中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

中考数学几何专项——相似模型(相似三
角形)
相似模型
相似模型一：A字型
特征：DE∥BC
模型结论：
根据A字型相似模型，可以得出以下结论：
C∠B=∠XXX
AC²=AD×AB
相似模型二：X型
特征：AC∥BD
模型结论：
根据X型相似模型，可以得出以下结论：
AO×OB=OC×OD
BOC∽△DOAC
AOC∽△DOB
相似模型三：旋转相似
特征：成比例线，段共端点
模型结论：
根据旋转相似模型，可以得出以下结论：
BEF∽△BCD
DEF∽△DAB
AEB∽△DEC
相似模型四：三平行模型
特征：AB∥EF∥CD
模型结论：
根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF
相似模型五：半角模型
特征：90度，45度；120度，60度
模型结论：
根据半角模型，可以得出以下结论：
ABN∽△MAN∽△MCA
ABD∽△CAE∽△CBA
相似模型六：三角形内接矩形模型
特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：
根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH
相似模型七：十字模型
特征：正方形HDGB
模型结论：
根据十字模型，可以得出以下结论：
若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形
若AF⊥BE，则AF=BE
BDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，
△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：
①D为AC中点；
②AE⊥BD；
③BE：EC＝2：1；
④∠ADB＝∠CDE；
⑤∠AEB＝∠CED；
⑥∠BMC＝135°；
⑦BM：MC＝2：1.
求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中
AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求
4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求
5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

已知
①△EFD∽△ABD；
②
③
④.
6.在△ABC中，AB=9，AC=6，点M在边AB上，且
AM=3，点N在AC边上。

当AN=4时，求△AMN与原三角
形相似的比值。

7.在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的
中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，求线段AP的长度。

8.在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点A、B分
别在x、y轴上，OA=1，OB=2.若点D在x轴下方，且使得
△AOB与△OAD相似，求点D的坐标。

9.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm。

动点
P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，
沿BC方向运动。

如果点P的运动速度均为4cm/s，Q点的运
动速度均为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC与△PCQ相似。

23.在图中，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的
中点，ED的延长线交CA的延长线于点F。

要证明：
AC×CF=BC×DF。

24.在图中，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，点M在
CD上，DH⊥XXX且与AC的延长线交于点E。

要证明：1）△AED∽△CBM；
2）AE×CM=AC×CD。

25.在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H。

给出下列结论：
①BE=2AE；
②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP²=PH×PC。

正确的结论是：B．②③。

26.在△ABC中，AB=AC=x，BC=4，点E为BC边上一动点，连接AE，作∠AEF=∠B，EF与△XXX的外角∠ACD 的平分线交于点G，当EF⊥AC时，EF的长为：x²/2AE。

27.在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E。

要证明：2BC×CE=AD²。

三角形内接矩形模型】
1.在△ABC中，CD⊥XXX于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△XXX的边上。

要证明：CE²+AE²=AC²。

2.在图1中，相似三角形有：△ABC∽△AFG、
△ABD∽△AEC、△BDC∽△FEC、△DGF∽△DAB、
△GFE∽△CBA。

在图2中，相似三角形有：△APB∽△ACQ、
△APB∽△BCP。

1.如图，点D是直角三角形ABC的斜边AB上一点，点
E在AC上，连接DE、CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交
DE的延长线于点F，连接AF。

证明：AF⊥AB。

解决问题：首先，我们可以利用相似三角形来证明
△ADE∽△BCD。

由于∠ADE=∠BCD，又有
∠AED=∠BDC=90°，所以△ADE和△BCD有一个角相等，
且两个直角，因此它们是相似三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到：
frac{AD}{BD}=\frac{AE}{BC}$
又因为BC=AB，所以有：
frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AB}$
即：
frac{AD}{AE}=\frac{BD}{AB}$
根据正弦定理，我们可以得到：
frac{AD}{sin\angle ADE}=\frac{AE}{sin\angle AED}$
frac{BD}{sin\angle BDC}=\frac{BC}{sin\angle BCD}$
因为∠ADE=∠BCD，所以sin∠ADE=sin∠BCD，代入上式得：
frac{AD}{AE}=\frac{BD}{BC}$
结合之前的式子，可得：
frac{AE}{AB}=\frac{BD}{BC}$
因此，我们证明了△ACF∽△BEC，进而可以证明
AF⊥AB。

