实对称矩阵的正交对角化

实对称矩阵的正交对角化

摘要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。

关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化

作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。

Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。

下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。

（1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。

（2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A-

λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。

Ii：αi1，αi2，…，αini

则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。

令P1=（I1，I2，…，Ik），

则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。

（3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。

Ji：ei1，ei2，…，eini

则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。

说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini

正交化得：

βi1=αi1，βi2=αi2-■βi1，…，βil=αil-■■βim（l=2，3，…，ni）

规范化得，

eil=■（l=1，2，，…，ni）

从上述过程易知，向量组Ji可由向量组Ii表出，即Ji中的任何向量都是αi1，αi2，…，αini的线性组合，从而一定是A的对应于特征值λi的特征向量。

（4）令P=（J1，J2，…，Jk），

则P为正交矩阵，且P-1AP=PTAP=∧=diag（■，■，…，■）。

说明：因为，P为正交矩阵？圳P的n个列向量是Rn的一组正交规范基，则从P中任取两列，必正交，因为有两种情况：（1）这两列是属于同一特征值的特征向量，因为这两列来自正交规范向量组，从而必正交。（2）这两列是属于不同特征值的特征向量，因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，从而必正交。

又每个向量都来自正交规范向量组，必是单位向量。

故P的n个列向量是Rn的一组正交规范基，从而P为正交矩阵。

定理的注释：正交矩阵P是不唯一的，一方面P

各列可以交换，同时对角矩阵主对角线相应元素进行交换，另一方面从P的构成上来看，由于J1，J2，…，Jk不唯一，P也不唯一。

参考文献：

1.居余马等.线性代数（第2版）[M].北京：清华大学出版社，200

2.

2.蔡光兴，李逢高.线性代数（第三版）[M].北京：科学出版社，2011.

（作者单位：湖北工业大学理学院）