二次曲面的直纹性

§7 二次曲面的直纹性
一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。

注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。

试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。

二 单叶双曲面的直纹性:
设有单叶双曲面 122
2222=-+c
z b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x -）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+c z a x ：⎪⎭⎫ ⎝
⎛+b y 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y 1：⎪⎭⎫ ⎝⎛-c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+)1(1)()1()(b y c
z a x b y c z a x λλλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+010b
y c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-010b
y c z a x （6） 也表示直线。

显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。

再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z a
x 000000 注意1+b y 0与1-b
y 0不全为0 1°若1+
b y 0≠0
当时0c z a x 00≠+，令λ=0b
y 1c z a x 0
00≠++ 则 0M ∈（4）
当0c z a x 00=+时，则1-b
y 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+
b y 0=0，则1-b y 0≠0 当0
c z a x 00≠- 取λ=c z a x b y 1000--
≠0 则0M ∈（4） 当0c
z a x 00=-时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。

同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+)1(1)1(b y c z a x b y c z a x μ
μ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010b
y c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-010b
y c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-
（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-'+'=+)1()()1()(b y u c
z a x u b y u c z a x u u,u ′不全为0 （7）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-'-'=+)1()()1()(b
y v c z a x v b y v c z a x v v ，v ′不全为0 （7′） 分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。

三 双曲抛物面的直纹性：
对于双曲抛物面 z b
y a x 222
22=- （1） 有 z b y a x b y a x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ （2） 与单叶双曲面的情形完全类似，可以证明：直线族： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z b y a x u u b y a x )(2 u 为任意实数 （3）
可构成双曲抛物面（1） 而 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z b y a x v v b y a x )(2 v 为任意实数 （3′）
也可构成双曲抛物面 ∴（1）是直纹面，分别称（3），（3′）为双曲抛物面（1）的 u 族，v 族直母线。

四 单叶双曲面、双曲抛物面的直母线性质：
定理1：单叶双曲面的直母线有如下性质：
（i ）同族中任二直母线异面，不同族中任二直母线共面；
（ii ）过单叶双曲面（1）上某一点0M ，某一族中有且仅有一条直母线； （iii ）经过一条直母线的某一平面也必经过属于另一族的一条直母线；
（vi ）同族中任三直母线不能平行于同一平面。

证：（i ）任取单叶双曲面（1）的二u 族直母线 li ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-'+'=+)1()()1()(b y u c z a x u b y u c z a x u i i i i i=1，2
则 2
22
2
2222
1111
1111
u c u b u a u u c u b u a u u c u b u a
u u c u b u a u -'-''-'--'-''-'- =abc 12
222222*********u u u u u u u u u u u u u u u u -'-''-'--'-''-'-= -abc 4（1u 2u ′-2u 1u ′）≠0 ∴1l ，2l 异面 同理可证不同族中任二直母线共面。

（ii ）略。

（iii ）任取一u 族直母线
u l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-'+'=+)1()()1()(b y u c
z a x u b y u c z a x u
经过u l 的平面π：
v ′[u （
0)]1()([)]1()=---''++'-+b
y u c z a x u v b y u c z a x 即0)]1()([)]1()([=+--''+-'-+b y v c z a x v u b y v c z a x v u ∴π过一v 族直母线
v l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-'-'=+)1()()1()(b
y v c z a x v b y v c z a x v （vi ）任取三u 族直母线 i l ：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-'+'=+)1()()1()(b y u c z a x u b y u c z a x u i i i i i=1，2，3 则 i l 的方向矢为{bc 1（)22i i u u -'，'i i u u ac 2 ，)(12
2'+i i u u ab
}
由行列式
△ =)(12)(1)(12)(1)(12)(1232333232322222222222121112121'+'-''+'-''+'-'u u ab u u ac u u bc
u u ab u u ac u u bc u u ab u u ac u u bc =23233323
23222222222221
211121212222u u u u u u u u u u u u u u u u u u c b a +''-'+''-'+''-' =-))()((41313233212212
22u u u u u u u u u u u u c b a '-''-''-'≠0 ∴三直线不平行于同一平面。

定理2：双曲抛物面的直母线有如下性质：
（i ）同族中任二直母线异面，不同族中任二直母线相交； （ii ）过双曲抛物面上一任点0M ，一族中有且仅有一直母线； （iii ）同族中的所有直母线均平行于一定平面。

证：仅证（iii ）对u 族直母线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z b y a x u u b y a x )(2
其方向矢为{
ab u a b 2,1,1-} ∴该直母线平行于平面bx+ay=0 。