具体证明过程如下：
由于∠ACF=∠BEC，所以△ACF和△BEC有一个角相等。

又因为AC=BC，所以它们有一个边相等。

因此，根据相似三
角形的性质，我们可以得到：
frac{AF}{BE}=\frac{AC}{BC}=1$
即AF=BE，因此AF⊥BE。

2.如图1，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且
点E、G分别在边BC上、CD上，连接DE、BG，点M是
BG中点，连接CM。

猜测CM与DE的数量关系与位置关系。

解决问题：我们可以利用旋转模型来证明CM与DE的数
量关系与位置关系。

具体证明过程如下：
将△ADE绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF。

因为
AC=CE，所以△ACF和△XXX有一个边相等。

又因为
∠ACF=∠CEG=90°，所以它们有一个角相等。

因此，根据相
似三角形的性质，我们可以得到：
frac{AF}{CG}=\frac{AC}{CE}=1$
即AF=CG。

又因为M是BG的中点，所以AM=MC。

因此，我们可以得到：
CM=AM+AC=AF+CE=AF+DE$
因此，CM与DE的数量关系为CM=DE+AF，位置关系
为CM⊥DE。

3.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE。

将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α。

当α=0°时，求DE的长度；当0°≤α＜360°时，判断CM与DE的位置关系。

解决问题：当α=0°时，△EDC重合于△ABC，因此
DE=AC=BC/2=4.
当0°≤α＜360°时，我们可以利用旋转模型来判断CM与
DE的位置关系。

具体证明过程如下：
将△EDC绕点C顺时针旋转α度，得到△E'D'C'。

因为
CD=C'D'，所以△EDC和△E'D'C'有一个边相等。

又因为
∠XXX∠E'D'C'=90°，所以它们有一个角相等。

因此，根据相
似三角形的性质，我们可以得到：
frac{DE}{E'C'}=\frac{DC}{D'C'}=\frac{BC}{B'C'}$
因为BC=8，所以B'C'=8.又因为∠B'C'C=α，所以B'C'的
长度是固定的。

因此，当0°≤α＜360°时，E'C'的长度是固定的。

因此，我们可以得到：
frac{DE}{E'C'}=\frac{BC}{8}$
即：
DE=\frac{BC}{8}E'C'$
因此，当0°≤α＜360°时，CM与DE的位置关系为
CM⊥DE。

3) 如图3，将图2中的角$\angle$MON沿OA方向平移，
当顶点落在线段OA的中点P时，再继续绕点P逆时针旋转$\angle$MPN，此时点E,F分别在边AB,BC的延长线上。

求此时PE和PF的值。

十字模型】
1.在直角三角形ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上
一点，连接BD，E为AB上一点，CE$\perp$BD，且AD=CD。

求CE的长度。

2.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A 落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，则折痕FG的长度为（）。

3.如图，已知直线$y=-x+2$与x轴、y轴分别交于B、A 两点，将△AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点D时，则k的值为()。

另外，CF 的值为（）。

4.在矩形ABCD中，AB=5-1，BC=2，过D点作
DE$\perp$AC交BC于F点，则$\frac{AF}{FC}$的值为()。

5.如图，在直角三角形ABC中，$\angle ABC=90^\circ$，BA=BC，点D为BC边上的中点，BE$\perp$AD于点E，延长BE交AC于点F，则$\frac{AF}{FC}$的值为()。

6.如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形对折，使点B和D重合，则折痕MN的长度为()。

7.如图，把边长为AB=22，BC=4且$\angle B=45^\circ$的平行四边形ABCD对折，使点B和点D重合，则折痕MN的长度为()。

8.在直角三角形ABC中，AB=AC，$\angle
BAC=90^\circ$，点D是AC上一点，连接BD，过点A作
AE$\perp$BD于E，交BC于F。

1）如图1，若AB=4，CD=1，求AE的长度；
2）如图2，点G时AE上一点，连接CG，若
BE=AE+AG，求证：CG=AE；
9.证明：（1）在矩形ABCD中，EF$\perp$GH，EF分别
交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则$\frac{EF}{AD}=\frac{GH}{AB}$；
2）在满足（1）的条件下，又AM$\perp$BN，点M，N
分别在边BC，CD上，若$\frac{BN}{AM}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，则$\frac{AB}{AD}=\sqrt{3}$。

GH15联系拓展：在四边形ABCD中，角ABC为直角，AB=AD=10，BC=CD=5，点M在BC上，点N在AB上，且AM⊥DN，求DN的长度。

10.(1) 在正方形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，点G在AB上，点H在CD上，线段EF与GH相交于点O，
且∠EOH=∠C，证明EF=GH。

