实对称矩阵的正交对角化

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线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化

1
当 1 4 时 , 求得 A 4 E x 0 的基础解系为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求得 A E x 0 的基础解系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求得 A 2 E x 0 的基础解系为 3 2 .
2
第三步将特征向量正交化
由于 1,2,3 是属于 A 的 3 个不同特征值 1,2,3 的特征向量 ,故它们必两两正交 .
第四步将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例设 3阶实对称矩阵 A的特征值为 5,1,1,且 A的
对应于特征值为 5的特征向量为 1=1,1,1T,
试求矩阵 A.
解由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是与特征值 = - 1 对应的特征向量，则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230

14实对称矩阵的相似对角化

且与对角阵相似。
1
2
3
A
PP 1
1 3
7 0 2
1 2 2
P (1,2 ,3) 2 2 1
2 1 2
0 5 2
2 2 6
P 1
1 9
1 2 2
2 2 1
2 1 2
例2：设1，1，1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
1 （1，1，1）T ,2 （2，2，1）T 是A的属于特征值1的
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1
(iii) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)，它们仍为属于i的特征向量。
1 0 1
1 0 1
2
2
Q 0 1 0
1 2
0
1 2
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量，从而可以
判断A能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵及相
似变换矩阵P.
P1AP
1
, 1,
, n为A的特征值；
n
P (P1, , Pn ), P1, , Pn为A的特征向量。
2 (
2, 5
1 5
,0)T
，3
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
Q 1 2
1
3
3
2 3
2 3
2 5
1 5
0
2
3 5
4
35 5
35
Q

5.3实对称矩阵的对角化

令x3 = 2, 得属于5的特征向量为 3 = (1, −2,2)T .
12
显然1 = (2,2,1)T , 2 = ( −2,1,2)T , 3 = (1, −2,2)T 正交.
(2) 求单位向量组. 1 = 2 = 3 = 3, 所以得单位正交向量组 T T T 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = , , , 2 = , − , − , 3 = , − , . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3) 求正交矩阵Q. 1 则 2 2 令 3 3 3 −1 0 0 2 1 2 −1 Q = ( 1 , 2 , 3 ) = − − , Q AQ = 0 2 0 = . 3 3 3 0 0 5 1 2 2 3 −3 3
T T T T 1 A = 11 , 1 A 2 = 11 2
T T 21 2 = 11 2 ,
T (2 − 1 )1 2 = 0
T 1 2 = 0
3
定理若实对称矩阵A的特征值的重数为k，则A 恰有k个对应于的线性无关的特征向量. 定理 n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量. 设矩阵A的互不相同的特征值分别为 1 ( k1重) : 11 , 12 , , 1k1 , 正 11 , 12 , , 1k1 , 交 , , , , 2 k2 2 ( k2重) : 21 , 22 , , 2 k2 , 化 21 22 后 , , 得 m 1 , m 2 , , mkm , m ( km 重) : m 1 , m 2 , , mkm , 11 ,12 , ,1k1 , 1 单其中,k1 + k2 + + km = n. 位 , , , , 21 22 2 k2 2 化 T ij ks = 0, i k . 后 , 得 m 1 ,m 2 , , mkm , m

实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例

探索新的实对称矩阵对角化方法
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化，可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。

基于特征分析的实对称矩阵可正交对角化证明

第３４卷第３期
２０１３年５月
喀什师范学院报
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＫａｓｈｇａｒＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ
Ｖｏ１．３４Ｎｏ．３
Ｍａｖ２０１３
基于特征分析的实对称矩阵可正交对角化证明
引理３设Ｘ为实对称矩阵Ａ的特征向量，若Ｙ上
证明设Ａｘ＝Ａｘ且ｘＳ，＝０．由（１）式可得
（Ａｙ）Ｔｘ＝ｙＴ（Ａｘ）＝ｙＴ（ＸＸ）＝ａ（）＝Ａ（）＝０，（５）
由（５）式得知ａｙ上Ｘ，即ａｙ正交于Ｘ．
一一一ｒ— ｒ～一ｒ
定义
若Ａ（鳓
Ａ映射所得像的集合．即Ｘ∈ 必有Ａｘ ∈嚣则
称为Ａ的不变子空间．
号两边同取共轭，就有Ａ＝Ａ再取转置，得ＸＡ＝ＡＸ．
一
显然，对应于特征值Ａ的特征空间』ｖ（Ａ— ｈｉ）是Ａ的不变子空间．因为若Ｘ ∈Ⅳ（Ａ— ＡＩ），则Ａｘ＝Ａｘ∈Ｎ（Ａ— ＡＩ）．
＝，
两边左乘Ｘ，就有
（２）
对Ａｘ＝Ａｘ两边取转置，得ｘｒＡ￣Ａｘｒ，此式两边再右乘，
即得
ｒＡ＝
，
（３）
本文介绍一种异于文献和教科书的新证明方法，此法结合了一些重要的线性代数分析技巧，包括不变子空间、正交补集和分块矩阵运算等，它在加深学生对高等代数本质理论

