高中数学 同步学案 分期付款问题中的有关计算

9．4

分期付款问题中的有关计算

[读教材·填要点]

1．单利

单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为 利息＝本金×利率×存期．

若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有S ＝P(1＋nr)． 2．复利

把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n

.

[小问题·大思维]

1．单利和复利分别对应什么函数类型？

[提示] 单利对应一次函数模型,复利对应指数函数模型． 2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？

[提示] 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列．

等差数列模型(单利问题)

用分期付款购买价格为25万元的住房一套,按单利计算如果购买时先付5万元,以后每年付2

万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次,直到还完后为止．商定年利率为10%,则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？

[解] 购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{a n },则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；

a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；

a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫4－

n －15(万元)(n ＝1,2,…,10)．

因而数列{a n }是首项为4,公差为－1

5的等差数列．

a 5＝4－5－1

5

＝3.2(万元)．

S 10＝10×4＋10×10－1×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－152

＝31(万元)．

31＋5＝36(万元),

因此第5年该付3.2万元,购房款全部付清后实际共付36万元．

按单利分期付款的数学模型是等差数列,解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；

(2)在规定的时间内分几期付款,并且规定每期所付款额相同；

(3)规定多长时间段结算一次利息,并且在规定时间段内利息的计算公式．

1．某人从1月起,每月第一天存入100元,到第12个月最后一天取出全部本金及利息,按照单利计息,若月利率为1.65‰,求到年底的本利和．

解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12, 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11,… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65,

全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元), 按单利计息,到年底所取出的本利和为1 212.87元.

等比数列模型(复利问题)

某人购买价值为10 000元的彩电,采用分期付款的方法,每期付款数相同,购买后1个月付款

一次,过1个月再付一次,如此下去,到第24次付款后全部付清,已知月利率为0.8%,如果每月利息按复利计算。那么每期应付款多少元(精确到1元)？(1.00824

＝1.210 7)

[解] 设每期付款为x 元,

第1期付款x 元连同到最后全部付清时所生利息之和为：x(1＋0.008)23

, 第2期付款x 元连同到最后全部付清所产生的利息之和为：x(1＋0.008)22, …

第24期付款x 元,没有利息．

于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为： A ＝x ＋x(1＋0.008)＋x(1＋0.008)2

＋…＋x(1＋0.008)23

,

另一方面,这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和：B ＝104

×(1＋0.008)24

, ∴x(1＋1.008＋1.0082

＋…＋1.00823

)＝104

×1.00824

,

即x·1.00824

－11.008－1＝104×1.00824

,

∴x ＝104

×1.00824

· 1.008－11.00824

－1

≈460.

按复利计算分期付款问题的一般计算公式：

商品为a 元,在m 个月内分n 次付清(n 是m 的约数),月利率为p,每期付款x 元,则x[1＋(1＋p)m n

＋(1

＋p)

2m n

＋…＋(1＋p)(n －1)m

n

]＝a(1＋p)m ,

∴x ＝a 1＋p m

[1＋p m

n －1]1＋p m

－1

.

2．某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行,月息按复利计算,月利为0.2%,每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算,年利为6%,问三年取出本利共多少元(保留到个位)？(1.062

＝1.123 6,1.063

＝1.191 0,1.00212

＝1.024 3)

解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算． 第一年内的本息和可分为： 第一个月：5(1＋0.2%)11

, 第二个月：5(1＋0.2%)10,…, 第十二个月：5. 那么,第一年的本息和为

5(1＋0.2%)11

＋5(1＋0.2%)10

＋…＋5＝5·1.00212

－10.002

.

于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为 5·1.00212

－10.002

(1＋6%)2.

同理第二年所存钱在最后取时本息和为 5·1.00212－10.002

·(1＋6%)．

第三年所存钱在年底取出时的本息和为5·1.00212

－1

0.002.

∵每月存5元,月利为0.2%,年利为6%, ∴三年后取出的本息和为