《二次函数的应用》练习题

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二次函数的应用测试题(含答案)

二次函数的应用测试题(含答案)

二次函数的应用测试题(含答案)一.选择题(共8小题)1.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是()A.1米B.3米C.5米D.6米2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x2 +10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元3.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x 轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为()A.y= (x+3)2B.y= (x+3)2C.y= (x﹣3)2D.y= (x﹣3)25.烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.2sB.4sC.6sD.8s6一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t2+20t﹣14,则小球距离地面的最大高度是()A.2米B.5米C.6米D.14米7.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.3sB.4sC.5sD.6s8.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y= (x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A.40 m/sB.20 m/sC.10 m/sD.5 m/s二.填空题(共6小题)9.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为_________米.10.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________.11.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x 为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为_________元.12.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P 的坐标是_________.13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米.14.某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为_________件(用含x的代数式表示).三.解答题(共8小题)15.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元?16.在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套.(1)求出y与x的函数关系式.(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元;(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是].17.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?18.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB= (x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?19.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?20.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)21.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.(1)试确定y与x之间的函数关系式;(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元,试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;当试销单价定为多少元时,该商店可获最大利润?最大利润是多少元?(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元,请确定销售单价x的取值范围.22.某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx ﹣75.其图象如图所示.(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?26.3.3二次函数的应用参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是()A. 1米B.3米C.5米D. 6米考点:二次函数的应用.分析:直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案.解答:解:h=﹣5t2+10t+1=﹣5(t2﹣2t)+1=﹣5(t﹣1)2+6,故小球到达最高点时距离地面的高度是:6m.故选:D.点评:此题主要考查了二次函数的应用,正确利用配方法求出是解题关键.2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A. 30万元B.40万元C.45万元D. 46万元考点:二次函数的应用.分析:首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式,进而求出最值即可.解答:解:设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15﹣x)量,根据题意得出:W=y1+y2=﹣x2+10x+2(15﹣x)=﹣x2+8x+30,∴最大利润为:= =46(万元),故选:D.点评:此题主要考查了二次函数的应用,得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键.3.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒考点:二次函数的应用.分析:根据题意,x=7时和x=14时y值相等,因此得到关于a,b的关系式,代入到x=﹣中求x的值.解答:解:当x=7时,y=49a+7b;当x=14时,y=196a+14b.根据题意得49a+7b=196a+14b,∴b=﹣21a,根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下,当x=﹣=10.5时,y最大即高度最高.因为10最接近10.5.故选:C.点评:此题主要考查了二次函数的应用,根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键.4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x 轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为()A. y= (x+3)2B.y= (x+3)2C.y= (x﹣3)2D. y= (x﹣3)2考点:二次函数的应用.专题:应用题.分析:利用B、D关于y轴对称,CH=1cm,BD=2cm可得到D点坐标为(1,1),由AB=4cm,最低点C在x轴上,则AB关于直线CH对称,可得到左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式.解答:解:∵高CH=1cm,BD=2cm,而B、D关于y轴对称,∴D点坐标为(1,1),∵AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,∴AB关于直线CH对称,∴左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),∴右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),设右边抛物线的解析式为y=a(x﹣3)2,把D(1,1)代入得1=a×(1﹣3)2,解得a= ,故右边抛物线的解析式为y= (x﹣3)2.故选C.点评:本题考查了二次函数的应用:利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来,再确定某些点的坐标,然后利用待定系数法确定抛物线的解析式,再利用抛物线的性质解决问题.5.烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A. 2sB.4sC.6sD. 8s考点:二次函数的应用.分析:礼炮在点火升空到最高点处引爆,故求h的最大值.解答:解:由题意知礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是:,∵<0∴当t=4s时,h最大为40m,故选B.点评:本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题.6.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t2+20t﹣14,则小球距离地面的最大高度是()A. 2米B.5米C.6米D. 14米考点:二次函数的应用.分析:把二次函数的解析式化成顶点式,即可得出小球距离地面的最大高度.解答:解:h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5(t2﹣4t)﹣14=﹣5(t2﹣4t+4)+20﹣14=﹣5(t﹣2)2+6,﹣5<0,则抛物线的开口向下,有最大值,当t=2时,h有最大值是6米.故选:C.点评:本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值,把函数式化成顶点式是解题关键.7.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A. 3sB.4sC.5sD. 6s考点:二次函数的应用.专题:计算题;应用题.分析:到最高点爆炸,那么所需时间为﹣.解答:解:∵礼炮在点火升空到最高点引爆,∴t=﹣=﹣=4s.故选B.点评:考查二次函数的应用;判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键.8.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y= (x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A. 40 m/sB.20 m/sC.10 m/sD. 5 m/s考点:二次函数的应用.专题:应用题.分析:本题实际是告知函数值求自变量的值,代入求解即可,另外实际问题中,负值舍去.解答:解:当刹车距离为5m时,即可得y=5,代入二次函数解析式得:5= x2.解得x=±10,(x=﹣10舍),故开始刹车时的速度为10m/s.故选C.点评:本题考查了二次函数的应用,明确x、y代表的实际意义,刹车距离为5m,即是y=5,难度一般.二.填空题(共6小题)9.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为米.考点:二次函数的应用.专题:函数思想.分析:根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.解答:解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),到抛物线解析式得出:a=﹣0.5,所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:当y=﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出:﹣1=﹣0.5x2+2,解得:x= ,所以水面宽度增加到米,故答案为:米.点评:此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.10.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x+6)2+4.考点:二次函数的应用.专题:数形结合.分析:根据题意得出A点坐标,进而利用顶点式求出函数解析式即可.解答:解:由题意可得出:y=a(x+6)2+4,将(﹣12,0)代入得出,0=a(﹣12+6)2+4,解得:a=﹣,∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是:y=﹣(x+6)2+4.故答案为:y=﹣(x+6)2+4.点评:此题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键.11.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x 为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为25元.考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润×销售量,每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.解答:解:设最大利润为w元,则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,∵20≤x≤30,∴当x=25时,二次函数有最大值25,故答案是:25.点评:本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.12.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P 的坐标是(,5).考点:二次函数的应用.专题:压轴题.分析:分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式,分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值,再进一步比较.解答:解:线段AB的解析式是y= x+1(0≤x≤4),此时w=x(x+1)= +x,则x=4时,w最大=8;线段AC的解析式是y= x+1(0≤x≤2),此时w=x(x+1)= +x,此时x=2时,w最大=12;线段BC的解析式是y=﹣2x+10(2≤x≤4),此时w=x(﹣2x+10 )=﹣2x2+10x,此时x= 时,w最大=12.5 .综上所述,当w=xy取得最大值时,点P的坐标是(,5).点评:此题综合考查了二次函数的一次函数,能够熟练分析二次函数的最值.13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米.考点:二次函数的应用.分析:直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.解答:解:∵函数解析式为:,∴y最值= = =2.故答案为:2.点评:此题主要考查了二次函数的应用,正确记忆最值公式是解题关键.14.某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为(60+x)件(用含x的代数式表示).考点:二次函数的应用.分析:由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足解析式w=mx2+n,设销售量为a,代入函数的解析式,即可得到a和x的关系.解答:解:由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足解析式w=mx2+n,∴,解得:,∴w=﹣x2+3600,设销售量为a,则a(60﹣x)=w,即a(60﹣x)=﹣x2+3600,解得:a=(60+x ),故答案为:(60+x).点评:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,用的知识点为:因式分解,题目设计比较新颖,同时也考查了学生的逆向思维思考问题.三.解答题(共8小题)15.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元?考点:二次函数的应用.分析:(1)由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论; (2)由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可.解答:解:(1)由题意,得32﹣×4=80﹣2x.答:每天的现售价为x元时则每天销售量为(80﹣2x)件;(2)由题意,得(x﹣20)(80﹣2x)=150,解得:x1=25,x2=35.∵x≤28,∴x=25.答:想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为25元.点评:本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键.16.在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套.(1)求出y与x的函数关系式.(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元;(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是].考点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.专题:销售问题.分析:(1)根据销售量=240﹣(销售单价每提高5元,销售量相应减少20套)列函数关系即可;(2)根据月销售额=月销售量×销售单价=14000,列方程即可求出销售单价;(3)设一个月内获得的利润为w元,根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理,再根据二次函数的最值问题解答.解答:解:(1),∴y=﹣4x+480(x≥60);(2)根据题意可得,x(﹣4x+480)=14000,解得,x1=70,x2=50(不合题意舍去),∴当销售价为70元时,月销售额为14000元.(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意,得w=(x﹣40)(﹣4x+480),=﹣4x2+640x﹣19200,=﹣4(x﹣80)2+6400,当x=80时,w的最大值为6400∴当销售单价为80元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是6400元.点评:本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用,并涉及到了根据二次函数的最值公式,熟练记忆公式是解题关键.17.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:(1)设函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入求出k和b即可,由成本价为10元/千克,销售价不高于18元/千克,得出自变量x的取值范围;(2)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系,利用二次函数的性质得最值即可;(3)先把y=150代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.解答:解:(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入得,解得,∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60(10≤x≤18);(2)W=(x﹣10)(﹣2x+60)=﹣2x2+80x﹣600,对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大,∵10≤x≤18,∴当x=18时,W最大,最大为192.即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是19 2元.(3)由150=﹣2x2+80x﹣600,解得x1=15,x2=25(不合题意,舍去)答:该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元.点评:本题考查了二次函数的应用,得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键,结合实际情况利用二次函数的性质解决问题.18.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B 两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB= (x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?考点:二次函数的应用.专题:应用题;数形结合.分析:(1)首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式;(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案;(3)得出yA﹣yB的函数关系式,进而求出最值即可.解答:解:(1)由题意可得出:yB= (x﹣60)2+m经过(0,1000),则1000= (0﹣60)2+m,解得:m=100,∴yB= (x﹣60)2+100,当x=40时,yB= ×(40﹣60)2+100,解得:yB=200,yA=kx+b,经过(0,1000),(40,200),则,解得:,∴yA=﹣20x+1000;(2)当A组材料的温度降至120℃时,120=﹣20x+1000,解得:x=44,当x=44,yB= (44﹣60)2+100=164(℃),∴B组材料的温度是164℃;(3)当0<x<40时,yA﹣yB=﹣20x+1000﹣(x﹣60)2﹣100=﹣x2+10x=﹣(x﹣20) 2+100,∴当x=20时,两组材料温差最大为100℃.点评:此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键.19.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?考点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.专题:销售问题.分析:(1)设每箱应涨价x元,得出日销售量将减少2x箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依题意得方程求解即可;(2)设每箱应涨价x元,得出日销售量将减少2x箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依题意得函数关系式,进而求出最值.解答:解:(1)设每箱应涨价x元,则每天可售出(50﹣2x)箱,每箱盈利(10+x)元,依题意得方程:(50﹣2x)(10+x)=600,整理,得x2﹣15x+50=0,解这个方程,得x1=5,x2=10,∵要使顾客得到实惠,∴应取x=5,答:每箱产品应涨价5元.(2)设利润为y元,则y=(50﹣2x)(10+x),整理得:y=﹣2x2+30x+500,配方得:y=﹣2(x﹣7.5)2+612.5,当x=7.5元,y可以取得最大值,∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高.点评:此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用,解答此题的关键是熟知等量关系是:盈利额=每箱盈利×日销售量.20.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:(1)根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出方程;。

二次函数的应用(解决实际问题)带答案)

二次函数的应用(解决实际问题)带答案)

