(整理)例谈积分计算中对称性的应用开题报告.
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
积分计算中的对称性研究
积分计算中的对称性研究从古至今，人们对对称性的研究一直受到很大的关注。
在数学和自然科学中，对称性的研究是非常重要的。
在积分计算中，研究对称性也是十分重要的。
本文将从概念、应用和未来研究的这三个方面，对积分计算中的对称性进行综述。
首先，是对对称性的概念进行介绍。
对称性是指一种对像内部进行操作后，保持不变的性质。
常见的有形状对称性和行为对称性。
在积分计算中，对称性是指变量依赖函数的仿射变换不改变积分结果。
积分计算中的对称性可以应用于多个领域，其中最重要的一个应用是统计物理学。
在统计物理学中，统计分布函数体现了对称性，统计规律可以通过积分计算中的对称性来分析和理解。
此外，积分计算中的对称性还可以应用于量子力学、气象、机器学习和多项式优化等领域。
此外，积分计算中的对称性也可以用于一些新兴领域，如深度学习、量子计算和无线电子学。
深度学习是一种新兴的机器学习，可以通过积分计算中的对称性来处理复杂的机器学习任务。
量子计算是一种基于量子力学的新兴计算机技术，通过积分计算中的对称性，可以更有效地计算复杂的量子力学系统。
而在无线电子学中，积分计算中的对称性可以用来计算复杂的无线电参数，比如天线参数。
随着计算机技术的发展，积分计算中的对称性研究也会有新的进展。
未来，研究者将继续探索积分计算中的对称性，以建立新的理论，并应用到实际问题中去。
此外，将会出现一些新的研究方法，包括利用大数据和人工智能来研究积分计算中的对称性，以解决复杂的实际问题。
本文介绍了积分计算中的对称性，具体内容包括：对称性的概念、应用和未来研究。
研究者可以运用大数据和人工智能来深入研究积分计算中的对称性，以进一步提高计算效率和解决复杂的实际问题。
浅析对称性在积分中的应用
浅析对称性在积分中的应用摘要对称性是一种几何特征，它的的应用很广泛，其在数学，物理学，化学等方面.积分是高等数学的重要组成部分，其计算是一种基本运算，方法多种多样.在进行积分运算时，适当利用积分区域具有对称性和被积函数具有奇偶性的特征.由积分的几何意义，可以简化积分的计算过程.本文主要探讨了对称性在积分中的应用.首先从积分定积分、曲线积分、重以及曲面积分四个角度入手，讨论对称性在其积分计算中的应用，深入分析如何利用对称性解决积分问题，接着通过搜集近年来的考研数学试卷，最后分析得出利用对称性处理积分问题的方法以及注意事项，加深对利用对称性计算积分的理解，也为教学提供一定的参考.关键词对称性定积分重积分曲线积分曲面积分Analysis on the Application of Symmetry in integralAbstract Symmetry is widely used, and it is reflected in mathematics, physics, chemistry and so on.This paper mainly discusses the application of symmetry in integral operation.In college mathematics, the operation of integral is both the key point and the difficulty.In the integral operation, it is found that the integral region of most problems is symmetrical or the integrand function also has some kind of parity.If the symmetry is cleverly applied to solve such problems, it not only simplifies the calculation process but also saves the calculation time.This paper will start from four angles of definite integral, heavy integral, curve integral and curvature area, combined with the application of symmetry in the examination and study, how to solve the integral problem by using symmetry, and finally analyze the conditions, benefits and some aspects that need to be paid attention to in particular attention.Key words symmetry definite integral double integral Curve integral Surface integral目录引言 (1)1 对称性在定积分计算中的应用 (1)1.1 积分区间具有对称性 (1)1.1.1被积函数具有奇偶性 (2)1.1.2被积函数不具奇偶性 (2)1.2 积分区间不具对称性 (3)2 对称性在曲线积分计算中的应用 (4)2.1 第一型曲线积分中对称性的应用 (4)2.1.1 平面曲线关于坐标轴对称 (4)2.1.2平面曲线关于直线对称 (5)2.1.3 空间曲线关于坐标面对称 (6)2.1.4 空间曲线关于原点对称 (6)2.2 第二型曲线积分中对称性的应用 (7)2.2.1平面曲线关于坐标轴对称 (7)2.2.2平面曲线关于直线对称 (7)3 重积分中对称性的应用 (8)3.1 二重积分中对称性的应用 (8)3.1.1 积分区域关于坐标对称 (8)3.1.2 积分区域关于原点对称 (8)3.2 在三重积分中的应用 (9)3.2.1 积分区域关于坐标对称 (9)3.2.3 积分区域关于原点对称 (9)4 对称性在曲面积分中的应用 (10)4.1 在第一型曲面积分中的应用 (10)4.1.1 曲面关于坐标面对称 (10)4.2 对称性在第二型曲面积分上的应用 (12)4.2.1 曲面关于坐标面对称 (12)5 对称性在数学考研积分题中的应用 (13)结论 (14)参考文献 (15)致谢 (17)引言1 研究意义众所周知，对称性能给人以美的享受，客观世界中的许多事物都具有对称性.自然界的对称性为数学研究提供了一种独特的方法即对称方法.所谓对称性,意味着在某种变换下的不变性或组元的构形在其自同构变换群下所具有的不变性.数学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称.一方面，对称性在数学上的表现是普遍的，如中心对称几何图形中的轴对称、、正弦曲线等无不呈现出对称性；另一方面，数学思想与方法是解决问题的灵魂，在众多的解题方法论中，对称性思想与运用是解题方法中非常重要的解题思想与常见的解题策略，灵活运用对称性解题也是大学生应该具备的数学素养，尤其在利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算是积分运算中最常用的一种方法.积分在大学数学的学习中占有极为重要的地位, 只掌握常见的积分方法如换元积分法和分部积分法是远远不够的, 在某些复杂的积分计算中，用常规的方法解决十分困难.若能注意并利用题目中积函数的奇偶性积分区域的对称性和被，以及对一些原本并不具有对称性的问题，根据问题的特点构造对称性，便能够达到简化问题计算过程，提高解题效率的目的.2 实际应用在考研数学一中，一份试卷满分为150分，其中涉及高等数学占56%，分数值为82分，而在高等数学中所考察的关于积分积分计算的重点题型是不定积分、定积分、曲线积分、重积分和曲线、曲面积的计算.在计算过程中我重积分以及曲面积分的，其难点在于对分们能够利用的方法多种多样，常见的例如换元法和分部积分法，但大多数的题型还是利用积分的对称性来解题.我们研究近十年的考研数学一的真题中与积分相关的部分，然后进行整理归纳得出了如图 1 的数据：图 1 近十年考研数学一积分统计经过对考研数一的题目的分析研究，我们变会发现在计算解决积分问题时，主要涉及以下几个方法：（1）将曲线积分转化为定积分后，运用对称性简化计算;（2）在曲线积分中直接运用格林公式将其化为二重积分后，运用对称性性质简化计算;（3）在曲线积分中运用高斯公式将其化为三重积分后，运用对称性性质进行计算;（4）直接运用积分、曲面积分定积分、曲线积分、重四类积分的对称性性质进行计算.我们经历了对数据的统计与处理，便会发现对称性在大学数学解题中的重要性.同时，如果在数学教学过程中渗透对称性，对学生学好高等数学，特别是对参加考研的学生具有一定的指导意义.在下文中，我将会例举几个例子以便实证.3 内容结构的安排本文将首先阐述对称性在积分计算的重要地位，以及在考研数学中的地位与指导意义；其次利用对称性相关结论从定积分、重积分、曲线积分和曲面积分四个方面进行总结，并结合实例或考研数学中的真题加以验证；最后，论述利用对称性解题的条件与优势，总结出应用积分的相关对称性进行解题时要特别注意的方面有哪些.本文一共七章，其结构安排如下:第一部分是引言，主要论述对称性的作用与积分计算中的地位和指导意义.第二、三、四、五部分，总结在不同积分中其对称性的相关性质，并给予实例验证.第六部分是文章的结论，主要是分析对称性在解决积分计算问题上的优势，同时总结并再次强调应用对称性解题时要注意哪些方面.1 对称性在定积分计算中的应用1.1 积分区间具有对称性1命题 ()()[()]，则若dx x f x f dx x f aa a-+=⎰⎰-0（1）()()时，当x f x f -=()()dx x f dx x f aa a⎰⎰=-02有； （2）()()时，当x f x f --=()0=⎰-dx x f aa有.1.1.1被积函数具有奇偶性是使用时最需要注意的就()()x f x f -=或()()是否成立x f x f --=.例1⎰-+-212111ln dx xx. 分析 积分区域具有对称性，被积函数是奇函数 解 ()xxx f +-=11ln因为被积函数，且 ()()x f xxx x x f -=+--=-+=-11ln 11ln，即 ()是奇函数x f .011ln2121=+-⎰-dx xx因此，. 1.1.2被积函数不具奇偶性若被积函数是非奇非偶的，种方法进行总结可以采用以下2： ①改造被积函数，通过如拆项或加项，使函数出现奇数项或者偶数项； ②利用命题中的式子，将被积函数转化为便于计算的形式． 例2 计算dx xx x x ⎰--++112211cos 2.分析 奇函数和偶函数之和被积函数可以拆项分为. 解 dx xx x dx xx ⎰⎰--++-+=11211-2211cos 112原式 =0114122+-+⎰dx xx=()dx xx x ⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛--1022211114=dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--102114 =dx x ⎰--12144 =π-4例3 ()d xe x x ⎰+22-1ln 计算分析 ()()x e x x x f +=1ln 题目中的被积函数是非奇非偶函数，故不能直接利用对称性进行运算．因此我们可以考虑改造被积函数，由于一个函数可以改造成奇函数与偶函数之和，我们就可以从两个方面出发对被积函数进行变式运算.解 1方法 （考察()x f -是否为奇函数，或者与其他奇函数有什么差别） ()()()()，221ln 1ln 1ln x x f x e x ee x e x xf x x xx+-=++-=+-=+-=-即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---222121x x f x x f .可见()221x x f -是奇函数， 故，可设()()222121x x x f x f +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=.原式=()⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+22-22221ln dx x x e x x=()dx x dx x e x x⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+22222-2221ln =dx x ⎰-+22220 =⎰22dx x =38方法2 （本题还可以直接使用等式()()()[]⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0进行求解）原式=()()[]⎰-+-+21ln 1ln dx ex e x xx=()()[]⎰-+-+21ln 1ln dx e e x xx=()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+201ln 1ln dx e e e x x x x=()()[]⎰++-+201ln 1ln dx x e e x x x=dx x ⎰22 =38.1.2 积分区间不具对称性可以通过运算，将定积分从普通区间转化为对称区间，从而简化计算.方法1（区间拆分法） 利用定积分的区间可加性，将整体或者部分具有奇偶性的被积函数的积分区间转化对称的区间.例4 计算⎰41-dx x x分析 被积函数是奇函数，而积分区间中包含对称区间[]1,1-，且区间[]4,1可去掉绝对值.解 原式=dx x x dx x x ⎰⎰+4111-=dx x x ⎰41=dxx ⎰4123=562 方法2（变量替换法） 通过变量替换将积分区间转变为对称区间，但变量替换后的被积函数必须具有奇偶性.例5 计算().11dx x x x⎰-分析 ()x x -1二次函数 为对称轴，21=x ，而21=x 是[]1,0的中点，故可将纵轴平移至对称轴，化为偶函数．令21-=x t 或21+=x t ．发现变换后的函数可分为奇偶函数之和． 解 原式21-==x t dt t t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2121212121-=dt t t dt t ⎰⎰--+212122121-241-4121 =dt t ⎰2102-41=4141⋅⋅π=16π 方法3（利用周期性） 利用积分的周期性可以将被积函数是周期函数的积分区间转化为对称区间．周期函数()x f 以0>T 为周期，有()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT dt t f dt t f dt t f t22.故，()()()()()()⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-+====22110.T T T nk kT Tk nTa anTdt t f n dt t f ndt t f dt t f dt t f6例 .sin 1cos 202dx xx ⎰+π计算解 周期是被积函数是周期函数，π，且为偶函数，dt tt ⎰+=π2sin 1cos 2因此，原式dt tt⎰+=22-2sin1cos 2ππdt tt⎰+=202sin 1cos 4π⎰+=22sin 1sin 4πttd =arctan 4()20sin πt =π.2 对称性在曲线积分计算中的应用2.1 第一型曲线积分中对称性的应用2.1.1 平面曲线关于坐标轴对称 1 轴对称关于x命题 2 曲线，轴对称的一条光滑弧度平面上关于是在设x xoy L 其方程是一双值函数:()x y y +=，b x a ≤≤，L 轴的上半部分在x ()0>y 记为1L ，下半部分()0<y 记为2L ，()上连续在函数L y x p ,，则① ()()()⎰=-=-Lds y x P y x P y x P 0,,,,时当；② ()()()()⎰⎰==-LL ds y x P ds y x P y x P y x P 1,2,,,,时当.当关于y 轴对称时，结论类似.例7 ()d s y x y x yx I L⎰+++=223223计算.解 L 积分曲线轴和原点都是对称的轴、关于y x ，且3223y x y x 和分别关于y 轴和x 轴都是奇函数.故，02323==⎰⎰ds y x ds y x L L.