常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史 毕业论文
常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。
本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。
引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。
而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。
这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。
对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。
一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。
例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。
1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。
常微分方程 课程论文
《常微分方程》读书笔记数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，学者在学习过程中应注意，学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点，注意对各知识点的能力层次要求，认真学习各章节例题，熟悉各种类型习题解法。
学完教材的每一章节内容后，应完成教材的习题，进一步理解和巩固所学的知识，增强解题能力。
在学习常微分方程时，还需要掌握高等代数，近世代数，数学分析，线性代数，数值积分等基础知识。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
一、一阶微分方程的初等解法1.1 变量可分离的微分方程形如()()dy f x y dx ϕ=的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()dy f x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰，c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程的解．例1：求解2dyxy dx=的通解。
解：12dy xdx y =→12dy xdx y=⎰⎰→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±= 1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
常微分方程的发展和应用
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔于1841年证明卡迪方程不存在一般初等解而中 断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。1873年， 德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进。 在适定性的研究中，与柯西、李普希兹同一时期，还有皮亚拿和比卡，他们先后于1875年 和1876年给出常微分方程的逐次逼近法。皮亚拿在仅仅要求f (x)在(x0, y0)点邻域连续的条 件下证明了柯西问题解的存在性，后来这方面的理论有了很大发展。这些基本理论包括： 解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性， 奇解等等，这些问题是微分方程的一般基础理论问题。
运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用常
微分方程求解。此外，常微分方程在化学、生物学、经济学和人口统计等领域都有应用。
常 微 分 方 程 在 物 理 学 中 应 用 的 典 型 例 子 要 属RLC电 路 。 包 含 电 阻R、 电 感L、 电
容C和 电 源 的 电 路 称 为RLC电 路 ， 根 据 电 学 知 识 ， 电 流I经 过R，L，C的 电 压 降 分 别
对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知 函数，把它化为多个一阶微分方程组。
常微分方程在微积分概念出现后即已出现，对常微分方程的研究可分为几个阶段：
发展初期是会具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通 解”时代。就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作 出现在数学家们彼此的通信中，1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方 程”这个数学名词。常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的其雏形的出现甚至比微
常微分方程的形成与发展
常微分方程的形成与发展常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是数学中的一个重要分支，它以其广泛的应用领域和深刻的理论基础而备受关注。
本文将介绍常微分方程的形成与发展，并探讨其在科学和工程领域的应用。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪，当时数学家牛顿和莱布尼茨独立地发现了微积分学。
微积分学为解决实际问题提供了强有力的工具，但对于涉及变化率的问题，如天体运动、物体受力等，微积分的基本概念似乎无法直接应用。
为了解决这些问题，数学家们开始研究变化率的微分方程，并逐渐发展出了常微分方程的理论。
常微分方程描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
最简单的一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x)，其中y是未知函数，f(x)是已知函数。
这个方程的解即是函数y = f(x)在给定条件下满足导数关系的解。
通过求解常微分方程，可以获得函数的具体形式，从而预测和分析系统的行为。
在常微分方程的研究中，数学家们提出了许多重要的理论和方法。
例如，欧拉和拉格朗日在18世纪提出了变分法和最优控制理论，用于求解常微分方程的极值问题。
拉普拉斯和傅里叶则发展了傅里叶级数和傅里叶变换，用于求解常微分方程的周期性和频域特性。
这些理论和方法不仅为常微分方程的研究提供了强大的工具，也推动了数学、物理、工程等学科的发展。
常微分方程在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，物理学中的牛顿运动定律可以用常微分方程来描述。
工程学中的控制系统、电路和机械振动等问题也可以通过常微分方程进行建模和分析。
生物学中的生态系统、遗传学和神经科学等问题也涉及到常微分方程的应用。
此外，在金融学、经济学、流体力学等领域，常微分方程也扮演着重要的角色。
随着计算机技术的发展，数值方法成为求解常微分方程的重要手段。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，并利用计算机进行近似计算，可以得到方程的数值解。
这种方法在实际问题中具有很大的应用价值，例如天气预报、飞行器设计和药物动力学等领域。
常微分方程发展简史
常微分方程发展简史在17世纪初，牛顿和莱布尼茨的微积分发现为常微分方程的研究提供了基础。
他们建立了微分和积分的概念，并发展了微积分的基本原理。
这些成果为后来的常微分方程的研究奠定了基石。
在17世纪晚期，丹麦数学家欧拉（Euler）对常微分方程做出了很大贡献。
他提出了一阶常微分方程的解可以用指数函数来表示，并且解决了许多具体的微分方程问题。
欧拉还提出了欧拉方程，为后来的常微分方程研究奠定了基础。
在18世纪，数学家拉普拉斯（Laplace）和拉格朗日（Lagrange）继续推进了微分方程的研究。
他们提出了许多常微分方程的解法，如分离变量法、变换法和齐次化方法等。
这些方法为常微分方程的求解提供了有效的途径。
19世纪初，高斯（Gauss）提出了可微分曲线的理论，为微分方程的几何解释提供了基础。
同时，柯西（Cauchy）建立了常微分方程的数学理论，给出了数学上严格的解决方法。
他提出了柯西问题，即通过给定初始条件求解微分方程的问题。
这一问题成为后来微分方程理论的核心。
19世纪中期，数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和韦伊斯特拉斯（Weierstrass）进一步发展了微分方程的理论，提出了广义解和李普希茨条件等概念。
他们的工作为微分方程的研究提供了更加严密的数学基础。
20世纪初，数学家波安卡列（Poincaré）对常微分方程的稳定性和周期性做出了重要贡献。
他提出了位相空间和奇点的概念，并研究了常微分方程在位相空间中的变化规律。
这一工作为后来的动力系统理论的发展奠定了基础。
20世纪后期，随着计算机的发展，常微分方程的数值解法得到了广泛应用。
数学家和工程师利用计算机模拟和迭代求解的方法，可以更加准确地求解含有复杂边界条件的常微分方程。
这一进展使得常微分方程的应用领域得到了大大的拓展，包括物理学、工程学和经济学等。
总结起来，常微分方程的研究经历了几个重要的阶段，从17世纪初的微积分基础，到18世纪的解法发展，再到19世纪的理论建立，最后到20世纪的计算机应用。
关于常微分方程的发展及其应用的探悉.
