考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷32(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷32(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设事件A与B相互独立，且则( )．

A．C与D相互独立

B．C与D不独立

C．C与D互不相容

D．C与D可能独立，也可能不独立

正确答案：D

解析：令C=A，D=B，显然A与B独立，即有C与D独立；另外，令P(C)≠0，P(D)≠0，且则C与D一定不独立，因为此时P(CD)≠P(C)P(D)．故选

D．知识模块：概率论与数理统计

2．设X是连续型随机变量，其分布函数为F(x)．若数学期望E(X)存在，则当x→+∞时，1－F(x)是的( )．

A．低阶无穷小

B．高阶无穷小

C．同阶但非等价无穷小

D．等价无穷小

正确答案：B

解析：设X的密度函数为f(x)，因为E(X)存在，于是∫－∞+∞｜x｜f(x)dx ＜∞．所以=x∫x+∞f(t)dt=∫x+∞xf(t)dt≤∫x+∞｜t｜f(t)dt→0(x→+∞)，即故1－F(x)为的高阶无穷小．故选

B．知识模块：概率论与数理统计

3．设随机事件A与B互不相容，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，令( )．X 与Y的相关系数为ρ，则( )．

A．ρ=0

B．ρ=1

C．ρ＜0

D．ρ＞0

正确答案：C

解析：A与B互不相容，即于是P(X=1，Y=)=P(AB)=0，P(X=0，Y=)=－P(B)，P(X=1，Y=0)==P(A)，P(X=0，Y=0)==1－P(A)－P(B)．因此Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=－P(A)P(B)，D(X)=P(A)(1－P(A))，D(Y)=P(B)(1－P(B))．所以故选

C．知识模块：概率论与数理统计

4．对于任意二个随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是( )．

A．E(XY)=E(X)E(Y)

B．Cov(X，Y)=0

C．D(XY)=D(X)D(Y)

D．D(X+Y)=D(X)+D(Y)

正确答案：C

解析：由不相关的定义易得A、B、D均是X与Y不相关的充要条件．另外，即使已知X与Y独立，也推不出D(XY)=D(X)D(Y)．故选

C．知识模块：概率论与数理统计

5．设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值，C 为任意常数，则( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：故选C 知识模块：概率论与数理统计

6．设X1，X2，…，Xn是来自总体X～N(μ，σ2)的样本，则μ2+σ2的矩法估计量为( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：μ2+σ2=Eσ2(X)+D(X)=E(Xσ2)．故选

D．知识模块：概率论与数理统计

7．设总体X～N(μ，σ2)，σ2未知，x1，x2，…，xn为来自总体X的样本观测值，现对μ进行假设检验，若在显著水平α=0．05下拒绝了H0：μ=μ0，则当显著水平改为α=0．01时，下列说法正确的是( )．

A．必接受H0

B．必拒绝H0

C．第一类错误的概率必变大

D．可能接受，也可能拒绝H0

正确答案：D

解析：此时的拒绝域为其中tα/2(n－1)表示t分布的上α／2分位数．由于t0.005(n－1)>t0.025(n－1)．故选

D．知识模块：概率论与数理统计

填空题

8．已知事件A，B满足P(A)+P(B)=1，且A与B均不发生的概率等于A 与B恰有一个发生的概率，则A，B同时发生的概率为______．

正确答案：应填

解析：因为1－P(A)－P(B)+P(AB)=P(A)－P(AB)+P(B)－P(AB)，即3P(AB)=2[P(A)+P(B)]－1．故知识模块：概率论与数理统计

9．在n重贝努利试验中，若每次试验成功的概率为p，则成功次数是奇数的概率为______．

正确答案：应填

解析：设X表示n次试验中成功的次数，则X服从二项分布B(n，p)．由于P(X=k)=Cnkpk(1－p)n－k，k=0，1，…，n．又Cnkpk(1－p)n－k=1 ①Cnk(－p)k(1－p)n－k=(1－2p)n ②①－②得所求概率为知识模块：概率论与数理统计