因此，()d s y x y x y x I L⎰+++=223223()π16422==+=⎰⎰LLds ds y x.2 关于原点对称命题3 ()光滑曲线弧分段条面上关于原点对称的一是在设xoy L ，L 关于原点对称的部分记为1L ，()y x p ,函数在L 上连续，则① ()()()⎰=-=Lds y x P y x P y x P 0,,,-,-时当；② ()()()()⎰⎰==LL ds y x P ds y x P y x P y x P 1,2,,,-,-时当.2.1.2平面曲线关于直线对称 1 关于直线a x =对称命题4 滑曲线弧对称的一条（分段）光平面上关于直线是在设a x xoy L =，L 关于直线a x =对称的半部分为1L ，函数()y x P ,在L 连续，则① ()()()⎰=--=Lds y x P y x a P y x P 0,,,2,时当；② ()()()()⎰⎰=-=LL ds y x P ds y x P y x a P y x P 1,2,,,2,时当.2 关于直线b y =对称命题5 滑曲线弧对称的一条（分段）光平面上关于直线是在设b y xoy L =，1L 为L 关于直线b y =对称的一半部分，函数()y x P ,在L 连续，则① ()()()⎰=--=Lds y x P y b x P y x P 0,,2,,时当；② ()()()()⎰⎰=-=LL ds y x P ds y x P y b x P y x P 1.,2,,2,,时当例8 求⎰=Lyds I ，其中L 为平面区域(){}222,20,y y x y y x D --≤≤-≤≤=的整个边界.分析 L 分段光滑，且关于对称直线1=y ，这时就要求被积函数关于1-y 具有奇偶性. 解 易见L 关于对称直线1=y ，被积函数()()11,+-==y y y x P ，记()1,,-==y t t t x f ，则()t t x f =,满足对称性要求.因此，()[]().6111π+=+-=+-=⎰⎰⎰LLLds ds y ds y I2.1.3 空间曲线关于坐标面对称命题6 设Γ为关于yOz 坐标面对称的一光滑空间曲线，记Γ在yOz 坐标面的前半部分()0>x 为1Γ，后半部分()0<x 为2Γ，()z y x P ,,在Γ上连续，则① ()()()⎰Γ=-=-0,,,,,,,ds z y x P z y x P z y x P 时当；② ()()()()ds z y x P ds z y x P z y x P z y x P ⎰⎰ΓΓ==-1,,2,,,,,,,时当.当Γ关于其他坐标面对称时，同样具有类似的结论.例9 设：l 13422=+y x ，周长为a ，计算()⎰++lds y x xy 22432.解 由于曲线关于x ，y 轴对称，所以02=⎰lxyds ，又在124322=+y x 上，故，()()a ds ds y xds y xxy lll1212434322222==+=++⎰⎰⎰2.1.4 空间曲线关于原点对称命题7 设线弧度分段）的光滑的空间曲是关于原点对称的一（Γ是，1Γ为Γ关于原点对称的部分，()z y x P ,,连续，则① ()()()⎰Γ=-=-0,,,,,-,-,ds z y x P z y x P z y x P 时当；② ()()()()ds z y x P ds z y x P z y x P z y x P ⎰⎰ΓΓ==-1,,2,,,,,-,-,时当.例10 求()d s y x I ⎰Γ-=32，其中Γ为球面2222a z y x=++与平面0=++z y x 的交线.解 Γ关于原点对称，函数()x z y x P =,,满足()()z y x P z y x P ,,,-=---， 故，可得⎰Γ=0xds ，同理可得03=⎰Γds y ，因此().023=-=⎰Γds y x I2.2 第二型曲线积分中对称性的应用2.2.1平面曲线关于坐标轴对称 1 轴对称关于x L8命题 轴对称关于设分段光滑平面曲线x L ，上半平面部分且在L 1L 与在下半平面部分2L 的方向相反，则① ()的偶函数，则是关于变量若x y x P ,()0,=⎰dx y x P L；② ()的奇函数，则是关于变量若x y x P ,()()dx y x P dx y x P L L⎰⎰=2,2,.当轴对称关于y 时，结论类似. 例11 ()dx xy x yI L⎰+=cos 2,其中L 为122=+y x 圆周,逆时针方向.解：()()xy x y y x f cos ,2+=令，()L y x ∈,,分为将L 1L ：0,122≥=+y y x 与2L ：两部分0,122≤=+y y x .对于对称点()()，有L y x y x ∈-,,,()()y x f y x f -=,,,而1L ,2L 关于轴对称y ，且方向相同，所以 ()0cos 2=+=⎰dx xy x yI L.2.2.2平面曲线关于直线对称 1 L 关于直线a x =对称命题9 对称的一条光滑曲线弧平面上关于直线是在设a x xoy L =，21L L L +=，任意()L y x ∈,，有()L y x a ∈-,2,且21,L L 在y 轴投影方向相反，则① ()()y x a P y x P ,2,-=若()0,=⎰dx y x P L ，则；② ()()y x a P y x P ,2,--=若()()dx y x P dx y x P L L ⎰⎰=1,2,，则.2 L 关于直线b y =对称命题10 对称的一条光滑曲线弧平面上关于直线是在设b y xoy L =，21L L L +=，任意()L y x ∈,，有()L y a x ∈-2,,且21,L L 在y 轴投影方向相反，则① ()()y a x P y x P -=2,,若()0,=⎰dx y x P L，则；② ()()y a x P y x P --=2,,若()()dx y x P dx y x P L L⎰⎰=1,2,，则.3 重积分中对称性的应用3.1 二重积分中对称性的应用3.1.1 积分区域关于坐标对称 1、轴对称关于x D11命题 ()上可积在积分区域设D y x f ,，轴对称关于x D ，()y x f ,的为y ()函数或偶奇，中为D D 1的部分，则0≥y① ()()()0,,,,=-=-⎰⎰σd y x f y x f y x f D则若；② ()()()()⎰⎰⎰⎰==-1,2,,,,D Dy x f d y x f y x f y x f σ则若.轴对称时关于当积分区域y D ，结论类似.3.1.2 积分区域关于原点对称命题12 设()y x f ,在积分区域D 上可积,D 关于原点对称，()y x f ,同为 x ，y 的奇（或偶）函数，1D 为 D 中 0≥y 的部分，则：① ()()()⎰⎰=-=--Dd y x f y x f y x f 0,,,,σ则若；② ()()()()σσd y x f d y x f y x f y x f D D⎰⎰⎰⎰==--1,2,,,,则若.例12 求()⎰⎰≤++12222y x dxdy y x分析()⎰⎰≤++12222y x dxdy y x =()⎰⎰≤+++1222244y x dxdy xy y x=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+≤+++112122222224y x y x y x xy y x解 D ：122≤+y x ，关于x 轴对称，而()xy y x f =,为y 的奇函数，故⎰⎰≤+=1220y x xyd σ.又D ：122≤+y x 关于x y =对称，可得⎰⎰⎰⎰≤+≤+=12122222y x y x d y d x σσ.所以，原积分()45252551320222πθσσπ==+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r d d y x d y DD. 3.2 在三重积分中的应用3.2.1 积分区域关于坐标对称 1、面对称关于xoy D13命题 ()上可积在积分区域设D z y x f ,,，面对称关于xoy D ，1D 是上半部分xOy ，则 ① ()的奇函数时，上是在当z D z y x f ,,()⎰⎰⎰=D dv z y x f 0,,；② ()的偶函数时，上是在当z D z y x f ,,()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1,,2,,D Ddv z y x f dv z y x f .当D 关于yoz xoz 、对称时，同样具有相类似的结论. 例122、D 关于轴对称z命题14 设()上可积在积分区域D z y x f ,,，轴对称关于z D ，1D 是D 位于过轴平面的z 一侧的部分，则① ()的奇函数时，上是在当y x D z y x f ,,,()⎰⎰⎰=D dv z y x f 0,,；② ()的偶函数时，上是在当y x D z y x f ,,,()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1,,2,,D Ddv z y x f dv z y x f .D 积分区域关于其他坐标轴对称时也具有类似结论. 3.2.3 积分区域关于原点对称15命题 设()上可积在积分区域D z y x f ,,，关于原点对称D ，1D 是D 位于过原点O 的平面一侧的部分，则① ()的奇函数时，上是在当z y x D z y x f ,,,,()⎰⎰⎰=D dv z y x f 0,,；② ()的偶函数时，上是在当z y x D z y x f ,,,,()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1,,2,,D Ddv z y x f dv z y x f .例13()⎰⎰⎰Ddv z y x z 222,,ln ，其中D 是133=-+zy x 与三个坐标面围成的四面体. 分析 D 关于xOy 面对称，的奇函数被积函数是z 解 D 关于xOy 面对称，()222ln z y x z ++的奇函数是z ，所以()0,,ln 222=⎰⎰⎰Ddv z yx z例14（2015数学一） 设Ω是由平面1=++z y x 和空间区域三个坐标平面所围成的，求解()dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω++32.分析 此题考考查三重积分的计算，可直接计算，也可利用对称性简化计算 解()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==++ΩΩzD dxdy dz z dxdydz z dxdydz z y x 16632，其中，z D 是平面z z =截空前区域Ω所得的截面，其面积为()2121-z .所以， ()()41121663221=-⋅==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdz z z dxdydz z dxdydz z y x . 例15（2009数一） .12222⎰⎰⎰Ω≤++Ωdxdydz z z y x ，求解；设解 由于积分区域Ω对z y x ,,具有对称性，所以().154312222π=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdxdydz z y xdxdydz z 4 对称性在曲面积分中的应用在一般的计算曲面积分的题目中，我们可以将曲面积分转化为重积分，再利用极坐标变换计算.但是如果合理运用对称性，则可简化步骤. 4.1 在第一型曲面积分中的应用4.1.1 曲面关于坐标面对称16命题 设在光滑曲面S 上()面对称，关于连续，若xoy S z y x f ,,1S 是S 在xOy 平面上方的部分，则① ()()0,,=⎰⎰SdS z y x f z z y x f 的奇函数，则有是关于，，若；② ()()()dS z y x f dS z y x f z z y x f S S⎰⎰⎰⎰=1,,2,,,,的偶函数，则有是关于若.例1616例 ()dS z y x S⎰⎰++，其中S 为2222a z y x=++球面被()a h h z <<=0截得的顶部.解 方法一（直接计算）曲面S 的方程为222y x a z --=，定义域D 为(){}2222,h a y x y x D xy -≤+=，由222221yx a a z z y x --=++，则()⎰⎰++SdS z y x f =⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛--++Dxydxdy y x a a y x a y x 222222 再利用极坐标变换，πθθθ20,0sin cos :≤≤+∞<≤⎩⎨⎧==r r y r x T ，，且在极坐标变换下， xy 平面上有界闭区域D 与θr 平面上区域∆对应，则⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛--++Dxydxdy y x a a y x a y x 222222()⎰⎰∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=θθθrdrd a r a ar 22sin cos ()⎰⎰⎰⎰∆∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=θθθθardrd rdrd r a ar 22sin cos()⎰⎰⎰⎰--+-⋅+=ππθθθθ20222202222sin cos h a h a rdrd adr ra r d a()()22222120h a a h a a -=-⋅⋅+=ππ 方法二 （利用对称性计算）曲面S 方程为222y x a z --=，且曲面S 关于yOz 平面和zOx 平面对称，则0==⎰⎰⎰⎰SSydS xdS .定义域D 为(){}2222,h a y x y x D xy -≤+=，由222221yx a a z z y x --=++，则()⎰⎰⎰⎰=++SSzdS dS z y x f ⎰⎰++•--=Dxyy x dxdy z z y x a 222221()22h a a -=π4.2 对称性在第二型曲面积分上的应用在利用对称性求解第二型曲面积分时，需要特别注意投影元素的符号. 4.2.1 曲面关于坐标面对称命题17 面光滑的有向曲面是关于设xoy S ，S 在xOy 平面上方部分记为1S ，下方部分记为2S ，()z y x f ,,在S 上连续，则① ()0,,=⎰⎰Sdxdy z y x f z f 的奇函数，则有是关于若；② ()()dxdy z y x f dxdy z y x f z f S S⎰⎰⎰⎰=1,,2,,的偶函数，则有是关于若.若S 关于平面xoz ，yoz 对称，同样具有类似性质. 例17 计算⎰⎰sxyzdxdy ，其中S 是球面1222=++z y x ，在00≥≥y x ，部分并取球面外侧.解 方法一曲面S 在第一、第五象限部分的方程为：22111:y x z S --=，22221:y x z S --=.因为曲面S 关于平面xOy 对称，定义域(){}0,0,1,22≥≥≤+y x y x y x D D xy 为，则=⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰12S xyzdxdy ⎰⎰--xyD dxdy y x xy 2212⎰⎰-=201231sin cos 2πθθθdr r r d 152=方法二曲面S 在第一、第五象限部分的方程为：22111:y x z S --=，22221:y x z S --=.他们在xoy 面上的投影区域都是单位圆在第一象限的部分，即(){}0,0,1,22≥≥≤+y x y x y x D xy ，依题意，积分是沿1S 的上侧和2S 的下侧进行，所以，=⎰⎰Sxyzdxdy =+⎰⎰⎰⎰21S S xyzdxdy xyzdxdy ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛------xyxyD D dxdyy x xy dxdy y x xy 222211⎰⎰--=xyD dxdy y x xy 22121521sin cos 21232=-=⎰⎰dr r r d θθθπ例18（2019数一） 设∑为曲面()044222≥=++z z y x 的上侧，=--⎰⎰∑dxdy z x 2244332分析 注意到积分微元是dxdy ，说明为第二型曲面积分可直接进行计算，不需要将曲面往坐标面投影，将曲面带入被积函数，有dxdy y dxdy y dxdy z x I y x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+∑==--=44222222244，积分区域关于x 轴对称，被积函数y 是关于y 的偶函数，利用对称性： 332422==⎰⎰≤+dxdy y I y x . 结论常见的积分计算方法有换元法和分部积分法，这些方法比较基础同时也是必要的，对于解决一些简单的积分计算问题有效.但是当遇到复杂的微积分计算和证明问题，特别是涉及到三元或三元以上的多元微积分问题，用常规的方法解决十分困难.