关于常微分方程的发展及其应用的探悉姓名：佳木斯大学理学院数学系2015年6月摘要常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一．常微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学及其他科学技术的发展密切相关，当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域本篇文章从常微分方程的产生背景谈起，分四个时期介绍其发展过程．文章从常微分方程的产生背景、发展、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史及其应用在数学发展中的重要意义．关键词:常微分方程；发展；应用AbstractOrdinary differential equation is the 17th century with the birth of calculus and a strong theoretical and one of the widely applied mathematics. The formation and development of ordinary differential equations with mechanics, astronomy, physics and other closely related to the development of science and technology, The current development of the computer for the application of ordinary differential equation and the theoretical research provides a very powerful tool. The theory and methods of ordinary differential equation is not only widely used in natural science,And more and more applied in various fields of social science.This article from the background of ordinary differential equations, Point four periods to introduce its developing process.From the background of ordinary differential equation, development, application, etc, Systematically introduce the history of ordinary differential equation and its application in the important significance in the development of mathematics.Keywords:Ordinary differential equation; develop; application目录摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II第1章绪论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第2章常微分方程的发展史．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2.1常微分方程的产生背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.2常微分方程的发展．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.2.1常微分方程经典阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.2.2常微分方程适定性理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.2.3常微分方程解析理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.2.4常微分方程定性理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第3章常微分方程的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3.1在物理学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3.2在生物学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3.3在经济学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．附录1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．附录2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1章绪论常微分方程是一个有长期历史，而又正在不断发展的学科；是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科；是一个既得力于其他数学分支的支持，又为其他数学分支服务的学科；是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学可以为实际服务的学科．常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，常微分方程的形成与发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的，数学的其他分支的发展如复变函数、李群、拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响．当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域．如自动控制，化学反应过程稳定性的研究等，这些问题都可以化为求常微分方程的解．所以说，应用常微分方程的理论已经取得了很大的成就，但是它的现有理论还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善．所以，研究常微分方程的发展及应用有重要的意义．第2章 常微分方程的发展史2.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来了．牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，在生产力的提高迫切要求力学、天文学等基础学科发展的前提下，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又在应用上大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围．尤其是微积分与力学的有机结合，极大地拓展了微积分的应用范围，并促进了微积分的萌芽．微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求，如声学、流体力学、电磁学、几何学等．一般地，事物的规律很难完全靠实验观测认识清楚，因为人们不可能观测到所有运动的全过程，但是运动又的确服从一定的客观规律，把这个规律的式子用数学结构写下来就是微分方程．这就给我们提供了一种研究问题的新思路，先写出能表示运动关系的微分方程，然后通过对微分方程的求解来确定各个研究因素之间的关系，进而弄清楚变量之间的规律和动力学行为．如电磁学提出了著名的拉普拉斯方程0=+=∆+u u u zz yy xx u ，光学和声学提出了波动方程0=∆-u u tt ，热学提出了热传导方程0=-u u t xx ，量子力学中提出了薛定谔方程01=∆-u iu t 等等． 常微分方程是伴随着微积分发展起来的，微积分是它的母体，生产生活实践是它生命的源泉．300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的16、17世纪，牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题．成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法，在日常生活和生产中起着十分重要的作用．如伽利略首先对动力学进行了系统研究，首创科学实验方法，并通过对落体和抛体等简单问题的研究，探索力与运动的普遍规律，发展了足以描述质点加速度运动的数学理论．