不是互斥的，有时候我们也可以将它们结合起来使用。
在解决某些复杂问题时，结合使用这两种计数原理可以更好地拆解问题，从而更高效地求解。
总之，分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合和概率计算问题时常用的计数方法，它们在实际问题中具有重要的应用价值。
通过灵活运用这两种计数原理，我们可以更好地解决各种复杂的计数问题，提高问题求解的效率和准确性。
分类计数原理的实例
分类计数原理的实例分类计数原理是一种用于组织和分析数据的方法，它基于对数据的分类，计算每个类别中的元素数量。
这种原理广泛应用于统计学、数据处理和机器学习等领域。
下面将介绍一些分类计数原理的实例。
1. 民意调查数据分析：假设我们要进行一次关于人们对某个政策的态度的民意调查。
我们将收集到的调查结果进行分类计数，得到不同态度的人数。
例如，我们可能将态度分为支持、反对和中立三类，然后统计每个类别中的人数。
这样我们就可以了解不同群体对政策的态度。
2. 商品销售统计：假设我们经营一家零售店，我们想要了解每个商品的销售情况。
我们可以对每个商品进行分类计数，了解每个商品的销售数量。
通过这种分类计数，我们可以找出最畅销的商品，从而调整我们的进货策略。
3. 学生成绩分析：在学校里，我们可以使用分类计数原理来分析学生的成绩分布。
我们可以将成绩分为优秀、良好、及格和不及格等不同类别，并统计每个类别中的学生人数。
通过这种方式，我们可以了解到学生的整体学业水平，并对教学进行相应的调整。
4. 垃圾邮件过滤：在电子邮件系统中，垃圾邮件过滤是一个重要的问题。
分类计数原理可以用于分析和识别垃圾邮件。
我们可以将电子邮件分为垃圾邮件和正常邮件，然后统计每类邮件的数量。
通过分析和比较垃圾邮件的特征，我们可以构建有效的垃圾邮件过滤算法。
5. 社交媒体分析：社交媒体平台上的用户生成了大量的数据。
分类计数原理可以帮助我们对这些数据进行分析。
例如，在微博平台上，我们可以将用户的发布内容分类为不同的主题，比如体育、娱乐和科技等，然后统计每个主题下的发布数量。
这样我们可以了解用户在不同主题下的关注点和兴趣。
6. 电影评分分析：电影评分是用户对电影的反馈，也是电影制作和推广的重要参考。
我们可以使用分类计数原理来分析用户对电影的评分分布。
比如将评分分为一星、二星、三星、四星和五星五个类别，然后统计每个类别下评分的数量。
通过这种方式，我们可以了解到用户对电影的整体评价，从而对电影进行改进。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类计数原理1.定义与基本概念2.描述设A和B为两个集合，其中，A，表示集合A的元素个数，则分类计数原理可以表示为：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B3.应用举例例如，假设班有30个学生，其中20个学生喜欢音乐，25个学生喜欢摄影，而有10个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。
那么根据分类计数原理，班上至少有多少学生既喜欢音乐又喜欢摄影呢？根据分类计数原理的公式，我们可以得到：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B其中，A表示喜欢音乐的学生集合，B表示喜欢摄影的学生集合，A，表示喜欢音乐的学生人数，B，表示喜欢摄影的学生人数，A∩B，表示既喜欢音乐又喜欢摄影的学生人数。
带入已知条件，可以得到：A∪B，=20+25-10=35所以，至少有35个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。
1.定义与基本概念分步计数原理（Principle of Multiplication）是指当一个任务可以分解为若干个相互独立的步骤进行时，事件的总数等于各步骤个数的乘积。
2.描述分步计数原理是一种基于排列和组合的计数方法，用于计算在一个事件中各步骤个数的乘积。
具体的描述如下：设任务可分解为若干个步骤进行，其中第i个步骤有n(i)种可能的选择，且各个步骤之间的选择是相互独立的。
此时，该任务的总数为：N=n(1)*n(2)*...*n(k)其中，N表示任务的总数，n(i)表示第i个步骤的选择个数，k表示步骤的总数。
3.应用举例例如，班有30个学生，其中有10个男生和20个女生，另外还有3个学科竞赛：数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛。
如果每个竞赛只允许一位学生参加，并且每个学生只能参加一个竞赛，那么参加这三个竞赛的可能性有多少种呢？根据分步计数原理的公式，我们可以得到：N=n(1)*n(2)*n(3)其中，n(1)表示数学竞赛的参赛人数，n(2)表示物理竞赛的参赛人数，n(3)表示化学竞赛的参赛人数。
