测量学：第5章 测量误差理论基础

第五章测量误差理论基础

由前面章节对基本测量要素的测量方法的介绍，我们可以得出一些初步的认识：任何测量工作都必然含有误差；由于误差的存在，如果对一个相同的观测量进行多次观测，每次的观测结果会都不相同；多次观测可以提高观测的精度，且一般情况下，观测次数越多，精度越高。然而，为什么观测结果会出现不一致？为什么多次观测就可以提高观测成果的精度？这涉及到测量学基础中一个重要的知识内容，即测量误差理论。

5.1 观测误差及其分类

5.1.1 观测误差的来源

对于任何一种测量方法，误差是必然存在的，其来源的组成也是非常复杂的，有些可以测定，有些则无法判断。不过，从宏观的角度，即使误差的来源再纷纭多变，最终都是造成观测值与理论真实值的偏差，通过衡量这个偏差的大小和规律，就可以对观测质量作出评定。

测量中的误差主要是指观测误差，大体来自三个方面：

1）观测仪器

每种测量工作都需要使用特定的仪器，而且根据观测条件和精度要求等因素的不同，仪器又可以分为更多的门类。每种仪器都具有各自的精密度，但精密度是有限的，不可能无限精准，例如水准测量中，水准尺的分划只能精确到厘米，而毫米位我们只能估读，这会产生一定的误差。此外，仪器本身也会含有一定的误差，比如水准仪的视准轴与水准管水准轴不平行、钢尺分划不均匀等，这些误差也会对测量结果产生影响。

2）观测人员

每个观测人员都有各自的生理特征，其感官尤其是视觉辨别能力是有限的，在照准和读数时就会产生误差，而且人员不同，产生的误差程度也不相同。此外，观测人员的操作水平、熟练程度以及态度和情绪都会对观测产生影响。

3）观测环境

观测时的自然环境包括温度、湿度、地形、风速、大气等，这些因素会对观测造成影响。

综上所述，观测仪器、观测人员和观测环境是造成观测误差的三个主要因素，又称为观测条件。

5.1.2 观测误差的分类

观测误差根据其分布规律可分为系统误差和偶然误差两类。当在相同的观测条件下，对某个相同的观测量进行多次观测，如果观测误差在符号和大小上呈现一致的倾向，即常数或按一定的规律变化，这种观测误差称为系统误差。当在相同的观测条件下，对某个相同的观测量进行多次观测，如果观测误差在符号和大小上都没有呈现一致的倾向，毫无规律性，这种观测误差称为偶然误差。

系统误差和偶然误差通常不是孤立存在的，也就是说，所有的观测过程都同时存在系统误差和偶然误差。只不过，对于有些观测结果，系统误差的影响占据主导地位，此时观测误差具有系统性；而对于有些观测结果，偶然误差的影响占据主导地位，此时观测误差就具有偶然性。

系统误差会对观测结果产生很大的影响，但由于其具有明显的规律性，在测量中可以设法将其削弱甚至消除。相比较而言，偶然误差由于在变化上不具有规律，其对观测结果的影响通常难以简单地量化，必须施以科学和合理的处理方法，而偶然误差的处理是测量学的重要研究内容之一。

5.2 偶然误差的性质

假设在相同的观测条件下，对某个相同的观测量进行多次独立（各观测值之间不相互影响，即某一次观测所产生的观测误差不影响其它观测误差的大小）的观测。首先，该观测量具有一个理论真实值，称为真值X ，绝大多数情况下是未知的，需要通过观测求得。

如果观测不存在任何误差，那么只需观测一次，所得的观测值就是真值，即使观测多次也应该每次观测值都相等。不过，这种理想情况显然是不存在的，由于偶然误差（假设不存在系统误差或已被消除，后文同）的影响，实际上每一次的观测值i L 都与真值之间具有一定的偏差，称为真误差或观测误差i ∆：