5.3 实对称矩阵的正交相似对角化

得 1 2 2(二重), 3 7.
第二步由 A i E x 0, 求出A的特征向量
将 1 2 2代入 A 2E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
1 2 4 1 2 0 2
2
0
得 1 4, 2 1, 3 2.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
对 1 4,由 A 4 E x 0, 得 2 x1 2 x2 0 2 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 1 2 . 1 2x 4x 0 2 3 对 2 1,由 A E x 0, 得
值为 6 , 3 , 3, 且特征值 6 对应的一个特征向量为
p1 (1,1,1) .
T
解设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
[ p1,x] x1 x2 x3 0,
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
二、实对称矩阵的性质
性质 1 对称矩阵的特征值为实数.
性质 2 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特征值
p1 , p2 是对应的特征向量, 若 1 2 , 则 p1 , p2
正交.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
性质 3 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特征方
1 2 s
且 Q-1AQ = 其中
Λ diag( λ1,, λ1, λ2 ,, λ2 ,, λs ,, λs ).

线性代数13.实对称矩阵对角化、二次型

AQ
.
1 2
1 2
0
解 1.计算特征值由 E A 0容易求得A的3个特征值分别为1, - 1，- 1 22
1
2.计算特征向量. 特征值 1对应的一个特征向量为：p1 1，
1
1
特征值
1 2
对应的两个线性无关特征向量为：p2
1
,
3.对特征向量进行正交化处理.
0
1
p3
0
.
1
0,1, 2.
0 0 1
对于 0，求解特征方程组0E A x 0，
1
得通解：x
k1
1
0
对于 1，求解特征方程组1E A x 0，
0
得通解：x
k2
0
1
1
对于 2，求解特征方程组2E A x 0，
得通解：x
k3
1
0
1
0
1
取
p1
1，p2 0
0
，
1
5.3实对称矩阵的正交相似对角化
5.3.1实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵有如下重要结论：
定理5.3.1 实对称矩阵的特征值全是实数.
定理5.3.2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.
证：设1, 2为A的两个不同特征值，
p1, p2分别为1, 2对应的特征向量，下面证明p1, p2正交.
解:
2 1 1
二次型的矩阵为A
1
2
1
1 1 2
得A的特征值: 1,1, 4
2 1 1 fA () | E A | 1 2 1 ( 1)2 ( 4)
1 1 2
对于 1，求解特征方程组1E A x 0，

实对称矩阵的对角化

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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
上页下页返回
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
上页下页返回
二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵是A的特征方程的k重根则对应特征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵则必有正交阵P 使P1APPTAP