针对这种情况，本文提出了利用对称性解题的方法，分别从定积分、重积分、曲线积分和曲面积分四大方面来讨论了对称性，并列举了相应的实例，的确通过本文我们可以清楚地看到利用对称性解题，非常奏效，极大地简化了积分计算.不论是在二重积分、三重积分、两类曲线积分和两类曲面积分中，它的这种简化作用都十分明显.应用对称性计算积分时应注意以下两方面：必须满足积分区域和被积函数两个方面同时具有某种对称性时才能使用.若仅有积分区域具有对称性，则需依据具体题目要求，将被积函数变形，使之具有对称性.对于型曲面积分第二型曲线积分和第二，在利用对称性时，需要考虑积分路线的方向和曲面，确定投影元素的符号.的侧参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京：高等教育出版社,2010.[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京：高等教育出版社,2010.[3]同济大学数学系.高等数学(7版上册)[M]．北京：高等教育出版社,2014．[4]同济大学数学系.高等数学(7版下册)[M]．北京：高等教育出版社,2014．[5]马志辉.对称性在积分计算中的应用[J].高等数学研究,2017年,20(1)5.[6]薛春荣,王芳.对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J].科学技术与工程,2010,10(1).[7]王慧,叶永升.对称性在两类曲线积分中的应用[J].淮北师范大学学报(自然科学版),2011,32(4).[8]顾庆凤.关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用[J].中国教育研究论丛,2006.[9]梁应仙,辛兰芬.对称性在三重积分计算中的应用[J].沈阳大学学报,2003,15(4).[10]赵树源.微积分[ M] .北京:中国人民大学出版社,1987.[11]马德炎,对称性在重积分及曲面积分中的应用[J].高等数学研究,2011,14(4).[12]陈云新,对称性在积分中的应用[J].数学理论与应用,2000,20(4).[13]吴耀强,关于对称性在积分学中的几个命题[J].甘肃联合大学学报,2009,23(6).[14]陈晓,赵晓花.浅谈对称性在曲线积分计算中的应用[J].山东农业工程学院学报,2018,35(2).[15]左俊梅.对称性在重积分计算中的应用[J].大学教育,2014(8).[16]张国林.积分对称性质的研究[J].高师理科学刊,2015,35(8).[17]汪仁泰,焦振华.对称性方法在积分计算中的应用[J].数学学习与研究,2011(17).[18]胡维付,彭正虎,赵大方.对称性在曲面积分计算中的应用[J].科教导刊,2016,5(中).[19]杨元启.例解对称性在积分学中的应用[J].科教之窗,2016(11).[20]苏晓海.对称性在积分计算中的应用探讨[J].河南科技，2013(10).[21]王庆东,刘磊.对称性在积分计算中的应用规律[J].高师理科学刊,2015,35(3).[22]王建刚.轮换对称性在解题中的应用[J].高等数学研究,2005,8(2).[23]Wyman J. The place of symmetry in the study of biological ma cromolecules.[J]. Biophysical Chemistry,1978,9(1).[24]Ivo Medeiros Varzielas,M. L. López-Ibáñez,Aurora Melis,Oscar Vives. Controlled flavor violation in the MSSM from a unified Δ(27) flavor symmetry[J].Journal of High Energy Physics,2018,2018(9).[25]R. V. Harlander,J. Klappert,C. Pandini,A. Papaefstathiou. Exploiting the WH/ZH symmetry in the search for new physics[J]. The European Physical Journal C,2018,78(9).[26]Jackson Tate H,Clark Kait,Mitroff Stephen R. Enhanced Facial Symmetry Assessment in Orthodontists.[J]. Visual cognition,2013,21(7).致谢通过这段时间的忙碌，毕业论文总算是完成了.从不会到会，一路走来，我学会了许多.首先我了解了写一篇论文的大致流程，学会了如何去写一篇论文，假如哪天我真的有机会需要写论文，就不会再去查询写论文的格式规范；然后就是对积分的认识更深刻了，特别是积分计算上是获益匪浅；最后，我学会了在压力下成长，怎样去缓解和释放压力，是我们每个人都要去面对的，让我们在压力面前显得不再那么脆弱与无奈.在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了.在图书馆查找资料的时候，图书馆的老师给我提供了很多帮助与支持，尤其要强烈感谢我的论文指导老师，没有她对我的指导和帮助，无私的为我进行论文的修改和改进，就没有我这篇论文的最终完成.在此，我向指导和帮助过我的老师们表示最衷心的感谢！还要感谢我的同学和朋友,在我写论文的过程中给予我了很多素材,还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助.最后，我也要感谢本论文所引用的各位学者的专著，如果没有这些学者的研究成果的启发和帮助，我将无法完成本篇论文的最终写作.由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和同学批评和指正！。
对称性在积分计算中的应用探讨
＝
由定理 ２ ， 得 （ ２ ） 如 果 ， （ ， 则 二 重 积 分 』 厂 且积分区域 Ｄ关 于 轴对称 ，
（ ） 等 于 一 半 对 称区 域 上的 积 分的 两 倍， 即』 ， （ ｙ ） ＝
参考文献：
作为对称性在积分计算 中的具体应用 ，下 面举 几个具有 代表性 的例子。 例 １ 计算 下列定积分．
（ １ ） 『 二 ； （ ２ ） 』 。 （ １ ） ．
解
１ ９８
［ １ 】 同济大学应用数 学系． 高等数学 （ 上 下册） ． 第五版． 北京 ： 高等教 育 出版社 ． ２ ０ ０ ２ 【 ２ 】 王树勋 ， 田壤等． 高等数学（ 上下册 ） ． 第三版． 西北工 业大
定理 １ 设 函数 ， （ ） 在闭 区间卜ｎ ， 上连续 ， 那么
ｒ ａ
所以 由定积分 的对称性 ， 得
Ｊ 罱 ０ ；
（ ２ ） 这里被积 函数 ） ＝ １ 慨 在【 一 １ ， １ 】 上是偶 函数 ， 由定理 ｌ ， 得
（ １ ） ＝ ２ 』 ： （ １ 忆 ） ＝ 孚 ．
２ ０ １ ３ ． Ｎ０． １ ０
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｅ ｎ ａ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
数 理 与 化 学 研 究
对称性在积分计算中的应用探讨
苏晓海 （ 陕西理工学院 数 学与计算机科学学院， 陕西 汉中 ７ ２ ３ ０ ０ １ ）
轴上方的半 圆形 区域。
域。
例 ３ 计算下列三重积分 ：
） 在空间有界 闭区域 ｎ 上连续 ， 且
定理 ３ 设 函数 Ｑ关于 ｘ ｏ ｙ面对 称 ， 那 么
对称性在积分计算中的应用探讨
对称性在积分计算中的应用探讨
积分是一种强有力的数学方法，它在物理学、数学和工程学等领域的应用非常广泛。
积分的对称性也给它的应用带来了更多的便利。
积分的对称性是指可以轻松地将一个复杂的多项式函数表示为另一个函数，这样可以让一个复杂的多项式函数更容易进行求解。
例如，要对一个变量x的多项式函数：
f(x)=x^n+x^(n-1)+...+ x+1求积分，可以用对称性来把它转换成一个简单的函数：F(x) = x^(n+1) + x^(n-1) + ... + x + C，其中C是一个初等函数。
这样做有以下好处：可以将一个难以求解的多项式函数轻松地求解；可以根据某个函数的定义计算另一个函数的定义；传递属性可以快速传递，而且可以在更低的维度上进行积分处理。
另外，积分的对称性还允许在计算复杂的积分时利用减少计算量的一个重要性质。
具体地说，一个有趣的思想是可以将一个复杂的积分表达式分解为更小的积分子表达式，然后使用积分的对称性来求解它们。
这样做可以大幅减少计算量，使本来可能需要几天才能求解的问题在几秒钟内就能得到解答。
积分的对称性为积分计算提供了更多的便利。
不仅可以将复杂的函数简化，还可以减少计算量从而节省时间。
因此，积分的对称性在科学、工程和其他领域的应用是十分广泛的。
对称性在积分计算中的应用研究【开题报告】
开题报告信息与计算科学对称性在积分计算中的应用研究一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义对称性（symmetry ）是现代物理学中的一个核心概念, 它泛指规范对称性（gaugesymmetry) , 或局域对称性local symmetry ）和整体对称性（global symmetry ）. 它是指一[1]个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性. 如果这些变数随时空变化, 这个不变性被称为规范对称性, 反之则被称为整体对称性. 物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性. 数学上, 这些对称性由群论来表述. 上述例子中的群分别对应著伽利略群, 洛伦兹群和U(1)群. 对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry)和分立对称性(discrete symmetry). 德国数学家外尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物[2]理学中并意识到规范对称重要性的第一人. 1950年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式, 并构造了核作用的SU(2)规范理论.[3]我这次论文方向主要涉及对称性在积分计算中的应用. 在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇、偶性, 往往可以简化计算, 达到事半功倍的效果. 近年来, 在全国研究生入学考试数学试题中不乏涉及对称性的积分试题. 本文将系统地介绍有关[4]内容并举出相关例子.以二重积分为例若积分区间关于变元具有轮换对称性, 则必有D ,x y 积分区域关于直线对称. 因此在某些复杂的积分过程中, 若能注意并充分利用积分D y x =区域的轮换对称性往往可以简化积分计算过程, 提高解题效率. 例如[6](1) , 1(,)(,)((,)(,))2D D f x y d f y x d f x y f y x d σσσ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 若关于直线对称,记为中位与直线上半部分区域, 则有D y x =1D D y x =. 12(,),(,)(,)(,)0,(,)(,)D D f x y d f x y f y x f x y d f x y f y x σσ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰⎰⎰⎰积分在数学分析中是相当重要的一项内容, 而在计算积分的过程中, 我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型. 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对[7]于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用对称性以求简便计算.[8]二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 对称性在积分计算中的应用研究解决的主要问题:1． 总结各种积分的计算方法2． 将应用对称性求解的方法, 与原来的方法比较看优化之处.三、研究步骤、方法及措施：一．研究步骤:1． 查阅相关资料, 做好笔记;2． 仔细阅读研究文献资料;3． 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4． 翻译英文资料;5． 开题报告通过后撰写毕业论文;6． 上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.二．方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容在老师指导下, 归纳整理各类问题四、参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991,.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M] 沈阳: 辽宁科技出版社,1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[6] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,4(10): 181~183.[7] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective, injective [J], and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[8] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions, vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
浅谈多重积分中的对称性问题
浅谈多重积分中的对称性问题【摘要】在求解多重积分的问题的时候,总会有一些特殊的情况是用一般的方法无法解决或者说很困难的,然而这些替米可以通过很特殊的对称性问题得以简便得解决,既方便又准确无误,本文将就多重积分求解中的对称性问题做一简短的总结归纳。
【关键词】二重积分三重积分对称性奇偶性1.二重积分中的对称性问题。
在计算二重积分的问题的时候,往往有些题目是通过一般方法无法解决的,而这些题目中会有一些题目是很特殊的对称性问题,通过使用固定的方法就能够迅速准确地算出答案,节省了时间,提高了效率和准确度。
1.1 积分域关于轴的对称。
1.1.1 关于x轴对称。
设D关于x轴对称()其中,1.1.2 关于y轴对称。
与关于x轴对称相似。
例1.1.1 计算:,解:添,分域为1.2 积分域关于原点对称。
与关于x轴对称相似。
1.3 积分域关于直线y=x对称(即轮换对称性)设D关于y=x对称,()例1.3.1 D:D1是D在x≥0部分,则(B)A.B.C.D.解:A.=0,C.,D.B.评注:D关于y=x对称。
例1.3.2 求其中解:区域D关于x,y轴均对称,对x,y均为偶函数。
,其中再用变量轮换对称性(把x与y互换,区域D1不变),于是因此,I=评注:D1关于y=x对称,于是。
例1.3.3 计算,其中S是球面在第一卦限中的部分。
解:直接化为二重积分计算。
由于所以记,则评注:本题使用了轮换对称性。
例1.3.4 计算,其中曲面S:, ; 是S向上的法向量。
解:由于,所以根据曲面S关于坐标面的对称性,得再由S关于x,y的轮换对称性,得因此I=0。
2.三重积分中的对称性问题。
三重积分往往相对较麻烦,和二重积分一样,一些特殊的有关对称性的问题可以通过一些特殊的方法迎刃而解,方便迅速又准确无误。
2.1 积分域关于面的对称。
2.1.1 积分域关于xoy面对称。
设Ω是空间中的有界闭区域,在Ω上可积。
若Ω关于xoy平面对称,则其中例2.1.1 ,解:Ω关于xoy面对称,关于z轴为奇函数,I=0。
对称性在积分计算中应用
对称性在积分计算中应用对称性在积分计算中的应用是数学领域中的一个重要主题。
对称性是指数学对象在一定变换下保持不变的性质。
在积分计算中，对称性可以极大地简化计算过程，使其更加高效且容易处理。
本文将从对称性的定义、对称积分的概念和性质以及对称积分的应用三个方面展开详细阐述。
首先，我们来介绍对称性的定义。
在数学中，对称性是指对象在其中一种变换下保持不变的特性。