牛顿则第一个大量运用数学方法来系统整理物理理论，他总结、阐明和推广了伽利略的动力学定理．1687年，牛顿在《原理》中建立了太阳系行星的运动方程，这是常微分方程实际应用的第一次历史性成功．常微分方程从此成为研究天文、物理、航海等方面的工具．2.2 常微分方程的发展常微分方程的形成与发展和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关．数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响．对常微分方程来讲，它的发展主要经历了经典、适定性理论、解析理论和定性理论四个主要的阶段，其标志主要为求微分方程的通解，利普希茨条件的提出和李雅普诺夫的微分方程稳定性理论的建立．2.2.1 常微分方程经典阶段这一阶段以通解为主要研究内容，就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中．而且通信中所提到的解法可能仅仅是对某个特例的说明，所以现在很难确切地说是谁首先得到某些概念或结论的．1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方程”这个数学名词．常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其皱形的出现甚至比微积分的发明还早．纳皮尔发明对数，伽利略研究自由落体运动，笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程，牛顿和莱布尼茨在建立微分方程与积分运算时就指出了他们的互逆性．实际上是解决了最简单的微分方程=y )(x f '的求解问题．此外，牛顿、莱布尼茨也都用无穷级数和特定系数法解出了某些初等微分方程．最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼茨，他用这种方法解决了形=)()(y d x yd )()(x g x f 的方程，因为只要把它写成=)()(x f x d y y d x g )()(就在两边进行积分．但莱布尼茨并没有建立一般的方法，1691年他把自己在这方面的工作写信告诉了荷兰科学家惠更斯，同年他又解出了一阶齐次方程='y )(x y f ，他令ux y =代入方程就可以使变量分离．1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程，而莱布尼茨同年则在另一家杂志的另一篇文章中，称微分方程为特征三角形的边的函数，并给出了线性方程=dx dy )()(x q y x p +的通解表达式：=)(x y e dx x p ⎰)())(()(⎰+⎰-c dx x q e dx x p其中c 是任意常数．1740年欧拉用自变量代换e x '=，把欧拉方程线性化而求+dx d x a n n ny 0+---dx d x a n n n y 1111+ 0=y a n的通解，其中a i ),,2,1(n i =是常数．通解与特解的概念是1743年欧拉定义的，同时欧拉还给出恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根解法．微分方程的解有时也称该方程的积分，因为求微分方程解的问题在某种意义上正是普通积分问题的一种推广．1694年，瑞士数学家约翰•伯努利在《教师学报》上对分离变量法与齐次方程的求解做了更加完整的说明．他的哥哥雅科布•伯努利发表了关于等时问题的解答，虽然莱布尼茨已经给出了这个问题的一个分析解． 微分方程教材中所见到的伯努利方程y n x Q y x P dxdy )()(+=（)(),(x Q x P 为x 的连续函数，1,0≠n 是常数)，最初就是雅科布•伯努利于1695年提出的．1696年莱布尼茨证明：利用变量替换y n x -=1，可以将方程化为线性方程（y 与y '的一次方程），同年，雅科布•伯努利实际上用分离变量法解决了这一方程，约翰•伯努利给出了另一种解法，还提出了常系数微分方程的解法．17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容．在这一阶段，还出现了许多精彩的成果．例如1694年，莱布尼茨发现了方程解族的包络．1718年泰勒提出奇解的概念，克莱罗和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇解的方法，参加奇解研究的数学家还有拉格朗日、凯莱和达布等人．2.2.2 常微分方程适定性理论阶段19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期．群的概念、复变函数的开创等都在这个时期，常微分方程深受这些新概念和新方法的影响，进入了它发展的第二个阶段，这一阶段主要以定解问题的适定性理论为研究内容，1685年，伟大的数学家莱布尼茨向数学界推出求解方程=dx dy y x 22+（里卡蒂方程的特例）的通解的挑战性问题，且直言自己研究多年未果．这个方程虽形式简单，但经多年几代数学家的全力冲击仍不得其解．1841年法国数学家刘维尔证明了意大利数学家里卡蒂1724年提出的里卡蒂方程=dx dy )()()(2x r y x q x p y ++的解一般不能通过初等函数的积分来表达，从而让大家明白了不是什么方程的通解都可以用积分手段求出的，能有初等解法的微分方程是很有限的，这就促使人们寻求别的方法研究微分方程的问题．里卡蒂方程的研究迫使人们另辟蹊径，考虑不借助于解的表达式而从方程本身的特点去推断其解的性质（周期性、有界性、稳定性等），以及寻求各种近似求解的方法，从而导致微分方程理论的研究进入了一个多样化的发展时期．在物理、力学上所提出的微分方程问题，大都要求满足某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解．这样，人们开始改变了原来的想法，不去求通解，而从事定解问题的研究，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程定解问题的适定性理论．18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题，迫使数学家们转向对解的存在性问题的思考．常微分方程理论研究中的一个基本问题是微分方程是否有解存在？如果有解存在，其解是否唯一？这个问题的解决不仅可以使数学家避免对一些根本无解的方程作无谓的研究，而且直接影响并得出了微分方程的基本理论．这些基本理论包括：解的存在及唯一性，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性等．19世纪20年代，柯西建立了柯西问题),(y x f dx dy = y x y 00)(=解的存在唯一性定理．1873年，德国数学家利普希茨提出著名的“利普希茨条件”对柯西的解存在唯一性定理作了改进．1838年，刘维尔在研究热传导方程时提出了逐步逼近法，1890年，皮卡给出了逐步逼近法的普遍形式，并逐渐形成了微分方程的一般理论．在微分方程理论中，逐步逼近法是比较经典的方法．最早，柯西、利普希茨等曾使用这种方法解决某些特殊类型方程解的存在性问题．1893年，皮卡把这一方法应用到一般非线性微分方程上，因而又被称为皮卡逐步逼近法，建立了解的存在唯一性定理．解的存在唯一性定理是微分方程理论研究中最重要的基本问题，是微分方程理论研究的基础．从柯西起，对唯一性问题的研究已有非常之多，条件也是多种多样．1993年，阿格沃尔对解的存在唯一性问题的研究结果作了全面系统的总结，对各种不同的判据作了详尽的分析比较，为此问题的进一步研究提供了必要的思路．直到现在，解的存在唯一性问题仍是常微分方程理论中非常重要的一个研究课题．常微分方程初值问题的解的存在性的研究，有力的推动了人们对各种方程的求解和探索．1833年，斯图姆首先着手研究二阶方程的边值问题，1836年至1837年间，他给出了具有变系数的齐次线性二阶常微分方程在给定条件下具有非零解的条件．同一时期，斯图姆和刘维尔还开创了边值问题和特征值问题，在近代物理和工程技术中有广泛的应用，并且构成了常微分方程的一个重要的分支，即二阶线性方程的边值问题和振动理论．这一阶段主要以定解问题的适定性理论为研究内容，研究了初值问题解的存在性，初值问题解的唯一性，边值问题等．2.2.3 常微分方程解析理论阶段19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数法，求出一些重要的二阶线性方程的级数解，并得到极其重要的一些特殊函数．1816年贝塞尔研究行星运动时，开始系统的研究贝塞尔方程+''y x 2+'y x 0)(22=-y n x 这个方程的特殊情形早在1703年雅科布•伯努利给莱布尼茨的信中就已提到．后来丹尼尔•伯努利、欧拉、傅里叶和泊松也都讨论过这一方程．