实对称阵可对角化的几种证明及其推广

实对称阵可对⾓化的⼏种证明及其推⼴实对称阵是⼀类常见的矩阵, 它与实⼆次型和实内积空间上的⾃伴随算⼦有着密切的联系. 任⼀实对称阵 A 均正交相似于对⾓阵, 即存在正交阵 P , 使得P ′AP =diag{λ1,λ2,⋯,λn }.实对称阵的这条重要性质, 通常在内积空间的框架中加以证明 (参考复旦⾼代教材第 9.5 节). 事实上, 这⼀性质既可以在引⼊矩阵可对⾓化的定义和判定准则后直接加以证明, 也可以利⽤ Jordan 标准型理论加以证明. 下⾯我们将给出实对称阵可对⾓化的⼏种证明, 为此先来证明三个简单的引理.引理 1 实对称阵的特征值都是实数.证明设 A 为 n 阶实对称阵, λ0∈C 是 A 的任⼀特征值, α=(a 1,a 2,⋯,a n )′∈C n 是对应的特征向量, 即 A α=λ0α. 上式两边同时左乘 ¯α′, 则有 ¯α′A α=λ0¯α′α. 注意到 α 是⾮零向量, 故 ¯α′α=n∑i =1|a i |2>0. 注意到 A 为实对称阵, 故 ¯(¯α′A α)′=¯α′A α, 即 ¯α′A α 是⼀个实数, 从⽽λ0=¯α′A α¯α′α也是实数. ◻引理 2 设 A 为 n 阶实对称阵, 则 r (A )=r (A 2)=r (A 3)=⋯.证明由⾼代⽩⽪书的例 3.72 可知 r (A )=r (A ′A )=r (A 2), 从⽽ r (A )=r (A 2m) (m ≥1). 再由矩阵相乘秩相等或变⼩的性质以及夹逼法可知 r (A )=r (A k )(k ≥1). ◻引理 3 设 A 为 n 阶实对称阵, 则 Ker A ∩Im A =0 并且 Ker A =Ker A 2=Ker A 3=⋯.证明由引理 2 以及线性映射的维数公式即得. ◻定理 1 实对称阵可实对⾓化.证法 1 (有完全的特征向量系) 由引理 1 可设 A 的全体实特征值为 λ1,λ2,⋯,λn , 我们对特征值 λ1 来证明其代数重数等于其⼏何重数. 不失⼀般性, 可设 λ1=⋯=λm , 但 λj ≠λ1(m <j ≤n ), 即 λ1 的代数重数为 m . 由复旦⾼代教材的定理 6.1.2 及其后的注可知, 存在⾮异实矩阵 P , 使得 P −1AP =B C 0D, 其中 B 是主对⾓元为 λ1 的 m 阶上三⾓阵, D 是主对⾓元分别为 λm +1,⋯,λn 的上三⾓阵, 于是P −1(A−λ1I n )P =B −λ1I mC 0D −λ1I n −m.注意到 B −λ1I m 是主对⾓元全为零的上三⾓阵, 这是⼀个幂零阵, 故 (B −λ1I m )m =0, 从⽽P −1(A−λ1I n )m P=B −λ1I mC 0D −λ1I n −mm=0∗0(D −λ1I n −m )m.注意到 (D −λ1I n −m )m 是⼀个主对⾓元全不为零的上三⾓阵, 从⽽是⾮异阵, 于是 r ((A −λ1I n )m )=n −m . 注意到 A −λ1I n 为实对称阵, 再由引理2 可知, λ1 的⼏何重数为n −r (A −λ1I n )=n −r ((A −λ1I n )m )=n −(n −m )=m ,即⼏何重数等于代数重数.证法 2 (全空间等于特征⼦空间的直和) 任取 A 的实特征值 λ0, 由引理 3 可知Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )2=⋯,再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 1 完全相同的讨论即得结论. 另外, 由 Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )n 可知, λ0 的⼏何重数 dimKer(A −λ0I n )等于其代数重数 dimKer(A −λ0I n )n , 即 A 有完全的特征向量系, 这⼀⽅法⽐证法 1 更加简洁.证法 3 (极⼩多项式⽆重根) 任取 A 的实特征值 λ0, 由引理 3 可知Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )2=⋯,()()()()再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 2 完全相同的讨论即得结论.证法 4 (Jordan 标准型之⼀) 任取A的实特征值λ0, 由引理 3 可知Ker(A−λ0I n)∩Im(A−λ0I n)=0,再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 3 完全相同的讨论即得结论.