常见的对称性包括轴对称、面对称、旋转对称等。
对称性是研究各种数学对象的基本性质，对于深入理解和应用数学有着重要的作用。
对称积分是指根据数学对象的对称性，进行积分计算时可以简化积分表达式的一种方法。
具体而言，对称积分是通过利用积分函数的对称性，减少积分计算时所需的代数运算和变换，简化积分表达式，从而得到更加简洁和高效的计算结果。
对称积分有许多重要的性质。
首先，对称积分满足线性性质，即对于两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。
其次，对称积分满足区间可加性，即对于两个不相交的区间[a, c]和[c, b]，有∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。
除了这些基本性质外，对称积分还有一些重要的应用。
首先，对称积分可以用于求解一些特殊函数的积分。
例如，高斯函数e^(-x^2)经常出现在概率论和统计学中，而该函数的积分在正态分布的计算中起着重要作用。
通过对高斯函数具有的轴对称性进行积分，可以简化计算过程，得到高斯函数积分的解析表达式。
其次，对称积分可以用于计算一些几何问题。
例如，计算平面上其中一函数图像与坐标轴之间的面积。
如果该函数具有轴对称性或者面对称性，可以利用对称积分的方法进行计算。
通过选择适当的坐标系，并利用积分的对称性对积分区间进行简化，可以将原问题转化为更加简单的计算。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用【摘要】本文总结、归纳了积分区域的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性在积分计算中的一些重要结论，并通过例题演示了这些对称性的结论在计算积分时可以大大简化积分计算，提高解题效率.【关键词】积分;对称;应用一、引言在定积分的计算中，利用积分区间关于原点对称的特点和被积函数的奇偶性可以大大简化积分的计算量，起到事半功倍的效果.此性质经过推广，在二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分的计算中，利用积分区域关于坐标轴、坐标面对称的特点和被积函数的奇偶性，同样可以大大简化积分的计算.此外，在积分的计算过程中，利用积分区域和被积函数的轮换对称性也可有效地起到简化计算的作用，本文拟系统介绍这方面的结论，并举出相关应用实例给予说明.二、有关对称性的结论（一）在定积分的计算中若积分区间关于原点对称，则∫a-af（x）dx= 2∫a0f（x）dx，f（x）在[-a，a]上是偶函数，0，f（x）在[-a，a]上是奇函数.（二）在二重积分的计算中1.若积分区域D关于x轴对称，则D f（x，y）dσ=2 D 1 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量y是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量y是奇函数，其中D1是区域D在x轴上方（或下方）的部分.2.若积分区域D关于y轴对称，则D f（x，y）dσ=2 D 2 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量x是奇函数，其中D2是区域D在y轴右侧（或左侧）的部分.3.若积分区域D关于原点对称，则D f（x，y）dσ=4 D 3 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x和y都是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量x或y是奇函数，其中D3是区域D在第一象限的部分.4.若积分区域D关于直线y=x对称（轮换对称性），则D f（x，y）dσ= D f（y，x）dσ= 1 2 D [f（x，y）+f（y，x）]d σ.（三）在三重积分的计算中1.若积分区域Ω关于坐标面x=0对称，则Ωf（x，y，z）dv=2 Ω1 f（x，y，z）dv，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，其中Ω1是Ω中x≥0的部分.若把x换成y或z也有相同的结论.2.若积分区域Ω关于x，y，z具有轮换对称性，则Ωf（x，y，z）dv= Ωf（y，z，x）dv= Ωf（z，x，y）dv = 1 3 Ω[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dv.（四）在第一型曲線积分的计算中1.设平面分段光滑曲线L关于x轴对称，则∫Lf（x，y）ds= 2∫L1f（x，y）ds，f（x，y）关于变量y是偶函数，0，f（x，y）关于变量y是奇函数，其中L1是L上y≥0的部分（前半段）.若把x换成y也有相同的结论.2.设空间分段光滑曲线L关于坐标面x=0对称，则∫Lf（x，y，z）ds=2∫L2f（x，y，z）ds，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，其中L2是L上x≥0的部分.若把x换成y或z也有相同的结论.3.若积分曲线L关于x，y具有轮换对称性（当x=y时曲线方程不变），则∫Lf（x，y）ds=∫Lf（y，x）ds= 1 2 ∫L[f（x，y）+f（y，x）]ds.4.若积分曲线L关于x，y，z具有轮换对称性（当x=y，y=z，z=x时曲线方程不变），则∫Lf（x，y，z）ds=∫Lf（y，z，x）ds=∫Lf（z，x，y）ds= 1 3 ∫L[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]ds.（五）在第一型曲面积分的计算中1.设分片光滑曲面Σ关于坐标面x=0对称，则Σf（x，y，z）dS=2Σ1f（x，y，z）dS，f（x，y，z）关于变量x为偶函数，0，f （x，y，z）关于变量x为奇函数，其中Σ1是Σ上x≥0的部分（前半部分）.若把x换成y或z也有相同的结论.2.（轮换对称性）若积分曲面Σ关于x，y，z具有轮换对称性，则Σf（x，y，z）dS=Σf（y，z，x）dS=Σf（z，x，y）dS= 1 3 Σ[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dS.三、应用举例例1 计算∫1 2 - 1 2 1-x 1-x2 dx.分析∫1 2 - 1 2 1-x 1-x2 dx=∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx-∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx，注意到积分区间关于原点对称，其中∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx的被积函数关于x是奇函数，所以此积分为0.而∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx的被积函数关于x是偶函数，由前面总结的性质可得：原式=∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx-∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx=2∫1 2 0 1 1-x2 dx=2arcsinx 1 2 0=2×π6 = π3 .例2 计算D （x2-2x+3y+2）dxdy，其中D：x2+y2≤a2.分析区域D既关于x轴对称又关于y轴对称，而x2关于x是偶函数，2x和3y分别关于x和y是奇函数，故：原式= D x2dxdy- D 2xdxdy+ D 3ydxdy+ D 2dxdy= D x2dxdy-0+0+2 D dxdy=∫2π0dθ∫a0（rcosθ）2rdr+2πa2= 9 4 πa2.例3 计算Ω（xy+1）zdv，其中Ω为曲面z= 1-x2-y2 和z= x2+y2 所围区域.分析Ω（xy+1）zdv= Ωxyzdv+ Ωzdv，Ω关于坐标面x=0对称，而xyz关于x是奇函数，故Ωxyzdv=0，所以Ω（xy+1）zdv= Ωzdv=∫2π0dθ∫π4 0dφ∫10rcosφ.r2sinφdr= π8 .例4 计算I=∮L[（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2]ds，其中L：x2+y2+z2=R2，z= R 2 .分析原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2xds-∮L2yds-∮L2zds，考虑到曲线L关于yOz面对称，2x是关于x的奇函数，所以∮L2xds=0，同理，曲線L关于zOx面对称，2y是关于y的奇函数，所以∮L2yds=0，所以原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2zds=∮L（R2+3）ds-∮LRds=（R2-R+3）∮Lds=（R2-R+3）·2π· 3 2 R= 3 πR（R2-R+3）.例5 计算曲面积分S（x+y+z）ds，其中S为上半球面z= a2-x2-y2 .分析曲面关于坐标面x=0，y=0对称，而x和y分别关于变量x和y为奇函数，故S（x+y）ds=0，又S在坐标面z=0上的投影为x2+y2≤a2.且ds= 1+z2x+z2y = 1+ x2 a2-x2-y2 + y2a2-x2-y2 = a2 a2-x2-y2 = a z ，原式=Szds=x2+y2≤a2z·a z dxdy=ax2+y2≤a2dxdy=πa3.例6 计算Ω（x2+z2）dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1.分析积分区域是个单位球，关于x，y，z具有轮换对称性，所以Ω（x2+z2）dv= Ω（y2+x2）dv= Ω（z2+y2）dv，1 3 Ω（x2+z2+y2+x2+z2+y2）dv= 2 3 Ω（x2+y2+z2）dv= 2 3 ∫2π0dθ∫π0dφ∫10r4sinφdr= 8 15 π.例7 计算∮L（z+y2）ds，其中L：x2+y2+z2=R2，x+y+z=0.分析由空间曲线L的方程知道，当x=y，y=z，z=x时，曲线L的方程不变，具有轮换对称性，所以∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds，∮Lx2ds=∮Ly2ds=∮Lz2ds，于是∮Lzds= 1 3 ∮L（x+y+z）ds= 1 3 ∮L0ds=0，∮Ly2ds= 1 3 ∮L[x2+y2+z2]ds= R2 3 ∮Lds= 2πR3 3 ，所以∮L（z+y2）ds= 2 3 πR3.例8 计算Σ（x+z+1）2dS，其中Σ：x2+y2+z2=R2.分析Σ（x+z+1）2dS= Σ（x2+z2+1+2xz+2x+2z）dS.由积分曲面Σ的对称性及被积函数为奇函数的特点，知ΣxdS=0，ΣzdS=0，ΣxzdS=0.又由积分曲面Σ的轮换对称性知，Σx2dS= Σy2dS= Σz2dS= 1 3 Σ（x2+y2+z2）dS，所以Σ（x+z+1）2dS= 2 3 Σ（x2+y2+z2）dS+ Σ1·dS = 2 3 R2 ΣdS+4πR2= 8 3 πR4+4πR2.通过上面这些例子的计算演示可以看出，在计算积分的过程中，如果能及时利用积分区域（区间）的对称性和被积函数的奇偶性以及积分区域的轮换对称性，在很多时候可以有效减少烦琐的计算量，提高解题效率.。
对称性在积分计算中应用研究
面区域。 证 明 因 为 Ｄ 关 于 ｚ 轴 对 称 ， 以不 妨 设 Ｄ ：２ 所 １ ≤ ≤
ｂ 一 （ ≤ ≤ （ ， 而 ， ｚ） ｚ） 从
（ 如 肛 ）一
Ｊ— （ ｚ）
，ｙ ， ） ｄ
Ｊ Ｊ
例５ 设 ｚ 为椭圆等 十等 一１其周长为ｎ 计算曲线积 ， ，
（ ｚ － ４ 。４－ ｘ ｄ 。 ３ ４ ｙ ５ ｙ） ｓ
时， ｆｘｄ ｌ （）ｘ＝ ０ 当 ，ｚ ； （）是偶 函数时， ｆ ｘｄ Ｉ （）ｘ一
２ ｚ ｄｒ。 ）
｛Ｉ， Ｉ ＋ ＜ １ （ ） ｚ ， Ｏ。 ≥ ｝
利 用 定 理 １ 可 以计 算 下 面 的 题 目。 ， 例 １ 计 算 定 积 分
一
解Ｉ ｊ ÷ ｄ ＋ｌ ｄ ， ： ｚ ｓ ＝再 再 。 故
是 由 Ｙ— ｚ ｚ ＝一 】和 Ｙ一 １围成 的平 面 闭 区 域 。 ，
一
把 定 理 １ 广 到 二 重 积 分 的 计 算 中有 下 面 的结 论 ： 推 －－ ２ ｇｎ １ 。 定 理 ２ 设 函数 ｆ ｘ ） ｘ ｙ平 面 上 的有 界 闭 区 域 Ｄ （， 在 Ｏ 上 连 续 ， Ｄ关 于 ｚ轴 对 称 ， 果 函 数 ｆ ｘ， 是 关 于 Ｙ 奇 且 如 （ ） 的 例４
计算二重积分 Ｊ ｌ ｙ４１－。 Ｚａ其中Ｄ — ｚ 一ｙｄ ， ｌ ｘ ４
函数， （， ） 即ｆｘ 一 一一ｆｘ ， Ｉ （ ，）ａ一０如果函 （ ，）则 ｘｙｄ Ｉ ｆ ；
数 ｆ ｘ， （ ）是 关 于 ｙ的 偶 函数 ， ｆ ｘ 一 ）一 厂 ｚ， ， 即 （， （ ） 则
关 于 ｚ的 奇 函数 ， 而 由定 理 ３ 从 ，
是
『 』 南 出 ｚ 南 出 ＝ 『 』 一
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用对称性是数学中重要的概念之一，它的应用涉及到各个数学领域中。
在积分计算中，对称性也是一个非常重要的工具和思想，能够帮助我们简化、优化和解决复杂的积分问题。
本文将介绍对称性在积分计算中的应用，以及如何利用对称性求解各类复杂积分。
一、对称性概述对称性是指物体或者数学对象的部分或整体运动具有某种规则性的现象。
常见的对称性包括轴对称、中心对称、对角线、对边对称、等等。
对称性是自然界现象和数学理论中广泛存在的一种现象，也是数学中强有力的工具和思想。
二、对称性在积分计算中的基本应用对称性在积分计算中的使用具有以下优点：1.减少计算量：使用对称性可以将积分的计算范围缩小为对称区间内的一半，从而大大减少了计算量，简化了计算过程。
2.避免重复计算：利用对称性可以避免重复计算某些部分，减少了计算量和出错的概率。
3.提高准确度和精度：对称性具有非常清晰的数学定义和可操作性，使用对称性可以提高准确度和精度，更好地描述数学对象的性质和特征。
下面分别对轴对称、中心对称、对角线对称、对边对称等对称性进行介绍，并说明其在积分计算中的具体应用。
1.轴对称轴对称是指数学对象在某个轴线旋转180度以后不改变其形状和大小。
在数学中，轴对称包括平面上的x轴、y轴和45度斜线轴等。
轴对称在积分计算中的应用非常广泛，常见的应用包括：（1）基本函数关于坐标轴对称的性质：例如正弦函数和余弦函数关于y轴对称，正切函数和余切函数关于x轴对称。
利用这些对称性质可以简化复杂函数的积分。
（2）轮换对称性：对于一类具有一定规则性的函数，可以通过对其进行轮换得到新的函数，这样可以将原函数分成几个对称的部分，从而提高计算效率。
例如，对于函数f(x,y) = x + y的积分计算，因为其具有xy的轮换对称性，可以将其分解成两部分f1(x,y) = x和f2(x,y) = y，从而使积分计算简化。
（3）利用轴对称性质求偶函数和奇函数的积分：如果f(x)是关于y轴对称的偶函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于2∫f(x)dx从0到x之间的积分，即∫-xf(x)dx = 2∫0f(x)dx如果f(x)是关于y轴对称的奇函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于0。
例解对称性在积分学中的应用
内的部分。
解 曲 面 Σ 关 于 坐 标 面 x=0 及 y=0 对 称，而 xy 是
关于 x，y 的奇函数，所以
。
原式 =
=
例 3 求
，其中 Σ
为锥面 Σ 的朝下的单位法向量。
解 原式
为 。
由 于 Σ 既 关 于 xoy 平 面 对 称，也 关 于 yoz 平 面 对 称，而 x2 为 x 的偶函数，y2 为 y 的偶函数，所以
等教育出版社，2010. ［2］沈燮昌 , 邵品琮 . 数学分析纵横谈 . 北京大学出版社 ,1991.
上接第 162 页 随着教育改革的发展，对教学要求也越来越高，传
统的教学模式已经难以满足现代社会发展的需求了， 为此，加大教学改革势在必行。计算机作为一门应用 性较强的学科，在计算机实验教学中，要想提高教学 的有效性，就必须积极地转变教学观念，创新教学方 法，加大资金投入，为计算机实验教学配置先进的设 备。同时，要重视专业教师的培养，为教学培养一支专 业的教师队伍，进而不断提高教学质量，为我国现代
学报，2016，（02）：91-93. ［4］张文峰，徐忠 . 计算机实验教学改革的探索与实践［J］. 平原大学 学报，2006，（04）：111-112.
