人教A版高中数学必修五.2数列求和(一)教学课件
合集下载
第二章 数列的通项与求和 课件-高中数学人教A版必修5
所以S＝1 xn1 －n 1 xn1
1 x2
1 x
课堂小结
1.公式法: 直接利用等差等比数列的求和公式
2.分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，
也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分 为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和， 再将其合并即可. 3.裂项相消法 ：把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少 数项之和，这一求和方法称为裂项相消法. 4.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数 列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法.
1)
1 2n
的前n项和.
解：Sn
11 2
+3
1 4
+5
1 8
(2n
1)
1 2n
Sn （1+3+5
2n 1) （1 1 1 248
1 2n
）
n(1 2n 1)
1 2
1
1 2
n
n2
1
1
2
1 1
2n
2
变式训练
变式训练5
求S 1 2x 3x2 4x3 (n 1)xn的值
【解析】1当x＝0时，S＝1；
r p
·a1n
q +p
.
(3)若 an+1=pan+q(n),
则:
an+1 pn+1
=
an pn
+
q(n) pn+1 .
题型三 构造转化法
例 4 已知数列 an 中， a1 1, an1 2an 1(n N *), 求 an
新课标人教A版数学必修5全部课件：数列的通项与求和
(B)65
(C)61
(D)56
3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项 和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等 比数列的项数为( C ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6
4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进 制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成 十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进 制数(111…11)2位转换成十进制形式是( C )
上述方法也称为“升次裂项法”.
2.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的 和.
【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前n项和多采 用错位相减法．
3.已知数列{an}中的a1=1/2，前n项和为Sn．若Sn=n2an， 求Sn与an的表达式.
【解题回顾】当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要 想到迭代法求Sn，(即选乘)，同样如得出Sn+1-Sn=f(n)， 可用迭差.
4．若数列{an}中，an=-2[n-(-1) n]，求S10和S99．
【解题回顾】若构成数列的项中含有(-1)n，则在求和Sn 时，一般要考虑n是奇数还是偶数.
返回
延伸·拓展
5.在数列{an}中，an＞0， ①求Sn和an的表达式；
②求证Sn = an +1(n∈N)
1 Sn 2
【解题回顾】利用
1 n n - 1
，再用裂项法求和.利用
此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等.必 要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项. 返回
高中数学 第1部分 2.5第2课时 数列求和课件 新人教A版必修5
观察条件 ―→ Sn＝－12n2＋kn及Sn的最大值为8 ―S―n是―关―― 于―n的―二――次―函―数→ 当n＝k时，Sn取得最大值
根据已知条件，可利用an与Sn的关系求通项公式 注意公式 的使用条件 an＝Sn－Sn－1＝92－nn≥2，a1＝S1＝72 验证n＝1时，an是否成立 an＝92－n.
[活学活用] 3．在数列{an}中，an＝n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1，且 bn＝ an·a2n＋1，求数列{bn}的前 n 项的和． 解：an＝n＋1 1(1＋2＋…＋n)＝n2，∵bn＝an·a2n＋1， ∴bn＝n n2＋1＝8(n1－n＋1 1)，∴数列{bn}的前 n 项和为
2· 2 Sn＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(n1－n＋1 1)]＝8(1 －n＋1 1)＝n8＋n1.
(2)令 bn＝an2－1 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解](1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由于 a3＝7，a5＋a7＝26， ∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an， ∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
[名师批注]
1.利用 an＝Sn－Sn－1 时，易忽视条件 n≥2. 又 a1＝S1＝72，所以 an ＝92－n.
(2)因为9－2n2an＝2nn－1，(7 分) 所以 Tn＝1＋22＋232＋…＋n2－n－21＋2nn－1，(8 分) ① 所以 2Tn＝2＋2＋32＋…＋n2－n－31＋2nn－2，(9 分) ② ②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋2n1－2－2nn－1 ＝4－2n1－2－2nn－1＝4－n2＋n－12.(11 分) 故 Tn＝4－n2＋n－12.(12 分)
人教A版高中数学必修五课件数列求和1.pptx
∴原式=
1 1
1 a n 1
an1 1
原因： 1 1
an1 an
a
上述解法错误在于，当公比
1/a=1即a=1时，前n项和公式
不再成立。
例2求和：S1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)
解：当a=1时， S n 1；
当a 1时，
S
1
1
1 a
n
1
1 1
a
an1 1 an1 an
{bn}
Tn
b 1
1
n n(3lg an ) n(3lg102n )
1 n ( n 1)
1 1 n n1
111
11
Tn 1 2 2 3 n n 1
1 1 n . n1 n1
本课小结： 数列求和的一般步骤：
• 等差、等比数列直接应用求和公式求和。
• 非等差、等比的数列，通过通项化归的思 想设法转化为等差、等比数列，常用方法 有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、 并项求和法。
1 3
1 5
1
1
2n-1 2n+1
=（11-）
1
2
2n+1
n =
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
3.裂项相消法：
若数列的{通an项} 公式拆分为某数列相邻两项之差的形式
即：或an
m( 1 bn
1) bn1
an
m( 1 bn1
例1：若实数a,b满足：4a2 9b2 4a 6b 2 0
求： a a2b a3b2 L a100b99
人教A版高中数学必修五 .2数列求和(一)教学PPT全文课件
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学PPT全文课件【完 美课件 】
变式训练1
1
1
1
1
求数列 1 3 ，2 4 ，3 5 ， … ， n n 2 ， … 的前n项和．
解： an
1
nn
2
1 2
1 n
n
1
2
sn
a1
a2
an
1 1 3
1 2
4
1 35
1
nn
2
1 2
1
1 3
1 2
谢谢！
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学PPT全文课件【完 美课件 】
数列求和（一）
最新考纲: 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.
