(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.doc

【经典例题】

【例 1】（ 2012 湖北） 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形

OAB 内

随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

2

1 1

2

1 A ．1- π

B ． 2 - π

C ． π

D ． π

【答案】 A

【解析】 令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA

2 π 1 2 1

11 π -2 S

2(2)-2×2×2=

1

为直径的半圆面积减去三角形

OAC 的面积， S =

8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角

S 2 S 1 1 21 S 2

π -2 π -2

π

形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 =

16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ．

【例 2】（ 2013 湖北） 如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为

X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( )

126

6 168

7 A. 125

B. 5

C.

125

D. 5

【答案】 B

27 54 36 8 27

【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125

＋1× 54 36 8 6

＋2× ＋3× ＝，选B.

125 125 125 5

【例 3】（ 2012 四川） 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪

亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 (

)

1 1 3 7 A. 4

B. 2

C. 4

D. 8

【答案】 C

【解析】 设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮， 第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4，

满足条件的关系式

0≤y ≤4，

根据几何概型可知， 事件全体的测度 ( 面积 ) 为 16 平方单位，而满足条件的事件测度

( 阴影部分面积 ) 为 12 平方单位，

12

3

故概率为 16＝ 4.

【例 4】（ 2009 江苏） 现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取

2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .

【答案】 0.2 【解析】 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：

2.5 和 2.8 ， 2.6 和 2.9 ，所求概率为 0.2

【例 5】（ 2013 江苏） 现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n(m ≤7， n ≤ 9)可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的

概率为 ________．

20

【答案】

【解析】 基本事件共有 7×9＝ 63 种， m 可以取 1， 3， 5，7， n 可以取 1， 3，5， 7， 9. 所以 m ，n 都取到奇数共有 20

20

种，故所求概率为

63.

【例 6】（ 2013 山东） 在区间 [－ 3，3] 上随机取一个数 x ，使得 |x ＋ 1|－ |x － 2| ≥1成立的概率为 ________．

【答案】

1

3

【解析】 当 x<－ 1 时，不等式化为－ x － 1＋ x －2≥1，此时无解；当－ 1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋ x －2≥1，解之得 x ≥1；当 x>2 时，不等式化为 x ＋ 1－ x ＋2≥1，此时恒成立， ∴|x ＋ 1| － |x －2| ≥1的解集为 [ 1，＋∞ ) . 在 [ －3， 3]

上使不等式有解的区间为 [ 1，3] ，由几何概型的概率公式得 P ＝ 3－ 1 1 .

3－（－ 3） ＝

3

【例 7】（ 2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染． 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市， 并停留 2 天．

（ 1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（ 2）设 X 是此人停留 期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；

（ 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？

(结论不要求证明 )

【答案】 132； 12

13； 3 月 5 日

【解析】 设 Ai 表示事件“此人于

3 月 i 日到达该市” (i ＝ 1， 2， ， 13) ．

1

(i ≠j) ．

根据题意， P(Ai) ＝ ，且 Ai ∩Aj ＝

13

（ 1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则

B ＝A5∪A8.

2

所以 P(B) ＝P(A5∪A8)＝ P(A5) ＋ P(A8) ＝ .

13

（ 2）由题意可知， X 的所有可能取值为 0，1， 2，且