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2016 年第 11 期
Байду номын сангаас
在微积分学中，对称的技巧用得非常多。特别在
定积分、重积分、曲线积分、曲面积分中，对称性都有
很好的应用，以下我们将详细的例解积分学中的对称
所以
技巧。
1 对称性在定积分中的应用
2 对称性在重积分中的应用
常见的命题有：
常见的命题有：
1.1 设 a ＞ 0，函数 f(x) 在［-a，a］上可积，则
对称性在积分计算中的应用精编
对称性在积分计算中的应用引言积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对称性在积分计算中的应用.一、相关的定义设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x - ),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）。
二、对称性在定积分中的应用（一） 定积分的概念 1. 概念设函数)(x f 在],[b a 上有界，(1) 在],[b a 内插入若干个分点,......210b x x x x a n =<<<<=把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],......[,],n n x x x x x x -各个小区间长度依次为110221,,x x x x x x ∆=-∆=-1.......n n n x x x -∆=-(2) 在每个小区间上任取一点1(),()i i i i i x x f ξξξ-≤≤作函数与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,......,),i i f x i n ξ∆=,并作出和 1().ni i i S f x ξ==∆∑(3) 记12max{,,......,},n x x x λ=∆∆∆如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么这个极限称为函数的()f x 在区间],[b a 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(即记为1()()nbi i ai f x dx I f x ξ===∆∑⎰其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间. 2. 几何意义几何上,⎰<ba b a dx x f )()(表示曲线()y f x x =与轴，,x a x b ==所围曲边梯形面积的代数和.（二） 对称性在定积分中的性质性质 1 若()x f [,]a b k 在上可积，为常数，则()x kf 在],[b a 上也可积，则⎰b adx x kf )(⎰=badx x f k )(性质 2 ()()上也可积，且在则上可积都在若],[)()(,],[,b a x g x f b a x g x f ±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰±=±性质 3 ()()()()上也可积在上可积，则在都在若],[],[,b a x g x f b a x g x f ⋅ 性质 4 ()()上与在任给上可积的充要条件是：在],[],[),,(],[b c c a x f b a c b a x f ∈.都可积.)()()(⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f 此时又有等式规定 1 0)(⎰==badx x f b a 时，令当.规定 2 .)()(⎰⎰-=>abb adx x f dx x f b a 时，令当 .性质 5 ()⎰≥∈≥badx x f b a x x f b a x f .0)(],,[,0)(.],[则若上的可积函数为设推论（积分不等式性）()()],,[),()(],[b a x x g x f b a x g x f ∈≤上的两个可积函数，且为与若性质 6()().)()(],[],[dx x f dx x f b a x f b a x f baba⎰⎰≤上也可积，且在上可积，则在若（三） 对称性在定积分中的定理定理1 若)(x f 在a][-a,(a>0)上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为 ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(对积分作代换-t x =,则得⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(所以 ⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 00)]()([)()()((1) 若)(x f 为偶函数，则)(2)()(),()(x f x f x f x f x f =+-=-即 所以⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((2) 若)(x f 为奇函数，则0)()(),()(=+--=-x f x f x f x f 即 所以0)(=⎰-aa dx x f .注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0.（四） 对称性在定积分中的应用举例 例 1 dx x x 23111)1(-+⎰-解 =⎰⎰---+-112311211dxx x dx x因为积分区间关于原点对称，而2-1x 是偶函数，231x x -是奇函数，故,011123=-⎰-dx x x设 x =y sin 2cos 1222112πππ⎰⎰--==-dy y dx x原式=2π 例 2 计算()2x 2ln 1e x dx -+⎰因为积分区间关于原点对称，但()x e 1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可()().b ba af x dxg x dx ≤⎰⎰则有利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.解 令()()x x f e 1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，()()2222x x -x 222220118ln 1+e ln 2e e d 223x dx x x dx x x x dx ---⎡⎤=+++===⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以有例3 计算 ⎰-+22223sin )cos (ππxdx x x分析 由于x x 23sin 是一个奇函数, x x 22sin cos 是一个偶函数,并且积分区域]2,2[ππ-关于原点对称,因此可用定理1来计算. 解 由定理1得 原式⎰⎰--+=22222223sin cos sin ππππxdx x xdx x⎰-+=2222sin cos 0ππxdx x=)sin sin (2204202⎰⎰-ππxdx xdx 其中220sin xdx π⎰=22222220sin cos (sin cos cos )sin xd x x xx dx dx x dx πππππ-=--=-⎰⎰⎰⎰2220sin xdx π⎰=2π ，220sin xdx π⎰=221π⋅ 同理得：22143)sin 204ππ⋅⋅=⎰xdx原式 )22143221(2ππ⋅⋅-⋅=8π=.利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.三、对称性在二重积分中的应用（一）二重积分的概念 1 概念设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，(1) 将闭区域D 任意分成n 个小闭域12,,......,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积.(2) 在每个i σ∆上任取一点(,),i i εη 作乘积(,)i i i f εησ∆ (1,2,......,),i n =并作和1(,),niiii f εησ=∆∑(3) 如果当个小闭区域的直S 径的最大值0λ→时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分,记作 01(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσεησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x y 与叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f εησ=∆∑叫做积分和.2 几何意义当(,)f x y 为闭区域D 上的连续函数，且(,)0,f x y ≥则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，侧面以D 的边界曲面为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积.一般地，(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积的代数和.（三） 二重积分的性质性质 7 上也可积，且在为常数，则上可积，在区域若D y x kf k y x f ),(D ),(⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf .),(),(σσ性质 8 上也可积，且在上都可积，则在若D y)g(x,y)f(x,D ),(),,(±y x g y x f⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f .),(),(]),(),([σσσ性质 9 若 ),(y x f 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在1D ⋃2D 上可积，且.),(),(),(2121σσσd y x f d y x f d y x f D D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋃性质 10 则上可积，且在与若,),(),,(),(),(),(D y x y x g y x f D y x g y x f ∈≤⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f .),(),(σσ性质 11 ⎰⎰Dd y x f D y x f D y x f σ),(),(),(上也可积，且在上可积，则在若σd y x f D⎰⎰≤),(性质 12 σd y x f mS D y x M y x f m D y x f DD ),(,),(,),(),(⎰⎰≤∈≤≤则上可积，在若.,的面积是积分区域这里D S MS D D ≤（三） 对称性在二重积分中的定理定理2 设有界闭区域12D D D = ,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则⎰⎰Dd y x f σ),(0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)iD f x y d σ⎰⎰(1,2)i =注 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续(i)若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中2D 是D 的上半部分 2D =}0|),{(≥∈y D y xy)(x y ϕ=1Da 0b x2D)(-x y ϕ= 图1 证明12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1)若区域D 对称于x 轴(图1)，对任意(,)P x y ∈1D ，其对称点(,)P x y '-∈2D1D ={}0(),y x a x b ϕ≤≤≤≤，2D ={}()0,x y a x b ϕ-≤≤≤≤，令x xy t=⎧⎨=-⎩， 则2D 变换为xot 坐标面上的{}10()D t x a x b ϕ=≤≤≤≤，，且雅可比行列式(,)(,)x y x t ∂∂10101==--． 故2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)1D f x t dxdt -∙-⎰⎰=1(,)D f x y dxdy -⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，于是，代入（1）式得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y =--⎧⎪=⎨=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,(ii) 若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f x y x f d y x f 1),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y xy)(y x ϕ-= d )(y x ϕ=2D 1D 0 xc图2证明 若区域D 对称于y 轴(图2)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点(,)P x y '-∈2D ，类似 (i) 的证明可得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,定理 3 设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续 （1）若),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则1(,)4(,),DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰其中1D 是D的第一象限的部分1{(,)|0,0}D x y D x y =∈≥≥(,)f x y （2）若关x 和y 均为奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰定理 4 设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y xy2D 1D )(x y ϕ= 0 x a b)(x y ψ=图3证明 若区域D 对称于原点(图3)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点P '(,)x y --∈2D ，{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，, {}2()()D x y x b x a ϕψ=--≤≤---≤≤-，,令x uy v =-⎧⎨=-⎩， 则区域2D 变换为uov 坐标平面内区域{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，，雅可比行列式(,)(,)x y u v ∂∂10101-==-，所以2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)D f u v dudv --⎰⎰=1(,)D f x y dxdy --⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdyf x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧---=-⎪⎪⎨--=⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，代入12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 ，若 ，若定理 5 设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰（四） 对称性在二重积分中的应用举例例 4 计算二重积分25sin Sx ydxdy ⎰⎰，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所围成的区域.解 积分区域S 关于x 轴对称（见图），且ydxdy x S52sin ⎰⎰为关于y 的奇函数，故由定理225sin 0Sx ydxdy =⎰⎰例 5 设 :sin ,,12D y x x y π==±= 围成求 (1)Dxy dxdy-⎰⎰x 2π-= y x 2π=y=1x图5x11-10 图4y解 12DDD D DI xydxdy dxdy xydxdy xydxdy dxdy =-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为12D D 和关于y 轴对称，所以由定理2知120D D xydxdy xydxdy +=⎰⎰⎰⎰所以 原式 =Ddxdy π=⎰⎰例 6 计算二重积分 222(373),: 1.DI x x y d D x y σ=++++≤⎰⎰其中解 见下图 D 关于x y 轴轴都对称，而37x y 和分别关于变量x 和变量y 为奇数 所以由定理330,Dxd σ=⎰⎰70Dyd σ=⎰⎰设 θσθr d r d d r x ==,c o s ，=⎰⎰σd x D2rdr r d ⎰⎰πθθ2012)cos ( 所以 原式πθθπ3)cos (2012+=⎰⎰rdr r d π411=yDx图6例 7 计算 (),DI x y d x d y =+⎰⎰ 其中: 1.D x y +≤解 D x y 关于轴，轴对称，且被积函数关于x 和y 是偶函数，即有(,)f x y -=(,)(,)f x y f x y -=由定理3，有1()()DD I x y dxdy x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰，其中1D D 是的第一象限部分，由对称性知11D D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰22(3)3DDDI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 11144()4()8.3D D D I x y d x d y xx d x d y x d x d y =+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 8 计算2()Dxy x y dxdy +⎰⎰其中D 是由,1,1y x y y ===-0x =以及所围城的闭区域图7解 如图， 12D D D =+，1D 、2D 关于原点对称，但被积函数不满足(,)(.)f x y f x y =--,也不满足(,)(.)f x y f x y =---,故不能直接用定理来计算， 所以令1(,)f x y xy = ， 22(,)f x y x y =对1(,)f x y 和2(,)f x y 分别应用定理4，则11(,)2DD f x y dxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰，2(,)0Df x y dxdy =⎰⎰，故 2()DI xy x y dxdy =+⎰⎰41221001==⎰⎰⎰⎰xD xydydx xydxdy 例 9 设()f x 为恒正的连续函数，计算积分222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 解 由于积分区域222x y r +≤关于y x =对称，所以由定理5 ，可得222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=222()()()()x y r af y bf x dxdy f y f x +≤++⎰⎰， 于是222()()2()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 222222()()()()()()()()x y r x y r af x bf y af y bf x dxdy dxdy f x f y f y f x +≤+≤++=+++⎰⎰⎰⎰ 222()x y r a b dxdy +≤=+⎰⎰=2()a b r π+．故222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=2()2a b r π+．