二次函数的应用1.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度16m ,则所围成矩形ABCD 的最大面积是( ) A .60m 2 B .63m 2 C .64m 2 D .66m 2【答案】C .考点:1.二次函数的应用;2.应用题;3.二次函数的最值;4.二次函数的最值.2.厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-++,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )A .3sB .4sC .5sD .6s【答案】B .考点:二次函数的应用. 3.如图,正三角形ABC 的边长为,在三角形中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ,使得D 、E 、F在边CB 上,点P 、N 分别在边CA 、AB 上,设两个正方形的边长分别为m ,n ,则这两个正方形的面积和的最小值为A.B.C.3 D.【答案】D【解析】【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n,它们的面积和为S,根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°,AB=3+,利用含30°的直角三角形三边的关系得BD=DN=m,CF=PF=n,则m+m+n+n=3+,所以n=3-m,S=m2+n2=m2+(3-m)2=2(m-)2+,接着确定m的取值范围,然后根据二次函数的性质求出S的最小值.【详解】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n,它们的面积和为S,∵△ABC为等边三角形,∴∠A =∠B=60°,AB=3+,在Rt△ADN中,BD=DN=m,在Rt△BPF中,CF=PF=n,∵AD+DE+EF+BF=AB,∴m+m+n+n=3+,∴m+n=3,∴n=3-m,∴S=m2+n2=m2+(3-m)2=2(m-)2+,当点M落在AC上,则正方形PHEC的边长最小,正方形DNME的边长最大,如图,在Rt△ADN中,BD=DN,CM=DN,∴DN+DN=3+,解得DN=3-3,在Rt△CPF中,CF=PF,∴(3-3)+3-3+EF+PF=3+,解得PF=6-9,∴6-9≤m≤3-3,∴当m=时,S最小,S的最小值为,故答案选D.4.把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,物体的运动路线是一条抛物线,且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足:h=v0t- gt2(其中g是常数,取10米/秒2).某时,小明在距地面2米的O点,以10米/秒的初速度向上抛出一个小球,抛出2.1秒时,该小球距地面的高度是( ) A.1.05米B.-1.05米C.0.95米D.-0.95米【答案】C【解析】【分析】把t=2.1代入h=v0t-gt2,求出h的值,然后加2即可.【详解】把t=2.1代入h=v0t-gt2得,h=10×2.1-×10×2.12=-1.05(米),-1.05+2=0.95(米).故选C.5.点为线段上的一个动点,,分别以和为一边作等边三角形,用表示这两个等边三角形的面积之和,下列判断正确的是()A.当为的三等分点时,最小B.当是的中点时,最大C.当为的三等分点时,最大D.当是的中点时,最小【答案】D【解析】【分析】根据四个选择项,可知要判断的问题是C在AB的什么位置时,S有最大或最小值.由于点C是线段AB上的一个动点,可设AC=x,然后用含x的代数式表示S,得到S与x的函数关系式,最后根据函数的性质进行判断.【详解】设AC=x,则CB=1-x,S=x2+(1-x)2,即S=x2-x+=(x-)2+,∵a=>0,∴当x=时,S最小,此时,C是AB的中点,故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值,根据题意建立二次函数的关系式,然后根据二次根式的性质进行解答是关键.6.抛物线p :y=ax 2+bx+c 的顶点为C ,与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧),点C 关于x 轴的对称点为C′,我们称以A 为顶点且过点C′,对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线,直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y =x 2+2x +1和y =2x +2,则这条抛物线的解析式为_____________________. 【答案】223y x x =--. 【解析】试题分析:由题意可得,抛物线y =x 2+2x +1和直线y =2x +2的交点坐标就是点A 、C′的坐标,把y =x 2+2x +1和y =2x +2联立组成方程组,解得方程组的解即可的得A (—1,0)、C′(1,4).又因y=ax 2+bx+c 的顶点为C 与C′关于x 轴对称,所以C (1,-4). y=ax 2+bx+c 的顶点为C (1, —4)且过点A (—1,0).可设抛物线的解析式为y=a (x —1)2 —4,把点A (—1,0)代入即可求得a=1,所以y=(x —1)2 —4,即223y x x =--.考点:阅读理解题;求函数的交点坐标;求函数的解析式.学科网7. 某果园有100颗橙子树,平均每颗树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x 棵橙子树.(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y (个)与x 之间的关系; (2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?【答案】(1)6005y x =-;(2)果园多种10棵橙子树时,可以使橙子的总产量最大,最大为60500个. 【分析】(1)根据每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子列式即可;(2)根据题意列出函数解析式,利用配方法把二次函数化为顶点式,根据二次函数的性质进行解答即可. 【解析】(1)平均每棵树结的橙子个数y (个)与x 之间的关系为:y =600﹣5x (0≤x <120);(2)设果园多种x 棵橙子树时,可使橙子的总产量为w ,则w =(600﹣5x )(100+x )=25(10)60500x --+ 则果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为60500个. 考点:二次函数的应用.8.某景点试开放期间,团队收费方案如下:不超过30人时,人均收费120元;超过30人且不超过m (30<m ≤100)人时,每增加1人,人均收费降低1元;超过m 人时,人均收费都按照m 人时的标准.设景点接待有x 名游客的某团队,收取总费用为y 元.(1)求y 关于x 的函数表达式;(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求m 的取值范围.【答案】(1)y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩;(2)30<m ≤75.【分析】(1)根据收费标准,分0<x ≤30,30<x ≤m ,m <x ≤100分别求出y 与x 的关系即可.(2)由(1)可知当0<x ≤30或m <x <100,函数值y 都是随着x 是增加而增加,30<x ≤m 时,2150y x x =-+,根据二次函数的性质即可解决问题.【解析】(1)y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩.(2)由(1)可知当0<x ≤30或m <x <100,函数值y 都是随着x 是增加而增加,当30<x ≤m 时,22150(75)5625y x x x =-+=--+,∵a =﹣1<0,∴x ≤75时,y 随着x 增加而增加,∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,∴30<m ≤75.考点:二次函数的应用;分段函数;最值问题;二次函数的最值9. 某宾馆拥有客房100间,经营中发现:每天入住的客房数y (间)与其价格x (元)(180≤x ≤300)满足一次函数关系,部分对应值如表:x (元) 180 260 280 300 y (间) 100 60 50 40(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)已知每间入住的客房,宾馆每日需支出各种费用100元;每日空置的客房需支出各种费用60元,当房价为多少元时,宾馆当日利润最大?求出最大值.(宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出) 【答案】(1)11902y x =-+(180≤x ≤300);(2)当房价为210元时,宾馆当日利润最大,最大利润为8450元.【分析】(1)设一次函数表达式为y =kx +b (k ≠0),由点的坐标(180,100)、(260,60)利用待定系数法即可求出该一次函数表达式;(2)设房价为x 元(180≤x ≤300)时,宾馆当日利润为w 元,依据“宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出”即可得出w 关于x 的二次函数关式,根据二次函数的性质即可解决最值问题.【解析】(1)设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0),依题意得:18010016060k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得:12190kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y与x之间的函数表达式为11902y x=-+(180≤x≤300).(2)设房价为x元(180≤x≤300)时,宾馆当日利润为w元,依题意得:w=(12-x+190)(x﹣100)﹣60×[100﹣(12-x+190)]=21210136002x x-+-=21(210)84502x--+,∴当x=210时,w取最大值,最大值为8450.答:当房价为210元时,宾馆当日利润最大,最大利润为8450元.考点:二次函数的应用;二次函数的最值;最值问题.10.小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价(元/件)100 110 120 130 …月销量(件)200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是元;②月销量是件;(直接填写结果)(2)设销量该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?【答案】(1)①(x-60);②(-2x + 400)(2)售价为每件130元时,当月的利润最大为9800元试题解析:(1)①(x-60);②(-2x + 400)(2)依题意可得:y=(x-60)×(-2x + 400= -2x2 + 520x – 24000= -2(x-130)2 + 9800当x=130时,y有最大值9800所以售价为每件130元时,当月的利润最大为9800元考点:二次函数的应用.11.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.(1)设每天盈利w元,求出w关于x的函数关系式,并说明每天盈利是否可以达到8000元?(6分)(2)若该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?(6分) 【答案】(1)(10)(50020)y x x =+-,不能;(2)5.试题解析:(1)设每千克涨价x 元,利润为y 元,由题意,得:215(10)(50020)20()61252y x x x =+-=--+ ∴a =﹣20<0,∴抛物线开口向下,当x =7.5时,y 最大值=6125,∴每天盈利不能达到8000元. (2)当y =6000时,6000(10)(50020)x x =+-,解得:110x =,25x =, ∵要使顾客得到实惠,∴x =5. 答:每千克应涨价为5元. 考点:二次函数的应用.12.技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体(看成一个点)的路线是抛物线,已知起跳点A 距地面的高度为1米,弹跳的最大高度距地面4.75米,距起跳点A 的水平距离为2.5米,建立如图所示的平面直角坐标系, (1)求演员身体运行路线的抛物线的解析式?(2)已知人梯高BC =3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A 的水平距离是4米,问这次表演是否成功?说明理由.【答案】(1)23315y x x =-++;(2)能,理由见试题解析. 【解析】试题分析:(1)由题意可知二次函数过A (0,1),顶点(31924,),用顶点式即可求出二次函数的解析式; (2)当4x =时代入二次函数可得点B 的坐标在抛物线上.试题解析:(1)由题意可知二次函数过A (0,1),顶点(31924,),设二次函数解析式为:2519()24y a x =-+, 把A (0,1)代入得:2519144a =+,解得:35a =-,∴23519()524y x =--+,即23315y x x =-++;(2)能成功表演.理由是:当4x =时,234341 3.45y =-⨯+⨯+=.即点B (4,3.4)在抛物线23315y x x =-++上,因此,能表演成功.考点:二次函数的应用.13.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出,平均每月能售出600件,调查表明:这种衬衣售价每上涨1元,其销售量将减少10件.(1)写出月销售利润y (单位:元)与售价x (单位:元/件)之间的函数解析式. (2)当销售价定为45元时,计算月销售量和销售利润.(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下,使月销售利润达到10000元,销售价应定为多少? (4)当销售价定为多少元时会获得最大利润?求出最大利润.【答案】(1)2105006000y x x =-++;(2)550件,8250元;(3)50元;(4)65元,12250元. 【解析】试题分析:(1)根据设每个书包涨价x 元,由这种书包的售价每上涨1元,其销售量就减少10个,列出函数关系式;(2)销售价为45元,即上涨了5元,所以5x =,代入即可月销售量和销售利润; (3)令10000y =,解方程即可;(4)用配方法求出二次函数的最大值即可. 试题解析:(1)∵每个书包涨价x 元,∴2(4030)(60010)105006000y x x x x =-+-=-++, 答:y 与x 的函数关系式为:2105006000y x x =-++;(2)销售价为45元,即上涨了5元,所以月销量=600-10×5=550(件),销售利润=2105500560008250y =-⨯+⨯+=(元);考点:二次函数的应用.14.为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来领前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.(1)试求出每天的销售量y (盒)与每盒售价x (元)之间的函数关系式; (2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P (元)最大?最大利润是多少?(3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?【答案】(1)201600y x =-+;(2)售价定为60元时,每天销售的利润P (元)最大,最大利润是8000元;(3)440. 【解析】试题分析:(1)根据“当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y (盒)与每盒售价x (元)之间的函数关系式;(2)根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理,再根据二次函数的最值问题解答;(3)先由(2)中所求得的P 与x 的函数关系式,根据这种粽子的每盒售价不得高于58元,且每天销售粽子的利润不低于6000元,求出x 的取值范围,再根据(1)中所求得的销售量y (盒)与每盒售价x (元)之间的函数关系式即可求解.考点:二次函数的应用.15.已知某隧道截面积拱形为抛物线形,拱顶离地面10米,底部款20米.(1)建立如图1所示的平面直角坐标系,使y 轴为抛物线的对称轴,x 轴在地面上.求这条抛物线的解析式;(2)维修队对隧道进行维修时,为了安全,需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB -BC -CD (其中B 、C 两点在抛物线上,A .D 两点在地面上),现有总长为30米的材料,那么材料是否够用? (3)在(2)的基础上,若要求矩形支架的高度AB 不低于5米,已知隧道是双向行车道,正中间用护栏隔开,则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米,高度不超过5米的车能否并排通过隧道口?(护栏宽度和两车间距忽略不计)【答案】(1)211010y x =-+;(2)够用;(3)不能.试题解析:(1)设2y ax c =+,由题意抛物线经过点(10,0),(0,10),则100010a c c +=⎧⎨=⎩,解得:11010a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, 故抛物线的解析式为211010y x =-+; (2)设点C 的坐标为(m ,n ),则所需材料长度=2221112222()210210(5)251055m n m m m m m +=+⨯-+⨯=-++=--+, ∵105-<,∴当m =5时,所需材料最多,为25米,∴总长为30米的材料够用;(3)当5n =时,2110510m -+=,解得52m =, ∵5224<⨯,∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口. 考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的应用.学科网。

《二次函数的应用》第一课时练习题

《二次函数的应用》第一课时练习题

《二次函数的应用》第一课时练习题1、某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x 轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y =-x 2+4x (单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )A .4米B .3米C .2米D .1米2、为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为100m ,则池底的最大面积是( )A .600m 2B .625m 2C .650m 2D .675m 23、用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是( )A .2564m 2 B .34m 2 C .38m 2 D .4m 24、如图所示,在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ,其中AB 和BC 分别在两直角边上,设AB =x m ,长方形的面积为y m 2,要使长方形的面积最大,其边长x 应为( ) A .424m B .6m C .15m D .25m5、将一张边长为30cm 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x cm 的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当x 取下面哪个数值时,长方体的体积最大( ) A .7 B .6 C .5 D .46、如图,铅球运动员掷铅球的高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数关系式是:35321212++-=x x y ,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A .6m B .12m C .8m D .10m7、小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线5.3512+-=x y 的一部分,如图,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L 是( )A .4.6mB .4.5mC .4mD .3.5m8、某广场中心有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为23米的喷 水管喷水最大高度为4米,此时喷水水平距离为21米,在如图所示的坐标系中,这支喷泉的函数关系式是( )A .y =21x 2+4B .y =-10(x +21)2+4 C .y =4(x -21)2+23 D .y =-10(x -21)2+49、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE (如图),其中AF =2,BF =1.试在AB 上求一点P ,使矩形PNDM 有最大面积.10、小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门(木质).花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大?11、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图a所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图b所示),求抛物线的解析式;(2)求支柱EF的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.12、如图所示,在生产中,为了节约原材料,加工零件时常用一些边角余料,△ABC为锐角三角形废料.其中BC=12cm,BC边上高AD=8cm,在△ABC上截取矩形PQM N,与BC边重合,画出草图说明P,N两点落在什么位置上,才能使它的面积最大?最大面积是多少?并求出这时矩形的长和宽.12454212=⨯+⨯-=最大S )(604289)4176(422m S =+--=最大2176<≤x 6=x 答案:1、A2、B3、C4、D5、D6、D7、B8、D9、解:设矩形PNDM 的边,,y NP x DN ==则矩形PNDM 的面积)42(≤≤=x xy S易知CN =4-x ,EM =4-y .过点B 作PN BH ⊥于点H ,则有有△AFB ∽△BHP521+-=∴x y )42(5212≤≤+-==∴x x x xy S 此二次函数的图象开口向下,对称轴5=x当5≤x 时,函数值y 随x 的增大而增大,对于42≤≤x 来说,当4=x 时,10、 解:设花圃的宽为x 米,面积为S 平方米则长为:xx 4342432-=+-(米)则:)434(x x S -= 4289)417(434422+--=+-=x xx 104340≤-<x 2176<≤∴x 6417< ∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 范围内,而在 内,S 随x 的增大而减小∴当 时,答:可设计成宽6米,长10米的矩形花圃,这样的花圃面积最大. 2413AF BH x BF PH y -∴==-即11、解:(1)根据题目条件,A 、B 、C 的坐标分别是(-100,0),(10,0),(0,6). 设抛物线的解析式为c ax y +=2则由题意可得:⎩⎨⎧+==ca c 10006 解得6,503=-=c a . (2)可设F (5,F y ),于是5.4655032=+⨯-=F y 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3)设DN 是隔离带的宽,NG 是三辆车的宽度和,则G 点坐标是(7、0). 过GH 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ,则306.3675032>≈+⨯-=H y 根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.12、解:设ED =x cm ,则AE =(8-x )cm ,由矩形的性质可得:ED =PQ =MN , BC PN //∴△APN ∽△ABC ADAE BC PN =∴ 则8812x PN -= x PN 2312-=∴ 设矩形的面积为S cm 224)4(231223)2312(22+--=+-=-=x x x x x S 80<<x∴当x =4cm 时,矩形的最大面积为24cm 2,这时,矩形的长PN 为6cm ,宽PQ 为4cm 。

第5章 二次函数(压轴必刷30题2种题型专项训练)(原卷版)

第5章 二次函数(压轴必刷30题2种题型专项训练)(原卷版)

