人教版人教课标高中数学选修2-2极值课件

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新授课 3、如果函数 f ( x )在 a, b 上连续，在 (a , b) 内可导，那么 如何求 f ( x )在 a, b 内的最大值与最小值呢？ 求f ( x ) 在[a , b]上的最大值与最小值的步骤: ①求函数 f ( x ) 在 (a , b) 内的极值；
因此，存在着点 x 1的一个去心邻域，对此 去心邻域内的 任何点 x, f ( x ) f (1)均成立 ; 存在着点 x 2的一个去心邻域，对此 去心邻域内的 任何点 x, f ( x ) f (2)均成立 ;
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一般地
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
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函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12x 3
有极大值 f (1) 2和 极 小 值 f ( 2) 1, 点x 1, x 2是 函 数 f ( x )的 极 值 点 。
注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；
函数极值与最大 值 最小值
一 问题的提出 二 函数极值的定义 三 函数极值点的必要与充分条件 四 最值的问题 五 小结与思考判断题
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一、问题的提出
f ( x) 2 x 3 9 x 2 12x 3
x1 1, x2 2是函数的分界点
在(,1]上单调增加； 在[1,2]上单调减少； 在[2,)上单调增加；
②求函数 f ( x )在区间端点 f (a )、f (b) 的值；
③将函数 f ( x )在各极值与 f (a )、f (b) 比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值．
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例题讲解
4 ] 例2 求函数 y x 2 x 5在区间 [2,2上的最大值与
最小值． 3 y 4 x 4x 解： 3 令 y 0 ，有 4 x 4 x 0 ，解得 x 1,0,1 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表： x y -2 (-2,-1) — 13 -1 0 4 (-1,0) + 0 0 5 (0,1) — 1 0 4 (1,2) + 2 13
o a
bx
o a
b x
o
a
b x
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步骤:
1.求驻点：求出f ( x)在(a, b)内的驻点 x1 , x2 , xm 2.求不可导点： , x 求出f ( x)在(a, b)内的不可导点 x1 2 , xn 3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值 4. 比较（3）中函数值大小,最大的便是最大 值,最小的便是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
点, 注2: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
例如,
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y x ,
3
y x 0 0, 但x 0不是极值点.
6
y
f ( x ) 0
f ( x ) 0
y f ( x ) 0
f ( x ) 0
o
x0
x
o
x0
x
求极值的步骤:
(不是极值点情形)
(1) 求出导数 f ( x );
(2) 求出f ( x )的全部驻点，即方程 f ( x ) 0 的根 ;
(3) 考察 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;
(4) 求出各极值点处的函数 值.
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例1 求函数 f ( x) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值 . 解 (1) f ( x) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)
从表上可知，最大值是13，最小值是4．
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最值的问题
1 闭区间上连续函数的最值
若函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，除个别点外处 处可导， 并且至多有有限个导数 为零的点，则 f ( x ) 在 [a , b] 上的最大值与最小值存 在.
y y y
x5
x6
b
x
y
o
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x0
x
o
x0
x
3
二 函数极值的定义
定义 设函数f ( x )在区间(a , b)内有定义, x 是 0
(a , b)内的一个点 , 如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x , 除了点 x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值 ; 如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x , 除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值 .
必有最大值和最小值呢？ 已知下面两个函数和它们的图象． 1 x (0 x 1), （2） g( x ) x , x (0,1). （ 1） f ( x ) 0 ( x 1);
函数 f ( x )定义在闭区间 a, b 上且在 a, b上连续是使得 f ( x ) 有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(2)令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
( 3)
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
0
Biblioteka Baidu
( 1,3)
0
3
0
极 小 值
( 3, )
0
0
极 大 值
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(4)极大值 f (1) 10, 极小值 f ( 3) 22.
注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于 极大值.
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三、函数极值点的必要与充分条件
由费马定理易得函数取得极值的必要条件，
1、(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x 处具有导数, 且 0 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 .
(即 方程 f ( x ) 0 的 实根 )叫 注1: 使 导数 为 零的 点 做 函数 f ( x ) 的 驻点 .
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 图形如下
M
N
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函数的最大值与最小值
知识回顾 1、分析下图一个定义在区间 a, b上的函数 f ( x ) 的极值 和最值．
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2、函数 f ( x ) 在 a, b 上间断或在开区间 (a , b) 上连续是否也