证法 5 (Jordan 标准型之⼆) 任取A的实特征值λ0, 由引理 2 可知r(A−λ0I n)=r((A−λ0)2), 再由⾼代⽩⽪书的例 7.14 的证法 2 完全相同的讨论即得结论.证法 6 (Jordan 标准型之三) 设P为⾮异实矩阵, 使得P−1AP=J=diag{J r1(λ1),⋯,J rk(λk)}.⽤反证法, 若A不可对⾓化, 则不妨设r1>1. 设P′P=(b ij), 则b12=b21并且b11是P的第⼀列元素的平⽅和, 由P的⾮异性可知b11>0. 注意到P′AP=P′PJ为对称阵, 但P′PJ的第 (1,2) 元为b11+λ1b12, 第 (2,1) 元为λ1b21, 这两者不相等, ⽭盾.证法 7 (内积空间理论) 参考复旦⾼代教材的定理 9.5.2 和推论 9.5.2. ◻事实上, 我们也可以这样来看. 由上⾯的讨论可知, 对任⼀n阶实对称阵A, 全空间 R n等于A的所有特征⼦空间的直和. 容易证明: 在 R n的标准内积下, A的属于不同特征值的特征向量必正交, 属于同⼀特征值的特征向量可以利⽤ Gram-Schmidt 正交化⽅法化成两两正交的单位特征向量. 因此我们可以找到A的n个两两正交的单位特征向量, 将这些向量拼成矩阵P, 则P是⼀个n阶正交阵, 使得P′AP=diag{λ1,λ2,⋯,λn}.这就是A的正交相似标准型, 它对于深⼊探讨实对称阵的正定性和半正定性有着重要的作⽤.注 1 本题是 15 级⾼代 II 每周⼀题第 10 题第 1 ⼩问以及 16 级⾼代 II 每周⼀题第 6 题. 给出上述证法的复旦数学学院学⽣为: 章俊鑫 (证法 1),何陶然 (类似证法 1), 徐钰伦 (证法 2), 杨锦⽂ (证法 2), 杨钊杰 (证法 2), 蒋亦凡 (证法 3), 胡晓波 (证法 5), 杨彦婷 (证法 5), 沈伊南 (类似证法 6).下⾯将实对称阵可对⾓化的⼏种证法进⾏适当地推⼴, 从⽽不利⽤⾣相似标准型理论也可以直接证明: 实反对称阵, Hermite 阵, 斜 Hermite 阵,正交阵, ⾣阵, 以及更⼀般的复正规阵均可复对⾓化. 这是 15 级⾼代 II 每周⼀题第 10 题第 2 ⼩问以及 17 级⾼代 II 每周⼀题第 7 题第 2 ⼩问.我们先给出前三个引理的推⼴.引理 4 Hermite 阵的特征值都是实数. 特别地, 斜 Hermite 阵 (实反对称阵) 的特征值都是 0 或纯虚数.证明 Hermite 阵情形的证明完全类似于实对称阵情形的证明 (参考引理 1). 设A为斜 Hermite 阵, 则 i A为 Hermite 阵, 从⽽ i A的特征值都是实数, 于是A的特征值都是 0 或纯虚数. 实反对称阵是⼀种特殊的斜 Hermite 阵, 故结论也成⽴. ◻引理 5 设A为n阶复正规阵, 则r(A)=r(A2)=r(A3)=⋯.证明由⾼代⽩⽪书的例 3.72 对应的复版本可知: 对任意的m×n阶复矩阵A, 有r(A)=r(¯A ′A)=r(A¯A′).特别地, 若A是 Hermite 阵, 则r(A)=r(A2), 再仿照引理 2 的证明即得结论. 若A是复正规阵, 即A ¯A′=¯A′A, 注意到A¯A′是 Hermite 阵, 故有r(A2)=r(A2¯A2′)=r(AA¯A′¯A′)=r(A¯A′A¯A′)=r((A¯A′)2)=r(A¯A′)=r(A),再仿照引理 2 的证明即得结论. ◻引理 6 设A为n阶复正规阵, 则 Ker A∩Im A=0 并且 Ker A=Ker A2=Ker A3=⋯.证明由引理 5 以及线性映射的维数公式即得. ◻定理 2 复正规阵可对⾓化. 特别地, 实反对称阵, Hermite 阵, 斜 Hermite 阵, 正交阵, ⾣阵均可复对⾓化.证明定理 1 的证法 1--证法 5 可完全平⾏地改写⽤于证明定理 2; 定理 1 的证法 6 适当地修改之后可以证明: 实反对称阵, Hermite 阵,斜 Hermite 阵均可复对⾓化; 我们把具体的证明过程留给感兴趣的读者⾃⾏完成. 证法 7 可参考复旦⾼代教材的定理 9.6.2 和定理 9.6.3. ◻注 2 本⽂中的相关思想可推⼴为⼀般的可对⾓化判定准则, 具体的内容请参考教学博⽂ [3].参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 100%。