第5章二次函数(压轴必刷30题2种题型专项训练)一.二次函数的应用(共3小题)1.(2023•建湖县三模)秀夫初中全校师生为学校修建植物园群策群力.九年级设计小组为更合理地利用空间,将计划种植各种树木的矩形空地一边靠墙(可利用的墙长不超过18米),另外三边由36米长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中,垂直于墙的边AB=x米,面积为y米2,如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若矩形空地的面积为160米2,求x;(3)若学校用8600元购买了甲、乙、丙三种树木共400棵(每种树木的单价和每棵栽种的合理用地面积如表).问丙种树木最多可以购买多少棵?此时,这批树木可以全部栽种到这块空地上吗?请说明理由.甲乙丙单价(元/棵)141628合理用地(米2/棵)0.410.42.(2023•海安市模拟)某企业接到一批帽子生产任务,按要求在20天内完成,约定这批帽子的出厂价为每顶8元.为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶,y与x满足如下关系式:y=(1)小华第几天生产的帽子数量为220顶?(2)如图,设第x天每顶帽子的成本是P元,P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若小华第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大值是多少元?(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多49元,则第(m+1)天每顶帽子至少应提价几元?3.(2023春•江都区月考)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系;线段CD表示该产品销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系,已知0<x≤120,m>60.(1)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;(2)若m=90,该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?(3)若60<m<70,该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?二.二次函数综合题(共27小题)4.(2023秋•太仓市期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(2,0)两点,且与y轴交于点C(0,6).连接AC,BC,P为抛物线在第二象限内一点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接P A、PC,抛物线上是否存在点P,使得S△P AC:S四边形ABCP=1:3?若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,连接P A、PB,过点P作PD∥BC交AC于点D,连接BD.若,求点P坐标.5.(2023•崇川区校级四模)规定:如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的,我们则称这两个函数互为“O—函数”.这组点称为“XC点”.例如:点P(1,1)在函数y=x2上,点Q(﹣1,﹣1)在函数y=﹣x﹣2上,点P与点Q关于原点对称,此时函数y=x2和y=﹣x﹣2互为“O—函数”,点P 与点Q则为一组“XC点”.(1)已知函数y=﹣2x﹣1和y=﹣互为“O—函数”,请求出它们的“XC点”;(2)已知函数y=x2+2x+4和y=4x+n﹣2022互为“O—函数”,求n的最大值并写出“XC点”;(3)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与y=2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”,如图,若二次函数的顶点为M,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)其中0<x1<x2,AB=,过顶点M作x轴的平行线l,点P在直线l上,记P的横坐标为﹣,连接OP,AP,BP.若∠OP A=∠OBP,求t的最小值.6.(2023•鼓楼区校级三模)如图.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+mx+4m的图象交x轴于点A、B,交y轴于点C(0,4),点P是第一象限内抛物线上的一个动点,连结AC、CP、P A,P A与直线BC 交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当tan∠P AB=1时,判断CP与AB的数最关系,并说明理由;(3)设△CDP的面积为S1,△CDA的面积为S2,求的最大值.7.(2023•兴化市二模)已知二次函数y1=a(x﹣m)(x﹣m﹣d)(a,m,d均为正数)图象的顶点为P.(1)直接写出二次函数y1的图象与x轴的交点坐标以及点P的坐标(用含a、m、d的字母表示);(2)一次函数y2=kx﹣km(k为常数且k≠0),若函数y3=y1+y2,且y3的图象与x轴有且只有一个交点.①求函数y3的图象与x轴的交点坐标,并探求a、d、k之间的数量关系,说明理由;②将函数y2的图象向下平移d个单位长度,交函数y1图象的对称轴l于点M,点N是点M关于顶点P的对称点,过点N作x轴的平行线交平移后的直线于点Q,当点Q恰好在函数y1的图象上时,求此时k 的整数值.8.(2023•淮安区校级二模)数学兴趣小组同学们对二次函数y=nx2﹣(n+3)x+3(n为正数)进行如下探究:(1)同学们在探究中发现,该函数图象除与y轴交点不变外,还经过一个定点A,请写出A点坐标;(2)有同学研究后认为,该二次函数图象顶点不会落在第一象限,你认为是否正确,请说明理由;(3)若抛物线与x轴有两个交点,且交点与顶点构成的三角形是直角三角形,请帮兴趣小组同学求出n 的值.9.(2023•武进区校级模拟)如图,函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).(1)求抛物线的函数解析式;(2)点P在抛物线上,求当∠CBP=45°时点P的坐标.10.(2023•连云港)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:y=x2﹣2x﹣3的顶点为P.直线l过点M (0,m)(m≥﹣3),且平行于x轴,与抛物线L1交于A、B两点(B在A的右侧).将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2,抛物线L2交y轴于点C,顶点为D.(1)当m=1时,求点D的坐标;(2)连接BC、CD、DB,若△BCD为直角三角形,求此时L2所对应的函数表达式;(3)在(2)的条件下,若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动,且EF=CD,以EF 为一边作正方形EFGH,连接CG,写出CG长度的最小值,并简要说明理由.11.(2023•天宁区校级二模)已知二次函数y=ax2﹣2ax+4(a≠0),图象记为L.(1)如图,a=1时,求该二次函数图象的顶点坐标;(2)在(1)的条件下,将二次函数y=ax2﹣2ax+4(x<0)的图象向右平移2个单位,与二次函数y=ax2﹣2ax+4(x≥2)的图象组成一个新的函数图象,记为L′.设L′上的一点P的坐标为(m,n).①当m满足时,n随m的增大而增大;②当m>2时,过点P作y轴垂线,分别交L、L′于点M、N.若ON将△OPM的面积分成1:2两部分,求点P坐标;(3)若点(x1,3),(x2,6)在二次函数y=ax2﹣2ax+4图象上,直接写出a的取值范围.12.(2023•梁溪区一模)如图,将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折,然后向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为A,函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为B,和x轴的交点为C,D(点D位于点C左侧).(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式;(2)从A,C,D三点中任取两点和点B构造三角形,求构造的三角形是等腰三角形的概率;(3)点M是线段BC上的动点,N是△ABC三边上的动点,是否存在以AM为斜边的Rt△AMN,使△AMN的面积为△ABC面积的?若存在,求tan∠MAN的值,若不存在,请说明理由.13.(2023•灌云县校级模拟)如图1,抛物线y=﹣x2+kx+k+1(k≥1)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的顶点纵坐标的最小值;(2)若k=2,点P为抛物线上一点,且在A、B两点之间运动.①是否存在点P使得S△P AB=,若存在,求出点P坐标,若不存在,请说明理由;②如图2,连接AP,BC相交于点M,当S△PMB﹣S△AMC的值最大时,求直线BP的表达式.14.(2023•南通二模)定义:在平面直角坐标系xOy中,若函数图象上的点P(x,y)满足x+y=a(其中x ≥0,a为常数),则称点P为函数图象的“a级和点”.(1)若点(2,m)为反比例函数图象的“1级和点”,则m=,k=;(2)若2≤a≤4时,直线y=kx+k+3上有“a级和点”,求k的取值范围;(3)若抛物线的“a级和点”恰有一个,求a的取值范围.15.(2023•建湖县三模)平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍,则称这个点为“二倍点”.例如,点P(,3)是“二倍点”.(1)在点A(1,1),B(﹣3,),C(﹣6,3)中,是“二倍点”的有;(2)若点E为双曲线y=﹣(x>0)上任意一点.①请说明随着点E在图象上运动,为什么函数值y随自变量x的增大而增大?②若将点E向右平移一个单位,再向下平移一个单位得到点F.求证:点F为“二倍点”.(3)已知“二倍点”M在抛物线y=x2(x>0)的图象上,“二倍点”N在一次函数y=x(x>0)的图象上,点G在x轴上,坐标平面内有一点H,若以点M,N,G,H为顶点的四边形是矩形,请直接写出点H的坐标.16.(2023•如东县一模)定义:若函数G1的图象上至少存在一个点,该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上,则称函数G1,G2为关联函数,这两个点称为函数G1,G2的一对关联点.例如,函数y=2x与函数y=x﹣3为关联函数,点(1,2)和点(1,﹣2)是这两个函数的一对关联点.(1)判断函数y=x+2与函数y=﹣是否为关联函数?若是,请直接写出一对关联点;若不是,请简要说明理由;(2)若对于任意实数k,函数y=2x+b与y=kx+k+5始终为关联函数,求b的值;(3)若函数y=x2﹣mx+1与函数y=2x﹣(m,n为常数)为关联函数,且只存在一对关联点,求2m2+n2﹣6m的取值范围.17.(2023•宿豫区三模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2的抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)也经过点A、点C,并与x轴正半轴交于点B.(1)求抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)的函数表达式;(2)设点E(0,),点F在抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)对称轴上,并使得△AEF的周长最小,过点F任意作一条与y轴不平行的直线交此抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,试探究的值是否为定值?说明理由;(3)将抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)适当平移后,得到抛物线y3=a(x﹣h)2(h>1),若当1<x≤m 时,y3≥﹣x恒成立,求m的最大值.18.(2023•盐城)定义:若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点,并且都在坐标轴上,则称二次函数为一次函数的轴点函数.【初步理解】(1)现有以下两个函数:①y=x2﹣1;②y=x2﹣x,其中,为函数y=x﹣1的轴点函数.(填序号)【尝试应用】(2)函数y=x+c(c为常数,c>0)的图象与x轴交于点A,其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B.若OB=OA,求b的值.【拓展延伸】(3)如图,函数y=x+t(t为常数,t>0)的图象与x轴、y轴分别交于M,C两点,在x轴的正半轴上取一点N,使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽,在x轴的上方作矩形MNDE.若函数y=x+t(t为常数,t>0)的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上,求n的值.19.(2023•梁溪区模拟)如图,已知二次函数y=ax2+2ax+c(a>0)的图象与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧),它的对称轴l与图象交于点P,直线OP所对应的函数表达式为y=2x.(1)请直接写出点P的坐标.(2)若△P AB为直角三角形,设直线OP与这个二次函数的图象的另一个交点为Q.①求a、c的值与点Q的坐标;②若M为直线l上的点,且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形,请直接写出点M的纵坐标t的取值范围.20.(2023•沭阳县三模)如图1,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接AC,BC,点P在第四象限的抛物线上运动,连接AP,BP,CP.(1)求抛物线的表达式;(2)若S△PBC﹣S△APC=2,求点P的坐标;(3)①如图2,若AP交BC于点E,过点P作x轴的垂线交BC于点F,当EF=EP,求点P的坐标;②如图3,在①的条件下,连接AP,BP,点M是线段AP上一点,点Q是线段BP上一点,连接MQ,过点M作x轴的垂线交抛物线于点H,过点H作HN∥PB交MQ于点N,当S△MHN=S△MHQ,直接写出线段MH的长.21.(2023•扬州)在平面直角坐标系xOy中,已知点A在y轴正半轴上.(1)如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(﹣1,1)中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数,且a≠0)的图象上.①a=;②如图1,已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上,且AD⊥y轴,求菱形的边长;③如图2,已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上,点B、D在y轴的同侧,且点B在点D的左侧,设点B、D的横坐标分别为m、n,试探究n﹣m是否为定值.如果是,求出这个值;如果不是,请说明理由.(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数,且a>0)的图象上,点B在点D的左侧,设点B、D的横坐标分别为m、n,直接写出m、n满足的等量关系式.22.(2023春•兴化市月考)已知:二次函数y=ax2+2ax﹣8a(a为常数,且a>0)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D.(1)分别求点A、B的坐标;(2)若△ABC是直角三角形,求该二次函数相应的表达式;(3)当时,一次函数的图象过B点,与二次函数的对称轴交于Q点,N为一次函数图象上一点,过N点作y的平行线交二次函数图象于M点,当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时,求N点的坐标.23.(2023春•大丰区月考)如图,直线y=﹣x+m与抛物线y=ax2+bx都经过点A(6,0),点B,过B作BH垂直x轴于H,OA=3OH.直线OC与抛物线AB段交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)当点C的纵坐标是时,求直线OC与直线AB的交点D的坐标;(3)在(2)的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN,顶点P始终在线段AB上,求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值.24.(2023•常州)如图,二次函数y=x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A(﹣2,0),B,其顶点是C.(1)b=;(2)D是第三象限抛物线上的一点,连接OD,tan∠AOD=.将原抛物线向左平移,使得平移后的抛物线经过点D,过点(k,0)作x轴的垂线l.已知在l的左侧,平移前后的两条抛物线都下降,求k的取值范围;(3)将原抛物线平移,平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q,且其顶点P落在原抛物线上,连接PC、QC、PQ.已知△PCQ是直角三角形,求点P的坐标.25.(2023•灌云县校级三模)如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接AC,BC,CD.(1)求抛物线的表达式;(2)若点P为抛物线上的点,连接CP,当∠ACO=∠PCB时,求点P的坐标;(3)若在x轴上总存在一点Q,且点Q的横坐标为m(m>﹣3),当∠DCB<∠QCB<∠CAO时,直接写出m的取值范围.26.(2023•泗洪县模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣4).(1)求该二次函数的解析;(2)若点P、Q同时从A点出发,以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.①当点P运动到B点时,在x轴上是否存在点E,使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点的坐标;若不存在,请说明理由.②当P、Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请直接写出t的值及D点的坐标.27.(2023•兴化市开学)如图,已知抛物线y=ax2(a<0)经过点A(2,﹣2),过点A的直线l平行于x 轴,横坐标分别m,s的点B、C(m<s<0)在抛物线上,且位于在直线l异侧,连接BC,AC,AB,线段BC与直线l相交于点D.(1)求a的值;(2)若m=﹣3,s=﹣1.①求AD的值;②试判断AD是否平分∠CAB,并说明理由;(3)若AD平分∠CAB,试判断tan(∠ABD+∠CAD)的值是否变化?如果不变,求出这个值,如果变化,请说明理由.28.(2023•昆山市校级一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,4)、与x轴交于点B(2,0)和点C(﹣1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点D为第一象限的抛物线上一点.①过点D作DE⊥AB,垂足为点E,求线段DE长的取值范围;②若点F、G分别为线段OA、AB上一点,且四边形AFGD既是中心对称图形,又是轴对称图形,求此时点D的坐标.29.(2023•锡山区校级四模)已知抛物线y=mx2﹣(1﹣4m)x+c过点(1,a),(﹣1,a),(0,﹣1).(1)求该抛物线的解析式;(2)已知过原点的直线与该抛物线交于A,B两点(点A在点B右侧),该抛物线的顶点为C,连接AC,BC,点D在点A,C之间的抛物线上运动(不与点A,C重合).当点A的横坐标是4时,若△ABC的面积与△ABD的面积相等,求点D的坐标;(3)若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切.已知点F的坐标是(0,1),过该抛物线上的任意一点(除顶点外)作该抛物线的切线l,分别交直线y=1和y=﹣3直线于点P,Q,求FP2﹣FQ2的值.30.(2023•工业园区校级模拟)已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点.(1)直接写出抛物线的函数解析式;(2)如图1,M是抛物线顶点,点P在抛物线上,若直线AP经过△CBM外接圆的圆心,求点P的横坐标;(3)如图2,点N是第一象限内抛物线上的一动点,连接NA分别交BC、y轴于D、E两点,若△NBD、△CDE的面积分别为S1、S2,求S1﹣S2的最大值;(4)点Q是抛物线对称轴上一动点,当∠OQA的值最大时,请直接求出点Q的坐标.。