根据已知条件，数学竞赛只能有10个人参加，物理竞赛有30-10=20个人参加，化学竞赛有30-10-20=0个人参加（没有学生参加化学竞赛）。
分类计数与分步计数原理
数据分析与决策
在数据分析中，分类计数原理可以帮助我们将数据按照不 同的特征进行分类，例如按照销售渠道、客户类型、产品 类别等进行分类，然后对每个类别的数据进行统计和分析 ，以了解不同类别的特点和差异。
分步计数原理则可以帮助我们将整个数据分析过程分解为 若干个步骤，例如数据收集、清洗、整理、分析和可视化 等，然后对每个步骤进行详细规划，确保每个步骤都能按 时完成，最终为决策提供准确的数据用
生产计划制定
生产计划制定过程中，企业可以根据分类计数原理，将生产 任务按照产品类型、生产流程、生产阶段等进行分类，然后 分别计算每个类别所需的时间、资源和成本，从而制定出合 理的生产计划。
在实际执行过程中，企业可以根据分步计数原理，将整个生 产过程分解为若干个步骤，然后对每个步骤进行详细规划， 确保每个步骤都能按时完成，最终实现整个生产计划的顺利 完成。
解
根据分类计数原理，我们可以将 问题分解为三个步骤：先选择3 名学生组成一个小组，再从剩下 的7名学生中选择3名学生组成另 一个小组，最后从剩下的4名学 生中选择2名学生组成第三个小 组。第一个步骤有C(10,3)种方法 ，第二个步骤有C(7,3)种方法， 第三个步骤有C(4,2)种方法。因
02 分步计数原理
03 分类计数与分步计数原理 的比较
差异点分析
基本概念
适用场景
实例对比分析
分类计数原理（加法原理）强调将问 题分成不重叠、互斥的n类，然后分 别对每类进行计数，最后累加得到总 数。而分步计数原理（乘法原理）则 是将问题分成连续的步骤，每一步都 有若干种选择，然后根据步骤顺序， 将每一步的选择数相乘得到总数。
01
02
03
组合数学问题
分步计数原理在组合数学 中有着广泛的应用，例如 排列组合、二项式定理等。
分类法计数原理
分类法计数原理
分类法计数是从抽样过程中产生的数据进行分析和统计的一种
方法。
它是建立在抽样数据上的一种重要统计方法，它可以使用有限的数据来推断一个有限的集合的大致性质，以此分析抽样数据。
分类计数是一种依据类别特征对被调查对象进行计数的方法。
它被广泛应用在不同学科领域，如农业、流行病学、社会统计、经济等领域，可以用来收集数据并进行分析。
分类法计数的主要原理是：通过将总体中的每一个个体按其属性进行分类，根据其中各类别中的个体数，就可以求出每类的各类特征的个体数，以及总体中特定特征的比例。
从而获得总体的统计特征，反映总体的一般规律和特征。
分类法计数的基本步骤是：首先，在计数前，要明确被调查对象的基本属性，并给出计数要求；其次，要确定分类标准，把总体中的每一个个体按照分类标准分为若干类；第三，对各类进行计数，记录其统计量；最后，进行统计计算和分析处理，得到总体特征。
分类法计数的优势在于它能够收集和分析更多的信息，同时又能提高整体的可理解性和可比性。
它也有一定的缺点，包括误差的放大、统计量计算上的问题和数据一致性的缺失等。
总而言之，分类法计数是一种有效的统计技术，它可以从有限数据中推断出整体性质，有助于我们更好地掌握数据的状况，从而有效地指导决策。
因而，分类计数方法受到了广泛的应用，成为统计学的重要工具。
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北京四中
撰稿：万元春编审：赵菁责编：辛文升
分类计数原理、分步计数原理
授课重点：分类计数原理，分步计数原理的不同以及它们的应用。
授课难点：
1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。
2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。
一、概念与规律
1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。
在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。
2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。
3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。
分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。
二、例题讲解
例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。