X L i i -=∆

如果观测的次数足够多，通过统计分析，得出下列偶然误差的基本性质：

1）有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；

2）趋小性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即概率要大；

3）正负等概率性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即概率相同；

4）均值趋零性：当观测次数趋近于正无穷时，偶然误差的算术平均值趋近于0，即：

[]0lim =∆+∞→n

n 实际上，对于在相同观测条件下所进行的任何一组独立观测，不论其观测条件具体如何，也不管是对一个还是多个观测量进行观测，偶然误差都会呈现上述的性质。只不过，观测次数越多，上述的性质体现得越明显。

根据概率论的相关知识，偶然误差的性质可描述为正态分布或高斯分布，其概率密度为：

()22221σσπ∆-=

∆e f 公式中的σ为观测误差的标准差（2σ为方差），其值为：

[]n

n 22lim ∆=+∞→σ

分析该分布公式，可得： 1）()∆f 为一个偶函数，即函数图像关于纵轴（误差值的出现次数）对称，也就是说，绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。这与偶然误差的第三性质是一致的；

2）∆越大则()∆f 越小，当±∞→∆时，()0→∆f ；反之，∆越小则()∆f 越大，

当0=∆时，()σπ21=∆f ，为最大值。这与偶然误差的第一和第二性质是一致的；

3）将公式对∆求二阶导数，可得该函数曲线的拐点横坐标为σ±。σ越大，曲线越缓，即误差分布比较分散；σ越小，曲线越陡，即误差分布比较集中。因此，当一组观测的误差分布比较集中时，其σ较小，观测质量较好；当一组观测的误差分布比较分散时，其σ较大，观测质量较差。

5.3 观测精度的评定指标

测量中关于观测精度的评定指标主要有中误差、相对中误差和容许误差。

5.3.1 中误差

由上文可知，偶然误差服从正态分布，其方差为：

[]n

n 2

2lim ∆=+∞→σ 该方差（或标准差）可以用来衡量观测的质量，即σ越大则观测质量越差，σ越小则观测质量越好。

不过，在具体测量工作中，要求观测个数趋近正无穷是不实际的。因此，标准差只是一个理论值，如果对其求在有限观测次数条件下的估计值，该估计值称为中误差m ，表示为： []n

m 2

∆±= 与标准差相比，中误差对于观测精度的评定具有更实际的应用意义。对于在相同观测条件下的一组独立观测，每一个观测可以称为同精度观测值，具有相同的中误差。不过需要注意的是，同精度观测值只是意味着这些观测值具有相同的中误差，但每一个观测值的观测误差并不相等。此外，在测量工作中，当精度评定要求不高时，为了计算方便，可采用平均误差或或然误差作为评定指标。

对于在相同观测条件下的一组独立观测，平均误差是偶然误差绝对值的算术平均值（数学期望），即：

[]n

∆±=μ 对于在相同观测条件下的一组独立观测，或然误差ϑ满足条件：偶然误差出现在()

ϑϑ+-，之间的概率为0.5。在计算时，首先将观测误差绝对值按大小顺序排列（相等时须重复记录），然后当奇数个时取中间值，当偶数个时取中间两个的均值。

根据误差理论，当观测个数∞→n 时，平均误差和或然误差分别约为中误差的0.7979倍和0.6745倍。此外，由于偶然误差可正可负，平均误差和或然误差的值都带有±号。 5.3.2 相对中误差

中误差可以用来评价误差分布的情况，以估计地表示观测误差的绝对大小，但当观测量不相同时，就不足以衡量精度的高低。例如，丈量一短一长两段距离，均为同精度观测，且具有相同的中误差，但显然观测精度并不相同，距离越长，精度会越高。

在直线丈量的章节中，曾提及相对误差的概念，其值为观测值最大值与观测值最小值的差值除以观测值的平均值。不过，这其实适用于各观测值的观测误差未知的情况，并不精确。测量误差理论的一个最基本原则是：评定观测精度时须使用条件允许下的最为准确和有效的评定方法。

当观测误差即真误差已知时，可以计算出中误差，用其与观测值（平均值）的比值评定观测误差的相对大小，这种相对误差称为相对中误差，通常写成分子为1的分式：