对每个n ，贝塞尔得到了此方程存在的两个独立的基本解，记作)(x J n 和)(x J n -，)(x J n 称为第一类贝塞尔函数或n 阶贝塞尔函数，)(x J n -称为第二类贝塞尔函数或n -阶贝塞尔函数．初等函数之外的函数称为特殊函数．贝塞尔函数就是特别重要的特殊函数之一，贝塞尔求得贝塞尔方程的级数解=)(x J n )2()1(20)1()1(x nk k k k k n +∞=∑-+Γ++Γ=)(-x J n )2()1(20)1()1(x n k k k k k n -∞=∑-+Γ++-Γ令贝塞尔方程有形如=y x c k k k ρ+∞=∑0的级数解，代入贝塞尔方程得到n ±=ρ，且得到了系数c n 的递推公式0)(2=+-+++-c c k k n k k n ρρ）（， ,2,1=k ，进而得到了系数c k 2的表达式，012=+c k ．1818年，贝塞尔证明了)(x J n 有无穷个零点．1824年，贝塞尔给出了递推公式-+)(1x x J n +)(2x n J n 0)(1=-x J n后来有众多数学家和天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式．1944年，剑桥大学出版了G.N.Watson 的巨著《贝塞尔函数教程》，是贝塞尔函数研究成果的集成．由此可见，贝塞尔为微分方程解析理论做出了巨大贡献．在解析理论中另一个极重要的内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果．1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程+'-''-y x y x 2)1(20)1(=+y n n 给出了幂级数形式的解．与此同时，厄米特研究了方程： 02=+'-''y y x y λ，),(+∞-∞∈x得到了其幂级数解，当λ是非负偶数即为著名的厄米特多项式．切比雪夫在研究方程0-122=+'-''y y x y p x ）（（p 是常数）时，得出1≤x 时的两个线性无关解（基本解），且证明当p 是非负整数时，此方程有一个解为n 次多项式，此多项式即为著名的切比雪夫多项式．另外，在常微分方程的解析理论研究中，也有数学家高斯的成果．1821年，他研究了高斯几何方程0})1({)1(=-'++-+''-y y x y x x αββαγ得到级数解++⋅⋅+++⋅+=x x x F 2)1(21)1()1(11);,,(γγββααγαβγβα这个级数称为超几何级数．同时他还建立了公式）（）（）（）（），，，（βγαγβαγγγβα----1ΓΓΓΓ=F 并指出对γβα，，的不同值，此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数．19世纪方程解析理论中一个重点成果是关于奇点的富克斯理论，他看到著名的贝塞尔方程，勒让德方程和高斯几何方程等，如果表示成形如0)()()1(1=+++-y x x p y p y nn n ）（ 的形式，则系数有奇异性，于是富克斯深入研究这种齐次线性方程在奇异点邻域内解的性质．他把x 改成z 在复平面上讨论此种方程，得出许多成果．随后，经斯图姆和刘维尔各自相应的研究，丰富了方程解析理论的内容．1877年希尔研究二阶方程0)(22=+x t x dt d θ，其中）（t θ以π为周期的偶函数，用他研究的结论证实月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究，庞加莱也参与了希尔方程的研究，并在希尔工作的启发下，庞加莱为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了微分方程定性研究的新时代．2.2.4 常微分方程定性理论阶段早在19世纪，庞加莱开创了微分方程定性理论研究，李雅普诺夫则开创了微分方程运动稳定性理论的研究．稳定性问题的实质是考察系统由初始状态扰动引起的受扰运动能否趋近或返回到原平衡状态．而平衡状态是，若存在状态向量x e ，对所有的t ，都有0),(≡t f x e 成立，则称x e 为系统的平衡状态，如果Ax t x f =),(，且A 非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态．到了20世纪是微分方程的定性理论阶段．自从1841年刘维尔证明里卡蒂方程y x dx dy 22+=不存在初等函数积分表示的解之后，研究方程的方法有了明显变化，数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质．法国数学家们研究的三体问题就不能用已知函数解出，从而运动的稳定性问题就不可能通过考察解的性态而得到．庞加莱终于找到了从方程本身找出答案的诀窍，1881年到1886年，他在《Jour,de Math》杂志上用同一标题《关于由微分方程确定的曲线的报告》发表了四篇论文，他说“要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线？它是否永远逗留在平面某一部分内部？换句话说，并且用天文学的话来说，我们要问轨道是稳定的还是不稳定的？从1881年起，庞加莱独创出常微分方程的定性理论，定性理论的实质是在不求解的情况下，直接考察微分方程的系数和方程本身的结构，从而研究解的性质（如曲线的形状、结构和趋势等等）．此后，为了寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，他从非线性方程出发，发现微分方程的奇点起关键作用，并把奇点分为四类（焦点，鞍点，结点，中心），讨论了解在各种奇点附近的性状，同时还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如无接触环，极限环等，同时，庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为动力系统理论的开端．美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究．另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊从1900年起，他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作，1901年发表著名论文《由微分方程定义的曲线》．常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫创立的运动稳定性理论．1892年李雅普诺夫的博士论文《关于运动稳定性的一般问题》给出了判定运动稳定性的普遍的数学方法与理论基础．关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的．到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念，结构稳定理论就其性质而言属于结构力学的一个分支，其发展过程与金属结构工程的发展息息相关．例如在各类钢结构中，都会遇到稳定问题，而任何结构体系在荷载作用下都应处于稳定平衡状态，否则偶然的扰动都可能使结构产生过大的变形而失稳．同时他严格证明了其充要条件，使动力系统的研究向大范围转化．20世纪中期以后是常微分方程的定性理论阶段，这一阶段主要以定性和稳定性理论为研究内容，庞加莱开创了常微分方程的定性理论，李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上，开创了常微分方程的稳定性理论，将庞加莱关于奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究进一步完善和发展了定性理论总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，自1693年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的发展，极大丰富了数学家园的内容．随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，比如偏微分方程的迅速发展．第3章 常微分方程的应用常微分方程的应用十分广泛，无论是在工程技术、自动控制理论、物理等自然科学领域，还是在经济、金融、保险等社会科学领域．它不仅可以描述某些实际问题的演化规律，而且可以明确解释在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象产生的原因．同时可以解决许多与导数有关的问题．物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用常微分方程求解．因此，我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程，进而建立数学模型解决数学问题.本部分将举出常微分方程在物理学、生物学、经济学领域中的应用．