复习
（一）公式法
1.等差数列前n项和:
Sn
பைடு நூலகம்
na1 an
2
na1
nn 1 d
2
2.等比数列前n项和:
当q 1时 Sn na1
当q
1时
Sn
a1 1 qn 1 q
a1 anq 1 q
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
1 2
1
1 2
1 n 1
n
1
2
3 4
2n
2n 3
1n
2
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学PPT全文课件【完 美课件 】
消项的规律具有对称性
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学PPT全文课件【完 美课件 】
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和课件 新人教A版必修5
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2（11－－2210）＋（1＋120）×10 ＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.
第二章 数列
第 2 课时 数列求和
第二章 数列
1. 能 由 简 单 的 递 推 公 式 求 出 数 列 的 通 项 公 式． 2.掌握数列求和的几种基本方法．
1．基本求和公式 (1)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n2－1）d. (2)等比数列的前 n 项和公式 当 q＝1 时，Sn＝_n_a_1_； 当 q≠1 时，Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq.
求和时易忽视两边同 除以－3
(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数 列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法． (2)用错位相减法求和时，应注意 ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更 值得注意； ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； ③应用等比数列求和公式必须注意公比 q≠1 这一前提条件，如 果不能确定公比 q 是否为 1，应分两种情况讨论．
探究点二 裂项相消法求和
(2015·高考全国卷Ⅰ改编)数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝an ＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和． [解] (1)由 a1＝3，an＋1＝an＋2， 所以{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an ＝2n＋1.
人教A版高中数学必修五课件数列的求和法(第一课时)
1 23
1 n (n 1)
(2)求Sn 1 2 11 3 2
1
n1 n
注：“裂项相消法”,此法常用于
1.分式型：形如{ 1 }的求和，其中f (n)g(n)是 f (n)g(n)
关于n(n N )的一次函数。 2.根式型：形如{ 1 }的求和。
a b
三、裂项相消法
练习.求Sn
1 25
1 58
1
(3n 1) (3n 2)
常见的拆项公式
1 11
1.
n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k ) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1q
注：对于已知或可化为等差数列、等比数列直接代 公式进行求和。
一、公式法
例1.求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，⋯ 前n项 的和．
一、公式法 3.常见数列的前n项和公式
1 2 3 n n(n 1) ; 2
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ; 6
练习:
（1）求和：Sn
1 2
2 4
3 8
n 2n .
2n Sn 2 2n
（2）求数列 x，3x2，5x3, …,(2n-1)xn,…的前n项和
三、裂项相消法
裂项相消法：把数列中的每一项都拆成两项或几项的差，
从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项
例3.(1)求Sn
高一人教A版必修五数学课件：2.5.2 混合数列求和 (共12张PPT)
1 n＋
n＋1，Sn＝10，则
n
等于(
)
A．90
B．119
C．120
D．121
答案 C
解析
an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1＝10， ∴n＋1＝121，故 n＝120.
等比数列
课堂达标检测
等比数列
3．在数列{an}中，已知 Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N*，
等比数列
题型三 错位相减求和
等比数列
例 3 已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，
且 a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和．
错位相减求和主要适用于：
{an}是等差数列，{bn}是等比数列， 求数列{anbn}的前 n 项和．
＋ 2×2n－1 －(2n－1)×2n
＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，
所以 Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.
题型四 并项求和
例 4 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)． 解 当 n 为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)＝ ] 2·n2＝n. 当 n 为奇数时，
∴Tn＝n·3n，n∈N*.
解 (1)设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d，由题意 q>0. 由已知，有2qq4－2－33dd＝＝102， ， 消去 d，整理得 q4－2q2－8＝0.
