专题02函数A辑(解析版)-高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题02函数A辑

历年联赛真题汇编

1．【2008高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=5−4x+x2

2−x

在(－∞，2)上的最小值是( ) A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【解析】当x<2时2−x>0，因此f(x)=1+(4−4x+x 2)

2−x =1

2−x

+(2−x)⩾2⋅√1

2−x

⋅(2−x)=2，

当且仅当1

2−x

=2−x时取得等号.而此方程有解x=1∈(－∞，2)，

因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2.故选C．

2．【2006高中数学联赛（第01试）】设log x(2x2+x−1)>log x2−1，则x的取值范围为( )

A．1

21

2

且x≠1C．x>1D．0

【答案】B

【解析】因为{x>0,x≠1

2x2+x−1>0，解得x>1

2

,x≠1，

由log x(2x2+x−1)>log x2−1，所以log x(2x3+x2−x)>log x2，

则{

0

2x3+x2−x<2，解得0

x>1

2x3+x2−x>2，

解得x>1.

所以x的取值范围为x>1

2

且x≠1.

故选B．

3．【2006高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x3+log2(x+√x2+1)，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f (b)⩾0的( )

A．充分必要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】显然f(x)=x3+log2(x+√x2+1)为奇函数，且单调递增.

于是，若a+b⩾0，则a⩾−b，

有f(a)⩾f(−b)，即f(a)⩾−f(b)，

从而有f(a)+f(b)⩾0.

反之，若f(a)+f(b)⩾0，则f(a)⩾−f(b)=f(−b)，

推出a⩾−b，即a+b⩾0.

故选A．

4．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=log1

2

(x2−2x−3)的单调递增区间是( )

A．(−∞,−1)B．(−∞,1)C．(1,+∞)D．(3,+∞)

【答案】A

【解析】由x2−2x−3=(x+1)(x−3)>0有x<－1或x>3.

故函数log1

2

(x2−2x−3)的定义域为x<－1或x>3.

又因为u=x2−2x−3在(－∞，－1)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增.而log1

2

u在(0，+∞)上单调递减，所以

log1

2

(x2−2x−3)在(－∞，－1)单调递增，

故选A.

5．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=x

1−2x −x

2

( )

A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数【答案】A

【解析】函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，

当x≠0时，因为

f(−x)=

−x

1−2−x

−

−x

2

=

−x2x

2x−1

+

x

2

=

x+x(2x−1)

1−2x

+

x

2

=x

1−2x −x+x

2

=x

1−2x

−x

2

=f(x).

所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，

故选A.

6．【2000高中数学联赛（第01试）】给定正数p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程bx2－2ax+c=0( )

A．无实根B．有两个相等实根

C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根

【答案】A

【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是−2x2−4x+3=0，

有Δ<0.

故选：A.

解法二依题意a2=pq，设等差数列p，b，c，q的公差为d≠0，Δ=4a2−4bc，

由a2−bc=pq−(p+d)(q−d)=pd−qd+d2=(−3d)d+d2=−2d2<0可得Δ<0，

故选：A.

7．【1999高中数学联赛（第01试）】若(log23)x−(log53)x⩾(log23)−y−(log53)−y，则( )

A．x−y⩾0B．x+y⩾0C．x−y≤0D．x+y⩽0

【答案】B

【解析】记f(t)=(log23)t−(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数.

原不等式即f(x)⩾f(−y)，故x⩾−y，即x+y⩾0.

引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，a

设a，b，c，d是自然数，满足a+c

b +c

d

<1，证明a

b

+c

d

<1−1

n3

.

值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质.

8．【1998高中数学联赛（第01试）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a－1)+1g(b－1)的值( )

A．等于l g2B．等于1

C．等于0D．不是与a，b无关的常数

【答案】C

【解析】因为lg(a+b)=lga+lgb，

所以a+b=ab，即(a−1)(b−1)=1，

因此lg(a−1)+lg(b−1)=0.

9．【1996高中数学联赛（第01试）】如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1

x2

在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )

A．4+113

2√2

3+√4

3B．4−5

2

√2

3+√4

3

C．1−1

2√2

3−√4

3D．以上答案都不对