3.1 在物理学中的应用例 3.1.1 包含电阻R 、电感L 、电容C 及电源的电路称为RLC 电路，RLC 电路是电子电路的基础．根据电学知识，电流I 经过R ，L ，C 的电压降分别为RI ,dt dI L 和C Q ，其中Q 为电量，它与电流的关系为dtdQ I =，根据基尔霍夫第二定律：在闭合回路中，所以支路上的电压的代数和等于零．假设R ，L ，C 为常数，电源电压)(t e 是时间t 的已知函数．当开关S 合上时有关系式CQ RI dt dI L t e ++=)(， 微分上式，代入dtdQ I =，便得到以时间t 为自变量、电流I 为未知函数的常微分方程 dt t de L LC I dt dI L R I dt d )(122=++ 当电源电压是常数E t e =)(时，上述微分方程变为022=++LC I dt dI L R I dt d 如还有0=R ，微分方程进一步化简为022=+LC I I dt d 3.2 在生物学中的应用例 3.2.1 生物学中的SIR 传染病模型：假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n ．开始时染病人数为x 0，在时刻t 的健康人数为)(t y ，染病人数为)(t x ．传染系数为k ，在时刻t 的愈后免疫人数为)(t r ，治愈率为μ，可得)()(t x dtt dr μ=， n t r t y t x =++)()()(，dtt dr t x t ky dt t dx )()()()(-=． 由上三式可消去)(t r ，得x kxy dtdx μ-=，x x 0)0(=， kxy dt dy -=，x y n y 00)0(-==．SIR 模型曾被克马克等用于检验本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫，其理论曲线与实际数据相当吻合．3.3 在经济学中的应用一个公司的资产运营可以被看作有两个方面的作用．一方面，它的资产可以像银行存款一样获得利息（盈取），另一方面还要用于发放职工工资．用w 0表示该公司的初始资产，若用w 表示t 时某公司的净资产，则dtdw 就表示净资产的增长速率，净资产的增长速率=利息盈取（增长）的速率-工资支付速率．例 3.3.1 某公司t 年净资产有)(t w （单位：百万元），并且资产以每年5%的速度。
常微分方程发展简史—经典阶段
常微分方程发展简史—经典阶段微分方程是数学的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。
常微分方程是其中的一类，它描述了一个未知函数与其导数之间的关系。
常微分方程的研究历史可以追溯到古代，但其经典阶段始于17世纪，并且在18世纪达到了高峰。
下面将简要介绍常微分方程发展的经典阶段。
17世纪是微积分学的发展时期，许多数学家开始研究微分方程。
其中最重要的是牛顿和莱布尼茨的工作，他们独立地发现了微积分的基本原理，并将其应用于物理问题的求解。
牛顿发展了牛顿运动定律，并通过微分方程的形式来描述物体的运动。
他的工作使常微分方程成为了解决物理问题的重要工具。
18世纪是常微分方程研究的黄金时期。
数学家们开始系统地研究微分方程的性质和解法。
最著名的数学家之一是欧拉，他在微分方程领域做出了巨大贡献。
他研究了线性和非线性常微分方程，并提出了解这些方程的方法。
他的工作奠定了常微分方程的基础理论，并推动了后续的研究。
欧拉之后，许多数学家对常微分方程进行了进一步的研究。
拉普拉斯、拉格朗日和傅里叶等数学家都为微分方程的理论和解法作出了贡献。
拉普拉斯提出了一种新的解微分方程的方法，即变量分离法。
这种方法被广泛应用于解常微分方程的各种形式。
拉格朗日则研究了经典力学中的变分原理，并将其应用于解微分方程。
傅里叶的贡献是将常微分方程的解表示为正弦和余弦函数的形式，这被称为傅里叶级数展开。
此外，拉普拉斯和拉格朗日还提出了一种新的方法，即变换法。
这种方法将一个复杂的微分方程转化为一个更简单的形式，从而易于求解。
这为后来的研究提供了重要的思路。
到了19世纪，常微分方程的研究越来越深入。
高斯、庞加莱和魏尔斯特拉斯等数学家在微分方程的解法和理论方面取得了重要进展。
高斯研究了二阶常微分方程的解法，提出了高斯超几何函数的概念。
这个函数在物理学和工程学中有广泛的应用。
庞加莱提出了一种新的方法，即微分方程的数值解法。
他的工作为计算机模拟和数值计算奠定了基础。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史古希腊时期，数学家们已经开始研究变化率的概念。
柏拉图的学派研究了一些与变化有关的问题，但没有形成完整的理论体系。
欧几里得和阿基米德的工作也涉及到变化率的概念，但不是以微分方程的形式出现。
到了17世纪，微积分的出现为常微分方程的形成奠定了基础。
众所周知，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立发现了微积分学，为数学提供了解决变化问题的新方法。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中系统地描述了微积分学，这其中就包括了常微分方程的基本概念和方法。
在牛顿和莱布尼茨之后，许多数学家对常微分方程进行了深入研究。
欧拉和拉格朗日都做出了重要贡献。
欧拉在常微分方程的解法中独创地引入了指数函数，并建立了常微分方程的一种通用解法。
拉格朗日则提出了常微分方程的拉格朗日变换方法，使其在特定问题的求解中更加简化。
到了18世纪，高斯和拉普拉斯等数学家对常微分方程的研究取得了突破性进展。
高斯提出了“用有限项解”的概念，选取了特定形式的函数作为常微分方程的解，从而解决了一些常微分方程的特解问题。
19世纪是常微分方程研究的繁荣时期。
该时期的数学家们在解析解法、级数解、特解以及数值解的研究方法上取得了长足进展。
拉普拉斯为生物、物理和天文学中的实际问题提供了常微分方程的解析解。
波利亚和卡尔内斯则为常微分方程的级数解提供了系统的研究方法。
20世纪是常微分方程研究的极其重要时期。
在此期间，常微分方程与控制论、动力系统等领域发生了深入的交叉。
著名数学家皮卡尔引入了皮卡尔定理，研究非线性常微分方程的局部解存在性和唯一性。
此外，20世纪还出现了新的数值方法，例如欧拉法和龙格-库塔法，用于求解常微分方程的数值解。
从西蒙，泰勒爵士到费曼，众多科学家和数学家在其研究中广泛使用常微分方程。
无论是经济学、物理学、工程学，还是生物学、化学等领域，常微分方程都有着重要的应用。
总结起来，常微分方程是以微积分学为基础的数学分支，其发展历史可以追溯到古希腊时期。
从牛顿和莱布尼茨的发现开始，数学家们对常微分方程进行了深入研究并取得了重要进展。
常微分方程的起源与发展
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常微分方程的形成与发展
常微分方程的形成与发展常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
常微分方程的形成与发展涉及了很多数学家的研究工作，下面将从古希腊时期的微分方程雏形开始介绍。
微分方程的雏形可以追溯到公元前250年，亚历山大的狄氏方程（Dido's equation）。
狄氏方程是腓尼基王后狄多在建立迦太基城市时遇到的一个问题。
她希望修建一条半圆形的城墙，使得城墙围起的面积最大。
经过求解，她得到了半圆的解，这是一种具有最大面积的形状。
这个问题可以用微分方程的形式表示，即通过求解方程的极值问题来获得最优解。
在17世纪，微积分的发展促进了微分方程的研究。
众多著名的数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉等都对微分方程进行了深入研究，使得微分方程得到了扎实的理论基础。
牛顿在其《自然哲学的数学原理》中首次提出了微分方程的概念，并利用微分方程来描述物体的运动。
他通过对运动物体的速度进行微分得到了物体的加速度。
牛顿开创性地应用微分方程来建立物理学中的数学模型。
在18世纪，欧拉对微分方程作出了重要贡献。
他通过引入复数来解决了一阶线性常微分方程的问题。
此外，欧拉还开发了许多常见的微分方程求解方法，如变量分离、积分因子等。
欧拉的工作为后来的微分方程的研究奠定了基础。
19世纪，数学家拉普拉斯和拉格朗日进一步推动了微分方程的发展。
拉普拉斯系统地研究了线性常微分方程，并加入了对边界条件的考虑，使得求解微分方程的方法更加完善。
拉格朗日则在变分计算（Calculus of Variations）中提出了最值问题的欧拉-拉格朗日方程，使微分方程研究又进了一步。
20世纪，微分方程得到了更为广泛的应用和深入的研究。
具有代表性的成果包括霍普夫林恩（Heinz Hopf）的动力系统理论、庞加莱（Henri Poincaré）的混沌理论、卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）的控制理论等。
常微分方程毕业论文.
