二维问题 - 报告

2015 年秋季学期研究生课程考核

（读书报告、研究报告）

考核科目:偏微分方程数值解法

学生所在院（系）:理学院数学系

学生所在学科:数学

学生姓名:H i t e r

学号:1X S012000

学生类别:

考核结果阅卷人

二维问题 摘要

双曲型方程是偏微分方程中三大方程（椭圆方程、抛物方程和双曲方程）之一，由于在课上已经跟着老师学习过一阶线性双曲型方程的相关知识，如分析其稳定性以及其他性质，并且把一阶线性双曲型方程推广到一阶线性双曲型方程组。但也仅限于此，所以在此我们再推广一下，讨论二维的双曲型方程的相关性质。先从二维的一阶双曲型方程出发，到一阶双曲型方程组，再到隐士格式和ADI 格式。

关键字：双曲型方程， 二维问题，一阶线性

Abstract

The hyperbolic equation is one of the three major equations (elliptic equations, parabolic equations and hyperbolic equations), which has been followed by the teacher to learn the relevant knowledge of first order linear hyperbolic equations, such as the analysis of its stability and other properties, and the first order linear hyperbolic equations to the first order linear hyperbolic equations. But it is also limited to this, so we can then extend it to discuss the related properties of the two dimensional hyperbolic equation. Starting from the first order hyperbolic equations, to the first order hyperbolic equations, and then to the hermit format and ADI format.

Keywords: hyperbolic equation, two dimensional problems, first order linear

1 前言

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。双曲型偏微分方程是描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程。双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equations ）：描述振动或波动现象的偏微分方程。它的一个典型特例是波动方程和n=1时的波动方程。可用来描述弦的微小横振动，称为弦振动方程。这是最早得到系统研究的一个偏微分方程。我们已经讨论了一位空间变量的双曲型方程和双曲型方程组的差分方法。原则上都可以推广到二维甚至于三维问题，但也存在着一定的问题，特别是稳定性的限制比一维问题严得多。

2 一阶双曲型方程

考虑双曲型方程的初值问题[1]

t y x y

u b x u a t u <∞<<-∞=∂∂+∂∂+∂∂0,,,0 （2.1） ∞<<-∞=y x y x g y x u ,),,()0,,( （2.2）

此初值问题的解为),(),,(bt y at x g t y x u --=。下面以Lax-Friedrichs 格式为例，给出二维差分格式及稳定性分析。为方便起见，不妨设x 方向和y 方向是等步长的，即h y x =∆=∆，

这样初值问题（2.1）、（2.2）的Lax-Friedrichs 格式为

)

,(,022)(4101,1,,1,1,1,11,1,1m j jm n m j n m j n m j n m j n

m j n m j n m j n m j n jm y x g u h

u u b h u u a u u u u u ==-+-++++--+-+-+-++τ （2.3） 取h

τ

λ=

为常数，易知Lax-Friedrichs 格式是一阶精度的。下面讨论（2.3）式的稳定性。令

)

(21m h k jh k i n n jm e

v v += 代入（2.3）式有

n n v h k b h k a i h k h k v )]sin sin ()cos (cos 2

1

[21211+-+=+λ

所以增长因子为

)sin sin ()cos (cos 2

1

),(2121h k b h k a i h k h k k G +-+=

λτ 其中),(21k k K =。

2122122212

)sin sin ()cos (cos 4

1

),(G G h k b h k a h k h k k G +=+++=

λτ 其中

)](2

1

)[sin (sin 122222121b a h k h k G +-+-=λ

22122212)sin sin ()cos (cos 4

1

h k b h k a h k h k G ----=λ

注意到上式2G 为负的，因此有

)](2

1

)[sin (sin 1),(22222122b a h k h k k G +-+-≤λτ

如果

2

1)(222≤

+b a λ 即

2

2

22≤

+b a λ （2.4） 成立，那么von Neumann 条件满足，所以格式（2.3）在（2.4）式满足时是稳定的。如果在方程（2.1）中，令a b =，那么条件（2.4）就化为2

1

≤

λa 。由此可以看出，二维问题的Lax-Friedrichs 格式比一维问题的Lax-Friedrichs 格式的稳定性条件要严。

为了放宽稳定性条件，出现了各种技巧。在此仅讨论分数步长法，这是一个二步方法。第一步是由x 方向的差分把n t 推进到2

τ

+

n t ；第二步是由y 方向的差分把2

τ

+

n t 推进到

1+n t 。