二次函数的应用练习题及答案

二次函数的应用练习题及答案

二次函数的应用练习题及答案一:知识点利润问题:总利润=总售价–总成本总利润=每件商品的利润×销售数量二:例题1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.2、某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是________________3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门,问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?4、某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为扩大销售增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取降价措施,经调查发现,若每件衬衫每降价1元,商场平均每天可以多售出2件.若每件降价x 元,每天盈利y 元,求y 与x 的关系式.若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?每件衬衫降价多少元时,商场每天盈利最多?盈利多少元?5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.求:房间每天的入住量y关于x的函数关系式.该宾馆每天的房间收费z关于x的函数关系式.该宾馆客房部每天的利润w关于x的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w有最大值?最大值是多少?6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品,在市场营销的过程中发现:如果该商品按每件最低价3元销售,日销售量为18件,如果单价每提高1元,日销售量就减少2件.设销售单价为x,日销售量为y.写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式;设日销售的毛利润为P,求出毛利润P与销售单价x之间的函数关系式;在下图所示的坐标系中画出P关于x的函数图象的草图,并标出顶点的坐标;观察图象,说出当销售单价为多少元时,日销售的毛利润最高?是多少?7、我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160元,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式.O若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?8、为了扶持大学生自主创业,市政府提供了80万元无息贷款,用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品,并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40元,员工每人每月的工资为2500元,公司每月需支付其它费用15万元.该产品每月销售量y与销售单价x之间的函数关系如图所示.求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式;当销售单价定为50元时,为保证公司月利润达到5万元,该公司可安排员工多少人?若该公司有80名员工,则该公司最早可在几个月后还清无息贷款?9、大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,投资开办了一个装饰品商店.该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售,购进价格为20元/件.销售结束后,得知日销售量P与销售时间x之间有如下关系:P=-2x+80;又知前20天的销售价格Q1 与销售时间x之间有如下关系:Q1?1x?30 ,后10天的销售价格Q与2销售时间x之间有如下关系:Q2=45.试写出该商店前20天的日销售利润R1和后l0天的日销售利润R2分别与销售时间x之间的函数关系式;请问在这30天的试销售中,哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润.注:销售利润=销售收入一购进成本.10、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m 与时间t的关系如下表:未来40天内,前20天每天的价格y1与时间t的函数关系式为y1?t?25,后20天每天的价格y2与时间t的函数关系式为y2??1t?40。