安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作专年学日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：导师签名：日期：一阶常微分方程初等解法田丰(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 100801066)摘要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。
关键词:一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等. 微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''……，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法2.1.1 一般变量分离法()()dy f x y dxϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成()()dy f x dx y ϕ=, 这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 ()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰. )2.2(这里我们把积分常数c 明确写出来,而把⎰)(y dy ϕ, ⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ,)(x f 的原函数.常数c 的取值必须保证)2.2(有意义,如无特别声明,以后也做这样理解. 因)2.2(式不适合0)(=y ϕ情形.但是如果存在0y 使0)(0=y ϕ,则直接验证知0y y =也是)1.2(的解.因此,还必须寻求0)(=y ϕ的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解)2.2(中时,必须补上特解0y y =例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离,得到xdx ydy -=,两边积分,即得22222c x y +-=, 因而,通解为c y x =+22.这里c 是任意正常数,或者解出y ,写出显函数形式的解2x c y -±=.例2 求解方程y x p dxdy )(=, )1.3( 的通解,其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离,得到dx x p y dy )(=, 两边积分,即cdx x p y ~)(||ln +=⎰. 这里c~是任意常数.由对数定义,有 c dx x p ey ~)(||+⎰=, 即dx x p c e e y ⎰⋅±=)(~,令c e c =±~,得到⎰=dx x p ce y )(, )2.3( 此外,0=y 显然也是方程)1.3(的解,如果允许)2.3(中允许0=c 则0=y 也就包括在)2.3(中,因而)1.3(的通解为)2.3(,其中c 为任意常数2.1.2 用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如)(yx g dx dy =, 的方程,称为齐次微分方程,这里)(u g 是u 的连续函数.作变量变换xy u =, 即ux y =,于是u dxdu x dx dy +=. 代入原方程可得)(u g u dxdu x =+, 整理后,得到x u u g dx du -=)(. )3.2( 因)3.2(是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解例3 求解方程x y xy dx dy tan += 解 这是齐次微分方程,以u dxdu x dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 ,tan u u u dxdu x +=+ 即xu dx du tan =. )3.3( 将上式分离变量,既有,cot x dx udu = 两边积分,得到cx u ~||ln |sin |ln +=. 这里c~是任意常数,整理后,得到 u sin =,~x e c ⋅±c e=±~得到 cx u =sin . )4.3( 此外,方程)3.3(还有解 0tan =u .如果在)3.3(中允许0=c ,则0tan =u 也就包括在)4.3(中,这就是说,方程)3.3(的通解为)4.3(带回原来的变量,得到方程的通解为.sin cx x y=例4 求解方程y xy dx dyx =+2（0<x ）解 将方程改写为x yx y dx dy +=2,这是齐次微分方程.以u dx dux dx dy u x y+==及代入,则原方程变为 .2u dx dux =)5.3( 分离变量,得到,2x dxu du =两边积分,得到)5.3(的通解.)ln(c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时,2])[ln(c x u +-=.这里c 时任意常数.此外,方程)5.3(还有解.0=u注意,此解并不包括在通解)5.3(中.代入原来的变量,即得原方程的通解为.])[ln(2c x x y +-=2.1.2.2用变量分离法解齐次微分方程类型二形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=, )4.2( 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为常数.可分为三种情况来讨论:()1k c c b b a a ===212121(常数)的情形 这时方程可化为k dxdy =, 有通解c kx y +=,其中c 为任意常数.()2212121c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=,这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=. 是变量分离方程()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则方程可化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而方程)4.2(变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.)4(021==c c 的情形, 此时直接变换xy u =即可. 例5 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+, 整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.例6 求解方程 31-++-=y x y x dx dy . 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,03,01y x y x 得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=,1,1Y y X x 代入上式方程,则有YX YX dX dY +-=. 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 du uu uX dX 2211--+=, 两边积分,得cu u X ~|12|ln ln 22+-+-=, 因此c e u u X ~22)12(±=-+,记,1~c e c=±并带回原变量,得1222c X XY Y =-+,122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-.此外容易验证0122=-+u u ,即2220,Y XY X +-=也是方程的解 ,因此方程的通解为c x y x xy y =---+26222,其中c 为任意的常数. 2.2常数变易法2.2.1常数变易法类型一一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,方程变为(),y x P dxdy= 称其为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=两边同时微分,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 代入原方程,得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc两边同时积分,得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数,求得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例7 求方程22y x y dx dy -=的通解 解 原方程可改写为yy x dy dx 22-=, 即y x ydy dx -=2, )6.3( 首先,求出齐次线性微分方程x ydy dx 2=, 的通解为2cy x =.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程)6.3(的通解 把c 看成)(y c ,将方程2cy x =两边同时微分得y y c y dyy dc dy dx )(2)(2+=. 代入)6.3(,得到ydy y dc 1)(-=, 两边同时积分,即可求得cy y c ~ln )(+-=. 从而,原方程的通解为)ln ~(2y cy x -=, 这里c~是任意常数.2.2.2常数变易法类型二形如n y x Q y x P dxdy)()(+=, )5.2( 的方程,称为伯努利方程,这里)(x P ,)(x Q 为x 的连续函数,n ≠0,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于0≠y ,用n y -乘)5.2(的两边,得到)()(1x Q x P y dxdyy n n+=--, 引入变量变换n y z -=1,从而dxdyy n dx dz n--=)1(. 代入方程)5.2(,得到)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-=, 这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当0>n 时,方程还有解0=y .例8 求方程的26xy xydx dy -=通解 解 这是2=n 时的伯努利微分方程.