实对称矩阵正交对角化证明

实对称矩阵正交对角化证明实对称矩阵正交对角化是线性代数中非常重要的一个结果，它将一个实对称矩阵通过一个正交矩阵相似变换为对角矩阵。

这个结果在矩阵理论、物理学等领域有着广泛的应用。

下面我们将通过引入必要的定义、定理和证明，来生动、全面地讨论实对称矩阵正交对角化的证明。

首先，我们需要引入一些必要的定义。

一个矩阵是实对称矩阵，当且仅当它是一个方阵，并且满足矩阵的转置等于它本身。

一个矩阵是正交矩阵，当且仅当它是一个方阵，并且满足矩阵的转置乘以矩阵等于单位矩阵。

一个矩阵是对角矩阵，当且仅当它是一个方阵，并且除了对角线上的元素外，其他元素都为零。

接下来，我们引入一个非常重要的定理，即实对称矩阵的特征值是实数，且特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。

这个定理的证明可以通过使用实对称矩阵对特征值问题的标准解法，即求解矩阵的特征多项式的根来完成。

我们不再详细证明这个定理。

有了上述定义和定理，我们可以开始证明实对称矩阵正交对角化的结论。

证明：对于一个n阶实对称矩阵A，我们需要证明存在一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以A再乘以P结果为一个对角矩阵。

首先，我们考虑实对称矩阵A的特征值和特征向量。

根据前面提到的定理，特征值都是实数，且对应特征值的特征向量是正交的，即如果特征值λ1和λ2不相等，则对应的特征向量v1和v2满足v1·v2=0，其中·表示向量的内积。

另外，不同特征值对应的特征向量也是线性无关的。

我们将这些特征向量组成一个矩阵P，其中每一列是一个特征向量。

显然，P是一个正交矩阵，因为P的每一列都是单位长度的，并且两两正交。

同时，由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的，所以P是可逆的。

下面我们证明P的逆矩阵乘以A再乘以P结果为一个对角矩阵D。

对于P的第i列，设其对应的特征值为λi，则有AP=PD，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值。

左乘P的逆矩阵P-1，我们得到了P-1AP=DP-1，即A=PDP-1。

实对称矩阵和对角矩阵的关系

实对称矩阵和对角矩阵的关系1. 实对称矩阵的定义实对称矩阵是指矩阵的转置与其本身相等的矩阵。

也就是说，对于一个n × n 的实对称矩阵 A，满足 A^T = A，其中 A^T 表示 A 的转置。

2. 对角矩阵的定义对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

对于一个n × n 的对角矩阵 D，满足 D[i][j] = 0，当i ≠ j，其中 D[i][j] 表示 D 在第 i 行、第 j 列的元素。

3. 实对称矩阵与对角矩阵的关系实对称矩阵和对角矩阵之间存在一种特殊的关系。

这种关系体现在实对称矩阵必然可以通过正交矩阵相似变换成对角矩阵，即 A = P^T · D · P，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。

证明这一关系可以分为两个方面：一是对于实对称矩阵 A，存在正交矩阵 P，使得A = P^T · D · P；二是对于任意满足 A = P^T · D · P 的实对称矩阵 A，P 是正交矩阵。

3.1 实对称矩阵通过正交矩阵相似变换成对角矩阵假设 A 是一个n × n 的实对称矩阵，那么根据线性代数的一般理论，可以推导出存在正交矩阵 P 和对角矩阵 D，使得 A = P^T · D · P。

首先，由于 P 是一个正交矩阵，因此满足P^T · P = I，其中 I 是单位矩阵。

所以，P 的每一列都是一个单位向量，并且 P 的列向量两两正交。

其次，我们定义一个矩阵 B = P^T · A · P，其中 B 是一个n × n 的矩阵。

我们观察 B 的对角线元素，即 B[i][i]，可以得出以下结论：•当i ≠ j 时，B[i][j] = (P^T · A · P)[i][j] =(P^T)[i][k] · A[k][l] · (P)[l][j] (其中，k 和 l 是由矩阵 A 定义的，可以是任意值)。