2024年中考数学《二次函数的实际应用》真题含解析版

2024年中考数学《二次函数的实际应用》真题含解析版

二次函数的实际应用(21题)一、单选题1(2024·天津·中考真题)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t20≤t≤6.有下列结论:①小球从抛出到落地需要6 s;②小球运动中的高度可以是30 m;③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】本题考查二次函数的图像和性质,令�=0解方程即可判断①;配方成顶点式即可判断②;把t=2和t=5代入计算即可判断③.【详解】解:令�=0,则30t-5t2=0,解得:t1=0,t2=6,∴小球从抛出到落地需要6 s,故①正确;∵�=30t-5t2=-5x-32+45,∴最大高度为45m,∴小球运动中的高度可以是30 m,故②正确;当t=2时,�=30×2-5×22=40;当t=5时,�=30×5-5×52=25;∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度,故③错误;故选C.2(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=12,动点E,F同时从点A出发,分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动,且速度大小相同,当点E停止运动时,点F也随之停止运动,连接EF,以EF为边向下做正方形EFGH,设点E运动的路程为x0<x<12,正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象,能够明确y 与x 分别表示的意义,并找到几何图形与函数图象之间的关系,以及对应点是解题的关键,根据题意并结合选项分析当HG 与BC 重合时,及当x ≤4时图象的走势,和当x >4时图象的走势即可得到答案.【详解】解:当HG 与BC 重合时,设AE =x ,由题可得:∴EF =EH =2x ,BE =12-x ,在Rt △EHB 中,由勾股定理可得:BE 2=BH 2+EH 2,∴2x 2+2x 2=12-x 2,∴x =4,∴当0<x ≤4时,y =2x 2=2x 2,∵2>0,∴图象为开口向上的抛物线的一部分,当HG 在BC 下方时,设AE =x ,由题可得:∴EF =2x ,BE =12-x ,∵∠AEF =∠B =45°,∠A =∠EOB =90°,∴△FAE ∽△EOB ,∴AE EF =EO EB ,∴x 2x=EO 12-x ,∴EO =12-x 2,∴当4<x <12时,y =2x ·12-x 2=12-x x =-x 2+12x ,∵-1<0,∴图象为开口向下的抛物线的一部分,综上所述:A 正确,故选:A .3(2024·山东烟台·中考真题)如图,水平放置的矩形ABCD 中,AB =6cm ,BC =8cm ,菱形EFGH 的顶点E ,G 在同一水平线上,点G 与AB 的中点重合,EF =23cm ,∠E =60°,现将菱形EFGH 以1cm/s 的速度沿BC 方向匀速运动,当点E 运动到CD 上时停止,在这个运动过程中,菱形EFGH 与矩形ABCD重叠部分的面积S cm 2 与运动时间t s 之间的函数关系图象大致是()A. B.C. D.【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,菱形的性质,动点问题的函数图象,二次函数的图象的性质,先求得菱形的面积为63,进而分三种情形讨论,重合部分为三角形,重合部分为五边形,重合部分为菱形,分别求得面积与运动时间的函数关系式,结合选项,即可求解.【详解】解:如图所示,设EG ,HF 交于点O ,∵菱形EFGH ,∠E =60°,∴HG =GF又∵∠E =60°,∴△HFG 是等边三角形,∵EF =23cm ,∠HEF =60°,∴∠OEF =30°∴EG =2EO =2×EF cos30°=3EF =6∴S 菱形EFG H =12EG ⋅FH =12×6×23=63当0≤x ≤3时,重合部分为△MNG ,如图所示,依题意,△MNG 为等边三角形,运动时间为t ,则NG =t cos30°=233t ,∴S =12×NG ×NG ×sin60°=34233t 2=33t 2当3<x≤6时,如图所示,依题意,EM=EG-t=6-t,则EK=EMsin60°=6-t32=2336-t∴S△EKJ=12EJ⋅EM=12×2336-t2=336-t2∴S=S菱形EFGH-S△EKJ=6-336-t2=-33t2+43t-123+6∵EG=6<BC∴当6<x≤8时,S=63当8<x≤11时,同理可得,S=6-33t-82当11<x≤14时,同理可得,S=336-t-82=3314-t2综上所述,当0≤x≤3时,函数图象为开口向上的一段抛物线,当3<x≤6时,函数图象为开口向下的一段抛物线,当6<x≤8时,函数图象为一条线段,当8<x≤11时,函数图象为开口向下的一段抛物线,当11<x≤14时,函数图象为开口向上的一段抛物线;故选:D.二、填空题4(2024·广西·中考真题)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P 处)的高度OP 是74m ,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m ,高度是4m .若实心球落地点为M ,则OM =m .【答案】353【分析】本题考查的是二次函数的实际应用,设抛物线为y =a x -5 2+4,把点0,74,代入即可求出解析式;当y =0时,求得x 的值,即为实心球被推出的水平距离OM .【详解】解:以点O 为坐标原点,射线OM 方向为x 轴正半轴,射线OP 方向为y 轴正半轴,建立平面直角坐标系,∵出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m ,高度是4m .设抛物线解析式为:y =a x -5 2+4,把点0,74 代入得:25a +4=74,解得:a =-9100,∴抛物线解析式为:y =-9100x -5 2+4;当y =0时,-9100x -5 2+4=0,解得,x 1=-53(舍去),x 2=353,即此次实心球被推出的水平距离OM 为353m .故答案为:3535(2024·甘肃·中考真题)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y (单位:m )与距离停车棚支柱AO 的水平距离x (单位:m )近似满足函数关系y =-0.02x 2+0.3x +1.6的图象,点B 6,2.68 在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD =4m ,高DE =1.8m 的矩形,则可判定货车完全停到车棚内(填“能”或“不能”).【答案】能【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用,根据题意求出当x =2时,y 的值,若此时y 的值大于1.8,则货车能完全停到车棚内,反之,不能,据此求解即可.【详解】解:∵CD =4m ,B 6,2.68 ,∴6-4=2,在y =-0.02x 2+0.3x +1.6中,当x =2时,y =-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12,∵2.12>1.8,∴可判定货车能完全停到车棚内,故答案为:能.6(2024·四川自贡·中考真题)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图),其中AB 上的EO 段围墙空缺.同学们测得AE =6.6m ,OE =1.4m ,OB =6m ,OC =5m ,OD =3m .班长买来可切断的围栏16m ,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是cm 2.【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用.要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地,那就必须尽量使用原来的围墙,观察图形,利用AO 和OC 才能使该矩形菜地面积最大,分情况,利用矩形的面积公式列出二次函数,利用二次函数的性质求解即可.【详解】解:要使该矩形菜地面积最大,则要利用AO 和OC 构成矩形,设矩形在射线OA 上的一段长为xm ,矩形菜地面积为S ,当x ≤8时,如图,则在射线OC 上的长为16-x -1.4+52=19.6-x 2则S =x ⋅19.6-x 2=-12x 2+9.8x =-12x -9.8 2+48.02,∵-12<0,∴当x ≤9.8时,S 随x 的增大而增大,∴当x =8时,S 的最大值为46.4;当x >8时,如图,则矩形菜园的总长为16+6.6+5 =27.6m ,则在射线OC 上的长为27.6-2x 2则S =x ⋅13.8-x =-x 2+13.8x =-x -6.9 2+47.61,∵-1<0,∴当x <6.9时,S 随x 的增大而减少,∴当x >8时,S 的值均小于46.4;综上,矩形菜地的最大面积是46.4cm 2;故答案为:46.4.三、解答题7(2024·陕西·中考真题)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L 1与缆索L 2均呈抛物线型,桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面,如图所示,以O 为原点,以直线FF 为x 轴,以桥塔AO 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系.已知:缆索L 1所在抛物线与缆索L 2所在抛物线关于y 轴对称,桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离OC =100m ,AO =BC =17m ,缆索L 1的最低点P 到FF 的距离PD =2m (桥塔的粗细忽略不计)(1)求缆索L 1所在抛物线的函数表达式;(2)点E 在缆索L 2上,EF ⊥FF ,且EF =2.6m ,FO <OD ,求FO 的长.【答案】(1)y =3500x -50 2+2;(2)FO 的长为40m .【分析】本题考查了二次函数的应用,待定系数法求二次函数解析式,根据题意求得函数解析式是解题的关键.(1)根据题意设缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =a x -50 2+2,把0,17 代入求解即可;(2)根据轴对称的性质得到缆索L 2所在抛物线的函数表达式为y =3500x +50 2+2,由EF =2.6m ,把y =2.6代入求得x 1=-40,x 2=-60,据此求解即可.【详解】(1)解:由题意得顶点P 的坐标为50,2 ,点A 的坐标为0,17 ,设缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =a x -50 2+2,把0,17 代入得17=a 0-50 2+2,解得a =3500,∴缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =3500x -50 2+2;(2)解:∵缆索L 1所在抛物线与缆索L 2所在抛物线关于y 轴对称,∴缆索L 2所在抛物线的函数表达式为y =3500x +50 2+2,∵EF =2.6,∴把y =2.6代入得,2.6=3500x +50 2+2,解得x 1=-40,x 2=-60,∴FO=40m或FO=60m,∵FO<OD,∴FO的长为40m.8(2024·湖北·中考真题)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为x米,平行于墙的边BC为y米,围成的矩形面积为Scm2.(1)求y与x,s与x的关系式.(2)围成的矩形花圃面积能否为750cm2,若能,求出x的值.(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.【答案】(1)y=80-2x19≤x<40;s=-2x2+80x(2)能,x=25(3)s的最大值为800,此时x=20【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用:(1)根据AB+BC+CD=80可求出y与x之间的关系,根据墙的长度可确定x的范围;根据面积公式可确立二次函数关系式;(2)令s=750,得一元二次方程,判断此方程有解,再解方程即可;(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可.【详解】(1)解:∵篱笆长80m,∴AB+BC+CD=80,∵AB=CD=x,BC=y,∴x+y+x=80,∴y=80-2x∵墙长42m,∴0<80-2x≤42,解得,19≤x<40,∴y=80-2x19≤x<40;又矩形面积s=BC⋅AB=y⋅x=80-2xx=-2x2+80x;(2)解:令s=750,则-2x2+80x=750,整理得:x2-40x+375=0,此时,Δ=b 2-4ac =-40 2-4×375=1600-1500=100>0,所以,一元二次方程x 2-40x +375=0有两个不相等的实数根,∴围成的矩形花圃面积能为750cm 2;∴x =--40 ±1002,∴x 1=25,x 2=15,∵19≤x <40,∴x =25;(3)解:s =-2x 2+80x =-2x -20 2+800∵-2<0,∴s 有最大值,又19≤x <40,∴当x =20时,s 取得最大值,此时s =800,即当x =20时,s 的最大值为8009(2024·河南·中考真题)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h m 满足关系式h =-5t 2+v 0t ,其中t s 是物体运动的时间,v 0m/s 是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.(1)小球被发射后s 时离地面的高度最大(用含v 0的式子表示).(2)若小球离地面的最大高度为20m ,求小球被发射时的速度.(3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3s .”已知实验楼高15m ,请判断他的说法是否正确,并说明理由.【答案】(1)v 010(2)20m/s (3)小明的说法不正确,理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是:(1)把函数解析式化成顶点式,然后利用二次函数的性质求解即可;(2)把t =v 010,h =20代入h =-5t 2+v 0t 求解即可;(3)由(2),得h =-5t 2+20t ,把h =15代入,求出t 的值,即可作出判断.【详解】(1)解:h =-5t 2+v 0t=-5t -v 010 2+v 0220,∴当t =v 010时,h 最大,故答案为:v 010;(2)解:根据题意,得当t =v 010时,h =20,∴-5×v 0102+v 0×v 010=20,∴v 0=20m/s (负值舍去);(3)解:小明的说法不正确.理由如下:由(2),得h =-5t 2+20t ,当h =15时,15=-5t 2+20t ,解方程,得t 1=1,t 2=3,∴两次间隔的时间为3-1=2s ,∴小明的说法不正确.10(2024·湖北武汉·中考真题)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x 轴,垂直于地面的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y =ax 2+x 和直线y =-12x +b .其中,当火箭运行的水平距离为9km 时,自动引发火箭的第二级.(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km .①直接写出a ,b 的值;②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ,求这两个位置之间的距离.(2)直接写出a 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15km .【答案】(1)①a =-115,b =8.1;②8.4km (2)-227<a <0【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用,涉及待定系数法求解析式,二次函数的图象和性质,一次函数的图象与性质等知识点,熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键.(1)①将9,3.6 代入即可求解;②将y =-115x 2+x 变为y =-115x -152 2+154,即可确定顶点坐标,得出y =2.4km ,进而求得当y =2.4km 时,对应的x 的值,然后进行比较再计算即可;(2)若火箭落地点与发射点的水平距离为15km ,求得a =-227,即可求解.【详解】(1)解:①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km∴抛物线y=ax2+x和直线y=-12x+b均经过点9,3.6∴3.6=81a+9,3.6=-12×9+b解得a=-115,b=8.1.②由①知,y=-12x+8.1,y=-115x2+x∴y=-115x2+x=-115x-1522+154∴最大值y=154km当y=154-1.35=2.4km时,则-115x2+x=2.4解得x1=12,x2=3又∵x=9时,y=3.6>2.4∴当y=2.4km时,则-12x+8.1=2.4解得x=11.44-3=8.4km∴这两个位置之间的距离8.4km.(2)解:当水平距离超过15km时,火箭第二级的引发点为9,81a+9,将9,81a+9,15,0代入y=-12x+b,得81a+9=-12×9+b,0=-12×15+b解得b=7.5,a=-2 27∴-227<a<0.11(2024·四川内江·中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元,某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价52元时,可售出180盒;每盒售价提高1元时,少售出10盒.(1)求这两种粽子的进价;(2)设猪肉粽每盒售价x元52≤x≤70,y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数表达式并求出y的最大值.【答案】(1)猪肉粽每盒50元,豆沙粽每盒30元(2)y=-10x2+1200x-35000或y=-10x-602+1000,当x=60时,y取得最大值为1000元【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值,解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题.(1)设豆沙粽每盒的进价为n元,则猪肉粽每盒的进价为n+20元.根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程,求解并检验即可;(2)根据题意可列出y关于x的函数解析式,再根据二次函数的性质即可解答.【详解】(1)解:设豆沙粽每盒的进价为n元,则猪肉粽每盒的进价为n+20元由题意得:5000n+20=3000n解得:n=30经检验:n=30是原方程的解且符合题意∴n+20=50答:猪肉粽每盒50元,豆沙粽每盒30元.(2)解:设猪肉粽每盒售价x元52≤x≤70,y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位:元),则y=x-50180-10x-52=-10x2+1200x-35000=-10x-602+1000∵52≤x≤70,-10<0,∴当x=60时,y取得最大值为1000元.12(2024·贵州·中考真题)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值.销售单价x/元⋯1214161820⋯销售量y/盒⋯5652484440⋯(1)求y与x的函数表达式;(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少?(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.【答案】(1)y=-2x+80(2)糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是450元(3)2【分析】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是:(1)利用待定系数法求解即可;(2)设日销售利润为w元,根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式,然后利用二次函数的性质求解即可;(3)设日销售利润为w元,根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式,然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】(1)解∶设y与x的函数表达式为y=kx+b,把x=12,y=56;x=20,y=40代入,得12k+b=56 20k+b=40 ,解得k =-2b =80 ,∴y 与x 的函数表达式为y =-2x +80;(2)解:设日销售利润为w 元,根据题意,得w =x -10 ⋅y=x -10 -2x +80=-2x 2+100x -800=-2x -25 2+450,∴当x =25时,w 有最大值为450,∴糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是450元;(3)解:设日销售利润为w 元,根据题意,得w =x -10-m ⋅y=x -10-m -2x +80=-2x 2+100+2m x -800-80m ,∴当x =-100+2m 2×-2=50+m 2时,w 有最大值为-250+m 2 2+100+2m 50+m 2 -800-80m ,∵糖果日销售获得的最大利润为392元,∴-250+m 22+100+2m 50+m 2 -800-80m =392,化简得m 2-60m +116=0解得m 1=2,m 2=58当m =58时,x =-b 2a=54,则每盒的利润为:54-10-58<0,舍去,∴m 的值为2.13(2024·广东·中考真题)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.(题中“元”为人民币)【答案】当定价为4.5万元每吨时,利润最大,最大值为312.5万元【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用,设每吨降价x 万元,每天的利润为w 万元,根据利润=每吨的利润×销售量列出w 关于x 的二次函数关系式,利用二次函数的性质求解即可.【详解】解:设每吨降价x 万元,每天的利润为w 万元,由题意得,w =5-x -2 100+50x=-50x 2+50x +300=-50x-122+312.5,∵-50<0,∴当x=12时,w有最大值,最大值为312.5,∴5-x=4.5,答:当定价为4.5万元每吨时,利润最大,最大值为312.5万元.14(2024·四川遂宁·中考真题)某酒店有A、B两种客房、其中A种24间,B种20间.若全部入住,一天营业额为7200元;若A、B两种客房均有10间入住,一天营业额为3200元.(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元?(2)酒店对A种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果每个房间定价每增加10元,就会有一个房间空闲;当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为多少元?【答案】(1)A种客房每间定价为200元,B种客房每间定价为为120元;(2)当A种客房每间定价为220元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为4840元.【分析】(1)设A种客房每间定价为x元,B种客房每间定价为为y元,根据题意,列出方程组即可求解;(2)设A种客房每间定价为a元,根据题意,列出W与a的二次函数解析式,根据二次函数的性质即可求解;本题考查了二元一次方程组的应用,二次函数的应用,根据题意,正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键.【详解】(1)解:设A种客房每间定价为x元,B种客房每间定价为为y元,由题意可得,24x+20y=7200 10x+10y=3200,解得x=200 y=120 ,答:A种客房每间定价为200元,B种客房每间定价为为120元;(2)解:设A种客房每间定价为a元,则W=24-a-200 10a=-110a2+44a=-110a-2202+4840,∵-110<0,∴当a=220时,W取最大值,W最大值=4840元,答:当A种客房每间定价为220元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为4840元.15(2024·四川南充·中考真题)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元?(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价)【答案】(1)A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件(2)y=10x+60(0≤x≤10)(3)A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最犬,最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质,1 根据题意设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为132-x元,进一步得到关于x的一元一次方程求解即可;2 根据降价1元,每天可多售出10件列出函数关系式,结合进价与售价,且每件售价不低于进价得到x得取值范围;3 结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件,得到A类特产的利润,同时求得B类特产的利润,整理得到关于x的二次函数,利用二次函数的性质求解即可.【详解】(1)解:设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为132-x元.根据题意得3x+5132-x=540.解得x=60.则每件B类特产的售价132-60=72(元).答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.(2)由题意得y=10x+60∵A类特产进价50元/件,售价为60元/件,且每件售价不低于进价∴0≤x≤10.答:y=10x+60(0≤x≤10).(3)w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x2+40x+1800=-10(x-2)2+1840.∵-10<0,∴当x=2时,w有最大值1840.答:A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1840元.16(2024·江苏盐城·中考真题)请根据以下素材,完成探究任务.制定加工方案生产背景背景1◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式.◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件,或“正”服装1件.◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等.背景2每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为:①“风”服装:24元/件;②“正”服装:48元/件;③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.信息整理现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下:探究任务任务1探寻变量关系求x、y之间的数量关系.任务2建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数表达式.任务3拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案.【答案】任务1:y=-13x+703;任务2:w=-2x2+72x+3360(x>10);任务3:安排17名工人加工“雅”服装,17名工人加工“风”服装,34名工人加工“正”服装,即可获得最大利润【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用,理解题意,根据二次函数的性质求解是解题关键.任务1:根据题意安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,得出加工“正”服装的有70-x-y人,然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等,得出关系式即可得出结果;任务2:根据题意得:“雅”服装每天获利为:x100-2x-10,然后将2种服装的获利求和即可得出结果;任务3:根据任务2结果化为顶点式,然后结合题意,求解即可.【详解】解:任务1:根据题意安排70名工人加工一批夏季服装,∵安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,∴加工“正”服装的有70-x-y人,∵“正”服装总件数和“风”服装相等,∴70-x-y×1=2y,整理得:y=-13x+703;任务2:根据题意得:“雅”服装每天获利为:x100-2x-10,∴w=2y×24+70-x-y×48+x100-2x-10,整理得:w=-16x+1120+-32x+2240+-2x2+120x∴w=-2x2+72x+3360(x>10)任务3:由任务2得w=-2x2+72x+3360=-2x-182+4008,∴当x=18时,获得最大利润,y=-13×18+703=523,∴x≠18,∵开口向下,∴取x=17或x=19,当x=17时,y=533,不符合题意;当x=19时,y=513=17,符合题意;∴70-x-y=34,综上:安排17名工人加工“雅”服装,17名工人加工“风”服装,34名工人加工“正”服装,即可获得最大利润.17(2024·山东烟台·中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?【答案】(1)y=-25x2+20x+12000,每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为12240元(2)这天售出了64辆轮椅【分析】本题考查二次函数的实际应用,正确的列出函数关系式,是解题的关键:(1)根据总利润等于单件利润乘以销量,列出二次函数关系式,再根据二次函数的性质求最值即可;(2)令y=12160,得到关于x的一元二次方程,进行求解即可.【详解】(1)解:由题意,得:y=200-x60+x10×4=-25x2+20x+12000;∵每辆轮椅的利润不低于180元,∴200-x≥180,∴x≤20,∵y=-25x2+20x+12000=-25x-252+12250,∴当x<25时,y随x的增大而增大,∴当x=20时,每天的利润最大,为-25×20-252+12250=12240元;答:每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为12240元;(2)当y=12160时,-25x2+20x+12000=12160,解得:x1=10,x2=40(不合题意,舍去);∴60+1010×4=64(辆);答:这天售出了64辆轮椅.18(2024·江西·中考真题)如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx a<0刻画,斜坡可以用一次函数y=14x刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表:x012m4567⋯y07261528152n72⋯(1)①m =,n =;②小球的落点是A ,求点A 的坐标.(2)小球飞行高度y (米)与飞行时间t (秒)满足关系y =-5t 2+vt .①小球飞行的最大高度为米;②求v 的值.【答案】(1)①3,6;②152,158;(2)①8,②v =410【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据,(1)①由抛物线的顶点坐标为4,8 可建立过于a ,b 的二元一次方程组,求出a ,b 的值即可;②联立两函数解析式求解,可求出交点A 的坐标;(2)①根据第一问可知最大高度为8米;②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v 值.【详解】(1)解:①根据小球飞行的水平距离x (米)与小球飞行的高度y (米)的变化规律表可知:抛物线顶点坐标为4,8 ,∴-b 2a =4-b 24a =8 ,解得:a =-12b =4 ,∴二次函数解析式为y =-12x 2+4x ,当y =152时,-12x 2+4x =152,解得:x =3或x =5(舍去),∴m =3,当x =6时,n =y =-12×62+4×6=6,故答案为:3,6.②联立得:y =-12x 2+4x y =14x ,解得:x =0y =0 或x =152y =158,∴点A 的坐标是152,158,(2)①由题干可知小球飞行最大高度为8米,故答案为:8;②y =-5t 2+vt =-5t -v 10 2+v 220,则v 220=8,解得v =410(负值舍去).19(2024·江苏苏州·中考真题)如图,△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,A -2,0 ,C 6,0 ,反比例函数y =k xk ≠0,x >0 的图象与AB 交于点D m ,4 ,与BC 交于点E .(1)求m ,k 的值;(2)点P 为反比例函数y =k xk ≠0,x >0 图象上一动点(点P 在D ,E 之间运动,不与D ,E 重合),过点P 作PM ∥AB ,交y 轴于点M ,过点P 作PN ∥x 轴,交BC 于点N ,连接MN ,求△PMN 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.【答案】(1)m =2,k =8(2)S △PMN 最大值是92,此时P 3,83【分析】本题考查了二次函数,反比例函数,等腰三角形的判定与性质等知识,解题的关键是:(1)先求出B 的坐标,然后利用待定系数法求出直线AB 的函数表达式,把D 的坐标代入直线AB 的函数表达式求出m ,再把D 的坐标代入反比例函数表达式求出k 即可;(2)延长NP 交y 轴于点Q ,交AB 于点L .利用等腰三角形的判定与性质可得出QM =QP ,设点P 的坐标为t ,8t ,2<t <6 ,则可求出S △PMN =12⋅6-t ⋅t ,然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】(1)解:∵A -2,0 ,C 6,0 ,∴AC =8.又∵AC =BC ,∴BC =8.∵∠ACB =90°,∴点B 6,8 .设直线AB 的函数表达式为y =ax +b ,将A -2,0 ,B 6,8 代入y =ax +b ,得-2a +b =06a +b =8 ,。