令1-=y z ,算得x z xdx dz +-=6, 这是线性微分方程,求得它的通解为826x xc z +=.代入原来的变量y ,得到8126x x c y +=, 或者c x y x =-886, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解0=y 2.3 利用恰当微分方程求解法 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程. 下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量y 的函数,对它积分可得 ()(),u M x y dx y ϕ=+⎰由此式可得N dyy d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ϕ, 由此可得dx y x M yN dy y d ⎰∂∂-=),()(ϕ, 又因为]),([]),([⎰⎰∂∂∂∂-∂∂=∂∂-∂∂dx y x M yx x N dx y x M y N x ]),([⎰∂∂∂∂-∂∂=dx y x M x y x N0=∂∂-∂∂=yMx N , 故等式右边只含有y ,积分可得dy ydx x M y N y ⎰⎰∂∂-=]),([)(ϕ, 进而可得dy dx y x M yN dx y x M u ⎰⎰⎰∂∂-+=]),([),(. 则恰当微分方程的通解为c dy dx y x M y N dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),([),(, 这里c 是任意常数.例10 求解方程0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x .解 因为221,1yx N y y M -=∂∂-=∂∂,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ,即0||ln sin 2=-++yxdyydx y d x d , 或者写成0)||ln (sin =++yxy x d .于是,方程的通解为c yxy x =++||ln sin , 这里c 是任意常数2.4 利用积分因子求解法函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M N y xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y的函数,此时可求得方程的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=例9 求解方程0)(=-+dy x y ydx . 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==XNy M x y N y M 方程不是恰当的. 因为yy M 2-=∂∂只与y 有关,故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221ye eu y y==⎰=--, 以21yu =乘方程两边,得到 0112=-+yxdydy y dx y , 或者写成02=+-y dyyxdy ydx , 因而通解为c y yx=+||ln .3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。
数学常微分论文
宁波大学答题纸（2009—2010学年第 1 学期）课号：081S07B05 课程名称：常微分方程改卷教师：学号：084773236 姓名：张芳芳得分：对常微分方程的认识常微分方程，我经过大二第一学期的学习，不可以说是对其非常的了解，更不可以说是彻底地掌握，但是基于课前的按时预习，上课的认真听讲，课后的及时巩固，我也简单地认识了常微分方程的一些概况，掌握了一些基本常微分方程思想及其解决方法。
接下来，我就来谈谈我对常微分方程的认识吧。
常微分方程是指自变量只有一个的微分方程。
它在微积分概念出现后即已出现，后来依次经过“求同解”的时代，“求定解”的时代，“求所有解”的时代，直到现在的“求特殊解”时代。
在每个时代中，都有许多大数学家的积极参与，常微分方程在其自身蓬勃发展的同时也促进了其他学科及领域的最大限度的进步，在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域一直发挥着它不可估量的伟大作用。
如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等都需要常微分方程的涉及。
例如，在天文学上，一般星体都是通过观察得到的，而海王星的发现却是个罕见的例外。
牛顿研究天体运动的微分方程，从理论上得到行星运动的规律，而这些规律原来只是由开普勒通过观测归纳出的。
而后1846年，法国巴黎天文台的勒威耶(Le-verrier, 1811-1877)在对这个微分方程进行数值分析计算的基础上，预言太阳系中还有第八颗行星的存在，并计算出了第八颗行星的位置，这之后人们按照他的计算结果通过观察才找到海王星。
这一事实既推动了天文学的发展，也促进了微分方程的发展。
常微分方程是数学中与应用密切相关的基础学科，它在很多学科领域内有着重要的应用，著名数学家塞蒙斯曾如此评价常微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏，这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源。
常微分方程论文
《关于常微分方程解法的探究》 班级：数学与应用数学131学号：姓名：丁延辉日期：2016年5月25号摘要常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
并且常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。
因此，由实际问题列出微分方程后，其解法非常关键，微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。
关键词：微分方程 降阶法 变量代换法 齐次型 一阶线性 1 一阶微分方程1.1 变量可分离的微分方程形如()()dy f x y dxϕ=(1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成这样变量就分离开来了.两边积分，得到c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程的解． 例1：求解2dy xy dx =的通解。
解：12dy xdx y=→12dy xdx y =⎰⎰→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±= 1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式。
求解：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭yu x =→y ux =， dy du x u dx dx =+→()du x u f u dx +=→()11du dx f u u x=-（可分离变量）→通解 例2：解方程22dy dy y x xy dx dx+= 1.3 一阶线性微分方程若称为一阶齐次线性微分方程。
常微分课程小论文
投入寻求微分方程的通解，
一度曾以此作为衡量自己
数学水平高低的标尺，终 于在100年后，拉格朗日 （ Lagrange J. L.，17361813）发明了常数变易法 成为18世纪常微分方程求 解的最高成就。
常微分方程简介
5
之后微分方程的历史不仅总 是与微积分联系在一起，很 难详细区分其细节，而且大 多以微积分为主导。常微分 方程理论形成后出现的新分 支，如定性理论、稳定性理 论及动力系统理论的历史已 有系统论述。
常数变易法可以将非齐次方程的解设为 y C(x)eax sin bx
e(2ap) Q(x) e(ap)x sin bx dx
y eax sin bx
sin2 bx
dx
考虑齐次微分方程组
dx dt
1 t
x
y
验证x=t2,y=-t是解，并求通解
dy
dt
y(xi1) y(xi )
xi1 f [x, y(x)]dx
xi
15
梯形公式
xi1
xi
f
x,
y xdt
h
f
xi ,
y
xi
f 2
xi1,
y xi1
改进的Euler
方法
代入上式，得到：
y(xi1) y(xi ) h f
du v u(dv p(x) v) q(x)
dx
dx
令 dv p(x) v 0 分离变量 dx
（1）
v Ce p(x)dx
y
uv
论文模版(一篇关于微分方程的论文)
本科生毕业设计 (论文)题目：论积分因子的存在条件及其求法教学单位 _计算机科学与技术学院姓名 ___ 彭倩___学号___ 200531105002年级 _____2005级_________专业 _ 数学与应用数学指导教师 ___ 宋荣荣职称 _____ 讲师___ _____2009 年 5 月 7 日摘要在常微分方程理论的形成过程中, 求解常微分方程曾出现过许多方法, 如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等. 其中尤以积分因子法出现的最晚, 而作用也最大.积分因子法的实质是把常微分方程转化为恰当方程, 由于恰当方程的通解很容易得出, 这样我们也就能很容易求得常微分方程的解.因此用积分因子法解常微分方程的关键是找到积分因子.本文首先介绍了二元微分方程的恰当方程的定义, 然后在二元非恰当方程的条件下引出积分因子的定义和存在条件. 通过探讨积分因子的存在条件,本文得到了几种求常微分方程积分因子的基本求法：观察法、公式法、分组法和几种特殊类型方程积分因子的求法. 并对各种积分因子求法作了详细论证.然后根据二元原函数存在条件及积分因子的求法来推导三元原函数存在条件及积分因子的求解方法.