四、对称性在三重积分中的应用根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算,三重积分的计算中也有相应的对称性定理. （一） 对称性在三重积分中的定理定理6 设Ω由0),,(≤z y x ϕ表示,若将x 和y 的位置交换后,0),,(≤z x y ϕ仍然表示Ω,则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=⎰⎰⎰Ωdv z x y f ),,(,这种位置的对称,也称变量可轮换性.定理7 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于xoy 面对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上是关于在当的偶函数上是关于在当z f z f dxdydvz y x f dv z y x f ,0,),,,(2),,,(1定理8 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于z 轴对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上为关于在当的偶函数上为关于在当y x f y x f dxdydzz y x f dxdydz z y x f ,,0,,),,,(2),,,(1（二） 对称性在三重积分中的应用举例例10 计算⎰⎰⎰++ωdu z y x )(,其中Ω：≤++222z y x R 2,（0,00,≥≥≥z y x ）.解 本题具有变量位置的对称,因此有⎰⎰⎰ωxdu =⎰⎰⎰ωydu =⎰⎰⎰ωzdu 设D z :)0,0(2222≥≥=++y x R z y x ,则原式为 3⎰⎰⎰ωzdu =3⎰⎰⎰RD zdxdy zdz 0=43⎰Rdz z R z 022)-(π=1634R π 可见,类似的题目都只需计算其中任意一元数值,及对应系数,即可求得结果.例11 计算⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222,其中ω：≤++222z y x 1. 分析 很显然,ω关于xoy 面对称,可以直接运用定理7.解 因为ω关于xoy 面对称,且被积函数1)1ln(),,(222222++++++=z y x z y x z z y x f 在ω上连续并为关于z 的奇函数,故 ⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 =0. 例12 计算⎰⎰⎰Ω+dV yx xyz 22,其中Ω为xy a 22222)z y (x =++与0=z 两曲面所围区域.解 显然,积分区域Ω关于z 轴对称,且22),,(y x xyzz y x f +=为关于x 、y 的偶函数,又因为≥++2222)(z y x 0,所以xy 同号.因而Ω分布在一、四象限内,从而由定理8得到⎰⎰⎰Ω+dV y x xyz 22=⎰⎰⎰Ω+1222y x xyzdxdydz =⎰⎰⎰θθϕππθθϕϕϕθcos sin sin 03202cos sin cos sin 2a dr r d d= ⎰⎰=202045334144cos sin cos sin 2ππϕϕϕθθθad d a .小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题.五、对称性在曲线积分中的应用（一） 对称性在曲线积分中的定理 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上1.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f 或),(y x f -=),(y x f ,则称),(y x f 为偶函数.2.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f -或),(y x f -=),(y x f -,则称),(y x f 为奇函数.定理9 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,记L 在上半平面的部分为1L ,下半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L Ly y x f ds y x f y y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 定理10 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,记L 在右半平面的部分为1L ,左半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L L x y x f ds y x f x y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 推论1 设分段光滑的平面曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧I =⎰⎰11),(,),(4),(, 0),(L L L L x y y x f ds y x f x y y x f ds y x f 象限中的部分）位于第是的偶函数（其中或为关于的奇函数或为关于定理11 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,则(1)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dx y x P ),(=21⎰--Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰-L dy y x P ),(=21⎰-+L dy y x P y x P )],(),([定理12 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,则 (1)⎰Ldx y x P ),(=⎰-Ldx y x P ),(=21⎰-+Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dy y x P ),(=21⎰--L dy y x P y x P )],(),([ 推论2 设分段光滑的有向平面曲线L 关于x 轴对称,（L 在上半平面部分记为1L ,在下半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则(1) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于y y x P dy y x P y y x P dy y x P(2) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于y y x Q dy y x Q y y x Q dy y x Q推论3 设分段光滑的有向平面曲线L 关于y 轴对称,（L 在右半平面部分记为1L ,在左半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则（1）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于x y x P dy y x P x y x P dy y x P（2）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于x y x Q dy y x Q x y x Q dy y x Q（二） 对称性在曲线积分中的应用举例 例13 计算⎰=++1||||||||y x ds y x x解 因为积分曲线关于原点对称,被积函数||||),(y x xy x f +=为关于x 的奇函数,由推论1,得⎰=++1||||||||y x ds y x x=0 例14 计算⎰+Lxydy e x1,其中L 关于x 轴对称,取逆时针方向, L 所围成的闭区域D 的面积为σ.分析 显然,题目已知L 关于x 轴对称,又是分段曲线积分,可直接运用定理求得结果解 由定理11,有⎰+Lxydy e x 1=21dy e xe x Lxy xy ⎰-+++)11(=21⎰++Lxy xy dy e xe x 1=21⎰Lxdy =21⎰⎰Dd σ=21σ. 例15 计算⎰++L xy dydx 1||,其中1:=+y x L ,取逆时针方向.解 因为⎰++L xy dy dx 1||=⎰+L xy dx 1||+⎰+L xy dy 1||而L 关于x 轴、y 轴对称且对称两部分方向相反,函数),(y x f =1||1+xy 既为关于x 的偶函数,又为关于y 的偶函数,由推论2、推论3,原式=0.六、对称性在曲面积分的对称性（一） 对称性在曲面积分中的定理 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲面上1.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f )或=-),,(z y x f ),,(z y x f ,则称),,(z y x f 为偶函数.2.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f -或=-),,(z y x f ),,(z y x f -,则称),,(z y x f 为奇函数.定理13 设分段光滑的空间曲线Γ关于xoy (或yoz 或zox )坐标面对称,记1Γ为位于对称坐标面一侧的部分, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1)(y)f(x,,),,(2)(),(,0),,(τ的偶函数或或为关于的奇函数或或为关于y x z ds z y x f y x z y x f ds z y x f z定理14 设曲面S 是由关于P （或平面α）对称的1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的对称点为22S M ∈,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===S12S 12)(M )(M ,0)(M )(M ,(M)2(M)1f f f f ds f ds f 若若 证明 以曲面S 关于平面α对称为例,不妨设曲面S 是关于xoy 对称的曲面1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的坐标为),,(z y x ,则其对称点22S M ∈的坐标为),,(z y x -,设1S 、2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),,(),,(),,(S S Sds z y x f ds z y x f ds z y x f =⎰⎰++-+dxdy z zy x z y x f y x z y x f y x 221)]},(,,[)],(,,[{(1)当=-),(z y x f ),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=⎰⎰1),,(2S ds z y x f(2)当=-),(z y x f -),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=0.（二） 对称性在曲面积分中的应用举例例16 计算⎰⎰++εds zx yz xy )(,其中∑为锥面z =22y x +被曲面ax y x 222=+所截下的部分.分析 由于曲面∑关于zox 面对称,而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数 解 根据定理,知⎰⎰++εds zx yz xy )(=⎰⎰εzxds =⎰⎰+++xyD y x dxdy z z y x x22221=⎰⎰+xyD dxdy y x x 222=2⎰⎰-22cos 203cos ππθθθa dr r d =42⎰-225cos ππθθd =156424a .例17 计算曲面积分⎰⎰=Sds xyz I ||,其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1=z 之间的部分.解 因曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称,而||),,(xyz z y x f =,由定理知⎰⎰=14S xyzds I ,其中1S 是S 在第一象限的部分22y x z +=,'x z x 2=,y z y 2'=,dxdy y x ds 22441++=.故I=dxdy y x y x xy xyD 2222441)(4+++⎰⎰=⎰⎰122cos sin 4θθθπr d ·2r ·241r +·rdr=4201-5125.由此可见，上述关于积分（定积分，重积分，线面积分）对称性的定理性质对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多干扰，所以在解题中注意积分区间是否具有某种对称性是简化题目的关键，若对称性不明显则可以通过一定的方法，根据题目的特点构造对称性，可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系， 数学分析（上册，下册），高等教育出版社2 同济大学，高等数学（上册，下册），高等教育出版社3 王莉，海天2013年考研数学基础班高数辅导讲义4 薛春荣,王芳，对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J]，科学技术与工程，2010，(1)5 赵达夫.高等数学的辅导讲义[M].新华出版社.6 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.7 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.8 温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.后记本论文在选题及研究过程中得到指导老师的悉心指导。
对称性在积分计算中的应用
引言对称性是在生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到初高等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选用合理的解题途径和方法。
解决积分问题的方法多种多样，若仅限定于初等数学方法，解题往往需要较强的技巧，因此高等数学又从对称性的角度找到了便利，它是讨论积分问题的有力武器。
对称性的作用在许多工程，经济等方面也非同小可。
因此无论从考试角度及能力方面都需要对对称性进行系统的总结。
1 对称性在积分计算中的应用1.1 对称性在计算区间[],a a -上的定积分的应用性质1 对于对称区间[],a a -上的定积分，有：0()()2()()aaaf x x f x dx f x dx f x x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量为奇函数如果关于变量为偶函数证明：①设()f x 为奇函数，则()f x =()f x --，故：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰在第二个式子中令x t =-，则(1)dx dt =-，所以：原式0()(1)()aaf t dt f x dx -=--+⎰⎰()()a af t dt f x dx =-+⎰⎰0=②如果()f x 为偶函数，证明方法类似于①。
例1.1 已知()f x =36x x +为定义于闭区间[]1,1-上的函数。
求：11()f x dx -⎰。
解：因为3()6f x x x =+为定义于定义域上的奇函数，故由上面的性质可得：11()0f x dx -=⎰例1.2 设2242sin cos 1x x M dx xππ-=+⎰，2234(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰，22234(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰。
则有______()A N P M << ()B M P N << ()C N M P << ()D P M N <<解：在M 中，因为被积分函数42sin cos 1x x x +是奇函数且积分区域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因此 0M =。
对称性在积分计算(定积分,重积分,线,面积分)中的应用
3对称性在多元积分中的应用
• 积分学是高等数学中重要的部分。通过一元函 数定积分的几何意义得到一个非常重要的解题技 巧——利用对称性解题。
•一、对称性的共性问题
•二、对称性特性问题
• 谢谢大家！
1定积分概念及其一般性质
定积分是指由计算平面上封闭曲线围城区域的 面积而产生的。为了计算这个区域的面积，我们要 最后归结为计算具有特定结构的和式的极限。我们 在实践中逐步认识到，这种特定结构的和式的极限 不是只有计算区域面积的数学工具，而且也是计算 很多实际问题的数学工具。所以，不管在理论上还 是在实践中，特定结构的和式的极限——定积分具 有意义。所以说定积分是数学分析重要的组成部分。
对称性在积分计算（定积分，重 积分，线，面积分）中的应用
摘
要
•积分计算是微积分的基本运算，但求积分却没有固 定的方法可循，只能依据基本思路，因题而已进行 尝试。数学问题的复杂性、趣味性导致人们寻求多 种解题方法, 根据对称性来解题, 可以得到简法完 美的结果。 •二重积分是定积分概念的推广和发展, 二重积分一 方面积分区域的对称性较之定积分区间的对称性而 言情况复杂一些，另一方面被积函数是二元函数， 其关于变量的奇偶性也较定积分的一元函数要多变 一些。
2对称性的基本概念及计算单侧积分 当中的应用
•
对称性是指某一事物对象的两个部分的对等 性。这个定义我们用集合的形式可以表述如下： 假设给定一个集合，在这个集合以内考虑元素间 的某些关系，与此同时假设是的一个子集，对于 的一个可允许变换，如果变换将集合中的每一点 仍然变为的点。称集合是对称的或不变的，有关 数与形的对称在积分学中极为常见，许多问题初 看起来似乎难以解决，不易下手，单一旦恰当地 利用了某种对称性，这个复杂的计算问题就变得 异常简单。
积分计算中的对称性研究
积分计算中的对称性研究积分计算，作为数学中的重要研究课题，在当今的世界中越来越受到重视，它用于计算定积分或多元积分，并受到在微积分，物理或工程等领域中应用的广泛支持。
在各种不同场合下有着广泛的应用，它可以作为一种数学工具，用于计算实际或理论上的问题。
积分计算的研究一直以来都存在着一定的改进和优化的可能性。
本文的主要目的是探讨积分计算中的对称性，以及相关的技术改进方法。
积分计算的对称性研究主要涉及两个方面：一是对积分的数字和函数的对称性；二是对积分计算过程中的变量的对称性。
在数字和函数的对称性研究中，研究者需要考虑积分表达式中变量和数字函数的形式特征，以及积分数字的近似求解，探讨这些变量和数字函数之间的关系。
另外，在积分计算过程中的变量的对称性研究中，重点是在给定条件下，如何改善积分运算的稳定性和准确性，以提高计算效率，减少计算误差。
为了满足积分计算中的这种变量和数字函数之间对称性的要求，科学家们已经开发出了多种技术和方法，来改进和优化积分计算过程。
其中最常用和有效的技术之一就是数字积分技术，即将复杂的积分表达式转换为数字，通过计算机计算。
这种技术能够有效地提高计算准确性，克服传统的积分计算方法存在的诸多问题，满足积分对称性的要求。
此外，科学家还开发了多元积分技术，以满足复杂的积分问题的求解要求。
它通过分解复杂的函数，使得积分计算过程更容易、更有效。
综上所述，积分计算中的对称性研究可以显著改善积分运算的稳定性和准确性，从而有效提高积分计算中的效率和把握准确度。
科学家们可以根据不同的应用场合，结合上述技术和方法，进一步完善积分计算的数字和函数的对称性以及变量的对称性，以期实现更高的积分计算效率。
据此，利用现有的技术和方法，本文着重探讨积分计算中的对称性，以及相关的技术改进方法。
通过对积分计算中的数字和函数的对称性，以及积分计算过程中变量的对称性进行全面研究，可以有效帮助科学家们更好地把握积分计算的稳定性和准确性，从而获得更好的结果。
对称性在微积分计算中应用研究报告
