2019年高考导数问题常见的分类讨论典型例题

高考导数问题常见的分类讨论典型例题

1.需对函数c bx ax x f ++=2)(是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。

例1、已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求a ,c 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间.

例2、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.

例3、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x

=-+->，讨论()f x 的单调性. 例4、已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f ,讨论)(x f 的单调性；

例5、设函数2

()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()()

x

e g x

f x =，讨论()

g x 的单调性． 例6、函数31()3

f x x kx =-,其中实数k 为常数. (I) 当4k =时，求函数的单调区间；

(II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点，求实数k 的取值范围.

练习：设函数()()2

ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。 2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例7、设函数（），其中．当时,求函数的极大值和极小值

练习：已知函数()()22211

ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；

（2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

练习：已知a 是实数，函数())f x x a =

-。

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

①写出()g a 的表达式；

②求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。 例8、已知函数f(x)=

2

1x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。（1）讨论函数()f x 的单调性； 例9、已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k

-=+-<，求()f x 的单调区间； 例10、已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈，当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

例11、已知函数21()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =

-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；

例12、已知函数2()()e x

f x x ax a -=++，（a 为常数，e 为自然对数的底）．

（Ⅰ）若()f x 在0x =时取得极小值，试确定a 的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设由()f x 的极大值构成的函数为()g a ，将a 换元为x ，试判断曲线()y g x =是否能与直线320x y m -+=（ m 为确定的常数）相切，并说明理由． 例13、例已知0>a ，函数x a x a a x x f )13(ln )1(22

)(2

+-++=． （1）若函数)(x f 在1=x 处的切线与直线03=-x y 平行，求a 的值；

（2）求函数)(x f 的单调递增区间；

（3）在（1）的条件下，若对任意[]2,1∈x ，06)(2

≥--b b x f 恒成立，求实数b 的取值组成的集合．

例14、已知函数2()()x k f x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤

1e ，求k 的取值范围。 例15、已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）.若2a b +=-，讨论函数()f x 的

单调性．

例16、已知函数)1ln(2

1)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间. 练习：已知函数2()=(1)x a f x x ， (1,)x ∈+∞. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)+∞上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

例17、已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2

x 2(k ≥0)． (1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间．

练习1、设函数21()ln (

2

a f x x ax x a -=+-∈1a >时，讨论函数()f x 的单调性.（Ⅱ）若对任意(2,3)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有2)()ma f x +- 成立，求实数m 的取值范围.

3、需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内，在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右，以确认函数在此区间上的单调性。 例19、（2012年北京高考题）已知函数f （x ）=ax 2+1（a>0）,g(x)=x 3+bx

(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；

(2) 当a 2=4b 时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值，

例20、已知函数1()f x x a

=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；

(Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()

g x x f x ϕ=

的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值.

例21、已知a 是实数，函数f (x )=x 2(x -a ).求)(x f 在区间[0，2]上的最大值。

例22、已知函数()e x f x ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a ≤．