高中数学人教A版必修5第2章第5节《数列求和》课件
1 2
(1 2
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 5
1 7
1 1 1 1 ) n n 2 n 1 n 3
••
•
•
Sn
1 2
(1 2
1 3
n
1
2
1) n3
5 12
2(n
2n 5 2)(n
3)
小规律：
裂项相消时，前面剩几项， 对应后面就剩几项；前面剩 第几项，对应后面就剩倒数 第几项；前后至少各写出两 组数。
解：设等差数列an
的首项为a1
,
公差为d， an
1 an1
的前n项和为Tn
3a1a123dd36
ad1
1 1
an n
1 1 anan1 n(n 1)
1 1 n n1
Tn
11
1 2
1 2
1 3
1 1 n 1
n n 1
1 1 1 11 n 1 n n nn1
常见数列的裂项方法
(1)
(3)2 4 6 (4)12 22 32
(5)13 23 33
2n n(n 1)
n2 n(n 1)(2n 1) 6
n3 n2 (n 1)2 4
二.倒序相加法
适用于：如果一个数列 an 中与首
末两项“等距离”的两项之 和等于首末两项的和。
方法：把数列分别正着写和倒着写再 相加。
1 2
an 2n 1
(2)
1
1
anan1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn
1 2
(1
1 3
1 3
高中数学 数列的求和法课件 新人教A必修5
❖1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ❖2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ❖3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ❖4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ❖5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ❖6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 ❖7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 ❖8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
一、公式法 3.常见数列的前n项和公式
1 23 n n(n 1) ; 2
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ; 6
13 23 33 n3 [n(n 1)]2 2
二、错位相减法
错位相减法:是推导等比数列前n项和的方法
例 2 . 1 2 2 2 2 3 2 3 n 2 n _ (n_ _ _ 1_ )_ 2_ n_ 1_ _ _ 2_
练习：由递推公式求数列的通项公式
已 知 数 列 { a n } 满 足 a 1 1 ， 且
（ 1）an1an2 （ 3） an1an2n1
（2）an1 2an （4）an1 nn1an
（ 5） an12an2
（ 6） an13an2n1
（ 7） an1 2an12n（ 1n2）
（8）an1
an 2 an
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 n
n
1
2
sn
a1
a2
an
1 1 3
1 2
4
1 35
1
nn
2
1 2
1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
1 2
1
1 2
1 n 1
n
1
2
3 4
2n
2n 3
1n
2
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
消项的规律具有对称性
,5
1 8
, ,
(2n
1)
1 2n
前n项的和.
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
例3
1
1
1
求数列 1 ，1 2 ， 1 2 3，…， 1 2 3 ... n ， … 的前n项和．
Sn
1 1 1 2
1
1 23
1
1 23
. n
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
谢谢！
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和.
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
变式训练1
1
1
1
1
求数列 1 3 ，2 4 ，3 5 ， … ， n n 2 ， … 的前n项和．
解： an
1
nn
2
1 2
的
n∈N*，都有
5 Tn<64.
2.【2015高考安徽，文18】已知数列 an是递增的等比数列，
且 a1 a4 9, a2a3 8.（Ⅰ）求数列 an的通项公式；
（Ⅱ）设 Sn 为an 前n项和 Tn .
数列的前n项和，bn
an1 Sn Sn 1
，求数列 bn的
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
解：
an
1
2
1 3
2 2(1 1 ), n n(n 1) n n 1
1 11
Sn
2[(1
) 2
( 2
) 3
2(1 1 ) 2n . n1 n1
(1 1 )] n n1
裂项相消法
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
（三）裂项相消法
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
变式训练2
1 数列 {an}的通项公式是 an n n 1 ，前n项和为9，则n＝___9_9____.
真题体验
【2013课标全国Ⅰ】已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，
S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列
1 a2n1a2
(22 3) (23 4) ...... (2n1 2 n)
(22 23 ...... 2n1) (3 4 ...... 2 n)
4 (1 2n ) n(3 2 n) 2n2 n(n 5) 4
1 2
2
2
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
作业：
1.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式 an；
(2)令 bn＝n＋n＋212a2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意
例1 （1）求数列 1，3，5，7，······，2n-1 的前n项和
注意公式的应用范围
非特殊（等差等比）数列的求和方法
（二）.分组求和法 （三）.裂项相消法 （四）.倒序相加法 （五）.错位相减法
例2
求数列 bn 2n1 n 2 的前n项和
Sn b1 b2 ......bn
分组求和
n1
的前n项和．
an＝2－n
n 1 2n
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
课堂小结
1.公式法: 直接利用等差等比数列的求和公式。
直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字 母)时，应对其公比是否为1进行讨论.
数列求和（一）
最新考纲: 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.
复习
（一）公式法
1.等差数列前n项和:
Sn
na1 an
2
na1
nn 1 d
2
2.等比数列前n项和:
当q 1时 Sn na1
当q
1时
Sn
a1 1 qn 1 q
a1 anq 1 q
2.分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，
若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列， 然后分别求和，再将其合并即可.
3.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些
项可以相互抵消,从而求得其和.
在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.
（二）分组求和法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个 等差、等比数列，再求解. .在什么情况下，用分组求和？
cn an bn其中an、bn是等差或等比数列
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
人教A版高中数学必修五 .2数列求和（一）教学课件
变式训练
求数列
11 2
,3
1 4