分类计数原理

北京四中

撰稿：万元春编审：赵菁责编：辛文升

分类计数原理、分步计数原理

授课重点：分类计数原理，分步计数原理的不同以及它们的应用。

授课难点：

1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。

2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。

一、概念与规律

1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。

2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。

3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。

二、例题讲解

例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？

（2）从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法。

解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。

点评：在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有n类办法还是需分成n个步骤。应用分类计数原理必须要求各类的每一种方法都保证了完成这件事；应用分步计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤。解题时分清用分类计数原理还是分步计数原理的关键在于“分类完成”还是“分步完成”。

例2．用0，1，2，3，4这五个数字。（1）组成比1000小的正整数有多少种不同的方法？

（2）组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法。

解：（1）解法一（直接法）：

据题意，比1000小的正整数可以是一位数，两位或三位数三类。

一位数的取法，从1，2，3，4中任取一个，即有4种。

两位数：十位从1，2，3，4中任取一个，有4种取法，接着取个位从0，1，2，3，4中任取一个有5种取法，即4×5=20种。三位数：百位从1，2，3，4中取，有4种取法，个位，十位都可以从0，1，2，3，4中任取一个，各有5种取法，即三位数有4×5×5=100（种）。

∴共有4+20+100=124（种）不同的方法。

解法二（间接法）：

首先从0，1，2，3，4中任取一个数字分别作为百位，十位，个位，则有5×5×5=125（种）取法。

又∵百，十，个位都取0时，得到的不是正整数，则应有125-1=124（种）不同取法。

（2）解法一：

要组成无重复数字的三位偶数，个位只能取0，2，4，百位不能取0，所以我们可以先从个数看起。

个百十

个位取0时1×4×3=12（种）

个位取2或4时2×3×3=18（种）

∴共有12+18=30（种）。

解法二：

从百位看起：

百个十

百位取1或3时2×3×3=18（种）

百位取2或4时2×2×3=12（种）

∴共有18+12=30（种）。

解法三：

先不考虑偶数的要求，则可组成无重复数字的三位数有：百十个

4×4×3=48（种）。

减去三位奇数：个百十

个位从1或3中取2×3×3=18（种）

∴共有48-18=30（种）。

解法四：

由题意：百位不可以取0，则可以从0这个特殊元素入手，分为三类：个位取0，十位取0或三个数字都不取0。

个百十

则个位取01×4×3=12

十个百

十位取01×2×3=6

个百十

不选0，个位选2或42×3×2=12

∴共有12+6+12=30（种）。

点评：在具体分类或分步时，要分析题目的要求，对元素（本题中0，1，2，3，4这些数字）和位置（百、十、个位）的特殊性进行识别，得到0，2，4为特殊元素（以下简称特元），百，个位为特位。在逐步分类，分步时，优先考虑特元，特位，如（2）中解法1，2，3先考虑百，个的特殊要求，即从特位入手；解法四从0出发，即特元出发进行分类。

三、课外练习：

1．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

解法一：按个数数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1+2+3+……+8=36个。

解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8，分成8 类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8+7+6……+1=36（个）。

答：（略）。

2．五封不同的信投入四个邮筒

（1）随便投完五封信，有多少种不同投法？

（2）每个邮筒中至少要有一封信，有多少种不同投法？