二次函数应用试题

二次函数应用试题

二次函数应用一.解答题(共6小题)1.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0),如图记录了甲运动员起跳后的三组数据.(1)直接写出甲运动员起跳后的y与x的函数关系式为;(2)运动员起跳后,裁判根据跳跃后的水平距离打出跳跃得分,其总分为60+1.4(x﹣90)分,求甲运动员完成本次动作的跳跃得分.(3)乙运动员的跳跃轨迹近似抛物线,满足函数关系y=a′x2﹣60a′x+c(a′≠0),若乙运动员的跳跃成绩要超过甲运动员,直接写出a′的取值范围.2.某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥,如图1所示,示意图如图2,且已知图2中矩形的长AD为16米,宽AB为6米,抛物线的最高处E距地面BC为10米.(1)请根据题意建立恰当的平面直角坐标系,并求出抛物线的函数解析式.(2)若观景拱桥下放置两根长为7.5米的对称安置的立柱,求这两根立柱之间的水平距离.3.掷实心球是河南省2022年中考体育考试选考项目.一名女生投实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,掷出时起点处高度为,当水平距离为3m时,实心球行进至最高点3m处.设抛物线的表达式为y=a(x﹣h)2+k.(1)求y关于x的函数表达式;(2)下表是2022年新乡市体育考试女生标准,若你是评分员,请你为该女生打分.2022年新乡市中招体育考试女生标准掷实心7.87.77.67.57.47.27.17.06.96.86.66.56.46.36.26.05.85.45.04.54.0球(米)得分109.89.69.49.29.08.78.48.17.87.57.26.96.66.36.05.04.03.02.01.0(注:4.0以下均按“0”分)4.如图是小智用数学软件模拟弹球运动轨迹的部分示意图,已知弹球P从x轴上的点A向右上方弹射出去,沿抛物线l1:y=﹣x2+2x+15运动,落到图示的台阶S1﹣S5某点Q处后,又立即向右上方弹起,运动轨迹形成另一条与L1,形状相同的抛物线L2,抛物线L2的顶点N与点Q的垂直距离为4,点A到台阶底部O的距离为3,最高一是台阶S1到x 轴的距离为9,S1~S5每层台阶的高和宽均分别为1和1.5.台阶的各拐角均为直角.(1)求弹球P上升到最高点M时,弹球到x轴的距离;(2)①指出落点Q在哪一层台阶上,并求出点Q的坐标;②求出抛物线L2的解析式;(3)已知△BCD的BC边紧贴x轴,∠C=90°,BC=1,CD=2,当弹球沿粘物线L2下落能击中△BCD时,求点C的横坐标的最大值与最小值.5.小明进行实心球训练,他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况,建立了如图所示的平面直角坐标系,实心球从y轴上的点A处出手,运动路径可看作抛物线,在点B处达到最高位置,落在x轴上的点C处.小明某次试投时的数据如图所示.(1)根据图中信息,求出实心球路径所在抛物线的表达式.(2)若实心球投掷距离(实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度)不小于9.6m,成绩为满分,请通过计算,判断小明此次试投的成绩是否能达到满分.6.在2016年巴西里约奥运会上,中国女排克服重重困难,凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队,荷兰队和塞尔维亚队,获得了奥运冠军,为祖国和人民争了光.如图,已知女排球场的长度OD为18米,位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去,排球的飞行路线是抛物线的一部分,当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时,到达最高点F,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)当排球运行的最大高度为2.8米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x (单位:米)之间的函数关系式.(2)在(1)的条件下,这次所发的球能够过网吗?如果能够过网,是否会出界?请说明理由.(3)喜欢打排球的李明同学经研究后发现,发球要想过网,球运行的最大高度h(米)应满足h>2.32,但是他不知道如何确定h的取值范围,使排球不会出界(排球压线属于没出界),请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围.。

二次函数的应用练习题

二次函数的应用练习题

二次函数的应用练习题二次函数是高中数学中的一个重要概念,它在现实生活中有着广泛的应用。

本文将通过一些练习题来探讨二次函数的应用,帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

题目一:某物体自由落体运动的高度与时间的关系可以用二次函数表示。

已知物体从某高度自由落下,经过2秒钟时,高度为10米;经过4秒钟时,高度为2米。

求物体自由落体的二次函数表达式,并计算经过6秒钟时物体的高度。

解析:设物体自由落体的二次函数表达式为y=ax^2+bx+c。

已知经过2秒钟时,高度为10米,代入得10=4a+2b+c;经过4秒钟时,高度为2米,代入得2=16a+4b+c。

解这个方程组可以得到a=-2,b=12,c=-10。

所以物体自由落体的二次函数表达式为y=-2x^2+12x-10。

代入x=6,可以计算得到物体经过6秒钟时的高度为y=-2(6)^2+12(6)-10=52米。

题目二:某公司生产一种产品,销售量与售价之间存在着一定的关系。

已知当售价为10元时,销售量为100个;当售价为20元时,销售量为60个。

假设销售量与售价之间的关系可以用二次函数表示,求销售量与售价之间的二次函数表达式,并计算当售价为15元时的销售量。

解析:设销售量与售价之间的二次函数表达式为y=ax^2+bx+c。

已知售价为10元时,销售量为100个,代入得100=a(10)^2+b(10)+c;售价为20元时,销售量为60个,代入得60=a(20)^2+b(20)+c。

解这个方程组可以得到a=-0.5,b=15,c=50。

所以销售量与售价之间的二次函数表达式为y=-0.5x^2+15x+50。

代入x=15,可以计算得到售价为15元时的销售量为y=-0.5(15)^2+15(15)+50=112.5个。

题目三:某地区的温度变化与季节之间存在一定的关系。

已知该地区1月份的平均温度为5摄氏度,7月份的平均温度为30摄氏度。

假设温度变化与季节之间的关系可以用二次函数表示,求温度变化与季节之间的二次函数表达式,并计算4月份的平均温度。

二次函数的应用 冀教版初中数学九年级下册练习题(含答案)

二次函数的应用 冀教版初中数学九年级下册练习题(含答案)

30.4二次函数的应用练习题一、选择题1.如图,图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时水面宽4m.水面下降1m,水面宽度为()A. 2√6mB. 2√3mC. √6mD. √3m2.如图,用长为24 m的篱笆围成一面利用墙(墙的最大可用长度a为9m)、且中间隔有一道篱笆的长方形花圃,则围成的花圃的面积最大为()A. 48m2B. 45m2C. 16m2D. 44m23.用一根长60cm的铁丝围成一个矩形,则矩形的最大面积为()A. 125cm2B. 225cm2C. 200cm2D. 250cm24.某进货单价为70元的某种单品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润,则应降价()A. 5元B. 10元C. 15元D. 20元5.小强在一次训练中,掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y=−112x2+23x+53,则小强此次成绩为()A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米6.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,若水面下降2.5m,那么水面宽度为()mA. 3B. 6C. 8D. 97.同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液(如图①).于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时,洗手液.洗手液瓶子的截面图下部分是矩从喷口B流出,路线近似呈抛物线状,且a=−118形CGHD.小王同学测得:洗手液瓶子的底面直径GH=12cm,喷嘴位置点B距台面的距离为16 cm,且B、D、H三点共线.小王在距离台面15.5cm处接洗手液时,手心Q到直线DH的水平距离为3 cm,若学校组织学生去南京进行研学实践活动,小王小王不去接,则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是()cm.A. 12√3B. 12√2C. 6√3D. 6√28.为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示),对应的两条抛物线关于y轴对称,AE//x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm,则右轮廓DFE所在抛物线的表达式为()A. y=14(x+3)2 B. y=14(x−3)2 C. y=−14(x+3)2D. y=−14(x−3)29.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟10.共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放a辆单车,计划第三个月投放单车y辆,设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是()A. y=a(1+x)2 B. y=x2+aC. y=(1−x)2+aD. y=a(1−x)2二、填空题11.如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,左右两个抛物线形是全等的.正常水位时,大孔水面宽度为20m,顶点距水面6m,小孔顶点距水面3m.当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为______m.12.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为________元.13.如图,小明在校运动会上掷铅球时,铅球的运动路线是抛物线,铅球落在A点处,那么小明掷铅球的成绩是____米.14.为运用数据处理道路拥堵问题,现用流量q(辆/小时)、速度v(千米/小时)、密度k(辆/千米)来描述车流的基本特征.现测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表:速度v(千米/小时)…1520324045…流量q(辆/小时)…105012001152800450…若已知q、v满足形如q=mv2+nv(m、n为常数)的二次函数关系式,且q、v、k 满足q=vk.根据监控平台显示,当5≤v≤10时,道路出现轻度拥堵,试求此时密度k的取值范围是______.15.如图,李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD,用篱笆围成的另外三边总长为24m,设BC的长为x m,矩形的面积为y m2,则y与x之间的函数表达式为________ .三、解答题16.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?(2)当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?17.为了在校运会中取得更好的成绩,小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线米,当铅球是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是85运行的水平距离为3米时,达到最大高度5米的B处.小丁此次投掷的成绩是多少2米?18.如图,有一抛物线型拱桥,在正常水位使水面宽AB=20m,当水位上升3m,水面宽CD=10m.(1)按如图所示的直角坐标系,求此抛物线的函数表达式;(2)有一条船以5km/ℎ的速度向此桥径直驶来,当船距离此桥35km,桥下水位正好在AB处,之后水位每小时上涨0.25m,当水位达到CD处时,将禁止船只通行,如果该船的速度不变,那么它能否安全通过此桥?19.如图,某中学准备用长为20m的篱笆围成一个长方形生物园ABCD饲养小兔,生物园的一面靠墙(围墙MN最长可利用15m),设AB长度为x(m),矩形ABCD面积为y(m2).(1)求出y与x的函数关系式,直接写出x的取值范围;(2)当x为何值时,矩形ABCD的面积最大?最大面积为多少?20.春节临近,由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令,某商店发现了商机:经销一种安全、无污染的电子鞭炮.已知这种电子鞭炮的成本价每盒80元,市场调查发现春节期间,该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系:y=−2x+320(80≤x≤160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元.(1)求w与x的函数关系式;(2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?(3)若该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得销售利润2400元,应如何定价?答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】首先建立直角坐标系,设抛物线为y=ax2,把点(2,−2)代入求出解析式,继而求得y=−3时x的值即可得解.本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.【解答】解:建立如图所示直角坐标系:可设这条抛物线为y=ax2,把点(2,−2)代入,得−2=a×22,,解得:a=−12∴y=−1x2,2x2=−3.当y=−3时,−12解得:x=±√6∴水面下降1m,水面宽度为2√6m.故选:A.2.【答案】B【解析】【分析】主要考查了二次函数的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆.设AB为xm,BC就为(24−3x),利用长方体的面积公式,可求出关系式,当墙的宽度为最大时,有最大面积的花圃.【解答】解:设AB的长为xm,则BC的长为(24−3x)m,根据题意,得S=x(24−3x),即所求的函数解析式为:S=−3x2+24x=−3(x−4)2+48,当x=4时,BC=12m,不符合墙的最大可用长度a为9m,∴5≤x<8,∵对称轴x=4,开口向下,∴当x=5m,有最大面积的花圃.即:x=5m,最大面积为=−3(5−4)2+48=45m2.故选B.3.【答案】B【解析】解:设矩形的长为xcm,则宽为60−2x2cm,∴矩形的面积S=(60−2x2)x=−x2+30x,∵a=−1<0,∴S最大=4ac−b24a=−900−4=225(cm2),故矩形的最大面积是225cm2,故选:B.设矩形的长为x,面积为S,再根据矩形的面积公式得出x、S的关系式,求出S的最大值即可.本题主要考查了二次函数的最值问题,解题的关键是正确列出关于矩形面积S与边长x 的关系式式子.4.【答案】A【解析】解:设应降价x元,则(20+x)(100−x−70)=−x2+10x+600=−(x−5)2+625,∵−1<0∴当x=5元时,二次函数有最大值.∴为了获得最大利润,则应降价5元.故选A.设应降价x元,表示出利润的关系式为(20+x)(100−x−70)=−x2+10x+600,根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可.应识记有关利润的公式:利润=销售价−成本价.找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.5.【答案】B【解析】解:在y=−112x2+23x+53中,当y=0时,−112x2+23x+53=0,解得x1=−2(舍去),x2=10,即小强此次成绩为10米,故选:B.根据实心球落地时,高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时,求x的值即可.本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义,需要结合题意,取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键.6.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键,学会把实际问题转化为二次函数,利用二次函数的性质解决问题,属于中考常考题型.根据已知确定平面直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=−2.5代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.【解答】解:如图,建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C 点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),设顶点式y=ax2+2,把A点坐标(−2,0)代入得a=−0.5,∴抛物线解析式为y=−0.5x2+2,当水面下降2.5m,通过抛物线在图上的观察可转化为:当y=−2.5时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=−2.5与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=−2.5代入抛物线解析式得出:−2.5=−0.5x2+2,解得:x=±3,2×3−4=2,∴水面下降2.5m,水面宽度增加2m.∴水面宽度为2+4=6(m)故选B.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用,解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算.根据题意得出各点坐标,利用待定系数法求抛物线解析式进而求解.【解答】解:以GH所在直线为x轴,GH的垂直平分线所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,喷口B为抛物线顶点,共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴,根据题意,得Q(9,15.5),B(6,16),OH =6,设抛物线解析式为y =−118x 2+bx +c ,{−118×81+9b +c =15.5−118×36+6b +c =16, 解得{b =23c =14所以抛物线解析式为y =−118x 2+23x +14.当y =0时,即0=−118x 2+23x +14,解得:x =6+12√2(负值舍去),若小王不去接,则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离为6+12√2−6=12√2cm . 故选:B . 8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用:利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来,再确定某些点的坐标,然后利用待定系数法确定抛物线的解析式,再利用抛物线的性质解决问题.利用B 、D 关于y 轴对称,CH =1cm ,BD =2cm ,可得到D 点坐标为(1,1),由AB =4cm ,最低点C 在x 轴上,则AB 关于直线CH 对称,可得到左边抛物线的顶点C 的坐标为(−3,0),于是得到右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0),然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式.【解答】解:∵高CH =1cm ,BD =2cm ,且B 、D 关于y 轴对称,∴D 点坐标为(1,1),∵AB//x 轴,AB =4cm ,最低点C 在x 轴上,∴AB 关于直线CH 对称,∴左边抛物线的顶点C 的坐标为(−3,0),∴右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0),设右边抛物线的解析式为y =a(x −3)2,把D(1,1)代入得1=a ×(1−3)2,解得a =14,∴右边抛物线的解析式为y =14(x −3)2,故选:B . 9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数模型的应用,利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题,确定函数模型是关键,根据题目数据求出函数解析式,根据二次函数的图象与性质可得结论.【解答】解:根据题意,将(2.5,0.5)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p =at 2+bt +c ,得:{2.52a +2.5b +c =0.516a +4b +c =0.852a +5b +c =0.5,解得:{a =−0.2b =1.5c =−2,即p =−0.2t 2+1.5t −2,当t =− 1.52×(−0.2)=3.75 时,p 取得最大值,故选B . 10.【答案】A【解析】【分析】主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,然后根据已知条件可得出方程.此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式,求平均变化率的方法为:若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2= b.【解答】解:设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,依题意得第三个月投放单车a(1+x)2辆,则y=a(1+x)2.故选A.11.【答案】10√2【解析】解:如右图所示,点C为抛物线顶点,坐标为(0,6),则点A的坐标为(−10,0),点B的坐标为(10,0),设抛物线ACB的函数解析式为y=ax2+6,∵点A在此抛物线上,∴0=a×102+6,解得,a=−6,100x2+6,即抛物线ACB的函数解析式为y=−6100x2+6,当y=3时,3=−6100解得,x=±5√2,∴当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为:5√2−(−5√2)=10√2(m),故答案为:10√2.根据题意,可以画出相应的抛物线,然后即可得到大抛物线的解析式,然后令y=3,求出相应的x的值,即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度.本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.12.【答案】70【解析】【分析】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.根据题意,可以得到利润和售价之间的函数关系,然后化为顶点式,即可得到当售价为多少元时,利润达到最大值.【解答】解:设每顶头盔的售价为x 元,获得的利润为w 元,w =(x −50)[200+(80−x)×20]=−20(x −70)2+8000,∴当x =70时,w 取得最大值,此时w =8000,故答案为:70.13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用,一元二次方程的加法,关键是掌握掷铅球的成绩就是要求铅球落地时的水平距离.根据掷铅球的成绩就是要求铅球落地时的水平距离令y =0得方程,解方程即可解答.【解答】解:由题意,得当y =0时,0=−15x 2+65x +75,解得:x 1=−1(舍去),x 2=7.故答案为7. 14.【答案】80≤k ≤90【解析】解:把(15,1050)和(20,1200)代入q =mv 2+nv 得,{1050=225m +15n 1200=400m +20n, 解得:{m =−2n =100, ∴q =−2v 2+100v ,∵q =vk ,∴vk =−2v 2+100v ,把v =5和v =10分别代入上式得,5k =−2×52+100×5或10k =−2×102+100×10,解得:k =90或k =80,∴此时密度k的取值范围是80≤k≤90,故答案为:80≤k≤90.把(15,1050)和(20,1200)代入q=mv2+nv解方程组即可得到结论.本题考查了二次函数的应用,待定系数法求函数的解析式,正确的理解题意是解题的关键.x2+12(0<x<24)15.【答案】y=−12【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查的是矩形的性质,根据实际问题列出二次函数解析式的有关知识,根据矩形的面积公式进行求解即可.【解答】解:由题意得x2+12(0<x<24).y=−12x2+12(0<x<24).故答案为y=−1216.【答案】解:(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果=500−10×(55−50)=450千克;(2)设每千克水果售价为x元,由题意可得:8750=(x−40)[500−10(x−50)],解得:x1=65,x2=75,答:每千克水果售价为65元或75元;(3)设每千克水果售价为m元,获得的月利润为y元,由题意可得:y=(m−40)[500−10(m−50)]=−10(m−70)2+9000,∴当m=70时,y有最大值为9000元,答:当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大值为9000元.【解析】本题主要考查二次函数的应用,一元二次方程的应用,解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系,并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质.(1)由月销售量=500−(销售单价−50)×10,可求解;(2)设每千克水果售价为x 元,由利润=每千克的利润×销售的数量,可列方程,即可求解;(3)设每千克水果售价为m 元,获得的月利润为y 元,由利润=每千克的利润×销售的数量,可得y 与x 的关系式,有二次函数的性质可求解.17.【答案】解:建立平面直角坐标系如图所示.则点A 的坐标为(0,85),顶点为B(3,52).设抛物线的表达式为y =a(x −3)2+52,∵点A(0,85)在抛物线上,∴a(0−3)2+52=85,解得a =−110.∴抛物线的表达式为y =−110(x −3)2+52令y =0,则−110(x −3)2+52=0,解得x =8或x =−2(不合实际,舍去).即OC =8.答:小丁此次投掷的成绩是8米.【解析】由点A 、B 的坐标求出函数表达式y =−110(x −3)2+52,令y =0,即可求解. 本题考查的是二次函数的应用,通过建立坐标系,确定相应点的坐标即可求解. 18.【答案】解:(1)设抛物线的解析式为y =ax 2(a 不等于0),桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米.则D(5,−ℎ),B(10,−ℎ−3)∴{25a =−ℎ100a =−ℎ−3,解得{a=−125ℎ=1,∴抛物线的解析式为y=−125x2;(2)由题意,得船行驶到桥下的时间为:35÷5=7小时,水位上升的高度为:0.25×7=1.75米.∵1.75<3.∴船的速度不变,它能安全通过此桥.【解析】(1)以拱桥最顶端为原点,建立直角坐标系,根据题目中所给的数据设函数解析式为y=ax2,由待定系数法求出其解即可;(2)计算出船行驶到桥下的时间,由这个时间按计算水位上升的高度,比较上升的高度与3的大小就可以求出结论.本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用,行程问题的数量关系的运用,有理数大小的比较的运用,解答时求出函数的解析式是关键.19.【答案】解:(1)当长方形的宽AB=x时,其长BC=20−2x,故长方形的面积y=x(20−2x)=−2x2+20x,即y=−2x2+20x(0<x≤52);(2)y=−2x2+20x=−2(x−5)2+50,∵−2<0,∴当x=5时,y取得最大值,最大值为50,答:当x=5时,面积最大为50m2.【解析】(1)首先表示出长方形的长,根据长方形面积=长×宽列出函数关系式;(2)将函数关系式配方成二次函数顶点式,即可知其最大值.本题主要考查二次函数的实际应用能力,根据题意列出解析式是基础,配方是关键.20.【答案】解:(1)由题意得:w=(x−80)⋅y=(x−80)(−2x+320)=−2x2+480x−25600,∴w与x的函数关系式为:w=−2x2+480x−25600;(2)w=−2x2+480x−25600=−2(x−120)2+3200∵−2<0,80≤x≤160,∴当x=120时,w有最大值,w的最大值为3200元;(3)当w=2400时,−2(x−120)2+3200=2400,解得:x1=100,x2=140∴要想每天获得销售利润2400元,应定价为100元或140元每盒.【解析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用,明确销售问题中的成本利润之间的关系以及利用正确利用二次函数的性质,是解题的关键.(1)用每件的利润(x−80)乘以销售量即可得每天的利润,从而得利润函数,再将其化为一般形式;(2)把(1)中的函数解析式配方,写成顶点式,然后根据二次函数的性质可求得最值;(3)令(2)中顶点式函数值等于2400,然后解一元二次方程即可得答案.。

