测量学：第5章 测量误差理论基础

第五章测量误差理论基础由前面章节对基本测量要素的测量方法的介绍，我们可以得出一些初步的认识：任何测量工作都必然含有误差；由于误差的存在，如果对一个相同的观测量进行多次观测，每次的观测结果会都不相同；多次观测可以提高观测的精度，且一般情况下，观测次数越多，精度越高。

然而，为什么观测结果会出现不一致？为什么多次观测就可以提高观测成果的精度？这涉及到测量学基础中一个重要的知识内容，即测量误差理论。

5.1 观测误差及其分类5.1.1 观测误差的来源对于任何一种测量方法，误差是必然存在的，其来源的组成也是非常复杂的，有些可以测定，有些则无法判断。

不过，从宏观的角度，即使误差的来源再纷纭多变，最终都是造成观测值与理论真实值的偏差，通过衡量这个偏差的大小和规律，就可以对观测质量作出评定。

测量中的误差主要是指观测误差，大体来自三个方面：1）观测仪器每种测量工作都需要使用特定的仪器，而且根据观测条件和精度要求等因素的不同，仪器又可以分为更多的门类。

每种仪器都具有各自的精密度，但精密度是有限的，不可能无限精准，例如水准测量中，水准尺的分划只能精确到厘米，而毫米位我们只能估读，这会产生一定的误差。

此外，仪器本身也会含有一定的误差，比如水准仪的视准轴与水准管水准轴不平行、钢尺分划不均匀等，这些误差也会对测量结果产生影响。

2）观测人员每个观测人员都有各自的生理特征，其感官尤其是视觉辨别能力是有限的，在照准和读数时就会产生误差，而且人员不同，产生的误差程度也不相同。

此外，观测人员的操作水平、熟练程度以及态度和情绪都会对观测产生影响。

3）观测环境观测时的自然环境包括温度、湿度、地形、风速、大气等，这些因素会对观测造成影响。

综上所述，观测仪器、观测人员和观测环境是造成观测误差的三个主要因素，又称为观测条件。

5.1.2 观测误差的分类观测误差根据其分布规律可分为系统误差和偶然误差两类。

当在相同的观测条件下，对某个相同的观测量进行多次观测，如果观测误差在符号和大小上呈现一致的倾向，即常数或按一定的规律变化，这种观测误差称为系统误差。

当在相同的观测条件下，对某个相同的观测量进行多次观测，如果观测误差在符号和大小上都没有呈现一致的倾向，毫无规律性，这种观测误差称为偶然误差。

系统误差和偶然误差通常不是孤立存在的，也就是说，所有的观测过程都同时存在系统误差和偶然误差。

只不过，对于有些观测结果，系统误差的影响占据主导地位，此时观测误差具有系统性；而对于有些观测结果，偶然误差的影响占据主导地位，此时观测误差就具有偶然性。

系统误差会对观测结果产生很大的影响，但由于其具有明显的规律性，在测量中可以设法将其削弱甚至消除。

相比较而言，偶然误差由于在变化上不具有规律，其对观测结果的影响通常难以简单地量化，必须施以科学和合理的处理方法，而偶然误差的处理是测量学的重要研究内容之一。

5.2 偶然误差的性质假设在相同的观测条件下，对某个相同的观测量进行多次独立（各观测值之间不相互影响，即某一次观测所产生的观测误差不影响其它观测误差的大小）的观测。

首先，该观测量具有一个理论真实值，称为真值X ，绝大多数情况下是未知的，需要通过观测求得。

如果观测不存在任何误差，那么只需观测一次，所得的观测值就是真值，即使观测多次也应该每次观测值都相等。

不过，这种理想情况显然是不存在的，由于偶然误差（假设不存在系统误差或已被消除，后文同）的影响，实际上每一次的观测值i L 都与真值之间具有一定的偏差，称为真误差或观测误差i ∆：X L i i -=∆如果观测的次数足够多，通过统计分析，得出下列偶然误差的基本性质：1）有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；2）趋小性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即概率要大；3）正负等概率性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即概率相同；4）均值趋零性：当观测次数趋近于正无穷时，偶然误差的算术平均值趋近于0，即：[]0lim =∆+∞→nn 实际上，对于在相同观测条件下所进行的任何一组独立观测，不论其观测条件具体如何，也不管是对一个还是多个观测量进行观测，偶然误差都会呈现上述的性质。

只不过，观测次数越多，上述的性质体现得越明显。

根据概率论的相关知识，偶然误差的性质可描述为正态分布或高斯分布，其概率密度为：()22221σσπ∆-=∆e f 公式中的σ为观测误差的标准差（2σ为方差），其值为：[]nn 22lim ∆=+∞→σ分析该分布公式，可得： 1）()∆f 为一个偶函数，即函数图像关于纵轴（误差值的出现次数）对称，也就是说，绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。

这与偶然误差的第三性质是一致的；2）∆越大则()∆f 越小，当±∞→∆时，()0→∆f ；反之，∆越小则()∆f 越大，当0=∆时，()σπ21=∆f ，为最大值。

这与偶然误差的第一和第二性质是一致的；3）将公式对∆求二阶导数，可得该函数曲线的拐点横坐标为σ±。

σ越大，曲线越缓，即误差分布比较分散；σ越小，曲线越陡，即误差分布比较集中。

因此，当一组观测的误差分布比较集中时，其σ较小，观测质量较好；当一组观测的误差分布比较分散时，其σ较大，观测质量较差。

5.3 观测精度的评定指标测量中关于观测精度的评定指标主要有中误差、相对中误差和容许误差。

5.3.1 中误差由上文可知，偶然误差服从正态分布，其方差为：[]nn 22lim ∆=+∞→σ 该方差（或标准差）可以用来衡量观测的质量，即σ越大则观测质量越差，σ越小则观测质量越好。