实对称矩阵一定可以相似对角化的证明

实对称矩阵一定可以相似对角化的证明实对称矩阵是线性代数中非常重要的概念，它具有许多独特的性质。

其中一个重要的性质是实对称矩阵一定可以相似对角化。

在本文中，我们将证明这一性质，并解释其重要性。

让我们回顾一下对角化的概念。

对角化是指将一个矩阵相似变换成对角矩阵的过程。

对角矩阵是一种特殊的矩阵，它只在对角线上有非零元素，其他位置都是零。

通过对角化，我们可以简化矩阵的运算，并更好地理解矩阵的性质。

现在让我们来证明实对称矩阵可以相似对角化的性质。

假设A是一个n阶实对称矩阵，我们需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。

由于A是实对称矩阵，所以A一定可以对角化。

也就是说，存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。

我们设对角矩阵为D，即P^(-1)AP=D。

我们可以进一步将D写成对角线上元素的形式，即D=diag(λ1, λ2, ..., λn)，其中λ1, λ2, ..., λn是A的特征值。

接下来，我们来证明对角线上元素都是实数。

由于A是实对称矩阵，它的特征值一定是实数。

因此，对角线上的元素λ1, λ2, ..., λn都是实数。

我们需要证明P也是实的。

由于P是可逆矩阵，它的逆矩阵也是实的。

因此，P是一个实矩阵。

我们证明了实对称矩阵可以相似对角化的性质。

这个性质在实际应用中非常重要，因为它简化了矩阵的运算，并帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。

在实对称矩阵可以相似对角化的基础上，我们可以进一步研究实对称矩阵的特征值和特征向量，以及它们在线性代数和其他领域中的应用。

通过深入理解实对称矩阵的性质，我们可以更好地解决实际问题，并推动数学和科学领域的发展。

实对称矩阵可以相似对角化是一个重要且有趣的性质。

通过证明这一性质，我们不仅加深了对矩阵理论的理解，还为我们在实际应用中解决问题提供了有力的工具。

希望本文可以帮助读者更好地理解实对称矩阵的性质，并在学习和研究中有所启发。

实对称矩阵的正交对角化

实对称矩阵的正交对角化摘要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。

本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。

关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。

线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。

在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。

如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。

因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。

本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。

Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。

下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。

（1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。

（2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A-λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。

Ii：αi1，αi2，…，αini则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。

令P1=（I1，I2，…，Ik），则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。

（3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。

Ji：ei1，ei2，…，eini则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。

说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini正交化得：βi1=αi1，βi2=αi2-■βi1，…，βil=αil-■■βim（l=2，3，…，ni）规范化得，eil=■（l=1，2，，…，ni）从上述过程易知，向量组Ji可由向量组Ii表出，即Ji中的任何向量都是αi1，αi2，…，αini的线性组合，从而一定是A的对应于特征值λi的特征向量。

第七周第二次课对称矩阵的正交对角化

A对称, A AT ,
1 p1 1 p1 Ap1 p1 T AT p1 T A,
T T T
于是 1 p p2 p Ap2 p
T 1 T 1
T 1
2 p2 2 p p2 ,
T 1

1 2 p1T p2 0.
1 2 , p p2 0. 即p1与p2正交.
æ æ 1 ö ç ç ÷ 1 a 2 = ç 0 ÷, a3 = 2 ç ç 0 ÷ ç è ø è æ 令 ç 0 0 1 P = ç 12 2 ç ç 12 - 12 è æ ç Þ A = Pç ç è 0 1 -1 ö o ÷ ÷. ÷ a2 , a3. Î V ø ö æ -1 0 1 ÷ 则 ç -1 0 ÷, P AP = ç 0 1 ÷ ç 0 0 0 ÷ è ø æ 1 0 -1 0 0 ö ÷ T ç 0 1 0 ÷P = ç 0 0 ç 0 -1 0 0 1 ÷ ø è
x1 2 x2 0 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3
2 解之得基础解系 2 1 . 2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得
1 4 x1 2 x2 0 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 3 2 . 2 2x 2x 0 2 3
3. 将属于 l i 的特征向量
i i h1,, hdim Vi 正交化;
4. 将所有特征向量单位化.
例已知3阶实对称矩阵A的特征值为－1,1,1.对应于－1的特 T a1 = (0,1,1)求A. 征向量为 . 解: 设 (A - E)x = 0 解空间为V。由于V中的向量与 a1 正 a1 交。不妨设