二次函数的应用(含答案)

二次函数的应用(含答案)

二次函数的应用练习题1、在一幅长60cm ,宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是y cm 2,设金色纸边的宽度为x cm 2,那么y 关于x 的函数是( )A .y =(60+2x )(40+2x )B .y =(60+x )(40+x )C .y =(60+2x )(40+x )D .y =(60+x )(40+2x )2、把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形,设这个长方形的一边长为x (cm ),它的面积为y (cm 2),则y 与x 之间的函数关系式为( ) A .y = -x 2+50xB .y =x 2-50xC .y = -x 2+25xD .y = -2x 2+253、某公司的生产利润原来是a 元,经过连续两年的增长达到了y 万元,如果每年增长的百分数都是x ,那么y 与x 的函数关系是()A .y =x 2+a B .y =a (x -1)2C .y =a (1-x )2D .y =a (1+x )2 4、如图所示是二次函数y=2122x -+的图象在x 轴上方的一部分,对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积,你认为可能的值是( )A .4B .163C .2πD .85、周长8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是()m 2A .45 B . 83 C .4 D . 566、如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h (单位:m )与小球运动时间t(单位:s )之间的关系式为h =30t -5t 2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( ) A .6sB .4sC .3sD .2s7、如图,二次函数y = -x 2-2x 的图象与x 轴交于点A 、O ,在抛物线 上有一点P ,满足S △AOP =3,则点P 的坐标是( )A .(-3,-3)B .(1,-3)C .(-3,-3)或(-3,1)D .(-3,-3)或(1,-3)8、向空中发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 米,且时间与高度的关系为y =ax 2+bx +c (a ≠0)、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒9、将进货单价为70元的商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润,则应降价()A.5元B.10元C.15元D.20元(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元/千克)之间满足关系:m= -10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?24、某工厂在生产过程中要消耗大量电能,消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系,经过测算,工厂每千度电产生利润y(元/千度))与电价x(元/千度)的函数图象如图:(1)当电价为600元/千度时,工厂消耗每千度电产生利润是多少?(2)为了实现节能减排目标,有关部门规定,该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500,且该工厂每天用电量不超过60千度,为了获得最大利润,工厂每天应安排使用多少度电?工厂每天消耗电产生利润最大是多少元?参考答案1.答案:A解析:解答:长是:60+2x,宽是:40+2x,由矩形的面积公式得则y=(60+2x)(40+2x).故选A.分析:挂图的面积=长×宽,本题需注意长和宽的求法.2.答案:C解析:解答:设这个长方形的一边长为x cm,则另一边长为(25-x)cm,所以面积y=x(25-x)= -x2+25x.故选C.分析:由长方形的面积=长×宽可求解.3.答案:D解析:解答:依题意,得y=a(1+x)2.故选D.分析:本题是增长率的问题,基数是a元,增长次数2次,结果为y,根据增长率的公式表示函数关系式.4.答案:B解析:解答:函数与y 轴交于(0,2)点,与x 轴交于(-2,0)和(2,0)两点,则三点构成的三角形面积S 1=4,则以半径为2的半圆的面积为S 2=π×12×22=2π,则阴影部分的面积S 有:4<S <2π.因为选项A 、C 、D 均不在S 取值范围内.故选 B分析:本题不能硬求面积,要观察找一个范围,然后选一个合适的答案.由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间,问题就好解决了. 5. 答案:B解析:解答:设窗户的宽是x ,根据题意得S =()832x x -=2348()(04)233x x --+<< ∴当窗户宽是43m 时,面积最大是83m 2 分析:根据窗户框的形状可设宽为x ,其高就是8-32x,所以窗户面积S =()832x x -,再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。

二次函数的应用(含答案)

二次函数的应用(含答案)

二次函数的应用练习题1、在一幅长 60cm,宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm2,那么 y 关于 x 的函数是()A . y=(60+2 x)( 40+2x)B. y=(60+x)( 40+x)C. y=(60+2 x)( 40+x)D. y=(60+x)( 40+2x)2、把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形,设这个长方形的一边长为x(cm),它的面积为 y( cm2),则 y 与 x 之间的函数关系式为()A . y= - x2+50xB . y=x2-50x C.y= - x2 +25x D .y= -2x2+253、某公司的生产利润原来是 a 元,经过连续两年的增长达到了y 万元,如果每年增长的百分数都是 x,那么 y 与 x 的函数关系是()A . y=x2+ aB .y=a( x- 1)2C. y=a( 1-x)2D. y=a(1+ x)24、如图所示是二次函数y= 1 x2 2 的图象在x轴上方的一部分,对2于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积,你认为可能的值是()A . 416C. 2πD. 8 B .35、周长 8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是()2 m485A.B.C.4 D.5366、如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位: m)与小球运动时间t(单位: s)之间的关系式为h=30t -5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是()A . 6s B. 4s C. 3s D. 2s7、如图,二次函数y= - x2 -2x 的图象与 x 轴交于点A、 O,在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,则点P 的坐标是()A .( -3, -3)B .(1, -3)C.( -3,-3)或( -3, 1) D .( -3, -3)或(1, -3)8、向空中发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c( a ≠ 0)、若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()A.第 8秒B.第 10 秒C.第 12 秒D.第 15 秒9、将进货单价为 70 元的商品按零售价100 元 /个售出时每天能卖出 20 个,若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元,其日销售量就增加 1 个,为了获得最大利润,则应降价()A .5 元 B.10 元C.15 元 D.20 元10、如图,正方形 ABCD 的边长为 1, E、F 分别是边 BC 和 CD 上的动点(不与正方形的顶点重合),不管 E、F 怎样动,始终保持 AE⊥ EF .设BE=x,DF =y,则 y 是 x 的函数,函数关系式是()A . y=x+1B .y=x-1 C.y=x2-x+1 D. y=x2-x-111、如图所示,桥拱是抛物线形,其函数的表达式为y= -1x2,当水位4线在 AB 位置时,水面宽 12m,这时水面离桥顶的高度为()A . 3m B.2 6 m C.4 3 mD. 9m12、如图,隧道的截面是抛物线,可以用y=1x2 4 表示,1613、该隧道内设双行道,限高为3m,那么每条行道宽是()A .不大于4mB .恰好 4mC.不小于4m D .大于 4m,小于 8m13、如图,一边靠校园围墙,其他三边用总长为40 米的铁栏杆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD 的边 AB 为 x 米,面积为S平方米,要使矩形ABCD 面积最大,则x 的长为()A .10 米 B.15 米C.20 米 D.25 米14、如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB 间,按相同间隔0.2 米用 5 根立柱加固,拱高OC 为 0.36 米,则立柱EF 的长为()A . 0.4 米B .0.16 米C. 0.2 米D. 0.24 米15、小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=125x +3.5 的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是()A .3.5mB .4mC. 4.5m D . 4.6m15、如图,已知⊙ P 的半径为2,圆心 P 在抛物线y 1 x2 1 上运动,2当⊙ P 与 x 轴相切时,圆心 P 的坐标为 _____________16、如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树 0.5 米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为____________18、如图,已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为 20 厘米, AC 与 MN 在同一直线上,开始时点 A 与点 N 重合,让△ ABC 以每秒 2 厘米的速度向左运动,最终点 A 与点 M 重合,则重叠部分面积y(厘米2)与时间t(秒)之间的函数关系式为____19、如图,点 A1、A2、A3、, 、 An 在抛物线 y=x2图象上,点 B1、B2、B3、, 、 B n 在 y 轴上,若△ A1B0B1、△A2B1B2、, 、△ A n B n -1B n都为等腰直角三角形(点B0是坐标原点),则△A2015B2014B2015的腰长 =____19、如图,在△ ABC 中,∠ B=90°, AB=12mm, BC=24mm,动点P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s的速度移动(不与点 B 重合),动点Q 从点 B开始沿边BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果 P、 Q 分别从 A、 B 同时出发,那么经过 ____秒,四边形 APQC 的面积最小..21、扎西的爷爷用一段长30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?22、某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18 元,试销过程中发现,每月销售量 y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y= -2x+100.(利润 =售价 -制造成本)( 1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;( 2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350 万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?23、每年六七月份我市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗 5%,运输费用是 0.7 元 /千克,假设不计其他费用.( 1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?( 2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元 / 千克)之间满足关系:m= -10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w 最大?24、某工厂在生产过程中要消耗大量电能,消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系,经过测算,工厂每千度电产生利润y(元 /千度))与电价x(元 /千度)的函数图象如图:( 1)当电价为600 元 /千度时,工厂消耗每千度电产生利润是多少?( 2)为了实现节能减排目标,有关部门规定,该厂电价x(元 /千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500,且该工厂每天用电量不超过60 千度,为了获得最大利润,工厂每天应安排使用多少度电?工厂每天消耗电产生利润最大是多少元?参考答案1.答案: A解析:解答:长是: 60+2 x,宽是: 40+2x,由矩形的面积公式得则y=( 60+2x)( 40+2x).故选 A.分析:挂图的面积 = 长×宽,本题需注意长和宽的求法.2.答案: C解析:解答:设这个长方形的一边长为xcm,则另一边长为(25-x)cm,所以面积y=x( 25-x) = -x2+25x.故选 C.分析:由长方形的面积=长×宽可求解.3.答案: D解析:解答:依题意,得y=a(1+x)2.故选 D .分析:本题是增长率的问题,基数是 a 元,增长次数 2 次,结果为y,根据增长率的公式表示函数关系式.4.答案: B解析:解答:函数与y 轴交于( 0, 2)点,与 x 轴交于( -2, 0)和( 2, 0)两点,则三点构成的三角形面积 S121×22=2π,则阴影部分的=4 ,则以半径为 2 的半圆的面积为S =π ×2面积 S 有: 4< S< 2π .因为选项 A、 C、D 均不在 S 取值范围内.故选B分析:本题不能硬求面积,要观察找一个范围,然后选一个合适的答案.由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间,问题就好解决了.5.答案: B解析:解答:设窗户的宽是x,根据题意得8 3x xS==3( x 4 )28(0 x 4) 233∴当窗户宽是4m 时,面积最大是8233m8-3x83x x分析:根据窗户框的形状可设宽为x,其高就是2,所以窗户面积 S=,再求2出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。