不过，在具体测量工作中，要求观测个数趋近正无穷是不实际的。

因此，标准差只是一个理论值，如果对其求在有限观测次数条件下的估计值，该估计值称为中误差m ，表示为： []nm 2∆±= 与标准差相比，中误差对于观测精度的评定具有更实际的应用意义。

对于在相同观测条件下的一组独立观测，每一个观测可以称为同精度观测值，具有相同的中误差。

不过需要注意的是，同精度观测值只是意味着这些观测值具有相同的中误差，但每一个观测值的观测误差并不相等。

此外，在测量工作中，当精度评定要求不高时，为了计算方便，可采用平均误差或或然误差作为评定指标。

对于在相同观测条件下的一组独立观测，平均误差是偶然误差绝对值的算术平均值（数学期望），即：[]n∆±=μ 对于在相同观测条件下的一组独立观测，或然误差ϑ满足条件：偶然误差出现在()ϑϑ+-，之间的概率为0.5。

在计算时，首先将观测误差绝对值按大小顺序排列（相等时须重复记录），然后当奇数个时取中间值，当偶数个时取中间两个的均值。

根据误差理论，当观测个数∞→n 时，平均误差和或然误差分别约为中误差的0.7979倍和0.6745倍。

此外，由于偶然误差可正可负，平均误差和或然误差的值都带有±号。

5.3.2 相对中误差中误差可以用来评价误差分布的情况，以估计地表示观测误差的绝对大小，但当观测量不相同时，就不足以衡量精度的高低。

例如，丈量一短一长两段距离，均为同精度观测，且具有相同的中误差，但显然观测精度并不相同，距离越长，精度会越高。

在直线丈量的章节中，曾提及相对误差的概念，其值为观测值最大值与观测值最小值的差值除以观测值的平均值。

不过，这其实适用于各观测值的观测误差未知的情况，并不精确。

测量误差理论的一个最基本原则是：评定观测精度时须使用条件允许下的最为准确和有效的评定方法。

当观测误差即真误差已知时，可以计算出中误差，用其与观测值（平均值）的比值评定观测误差的相对大小，这种相对误差称为相对中误差，通常写成分子为1的分式：L mK =显然，与一般意义的相对误差相比，相对中误差的评定效果要更为准确。

5.3.3 容许误差中误差和相对中误差可以用来评定一组同精度观测值的绝对和相对误差分布情况，是对所有观测值的综合分析结果，但有时我们还需要知道该分布的限度。

根据偶然误差的第一特性所述，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，该限度在测量学中称为容许误差或极限误差。

根据误差理论，以中误差为标界，大于中误差的观测误差，其出现概率为0.32；大于两倍中误差的观测误差，其出现概率为0.05,；而大于三倍中误差的观测误差，其出现概率为0.003。

因此，测量工作中一般将容许误差定义为两倍中误差或三倍中误差。

当容许误差已知时，可以以此来确定某一观测值的保留或舍弃。

5.4 误差传播定律上文介绍了观测精度的评定指标，最重要的指标是中误差。

不过，在实际测量工作中，并不是所有的量都是观测得到的，有些量是根据观测值通过计算求得的。

例如，假设在某一普通水准测量工作中，A 点到B 点之间设置了两个转点，即共三个测站，虽然每一个测站的高差是观测值，但最终的AB h 是将这些观测的高差值求和而得到的。

从数学的角度看，在上述的例子中，B 点的高程实际上是各独立观测的高差值的函数值。

由于观测值误差的影响，观测值函数值显然也是有误差的，因此引出测量误差理论中的一个重要的命题：如何根据观测值的中误差求解观测值函数值的中误差，而求解的依据就是误差传播定律。

测量中的观测值函数复杂多样，有线性的（一次函数，函数图像为直线）也有非线性的函数，误差传播在数学公式上并不相同。

5.4.1 线性函数的误差传播设观测值函数为：kx z =公式中的z 为观测值函数值，k 为一无误差的常数，x 为观测值，其中误差为x m 。

设x 和z 的真误差分别为x ∆和z ∆，由函数公式可得：x z k ∆=∆如果是对x 观测了n 次，则每一次观测的真误差关系式为：i i x z k ∆=∆将上式两边分别平方并求和，可得：[][]222xz k ∆=∆ 即：x z km m =可见，观测值与某一无误差常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以该常数。

设观测值函数为：y x z ±=公式中的z 为观测值函数值，x 和y 为独立观测值，中误差分别为x m 和y m 。

设x 、y 和z 的真误差分别为x ∆、y ∆和z ∆，由函数公式可得：y x z ∆±∆=∆如果是对x 和y 都观测了n 次，则每一次观测的真误差关系式为：i i i y x z ∆±∆=∆将上式两边分别平方并求和，可得：[][][][]yx y x z ∆∆±∆+∆=∆2222x ∆和y ∆均可正可负，而且因为是独立观测而互不相关，故y x ∆∆也可正可负。

根据偶然误差的第三和第四性质，观测次数越多，[]y x ∆∆越趋近于0，因此上式可变为： [][][]222yx z ∆+∆=∆ 即：222yx z m m m += 可见，观测值和或差的中误差的平方，等于观测值中误差的平方和。