10．设随机变量X～F(n，n)，则P(X＞1)=______．

正确答案：应填

解析：由X～F(n，n)，故同分布．因此P(X＞1)=于是P(X＞1)=P(X ＜1)．P(X=1)=0，得P(x＞1)= 知识模块：概率论与数理统计

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．假设目标出现在射程之内的概率为0．7，这时一次射击命中目标的概率为0．6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率．

正确答案：设A={目标进入射程}，Bi={第i次射击命中目标}，i=1，2，B={两次独立射击至少有一次命中目标}．于是，所求概率P(B)=P(AB)+ =P(AB) =P(A)P(B｜A) =P(A)P(B1∪B2｜A)=P(A)[P(B1｜A)+P(B2｜A)－P(B1B2｜A)]=0．7×(0．6+0．6－0．6×0．6)=0．588．涉及知识点：概率论与数理统计

12．设有3箱同型号产品，分别装有合格品20件，12件和15件，不合格品5件，4件和5件，现在任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验，由于检验误差，每件合格品被误验为不合格品的概率是0．04，每件不合格品被误检为合格品的概率是0．04，试求：(1)取到的一件产品经检验定为合格品的概率；(2)若已知取到的一件产品被检验定为合格品，则它确实真是合格品的概率．

正确答案：设Ai={打开第i个箱子}，i=1，2，3．B1={取到的一件产品确为合格品}，B={取到的一件产品经检验定为合格品}．(1)B1与构成一个完备事件组，由全概率公式得P(B)=P(B1)P(B｜B1)+由已知得P(B｜B1)=0．96，又A1，A2，A3构成一个完备事件组，于是再次利用全概率公式得(2)由贝耶斯公式得所求概率为涉及知识点：概率论与数理统计

13．向半径为r的圆内投掷一随机点，假设点一定落入圆内，而落入圆内的任何区域的概率只与该区域的面积有关且与之成正比．试求：(1)落点到圆心距离R的分布函数F(x)；(2)落点到圆心距离R的密度函数f(x)．

正确答案：试验为一个几何概型，样本空间为半径为r的圆域．于是(1)R的分布函数(2)R的密度函数涉及知识点：概率论与数理统计

14．设随机变量X服从二项分布B(n，p)，试求k使得概率P(X=k)为最大．

正确答案：P(X=k)=Cnkp(1－p)n－k，k=0，1，…，n．考虑比值因此，若(n+1)p 为正整数，则当k=(n+1)p或(n+1)p－1时，P(X=k)达到最大；若(n+1)p不是整数，则当k=[(n+1)p]时，P(X=k)达到最大．涉及知识点：概率论与数理统计

15．设随机变量X的分布函数FX(x)为严格单调增加的连续函数，Y服从[0，1]上的均匀分布，证明：随机变量Z=FX－1(Y)的分布函数与X的分布函数相同．

正确答案：由Y服从[0，1]上的均匀分布知y的分布函数为Z的分布函数为FZ(z)=P(Z≤z) =P(FX－1(Y)≤z) =P(Y≤FX(z)) =FX(z) (因为0≤FX(z)≤1)．即Z与X有相同的分布函数．涉及知识点：概率论与数理统计

16．假设随机变量的分布函数为F(y)=1－e－y(y＞0)，F(y)=0(y≤0)．考虑随机变量求X1和X2的联合概率分布．

正确答案：P(X1=0，X2=0)=P(Y≤1，Y≤2) =P(Y≤1) =1－e－1．P(X1=0，X2=1)=P(Y≤l，Y＞2) =0．P(X1=1，X2=0)=P(Y＞1，Y≤2) =P(1＜Y≤2) =F(2)－F(1) =1－e－2－(1－e－1) =e－1－e －2．P(X1=1，X2=1)=P(Y＞1，y＞2) =P(Y＞2) =1－P(Y≤2) =1－(1－－2) =e－2．故X1和X2的联合概率分布为涉及知识点：概率论与数理统计