关键词：常微分方程；积分因子；恰当方程；三元原函数.AbstractTheory of ordinary differential equations in the formation process, the solution of ordinary differential equations there have been many methods, such as separation of variables, variable substitution method, constant variation, and so integral factor method. Especially integral factor method appears the latest, The biggest role. integral factor method is the essence of ordinary differential equations into appropriate, as the appropriate general solution of the equation is easy to draw, so we can easily obtain the solution of ordinary differential equations. therefore integral factor method the key to solution of ordinary differential equations is to find the integrating factor.In this paper, the dual differential equations first introduced the definition of the appropriate equation, and then in the dual non-appropriate conditions equation integrating factor leads to the definition and conditions for the existence of. By exploring the conditions for the existence of the integrating factor, this paper has been seeking several ordinary differential equations integral factor of the basic method: To observe the law, the formula law, sub-law and several special types of integral equation method factor. and a variety of integral factor a detailed appraisal method. and then the original function in accordance with the conditions for the existence of binary and integral factor of the law is derived for three conditions for the existence of the original function and the integral factor method.Key words: ordinary differential equations; integral factor; proper equation; Ternary primitive function.目录第一章绪论 (5)1.1课题背景及目的 (5)1.2国内外研究状况和相关领域中已有的成果 (5)1.3研究方法、论文构成及研究内容 (6)1.3.1研究方法 (6)1.3.2 论文研究内容 (6)第二章二元微分方程积分因子的定义及其存在条件 (7)2.1 积分因子的定义 (7)2.2积分因子存在条件 (8)2.3积分因子的几种解法 (9)2.3.1 观察法 (9)2.3.2 公式法 (9)2.3.3 分组法 (12)2.3.4 几种特殊类型方程积分因子的求法 (13)第三章三元微分方程积分因子的存在条件及解法 (14)3.1三元原函数存在条件 (14)3.2 三元微分方程积分因子存在的条件 (15)3.3 三元微分方程积分因子的解法 (16)结论 (20)参考文献 (21)致谢 (21)第一章绪论1.1课题背景及目的微分方程差不多是和微积分同时产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解. 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的. 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律. 随着微分方程的理论的逐步完善，只要列出相应的微分方程并找到解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的数学分支. 事实上，大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解. 当然，这个近似解的精确程度是比较高的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等. 这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就. 解常微分方程大致有分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等，其中，积分因子法尤为重要，本论文主要讨论积分因子存在条件及其解法，通过积分因子使常微分方程化为全微分方程形式来求解.1.2 国内外研究状况和相关领域中已有的成果积分因子的概念是由瑞士大数学家欧拉提出来的，而且他还确定了可采用积分因子的微分方程类型，证明了凡是可用分离变量求解的微分方程都可以用积分因子求解，但反之不然.随着微分方程理论的不断深入研究，积分因子的应用越来越广. 经过许多人的研究证明：不仅仅是可用分离变量求解的微分方程可以用积分因子法求解，甚至只要微分方程的解存在，都可以采用积分因子法求解. 只是有些方程求积分因子比求方程的解本身更为复杂.目前国内的伍军、刘许成、阎淑芳等人对积分因子的求法作了详细的研究，并取得了许多重大的成果. 尽管目前还没有找到求积分因子的普通解法，但已在相当大的范围内，给出了一些微分方程的存在某些特殊类型积分因子的求法。
常微分方程的起源与发展__概述说明
常微分方程的起源与发展概述说明1. 引言：1.1 概述常微分方程是数学中的重要分支，它研究的是未知函数及其导数之间的关系。
解决常微分方程可以帮助我们理解和描述自然现象、社会现象以及工程问题等各个领域中的变化规律。
本文旨在阐述常微分方程的起源与发展历程，并探讨它在科学和工程领域中的应用。
1.2 文章结构本文将围绕以下几个方面展开对常微分方程的探讨：引言部分首先进行概述，介绍了文章涉及内容以及文章结构；接下来，将在第二部分从定义与概念、历史背景和发展过程三个方面介绍常微分方程的起源；第三部分将对常微分方程的基本理论进行详细讨论，包括解的存在唯一性定理、解的稳定性与收敛性以及非线性常微分方程；第四部分将聚焦于常微分方程在物理学、工程学和生物学等科学与工程领域中的应用；最后，在结论部分总结常微分方程的起源和发展，并展望未来发展趋势和研究方向。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍常微分方程的起源与发展，阐述其基本理论，并探讨其在科学和工程中的应用。
通过对常微分方程研究历史和应用领域进行概述，旨在增加读者对该学科重要性的认识，并为进一步学习和研究提供基础知识。
同时，还将探讨未来常微分方程发展的趋势和研究方向，促进相关领域的进一步发展与应用。
2. 常微分方程的起源2.1 定义与概念常微分方程是数学中研究函数和其导数之间关系的一个分支。
它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系，通常以一阶或高阶导数的形式出现。
在常微分方程中，未知函数可以表示为关于时间、空间或其他独立变量的依赖关系。
这种类型的方程一般用于描述物理、生物和工程等领域中发生的连续变化过程。
2.2 历史背景常微分方程的起源可以追溯到17世纪。
当时，科学家试图解决与运动有关的问题，如天体力学和机械系统的运动规律。
为了建立模型并预测系统的行为，他们需要利用数学方法来描述运动过程。
最早涉及常微分方程思想的著作可以追溯到牛顿和莱布尼茨时代。
牛顿通过描述质点运动过程中加速度与位置之间的关系提出了质点运动方程。
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常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变
量只有一个的函数与其导数之间关系的数学方程。
它是应用数学中的重要
分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的发
展史，并探讨其在数学和应用方面的重要性。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪。
当时，牛顿的《自然哲学的
数学原理》（Principia Mathematica）的出版，为微分方程的研究奠定
了基础。
著名的数学家欧拉和拉普拉斯也做出了许多对微分方程的重要贡献。
19世纪，微分方程的研究取得了突破性进展。
拉格朗日、拉普拉斯
和普朗克等学者提出了一些重要的微分方程理论。
其中，拉普拉斯将微分
方程的理论发展为一个完整的科学，提供了定义、分类和解法。
此外，阿
贝尔、亥姆霍兹和斯托克斯等学者对微分方程的特殊类型进行了深入研究。
20世纪初，随着数值计算和计算机的发展，微分方程的研究进入了
一个新的阶段。
数值方法的出现使得人们能够求解更加复杂的微分方程。
例如，飞机设计需要解决空气动力学方程，而人们使用数值方法来模拟空
气流动。
另一个重要的进展是变分法和泛函分析在微分方程研究中的应用，使得人们能够处理更加一般的微分方程。
随着数学和应用领域的发展，常微分方程的研究也取得了新的进展。
例如，关于常微分方程的稳定性和周期性解的研究，为深入理解动力系统
的稳定性提供了理论基础。
人们还将常微分方程的方法推广到偏微分方程
的研究中，为更多实际问题的建模和求解提供了工具。
在应用方面，常微分方程广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
物理学中的力学、电磁学和量子力学等问题都可以用微分方程来描述。
工
程学中，微分方程被用于建模和控制系统的研究与设计。
而生物学中，微
分方程被用于描述生物体内的生物化学反应、人口增长和疾病传播等问题。
总之，常微分方程作为数学的重要分支，在数学理论和应用研究上都
有着重要的地位。
它的发展史见证了人类对于自然界的认识和技术能力的
提升，为解决复杂实际问题提供了有力的工具。
随着科技的进一步发展和
人类对于自然现象的认识的不断深化，常微分方程的研究将会继续取得新
的突破，为人类的进步做出更大贡献。