（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法。
解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。
（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。
根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。
即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。
点评：在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有n类办法还是需分成n个步骤。
应用分类计数原理必须要求各类的每一种方法都保证了完成这件事；应用分步计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤。
解题时分清用分类计数原理还是分步计数原理的关键在于“分类完成”还是“分步完成”。
例2．用0，1，2，3，4这五个数字。
（1）组成比1000小的正整数有多少种不同的方法？
（2）组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法。
解：（1）解法一（直接法）：
据题意，比1000小的正整数可以是一位数，两位或三位数三类。
一位数的取法，从1，2，3，4中任取一个，即有4种。
两位数：十位从1，2，3，4中任取一个，有4种取法，接着取个位从0，1，2，3，4中任取一个有5种取法，即4×5=20种。
三位数：百位从1，2，3，4中取，有4种取法，个位，十位都可以从0，1，2，3，4中任取一个，各有5种取法，即三位数有4×5×5=100（种）。
∴共有4+20+100=124（种）不同的方法。
解法二（间接法）：
首先从0，1，2，3，4中任取一个数字分别作为百位，十位，个位，则有5×5×5=125（种）取法。
又∵百，十，个位都取0时，得到的不是正整数，则应有125-1=124（种）不同取法。
（2）解法一：
要组成无重复数字的三位偶数，个位只能取0，2，4，百位不能取0，所以我们可以先从个数看起。
个百十
个位取0时1×4×3=12（种）
个位取2或4时2×3×3=18（种）
∴共有12+18=30（种）。
解法二：
从百位看起：
百个十
百位取1或3时2×3×3=18（种）
百位取2或4时2×2×3=12（种）
∴共有18+12=30（种）。
解法三：
先不考虑偶数的要求，则可组成无重复数字的三位数有：百十个
4×4×3=48（种）。
减去三位奇数：个百十
个位从1或3中取2×3×3=18（种）
∴共有48-18=30（种）。
解法四：
由题意：百位不可以取0，则可以从0这个特殊元素入手，分为三类：个位取0，十位取0或三个数字都不取0。
个百十
则个位取01×4×3=12
十个百
十位取01×2×3=6
个百十
不选0，个位选2或42×3×2=12
∴共有12+6+12=30（种）。
点评：在具体分类或分步时，要分析题目的要求，对元素（本题中0，1，2，3，4这些数字）和位置（百、十、个位）的特殊性进行识别，得到0，2，4为特殊元素（以下简称特元），百，个位为特位。
在逐步分类，分步时，优先考虑特元，特位，如（2）中解法1，2，3先考虑百，个的特殊要求，即从特位入手；解法四从0出发，即特元出发进行分类。
三、课外练习：
1．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解法一：按个数数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1+2+3+……+8=36个。
解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8，分成8 类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8+7+6……+1=36（个）。
答：（略）。
2．五封不同的信投入四个邮筒
（1）随便投完五封信，有多少种不同投法？
（2）每个邮筒中至少要有一封信，有多少种不同投法？
解：（1）对每封信来说，有4种投法，分五步把这些信都投完，则共有4×4×4×4×4=45（种）投法。
（2）先选出一封信不投，另外4封往四个筒里各投一封，再把剩下的信投入任意一个筒内，这样会使每种投法重复了一次。
而5封中选一封，有5种选法。
剩下四封往四个筒里各投一封，有4×3×2×1种投法。
再把剩下一封信投完，有4种投法。
都重复了一次，以上数相乘再除以2。
即：=240（种）。