第25讲.实对阵矩阵的正交对角化

20
2. A且是实对称矩阵, 已知A的特征值为 , , 又对应于的特征向量为 (2, 1, 2), 2 (1, 2, ), 则对应于的特征向为
k(-2,2,1)T k0
.
3. 若A可逆且可对角化, 则A*是否可对角化？, 理由是?
可以, 特征向量相同.
10
定理3 设A是n阶实对称矩阵, 是A的两个相异的特征值, 分别是属于和的特征向量, 则和必正交. 证明由已知, A= , A2= 2 2, 需要证明T=0. TA= T , TA2= 2 T 2, T =2 T 2 T 2 =0.
16
将代入 (, 得
3 x1 x 2 x 3 x4 0, x 3 x x x 0, 1 2 3 4 x1 x 2 3 x 3 x 4 0, x1 x 2 x 3 3 x 4 0.
x1 x 2 x 3 x 4 0, x x x x 0, 1 2 3 4 x1 x 2 x 3 x4 0, x1 x 2 x 3 x4 0.
求得基础解系: 11 (1,0,0,1) ,
T
12 (0,1,1,0)T , 13 (1,1,0,0)T .
1 0 Q Q1 0 Q . 2

9
这个定理的证明并没有使用矩阵可对角化的充分必要条件去证明. 定理说明实对称矩阵不仅特征值都是实数, 而且每个特征值的几何重数一定等于代数重数. 问题: 如何去求相应的正交矩阵Q? 我们需要A的n个彼此正交的特征向量, 也就是有特征向量组成的Rn的标准正交基.
0 1 / 2 1 / 2 Q 1 0 0 , 0 1 / 2 1 / 2

线性代数上23实对称矩阵的对角化

第二十四讲矩阵的相似、实对称矩阵的对角化
一、相似矩阵定义1 设 A, B 是两个 n 阶方阵, 如果存在一个 n 阶可逆矩阵 P, 使得 P-1AP = B, 则称矩阵 B 相似于矩阵 A, 记作 A ~ B. 相似作为 n 阶方阵之间的一种关系, 满足以下三条性质: (1) 自反性: A~A; (2) 对称性: 若A~B, 则B~A; (3) 传递性: 若A~B, B~C, 则A~C. 由于矩阵的相似关系有对称性, 如果 A 相似于 B, 则 B 也相似于 A, 以后就简单称作 A 与 B 相似或 A, B 是相似矩阵. 下面我们介绍一下相似矩阵的性质： (1) 相似矩阵有相同特征多项式. 证明如果 A ~ B, 那么存在可逆矩阵 P 使得 PAP-1 = B, 故 fB (λ) = | λI – PAP-1| = |P||λI – A||P-1| = |λI – A| = fA(λ). 1
( = (1,
−2
)
)
T
, 故 AX1 = 1 + −2 X1 ,
2
T
, 故 AX 2
( = (1 −
) −2 ) X ,
⎡1 + −2 ∴ A ( X1 , X 2 ) = ( X1 , X 2 ) ⎢ ⎢ ⎣ 1 ⎤ ⎡ 1 (3) 令P = ( X1 , X 2 ) = ⎢ ⎥ , 则有 −2 ⎦ ⎣ − −2 ⎡1 ⎢ ⎡1 + −2 ⎤ −1 2 −1 A= P⎢ P , 这里 P = ⎢ ⎥ ⎢1 1 − −2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎣2
5
⎡1 −1⎤ 例2 设 A = ⎢ , 求 An. 2 1⎥ ⎣ ⎦ 解 (1) 求A的特征值 λ I − A = λ − 1 − −2 λ − 1 + −2 , 所以 A 的特征值为 λ1,2 = 1 ± −2

6-3实对称矩阵与相似对角阵

(1) 将令线性无1=关1，的向量2组=2-1，2，21 ,…, ，11 r1正，交化.
3 =3-
3, 1 1, 1
1
-
3,2 2,2
2，
…………………，
r =r-
r , 1 1, 1
1
-
r,2 2,2
2
-
…-
r, r1
r ,
1 r 1
r-1.
(2) 将1，2，…，r单位化，令
1=
p1 ||η1 ||η1
1
2 2
1 0
1
1
p2
|| η 2
η ||
2
6 6
1 2
注意：P1P2仍然是对应于特征值1的特征向量，只不过是单位正交的。
当 3 4 时，由
1
2 1
1
2
1 1
x1 0
x2
0
得基础解系 3 1
1
1 1 2 x3 0
1
再将 3
单位化得
1 1
，2=
2 2
，…， r=
r r
.
【定理6.4 】设A为 n 阶实对称矩阵，则必存在 n 阶正交矩阵P，使得
1
Λ P1AP
2
n
其中 1, 2 ,, n 是A的 n个特征值.
【证】设A的所有互不相等的特征值为
它们的重数依次是 r1 , r2 ,,
1
rs
,
2
,
,
s
(r1 r2 rs n )
则 A p1 = 1 p1, A p2= 2 p2
因A对称，
故 1p1T = (1 p1)T= ( Ap1 )T= p1T AT = p1T A