2) 若将正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD=mAB，其
他条件不变，探究并证明线段EF与XXX的数量关系。

3) 将结论推广到一般的平行四边形情况，写出推广命题，画出图形，并证明或说明理由。

在矩形ABCD中，BD为对角线，且AD=kAB（k>1）。

将△ABD以B为旋转中心，按顺时针方向旋转得到△FBE
（点D的对应点为点E，点A的对应点为点F），直线EF交
直线AD于点G。

1) 在图1中连接AF，DE，可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△ABF相似，这个三角形是△ADE，它与
△ABF的相似比为k-1.
2) 当点E落在DC边的延长线上时，点F恰好落在矩形ABCD的对角线BD上，此时k的值为2.
3) 当点E恰好落在BC边的延长线上时，证明CE=FG。

4) 当k=3时，在△ABD绕点B旋转的过程中，利用图4
探究DE-BG和DG的值。

12.在正方形ABCD中，点G在BC上，DE⊥AC于点E，BF∥DE，交AG于点F。

下列结论中正确的有：
①△AED≌△BFA；②DE-BF=EF；③△BGF∽△DAE；
⑤DE-BG=FG。

答案：全都正确）
13.在正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE、AF于点M、N。

下列结论中正确的有：①AF⊥BG；
②BN=2BM/3；③CG/BN=2；④四边形CGNF的面积等于正方形ABCD的面积的1/3.
答案：①②③）
四边形ANGD，正确的序号有（B）②④。

14.在图中，正方形ABCD中，E为BC中点。

连接AE，DF⊥AE，连接CF，FG⊥CF交AD于点G。

下列结论正确的有（D）4个：①CF=CD；②G为AD的中点；
③△DCF∽△AGF；④FC=DF。

转换比例】
1.如图，直线l1∥l2，若.
2.在图中，□ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别
与AD，BD交于点G，F。

下列结论正确的是（B）②EG=AG；
③GC/GD=BF/FF；④CF=GF×EF。

3.在图1中，□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是
线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G。

若
AF/CD=3，则CE/CG=3/4.解答过程：（1）过点E作EH∥AB
交BG于点H，则AB和EH的数量关系是EH/AB=1/2，CG
和EH的数量关系是EH/CG=3/4，CD的值是4；（2）类比延伸，若AF/CD=m，则CE/CG=3m/(4m+3)。

（3）拓展迁移，
若AF/CD=m，则BE/ED=(2m+1)/(2m-1)，
CE/CG=(3m+2)/(4m+3)。

4.在图1中，D是△ABC的边BC上一点，过点D的一条
直线交AC于点F，交BA的延长线于点E。

若BD=CD，
CF=2AF，则EA/EB=7/3.解答过程：（1）如图2，在原题的
条件下，若BD=CD，CF=mAF，则EA/EB=(m+5)/(3m+1)；（2）代入CF=2AF，解得m=2；（3）代入m=2，解得
EA/EB=7/3.
注：已删除明显有问题的段落，如无法确定是否有问题的段落请提供更多背景信息）
如图3所示，如果我们将原题改为“过点D的一条直线交AC的延长线于点F，交AB于点E”，并且满足BD=aCD，CF=bAF，那么我们需要求解的是EA/EB的值，用含a，b的代数式表示。

在图3中，我们可以看到三角形ABC和三角形EFD是相似的。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下两个等式：
AE/AC = EF/CD
EB/AB = FD/AD
由于BD=aCD，CF=bAF，我们可以将这些值代入上面的等式中，得到：
AE/AC = EF/aBD
EB/AB = FD/bCF
接下来，我们需要求解出EF和FD的值。

根据图3，我们可以得到以下两个等式：
EF = AC - AF - CF
FD = AB - AE - BD
将BD=aCD，CF=bAF代入上面的等式中，得到：
EF = AC - AF - bAF = AC - (a+b)AF
FD = AB - AE - aCD = AB - (a+b)CD
将EF和FD的值代入上面的等式中，得到：
AE/AC = (AC - (a+b)AF)/aBD
EB/AB = (AB - (a+b)CD)/bCF
化简上面的等式，得到：
AE = aAC - (a+b)AF
EB = bAB - (a+b)CD
因此，我们得出了EA/EB的值，用含a，b的代数式表示为：
EA/EB = (aAC - (a+b)AF)/(bAB - (a+b)CD)。