对称性在微积分计算中应用地研究1 对称性在微分学中地应用若()n x x x f ,,21中任意两个变元对换而函数不变，则称()n x x x f ,,21是对称函数.则我们可以定义极限地对称性如下:若()y x f ,是极限存在地对称函数，则()()x y f y x f y y x x y y x x ,lim,lim000,,→→→→=，或者有()()x y f y x f y y x x y y x x ,lim lim ,lim lim 0000→→→→=.1.1 对称性在导数计算中地应用(1) 若()y x f ,是偏导数存在地对称函数，则()()x y f yy x f x ,,∂∂=∂∂； 而当()()x y f y x f ,,-=时，有()()x y f yy x f x ,,∂∂-=∂∂ 例1.1 设函数()y x z z ,=由方程()0,=++nz y mz x F 确定，其中F 是可微函数，m 与n是常数，求yzn x z m∂∂+∂∂. 解()0,=++nz y mz x F ，两端对x 求导得 ()0121='⋅'+'+⋅'x x z n F z m F ，即 ()121F z F n F m x '-=''+' ，从而 211F n F m F z x '+''-=' （1）根据y x ,地对称性，得 212F n F m F z y '+''-=' （2）由（1）（2）两式得 121-='+'z n z m正是由于考虑到y x ,地对称性，从而通过x z '得到y z '地值，避免了重复计算.例1.2()xyy x u 22+=，求yu x u ∂∂∂∂,. 解 把y 看成常数对x 求偏导，这时u 是x 地幂指函数.因此，改写为)y xy ln(x 22e+=u .=∂∂x u ()22ln()22222e ln xy x y x y x y x x y +⎡⎤++⋅⎢⎥+⎣⎦()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=22222222ln y x x y x y y x xy由y x ,地位一样，利用轮换，把x 换成y ，y 换成x ，有=∂∂yu()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++22222222ln y x y y x x y x xy(2) 若()z y x f u ,,=是一个三元轮换对称函数，则它对任一变元所得地n 阶偏导数地结果都可以经轮换x z z y y x →→→,,直接转换为其他变元地n 阶偏导数.例1.3 设()222,z y x z y x f u ++++=，求222222zuy u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆. 解 由x f f xu221⋅'+'=∂∂， ()222211211222222f x x f f x f f xu '+''+''+⋅''+''=∂∂22221211244f f x f x f '+''+''+''=， 由对称性得 22y u ∂∂22221211244f f y f y f '+''+''+''=, 22z u ∂∂22221211244f f z f z f '+''+''+''=， 于是u ∆()()22222212116443f f z y x f z y x f '+''+++''+++''=1.2 对称性在微分计算中地应用微分地计算可以归结为导数地计算，但要注意它们之间地不同之处，即函数地微分等于函数地导数与自变量微分地乘积.例1.4 已知222,1z y x r ru ++==，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u . 证明5222233,r r x x u r x x u -=∂∂-=∂∂,由于在函数u 中，x 与y 对称，x 与z 对称，故 522223r r y y u -=∂∂522223r r z z u -=∂∂ ()033312222225222222=-+-+-=∂∂+∂∂+∂∂⇒r z r y r x rz u y u x u .2 对称性在积分学中地应用2.1 对称性在积分计算中地应用(1）在对称区间[]a a ,-上连续函数()x f 地定积分具有对称性：()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.利用这一结论，可简化定积分地计算，尤其当()x f 为奇函数时，则可避免复繁杂地计算，提高计算效率. 例2.1.1 计算()x x d e 1ln 22x ⎰-+分析 显然积分区间关于原点对称，但()xe1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和. 解 令()()xx f e1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，所以有()()[]38d d 21d e e 2ln 21d e 1ln 20222222x -x ===+++=+⎰⎰⎰⎰--x x x x x x x x x x .在连续函数图形关于原点或直线对称时有推广到如下性质:(1) 若()x f y =地图形关于直线0x x =对称，即()()x x f x x f +=-00，则()()x x f x x f a x x a x ax d 2d 0000⎰⎰++-=(2) 若()x f y =地图形关于()0,0x 对称，即()()x x f x x f +=-00，则()0d 00=⎰+-x x f a x ax ,同样，若满足()()x b f x f --=，则()0d 0=⎰x x f b(3) 若函数()x f y =与()x g y =地图形关于直线0x x =对称，即()()x x g x x f +=-00，则()()x x g x x f a x ax a x ax d d 0000⎰⎰+-+-=.同样若是关于点()0,0x 对称，即()()x x g x x f +-=-00，则()()x x g x x f a x ax a x ax d d 0000⎰⎰+-+--=例2.1.2 求x x nxd sin 2sin 0⎰π（n 为正整数）解 设()x nxx f sin 2sin =，因为()()x f x f -=-π，由性质（3）有0d sin 2sin 0=⎰x xnx π 例2.1.3 求⎰2d sin ln πx x解 因为0=x 为被积函数x sin ln 地无穷间断点，此题积分为广义积分，由性质（4）得⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==20202020d cos sin ln 21d cos ln d sin ln 21d sin ln ππππx x x x x x x x x I因为()x f x x x x x f ==⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-cos sin ln 2cos 2sin ln 2πππ，则由对称性得 =I 2ln 4d sin ln 40ππ-⎰x x ,令t x =2，有=I 2ln 4d sin ln 2120ππ-⎰x x ，即2ln 2d sin ln 2ππ-=⎰x x以上几例利用了拓展对称性，使得解题过程都有不同程度地简化.由此可见研究函数地对称性是个极好地方法.2.2 对称性在重积分计算中地应用2.2.1 二重积分中地对称性(1) 通常，二重积分具有如下对称性性质：① 如果积分区域D 关于x 轴对称，()y x f ,为y 地奇偶函数，则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,DD f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.1D 为D 在上半平面部分.② 如果积分区域D 关于y 轴对称，()y x f ,为x 地奇偶函数，则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2D 为D 在右半平面部分.③ 如果积分区域D 关于原点对称，()y x f ,为y x ,地奇偶函数，则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,DD f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.1D 为D 在上半平面部分.④ 如果积分区域D 关于直线x y =对称，则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.常用此性质化简二重积分计算.注意地是仅当积分域D 地对称性及被积函数()y x f ,地 对偶性两者兼得时才能用此性质. 例2.2.1 计算()[]y x y x yf x Dd d 122⎰⎰++，其中D 由1,1,3-===x y x y 围成. 解 做曲线3x y =，则积分区域被分为1D 和2D ，1D 关于x 轴对称，2D 关于y 轴对称，由于被积函数是x 地奇函数，故有 ()[]0d d 1222=++⎰⎰y x y x yf x D ，由于()22y x xyf +是奇函数，故有()[]()52d 2d d 20d d d d 101401x -022311-=-==+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x y x x y x x y x y x yf x D D .(2) 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析.特别，当具有轮换对称性（y x ,互 换，D 保持不变）时，往往用如下方法： ①()()()()[]y x x y f y x f y x x y f y x y x f DDDd d ,,21d d ,d d ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰+== ②D 关于直线x y =对称，记D 位于直线x y =上半部分区域为1D ， 当()()x y f y x f ,,=时()()y x y x f y x y x f D Dd d ,2d d ,1⎰⎰⎰⎰=当()()x y f y x f ,,-=时()0d d ,=⎰⎰y x y x f D例2.2.2 设{}0,0,422≥≥≤+=y x y x D ，()x f 为D 上地正值连续函数，b a ,为常数，计算()()()()σd ⎰⎰++Dy f x f y f b x f a .解 由轮换对称性得 ()()()()()()()()σσd d ⎰⎰⎰⎰++=++=DDy f x f x f b y f a y f x f y f b x f a I ,因此有()()()()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=⎰⎰⎰⎰σσd d 21D D y f x f x f b y f a y f x f y f b x f a I ()πσ221ba db a D +=+=⎰⎰.例2.2.3 求（1）()σd ⎰⎰+D y x ；(2) ()σd ⎰⎰-Dy x ，其中：D 由2,1,122=+≥≥y x y x 在第一象限内所围成地图形.解 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，即积分区域D 关于直线x y =对称，记D 位于直线x y =地上半部分为1D .(1) 因为被积函数(),,y x y x f +=满足()()x y f y x f ,,=，所以()σd ⎰⎰+Dy x ()()1234d d 2d 221202-=+=+=⎰⎰⎰⎰-y D x y x y y x σ.(2) 因为被积函数(),,y x y x f -=()()x y f y x f ,,-=，所以()0d =-⎰⎰σDy x .2.2.2 三重积分中地对称性(1) 三重积分也有类似于二重积分地对称性:如 若()z y x f ,,为区域Ω上地连续函数，有界闭区域Ω关于Oxy 坐标面对称，1Ω为Ω位于Oxy 坐标面上侧地部分，则必有()()()()10,,,,,d d d 2,,d d d ,,,f x y z z f x y z x y z f x y z x y z f x y z z ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.同样对于闭区域Ω关于Oyz Oxz ,坐标面对称也有类似地对称性.也常常用此对称性性质来化简三重积分运算. 例2.2.4 计算三重积分()z y x z x I d d d 22⎰⎰⎰Ω+=，其中Ω为0,1222≥≤++z z y x .解()()z y x z xz x z y x z x I d d d 222d d d 2222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=+=,因为Ω关于yoz 面对陈且xz 22是相应于Ω地奇函数，于是0d d d 22=⎰⎰⎰Ωz y x xz ,又因为积分区域关于平面x y =对称，于是z y x x d d d 2⎰⎰⎰Ω与z y x y d d d 2⎰⎰⎰Ω有相同地积分域和被积函数，所以z y x x d d d 2⎰⎰⎰Ωz y x y d d d 2⎰⎰⎰Ω=，从而有 ()()πϕθππ52d d d d d d d d d 2102222022222=⋅=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩr r r z y x z y x z y x z x I .例2.2.5 计算()z y x z y x z y x z d d d 11ln 222222⎰⎰⎰Ω++++++，其中(){}1,,222≤++=Ωz y x z y x . 解 积分区域关于xoy 面对称，被积函数是z 地奇函数，则有()0d d d 11ln 222222=++++++=⎰⎰⎰Ωz y x z y x z y x z I (2) 若积分区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性，则()()()()()()[]v y x z F x z y F z y x F v y x z F v x z y F v z y x F d ,,,,,,31d ,,d ,,d ,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===例2.2.6 计算()v z xd 22⎰⎰⎰Ω+，其中1:222≤++Ωz y x .解 因为积分区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性，所以()22d xz v Ω+=⎰⎰⎰()()()[]v x z z y z x d 31222222⎰⎰⎰Ω+++++ 212224000228d d d sin d 3315x y z v r r ππθϕϕπΩ⎡⎤=++==⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.3 对称性在曲线积分计算中地应用2.3.1 第一类曲线积分（1）若分段光滑曲线L 关于y 轴对称，()y x f ,在L 上为连续函数，1L 为L 位于y 轴右侧地弧段，则()()()()10,,,d 2,d ,,LL f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若分段光滑曲线L 关于x 轴对称，()y x f ,在L 上为连续函数，1L 为L 位于x 轴上侧地弧段，则()()()()10,,,d 2,d ,,LL f x y y f x y s f x y s f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若L 关于直线x y =对称，记L 位于直线x y =上半部分区域为1L ，则()()()()()()10,,,,d 2,d ,,-,LL f x y f y x f x y s f x y s f x y f y x =⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰当时,当时. 例2.3.1 计算s y x Cd ⎰，其中C 是抛物线2y x =上从()1,1-A 到()1,1B 地一段弧.解 因为C 关于x 轴对称，被积函数y x 是y 地奇函数，所以0d =⎰s y x C.（4）通常我们也可以利用轮换对称性来化简：若积分曲线L 关于y x ,具有轮换对称性，则()()()()[]s x y f y x f s x y f s y x f L L Ld ,,21d ,d ,⎰⎰⎰+== 例2.3.2 设L 为球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 地交线，试求s x I Ld 2⎰=. 解 我们利用轮换对称性可知222d d d LLLx s y s z s ==⎰⎰⎰，所以()3223d 3d 31222222a a a s a s z y x I L L ππ===++=⎰⎰.例2.3.3 计算2d x s Γ⎰，其中Γ为2222,0.x y z R x y z ⎧++=⎨++=⎩解 因为Γ关于z y x ,,具有轮换对称性,所以()222223112d d d 333x s x y z s R s R πΓΓΓ=++==⎰⎰⎰ 例2.3.4 设L 为曲线1=+y x，求⎰Ls xd .解 利用变量地轮换对称性，得()111d d ds ds d 222LLLL L x s y s x x y s =⇒=+==⨯=⎰⎰⎰⎰⎰2.3.2 第二类曲线积分（1）设分段光滑地平面曲线L 关于x 轴对称，且L 在x 轴地上半部分1L 与在下半部分地2L 方向相反，则()()()()10,,,d 2,d ,,L L P x y y P x y x P x y x P x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,是关于的奇函数.（2）设分段光滑地平面曲线L 关于y 轴对称，且L 在y 轴地右半部分1L 与在左半部分地2L 方向相反，则()()()()10,,,d 2,d ,,L L P x y x P x y x P x y x P x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,是关于的奇函数.例2.3.5 计算⎰Lx y x d ，其中L 是抛物线x y =2上从()1,1-A 到()1,1B 地一段弧.解1 化成对x 地定积分计算 21L L L +=,01:,:1→-=x x y L ；10:,:2→=x x y L ，则d d d d d d d 111121=+-=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x x y x x y x x y x L L L解2 利用对称性计算因为L 关于x 轴对称，且方向相反，又被积函数()y x y x f =,是y 地偶函数， 显然有0d =⎰Lx y x .例2.3.6 计算⎰++ABCDA y x yx d d ，其中ABCDA 是以()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点地正方形正向边界线. 解 利用对称性计算，有⎰⎰⎰+++=++ABCDA ABCDA ABCDA y x yy x x y x y x d d d d对于第一个积分，因为曲线关于x 轴对称，且方向相反，被积函数()yx y x P +=1,是y 地偶函数，所以积分为0；对于第二个积分，因为曲线关于y 轴对称，且方向相反，被积函数()yx y x P +=1,是x 地偶函数，所以积分也为0.因此0d d =++⎰ABCDA y x yx(2) 若积分曲线Γ关于z y x ,,具有轮换对称性，则()()()()()()z y x z P y x z y P x z y x P z y x z P y x z y P x z y x P d ,,d ,,d ,,31d ,,d ,,d ,,++===⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ例2.3.7 计算曲线积分()()()z y x y x z x z yI d d d 222222-+-+-=⎰Γ，其中Γ是球面三角形0,0,0,1222>>>=++z y x z y x 地边界线，从球地外侧看去，Γ地方向为逆时针方向. 解 显然Γ具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将Γ分为三段()0,00,1:221>>==+Γy x z y x , ()0,00,1:222>>==+Γz y x z y ()0,00,1:223>>==+Γz x y z x , 则()()()()()()zy x y x z x z yz y x y x z x z y I d d d 3d d d 2222222222221-+-+-=-+-+-=⎰⎰ΓΓ()()4d 13d 13d d 312012221-=---=-=⎰⎰⎰Γy y x x y x x y .或()()()()4d 3d 3d 3d d d 112222222222-=-+=-=-+-+-=⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓx z x y x z y z y x y x z x z y I 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分地3倍.