实对称矩阵一定可以正交对角化证明

实对称矩阵一定可以正交对角化证明实对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置矩阵等于本身。

这种矩阵在数学和物理中都有广泛的应用。

而正交对角化是指将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积。

下面我们来证明实对称矩阵一定可以正交对角化。

首先，我们知道实对称矩阵的特征值都是实数。

这可以通过谱定理来证明。

谱定理指出，对于任意一个实对称矩阵A，都可以通过正交变换Q将其对角化成一个对角矩阵D，即：A = QDQ^T其中，Q是一个正交矩阵，即Q^TQ = I，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是A的特征值。

接下来，我们需要证明正交矩阵可以将任意实矩阵对角化。

这可以通过施密特正交化方法来证明。

施密特正交化方法是将一个线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。

对于任意一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过以下步骤将其转化为正交向量组{u1, u2, ..., un}：1. 令u1 = v1/||v1||，其中||v1||表示v1的模长。

2. 对于i = 2, 3, ..., n，令ui = vi - (ui-1·vi)ui-1 - ... - (ui-1·v1)u1，其中·表示向量的内积。

3. 对于i = 1, 2, ..., n，令ei = ui/||ui||，其中||ui||表示ui的模长。

这样得到的向量组{e1, e2, ..., en}就是一个正交向量组。

此外，我们还可以通过调整每个向量的符号，将其转化为一个标准正交向量组，即ei·ej = δij，其中δij为Kronecker delta符号，当i=j时为1，否则为0。

因此，对于任意一个实矩阵A，我们可以通过施密特正交化方法将其列向量转化为一个正交向量组Q。

这样，我们就得到了一个正交矩阵Q，满足Q^TQ = I。

接着，我们可以将A转化为一个对角矩阵D，其中D的对角线上的元素就是A的特征值。

实对称矩阵特点范文

实对称矩阵特点范文1.实对称矩阵的对角元素都是实数：由于矩阵的转置等于其自身，实对称矩阵的对角线上的元素在转置后仍然保持不变，因此对角元素都是实数。

2. 实对称矩阵的非对角元素共轭对称：设$A$是一个实对称矩阵，$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行第$j$列的元素，那么$a_{ij} = a_{ji}$。

由于实数的共轭就是其本身，因此实对称矩阵的非对角元素共轭对称，即$a_{ij} = \overline{a_{ji}}$。

这个特点在求解实对称矩阵的特征值和特征向量时具有重要的意义。

3. 实对称矩阵的特征值都是实数：对于实对称矩阵$A$，对于它的任意一个特征向量$\mathbf{v}$，若其对应的特征值为$\lambda$，则有$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$。

我们可以将该等式两边都取共轭：$(A\mathbf{v})^* = (\lambda\mathbf{v})^*$，即$\mathbf{v}^*A^* =\overline{\lambda}\mathbf{v}^*$。

但由于实对称矩阵的非对角元素共轭对称，即$A = A^*$，所以上式可以进一步简化为$\mathbf{v}^*A =\overline{\lambda}\mathbf{v}^*$。

将该式与原始的特征值等式相减得到$(A - \overline{\lambda}I)\mathbf{v}^* = \mathbf{0}$，由于特征向量非零，所以$(A - \overline{\lambda}I)$是一个奇异矩阵，即$\det(A - \overline{\lambda}I) = 0$。

我们可以看到，由于实对称矩阵的特征值方程的系数都是实数，所以特征值$\lambda$的共轭$\overline{\lambda}$也是一个根。

而特征值方程的解是多项式方程的根，而多项式方程的根与它的系数都是实数的关系称为代数学基本定理（或称为众所周知的复共轭根定理）。