它们地区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为1Γ上地积分地3倍；第二种方法：积分曲线Γ不变，积分化为表达式中第一项积分地3倍，即()()()()⎰⎰ΓΓ-=-+-+-=1d 9d d d 22222222x z yz y x y x z x z y I2.4 对称性在曲面积分中地应用2.4.1 第一类曲面积分若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上地连续函数，1∑为∑位于xoy 上部地曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.曲面关于xoz yoz ,平面对称也有类似地结论. 例2.4.1 计算曲面积分S zI S d 2⎰⎰=，其中2222:a z y x S =++.解1 由对称性，容易看出S z S yS x SSSd d d 222⎰⎰⎰⎰⎰⎰==所以()42222234d 31d 31d a S a S z y x S z I SS Sπ==++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 解2 如果不用对称性来解，则S 地参数式为ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos sin a z a y a x ===(){}πϕπθϕθ≤≤≤≤=0,20:,D因 222,0,sin a G F a E ===ϕ，所以ϕθd d d 2F EG S -=4022222034d sin cos d a a a I πϕϕϕθππ==⎰⎰.可见如果不懂得利用对称性性质计算则比较多.同样，若积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，则()()()()()()[]S y x z F x z y F z y x F S y x z F S x z y F S z y x F d ,,,,,,31d ,,d ,,d ,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑++===例2.4.2 计算()S z y xd 2224⎰⎰∑+，其中∑是闭曲面2222=++z y x .解 因为积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，所以()()()()[]S y x z z x y z y x S z y xd 22231d 2224224224224⎰⎰⎰⎰∑∑+++++=+ ()π332d 431d 31222==++=⎰⎰⎰⎰∑∑S S z y x . 2.4.2 第二类曲面积分(1) 设分片光滑地曲面∑关于xoy 坐标面对称，且∑在xoy 上半空间地部分曲面1∑取定上 侧，在xoy 下半空间地部分曲面2∑取定下侧，则()()()()10,,,,,d d 2,,d d ,,,R x y z z R x y z x y R x y z x y R x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,关于是奇函数. (2) 设分片光滑地曲面∑关于yoz 坐标面对称，且∑在yoz 前半空间地部分曲面1∑取定前 侧，在yoz 后半空间地部分曲面2∑取定后侧，则()()()()10,,,,,d d 2,,d d ,,,P x y z x P x y z x y P x y z y z P x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,关于是奇函数. (3) 设分片光滑地曲面∑关于xoz 坐标面对称，且∑在xoz 右半空间地部分曲面1∑取定右 侧，在xoz 左半空间地部分曲面2∑取定左侧，则()()()()10,,,,,d d 2,,d d ,,,Q x y z y Q x y z x y Q x y z y z Q x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,关于是奇函数. 例2.4.3 求矢量k y x j z i A x22e +++=穿过曲面∑地通量，其中∑为曲线⎩⎨⎧==0x y z 绕z 轴旋转一周所成旋转曲面地外侧在21≤≤z 间部分（不包括上、下底）.分析 若我们能对第二类曲面积分用∑地对称性与被积函数地奇偶性来简化计算，那直接计算此曲面积分是方便地.因∑关于yoz 面对称，被积函数1=P 对x 为偶函数，则0d d =⎰⎰∑z y ，因∑关于xoz 面对称，被积函数z Q =对y 为偶函数，则0d zd =⎰⎰∑x z ，于是⎰⎰∑+=Φy x yx xd d e22，将它化为二重积分得⎰⎰+-=Φ+xyD y x y x yx d d e2222,其中21:22≤+≤y x D xy 是∑在xoy 面上地投影区域，对∑来说是取下侧，故公式前带负号.作极坐标变换得()e -1e 2d re d 2020πθπ=-=Φ⎰⎰r r r.例 2.4.4 计算第二型曲面积分 ⎰⎰++=Sy x z x z y z y x I d d d d d d ，其中S 是顶点为()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1地三角形地下侧.解 由对称性得()()()21d -123d 1d 3d d 13d d 312101010,0-=-=---=---==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-≥+≥≥y y x y x y y x y x y x z I yy x y x S（4）若积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，则()()()()()(),,d d ,,d d ,,d d 1,,d d ,,d d ,,d d 3P x y z y z P y z x z x P z x y x yP x y z y z P y z x z x P z x y x y ∑∑∑∑===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例2.4.5 计算⎰⎰∑++x z yz z y xy y x xz d d d d d d ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成地空间区域地整个边界曲面地外侧.解 因为积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑∑3421d d d d d d d d 3d d 3d d d d d d y x xz y x xz y x xz y x xz y x xz x z yz z y xy y x xz ()()81d 1d 3d d 130001010=--=--+++=⎰⎰⎰⎰-x D y y x x x y x y x x xy例 2.4.6 计算y x r z x z r y z y rx I d d d d d d 333++=⎰⎰∑，其中222z y x r ++=，∑为球面2222R z y x =++地外侧.解 因为∑关于z y x ,,具有轮换对称性，所以y x rzI d d 33⎰⎰∑=,又因为∑关于xoy 面上下对称，上∑与下∑方向相反，且3r z 是z 地奇函数，则y x rzy x r z d d 2d d 33⎰⎰⎰⎰∑∑=上，故有 πθπ4d d 6d d 6d d 602220322233222=-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑a Ry x r r r R R y x y x R R y x r z I 上3 对称性在几何形体量和物理量计算中地应用 3.1对称性在几何形体量计算中应用通常所说地几何形体量有面积计算和体积地计算.解答时往往利用图像地对称性来简化 计算.例3.1.1 计算心脏线()()0cos 1>+=a a r θ所围成地图形面积. 解 由于心脏线关于极轴对称()()222200220121cos d 12cos cos d 23132cos cos 2d 222A a a a a πππθθθθθθθθπ=+=++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰例3.1.2 求柱面222a y x =+和222a z x =+所围立体地体积.解 选取y 为积分变量，由立体关于坐标系地对称性，只要求出其体积地81.y 地变化区间为[]a ,0，在[]a ,0上坐标y 处作垂直于y 轴地平面，得所求立体地截面是正方形，边长为22y a -，且()22y a y A -=，于是()()3220316d 8d 8a y y a y y A V aa =-==⎰⎰. 3.2 对称性在物理量计算中地应用物理量地计算我们在这只讨论重心和转动惯量等地计算.例3.2.1 设有密度为1地圆环形薄板，其内半径为1r ，外半径为2r ，一质量为m 地质点P 位于过圆环中心地垂直线上，且离中心距离为a ，求圆环对质点P 地引力.解 由对称性，只需求垂直方向地分力.从r 到r r d +小圆环对质点P 沿垂直方向地引力元素为()r a r kmara r a a r m r r k dF d 12d 223222222+=+⋅+⋅⋅=ππ,故 ()⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=+=212222212322r 1r 12rd 2a a kma arkma F ππ 例3.2.2 求均匀曲面222y x a z --=地重心.解 由对称性，0==y x ，且()⎰⎰⎰⎰∑∑==S z S S z y x z Mz d 1d ,,1ρ, 32222222d d d d d a a a y x a y x y x a a y x a S z xyxyD D ππ=⋅==--⋅--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑,2,22a z a S ==π，故重心为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0,0a .例3.2.3 试求带均匀密度地球面2222:R z y x S =++对x 轴地转动惯量. 解 首先写出转动惯量公式()⎰⎰+=Sx S z yI d 22μ.利用对称性可知球面对过中心地任一轴地转动惯量全相等，有z y x I I I ==，即有()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰SS S z y x x dS y x dS z x dS z y I I I I 222222331μ ()4222222R 38R 4R 32d R 32d 32μππμμμ=⋅==++=⎰⎰⎰⎰SSS S z y x. 由以上几例可见，此类问题都是应用积分来计算，因此在解题中时应用到地对称性性质可归结为对称性在积分计算中地应用.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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2、举例应用
（三）第二类曲面积分的对称性定理求积分
1、第二类曲面积分的对称性定理
2、举例应用
三、对称性在三重积分的计算中的定理及应用
1、对称性在三重积分的计算中的相关定理
2、举例应用
参考文献：
[1]殷锡鸣等.高等数学（下）[M].上海：华东理工大学出版社.2005.304-331.
二、本选题的研究现状和自己的见解
1、研究现状
积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中利用穷竭法求出抛物线弓形的面积，人们没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。经过18、19世纪一大批数学家的努力，特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以极限的观点定义了微积分的基本概念，并简洁而严格地证明了微积分基本定理即牛顿―莱布尼茨公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。积分的计算求解方法有很多种，在这里我主要讨论的是运用对称性求解积分的方法。
一对称性在一重积分的计算中的定理及应用1函数的奇偶性求定积分2第一类曲线积分的对称性定理求积分一函数的奇偶性求定积分1函数的奇偶性求定积分的相关定理2举例应用二第一类曲线积分的对称性求积分1第一类曲线积分的对称性求积分的相关定理2举例应用三第二类曲线积分的对称性求积分1第二类曲线积分的对称性求积分的相关定理2举例应用二对称性在二重积分的计算中的定理及应用一二重积分的对称性定理求积分1二重积分的对称性求积分的相关定理1举例应用二第一类曲面积分的对称性定理求积分1第一类曲面积分的对称性定理1举例应用三第二类曲面积分的对称性定理求积分1第二类曲面积分的对称性定理2举例应用三对称性在三重积分的计算中的定理及应用1对称性在三重积分的计算中的相关定理2举例应用参考文献
3.描述性研究法：将已有的解法、理论通过自己的理解和验证，叙述并解释出来。
4.思维方法：对积分计算中对称性的应用问题的求解方法进行归纳演绎、类比推理、抽象概括、思辩想象、分析各种解法及举例说明。
研究进度计划：
2013年5月28日-2013年6月24日确定毕业论文题目
2013年6月25日-2013年7月5日在教师的指导下完成开题报告
[6]伍胜健.数学分析（第一册）[M].北京：北京大学出版社.2009.8.
[7]伍胜健.数学分析（第二册）[M].北京：北京大学出版社.2010.2.
[8]伍胜健.数学分析（第三册）[M].北京：北京大学出版社.2010.8.
主要研究方法：
1.调查法：通过图书馆和互联网查找论文信息。
2.文献研究法：通过查阅文献和书籍，认真研读论文设计中将会用到的理论和方法，了解本选题的发展趋势，了解积分计算中对称性的应用问题的方法。
积分计算中对称性在很多学科领域内有着重要的应用，例如天文学、力学、化学、生物学、工程学等。在现实生活中我们运用对称性可以轻松的解决一些实际问题，例如求某些面积、体积、弧长等。在学习过程中，常常发现自己在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了积分计算的难度，若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性，（重复，再修改）就能简化积分计算过程，从而能节省更多的时间，也使得学习更轻松、更具科学性、有效性。
学科分类
（二级）
110.34
题目来源（a.教师拟题；b.学生自拟；c.教师科研课题；d.其他）
a
本选题的根据：1）说明本选题的研究意义和应用价值
2）简述本选题的研究现状和自己的见解
1、本选题的研究意义和应用价值
数学分析是高等院校数学专业本科生最重要的基础课之一，而积分计算又是数学分析中的重点和难点，其重要性是不言而喻的。对称性不仅是数学美的重要特征，运用在积分求解的方法中又是一个非常重要的方法，因而探讨对称性在积分计算中的应用就非常必要。在某些复杂的积分计算和证明的过程中，特别是涉及二重和三重的积分计算问题用常规的方法解决十分困难，.若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求积分计算的简化途径，利用其结果计算，可以简化计算过程，提高解题效率，对于有些原本并不具有对称性的问题，我们要善于根据问题的特点构造对称性，从而达到简化问题的目的。
积分计算中对称性的应用问题可分为三类来讨论，即一重积分、二重积分和三重积分。对于积分计算中对称性的应用问题，研究到现在有：
㈠对称性在一重积分的计算中的应用
1）利用函数的奇偶性求定积分
函数 在区间[-a,a]上可积，若 为奇函数，则 ；若 为偶函数，则 。这种方法首先要是判断函数在区间上是否可积，再利用函数的对称性来求积分。它主要用于奇函数和偶函数的积分计算。
（3）对环境影响很小、不需要进行环境影响评价的建设项目，填报环境影响登记表。开题会议纪要
1.法律时间
（2）评价方法的适当性；
地点
第五章 环境影响评价与安全预评价
开题
小组
表四：项目排污情况及环境措施简述。成员
另外，故障树分析（FTA）和日本劳动省六阶段安全评价方法可用于定性、定量评价。姓名
职称
姓名
职称
3）利用第二类曲线积分的对称性求积分
①主要讨论投影元素的正负，考察 在对称点上的符号。
②积分曲线T关于 , , 具轮换对称性问题。
③设 是 平面上关于 对称的一条光滑曲线弧， ，任意 ,有 ，讨论 ， 在 轴（y轴）投影方向求积分的问题。
㈡对称性在二重积分的计算中的应用
1）利用二重积分的对称性定理求积分
①对于函数 在有界闭区域 上连续的问题，考虑 是关于 （或 ）的奇函数或偶函数。
②讨论有界闭区域D关于x轴和y轴均对称，函数 在D上连续且 关 和 均为偶函数的问题。
③对于有界闭区域D关于原点对称，函数 在 上连续的问题，判断函数 的奇偶性。
2）利用第一类曲面积分的对称性定理求积分
若积分曲面 可以分成对称的两部分 ，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面 关于 (或 ,或 )坐标面对称}。考虑 关于 (或 ,或 )为奇函数还是偶函数。
姓名
职称
开题小组意见（含开题基本情况及结论）：
组长签名：
年月日
院、系意见：
分管领导签名：
年月日
[2]吉米多维奇.数学分析习题集题解（六）[M].济南：山东科学技术出版社.2002.105-144.
[3]同济大学应用数学系.（下）[M].上海：同济大学出版社.2003.306-321.
[4]刘玉链，付沛东.数学分析讲义（下）[M].北京：高等数学教育出版社，1996.
[5]林源渠.高等数学复习指导语与典型例题题分析[M].机械工业出版社，2002.
3）利用第二类曲面积分的对称性定理求积分
利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号，我以曲面积分 为例来讨论，当曲面指定侧上动点的法线方向与 轴正向成锐角时，面积元素 在 面上的投影 为正；当曲面指定侧上动点的法线方向与 轴正向成钝角时，面积元素 在 面上的投影 为负。在利用对称性时，我们必须考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号。
研究的主要内容：
研究的内容主要为：对称性在积分计算的应用中的一些定理和对称性在积分计算的应用中的一些例题。
一、对称性在一重积分的计算中的定理及应用
1、函数的奇偶性求定积分
2、第一类曲线积分的对称性定理求积分
（一）函数的奇偶性求定积分
1、函数的奇偶性求定积分的相关定理
2、举例应用
（二）第一类曲线积分的对称性求积分
2）利用第一类曲线积分的对称性定理求积分
①设平面内光滑曲线 , 与 关于 （或 ）轴对称，函数 在 上连续，根据函数 关于 （或 ）的奇偶性求积分。
②设平面内光滑曲线 , 与 关于 轴对称且方向相反，函数 在 上连续，那么：
（ⅰ）若 是关于 的偶函数，则
（ⅱ）若 是关于 的奇函数，则 ,
③设 是 平面上关于直线 对称的一条曲线弧的问题。
2013年8月21日-2013年8月25日将毕业论文开题报告终稿交指导老师审核
2013年9月2日-2013年9月3日论文开题报告答辩
2013年9月4日-2013年10月9日论文初稿的撰写和修改
2013年11月7日-2013年11月11日论文终稿审核
2013年11月12号-2013年12月2日论文答辩准备
1、第一类曲线积分的对称性求积分的相关定理
2、举例应二类曲线积分的对称性求积分的相关定理
2、举例应用
二、对称性在二重积分的计算中的定理及应用
（一）二重积分的对称性定理求积分
1、二重积分的对称性求积分的相关定理
2、举例应用
（二）第一类曲面积分的对称性定理求积分
2013年12月3日-2013年12月4日论文答辩
指导教师意见（含选题的科学性、可行性、应用价值、结合本专业知识的情况以及具体指导意见等）：
第五章 环境影响评价与安全预评价
对于安全预评价的内容，要注意安全预评价的目的、时间，安全预评价报告的内容等知识点。
①主体是人类；
一、安全评价
指导教师签名：
年月日
㈢对称性在三重积分的计算中的应用
利用对称性求三重积分时，要注意（1）积分区域关于坐标面的对称性，（2）被积函数在积分区域上的关于三个坐标的奇偶性。一般地，当积分区域 关于 平面对称，且被积函数 是关于 的奇函数，则三重积分为零；若被积函数 是关于 的偶函数，则三重积分为 在 平面上的半个闭区域的三重积分的两倍。
本科学生毕业论文（设计）
开题报告
题目例谈积分计算中对称性的应用
姓名
学号_________________________
院系_____________________
专业_____ _______________
指导教师__________职称__ __
年月日