九年级数学:二次函数的应用精选习题(有答案)

九年级数学:二次函数的应用精选习题(有答案)

二次函数精品课堂 二次函数的应用精选习题1、如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB =1.6m ,涵洞顶点O 到水面的距离CO 为2.4m ,在图中直角坐标系内,涵洞截面所在抛物线的解析式是__________.2、用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,为了使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是( )A.264m 25B.24m 3 C.28m 3D.24m3、一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为( ) A .5元B .10元C .0元D .3600元4、某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费10元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元,则相应的减少了10张床位租出.如果每张床位每天以2元为单位长度提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是( ) A .14元 B . 15元 C .16元 D . 18元5、小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成矩形,则矩形的最大面积是( ) A .4cm 2 B .8cm 2 C .16cm 2 D .32cm 26、某商店将进货单价为8元的商品按每件10元出售时,每天可销售100件.现在它采用提高售出价的办法增加利润,已知这种商品每件每提价1元时,日销售量要减小10件,那么商店把售出价定为多少时,才能使每天获利最大?每天最大利润是多少?7、如图,一边靠学校院墙,其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃,设矩形的边米,面积为平方米.(1)求:与之间的函数关系式,并求当米2时,的值;(2)设矩形的边米,如果满足关系式即矩形成黄金矩形,求此黄金矩形的长和宽.8、在体育测试时,初三的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5)(1)求这个二次函数的解析式;(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01米,)9、一快餐店试销某种套餐,试销一段时间后发现,每份套餐的成本为5元,该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本).若每份售价不超过10元,每天可销售400份;若每份售价超过10元,每提高1元,每天的销售量就减少40份.为了便于结算,每份套餐的售价x(元)取整数..,用y(元)表示该店日净收入.(日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出)(1)求y与x的函数关系式;(2)若每份套餐售价不超过10元,要使该店日净收入不少于800元,那么每份售价最少不低于多少元?(3)该店既要吸引顾客,使每天销售量较大,又要有较高的日净收入.按此要求,每份套餐的售价应定为多少元?此时日净收入为多少?10、南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价为25万元,市场调研表明:当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆..汽车降价x 万元,每辆汽车的销售利润....为y 万元.(销售利润=销售价-进货价)(1)求y 与x 的函数关系式;在保证商家不亏本 的前提下,写出x 的取值范围;(2)假设这种汽车平均每周..的销售利润为z 万元,试写出z 与x 之间的函数关系式;(3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?11、如图,某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,最大高度为6米,底部宽度为12米. 现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标; (2) 求出这条抛物线的函数解析式;(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD - DC - CB ,使C 、D 点在抛物线上,A 、B 点在地面OM 上, 则这个“支撑架”总长的最大值是多少?OxyM3AB CDPCBPA 12、已知:如图,△ABC 中,90C ∠=o ,3AC =厘米,4CB =厘米.两个动点P 、Q 分别从 A 、C 两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动.当点Q 运动到点A时,P 、Q 两点运动即停止.点P 、Q 的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒,设点P 运动时间为t (秒).(1)当点Q 在CB 上运动,时间t 为何值时,图中的阴影部分面积等于2厘米2; (2)当点P 、Q 运动时,阴影部分的形状随之变化. 设阴影部分面积为S (厘米2),求出S 与时间t 的函数 关系式,并指出自变量t 的取值范围;(3)点P 、Q 在运动的过程中,阴影部分面积S 有最 大值吗?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.参考答案: 1、2154y x =-2、选C 3.A 4.C 5.A 6、设售价定为每件x 元,每天获利y 元,则[](8)100(10)10y x x =---g2102801600x x =-+-210(14)360x =--+,14x ∴=时,max 360y =.7、(1)x x x x S 402)240(2+-=-=当200=S 时,02004022=-+-x x ,解得,10=x (2)当y BC =,则x y 240-=,①又)(2y x x y +=,②由①、②解得,其中5420+不合题意,舍去, 585420=-=∴y x ,则当矩形成黄金矩形时,宽为5420-,长为. 58。

二次函数应用60题(含答案)

二次函数应用60题(含答案)

19. 某校的围墙上部由一段段相同的凹曲拱形栅栏连续接成,其中每段拱形曲线(图中 AOB 为 抛物线的一部分,栅栏的跨径 AB 之间按相同的间距 0.2m 用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6m,以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据,计算这 段栅栏所需 5 根立柱的总长度(精确到(0.1 米)为 ( A. 1.5 米 B. 1.9 米 C. 2.3 米 ) D. 2.5 米
实际问题与二次函数 1. 长方形的周长为 24cm,其中一边长为 xcm x > 0 ,面积为 ycm2 ,则这样的长方形中 y 与 x 的关系可以写为 ( )
3. 某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是 x ,降价后的价格为 y 元, 原价为 a 元,则 y 与 x 之间的函数关系式为 ( A. y = 2a(x − 1) B. y = 2a(1 − x) ) C. y = a(1 − x 2 ) D. y = a(1 − x)2
11. 用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm2 的长方形,a 的值不可能为 ( A. 20 B. 40 C. 100 D.
) 120
13. 如图,点 C 线段 AB 上的一个动点,AB = 1,分别以 AC 和 CB 为一边作正方形,用 S 表 示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是 A. B. C. D. 当 C 是 AB 的中点时,S 最小 当 C 是 AB 的中点时,S 最大 当 C 为 AB 的三等分点时,S 最小 当 C 为 1608 − x m2 的三等分点时,S 最大 .
6. 小球被抛出后,距离地面的高度 h (米)和飞行时间 t(秒)满足下面函数关系式: h = −5 t − 1 离地面的最大高度是 ( A. 1 米 ) B. 5 米 C. 6 米 D. 7 米

《二次函数的应用》习题1

《二次函数的应用》习题1

《二次函数的应用》习题1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s(米)与时间t(秒)的数据如下表:时间t(秒) 1 2 3 4 …距离s(米) 2 8 18 32 …写出用t表示s的函数关系式为.2.商品的销售量也受销售价格的影响,比如,某衬衣定价为100元时,每月可卖出2000件,价格每上涨10元,销售量便减少50件.那么,每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣价格x(元)销售之间的函数关系式为.3.某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(时)的函数:M=t3-5t+100(其中t=0表示中午12时,t=1表示下午1时),则上午10时此物体的温度为℃.4.用12m长的木条,做一个有一条横档的矩形窗子,为使透进的光线最多,则窗子的横档长为m.5.在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则当t=4时,该物体所经过的路程为()A.28米B.48米C.68米D.88米6.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y万元,则y与x的函数关系式为()A.y=60(1-x)2B.y=60(1-x) C.y=60-x2D.y=60(1+x)27.下列两个量之间的关系不属于二次函数的是()A.速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系B.质量一定时,物体具有的动能和速度的关系C.质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D.从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系8.如图,某单位计划建造一排连续3个相同的矩形饲养场,现有总长为l的围墙材料,问每个矩形的长宽之比为何值时,才能使围出的饲养场面积最大?9.某食品零售店为面包厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,统计销售情况时发现,当这种面包的单价定为7角时,每天可卖出160个.在此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店每天就会少卖出20个.该零售店每个面包的成本是5角.设这种面包的单价为x(角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角).(1)用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数;(2)求y与x之间的函数关系式;(3)当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?最大利润为多少?。

九年级数学:二次函数的应用练习题(含解析)

九年级数学:二次函数的应用练习题(含解析)

九年级数学:二次函数的应用练习题(含解析)一、精心选一选1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x cm.当x=3时,y=8,那么当成本为72元时,边长为()A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润,则应降价()A.5元B.10元C.15元D.20元3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-52t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.3sB.4sC.5sD.6s4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-125x2,当水面离桥拱的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为()A.-20mB.10mC.20mD.-10m5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足:y1=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润是()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6﹒如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是()A.60m2B.63m2C.64m2D.66m27﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费10元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元,则相应的减少了10张床位租出;如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是()A.14元B.15元C.16元D.18元8﹒某建筑物,从10m高的窗口A,用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直),如图所示,如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面403m,则水流落地点B离墙的距离OB是()A.2mB.3mC.4mD.5m 9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-1 4x2+34x+1的一部分,如图所示(单位:m),则下列说法不正确的是()A.出球点A离地面点O的距离是1mB.该羽毛球横向飞出的最远距离是3mC.此次羽毛球最高可达到25 16mD.当羽毛球横向飞出32m时,可达到最高点10.图2是图1拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=1400(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴,若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为()A.16940米 B.174米 C.1674米 D.154米图1 图2二、细心填一填11.某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为______元时,该服装店平均每天的销售利润最大.12.一个足球被从地面上踢出,它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h=at2+19.6t,已知足球被踢出后经过4s落地,则足球距地面的最大高度是_____________m.13.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为________元.14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t -5t2,当遇到紧急情况时,司机急刹车,但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.15.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间有一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为________m2.16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽为4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面宽度为________米.三、解答题17.九年级数学兴趣小组经市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价100 110 120 130 …(元/件)200 180 160 140 …月销量(件)已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是_______________元;②月销量是________________件;(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?18.某商场有A,B两种商品,若买2件A商品和1件B商品,共需80元;若买3件A 商品和2件B商品,共需135元.(1)设A,B两种商品每件售价分别为a元、b元,求a、b的值;(2)B商品每件的成本是20元,根据市场调查:按(1)中求出的单价销售,该商场每天销售B商品100件;若销售单价每上涨1元,B商品每天的销售量就减少5件.①求每天B商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系?②求销售单价为多少元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是多少?19.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?20.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?21.如图,正方形ABCD的边长为3a,两动点E,F分别从顶点B,C同时开始以相同速度沿边BC,CD运动,与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF,对应边EG=BC,B,E,C,G在一条直线上.(1)若BE=a,求DH的长;(2)当E点在BC边上的什么位置时,△DHE的面积取得最小值?并求该三角形面积的最小值.21.4 二次函数的应用课时练习题参考答案一、精心选一选题号1 2 3 4 5 6 7 8 91答案A ABCD C C B B B1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x cm.当x=3时,y=8,那么当成本为72元时,边长为()A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm解答:设y与x之间的函数关系式为y=kx2,由题意,得18=9k,解得:k=2,∴y=2x2,当y=72时,72=2x2,∴x=6.故选:A.2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润,则应降价()A.5元B.10元C.15元D.20元解答:设应降价x元,则(20+x)(100﹣x﹣70)=﹣x2+10x+600=﹣(x﹣5)2+625,∵﹣1<0∴当x=5元时,二次函数有最大值.∴为了获得最大利润,则应降价5元.故选:A.3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-52t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.3sB.4sC.5sD.6s解答:∵h=﹣52t2+20t+1,∴h=﹣52(t﹣4)2+41,∴当t=4秒时,礼炮达到最高点爆炸.故选:B.4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-125x2,当水面离桥拱的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为()A.-20m B.10mC.20mD.-10m解答:根据题意B的纵坐标为﹣4,把y=﹣4代入y=﹣125x2,得x=±10,∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),∴AB=20m.即水面宽度AB为20m.故选:C.5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足:y1=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润是()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元解答:设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15﹣x)辆,根据题意得出:W=y1+y2=﹣x2+10x+2(15﹣x)=﹣x2+8x+30,∴最大利润为:244ac ba-=24(1)3084(1)⨯-⨯-⨯-=46(万元),故选:D.6﹒如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )A.60m 2B.63m 2C.64m 2D.66m 2解答:设BC =x m ,则AB =(16﹣x )m ,矩形ABCD 面积为y m 2, 根据题意得:y =(16﹣x )x =﹣x 2+16x =﹣(x ﹣8)2+64, 当x =8m 时,y 最大值=64m 2, 则所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2. 故选:C .7﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费10元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元,则相应的减少了10张床位租出;如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是( )A.14元B.15元C.16元D.18元 解答:设每张床位提高x 个2元,每天收入为y 元. 则有y =(10+2x )(100﹣10x ) =﹣20x 2+100x +1000. 当x =﹣2ba=2.5时,可使y 有最大值. 又x 为整数,则x =2时,y =1120;x =3时,y =1120;则为使租出的床位少且租金高,每张床收费=10+3×2=16(元). 故选:C .8﹒某建筑物,从10m 高的窗口A ,用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直),如图所示,如果抛物线 的最高点M 离墙1m ,离地面403m ,则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )A.2mB.3mC.4mD.5m 解答:设抛物线的解析式为y =a (x ﹣1)2+403, 把点A (0,10)代入a (x ﹣1)2+403,得a (0﹣1)2+ =10,解得a=﹣103,因此抛物线解析式为y=﹣103(x﹣1)2+403,当y=0时,解得x1=3,x2=﹣1(不合题意,舍去);即OB=3米.故选:B.9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-14x2+34x+1的一部分,如图所示(单位:m),则下列说法不正确的是()A.出球点A离地面点O的距离是1mB.该羽毛球横向飞出的最远距离是3mC.此次羽毛球最高可达到25 16mD.当羽毛球横向飞出32m时,可达到最高点解答:A.当x=0时,y=1,则出球点A离地面点O的距离是1m,故A正确;B.当y=0时,﹣14x2+34x+1=0,解得:x1=﹣1(舍去),x2=4≠3.故B错误;C.∵y=﹣14x2+ x+1,∴y=﹣14(x﹣32)2+2516,∴此次羽毛球最高可达到2516m,故C正确;D.∵y=﹣14(x﹣32)2+2516,∴当羽毛球横向飞出32m时,可达到最高点.故D正确.∴只有B是错误的.故选:B.10.图2是图中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=1400(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴,若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为()A.16940米 B.174米 C.1674米 D.154米图1 图2 解答:∵AC⊥x轴,OA=10米,∴点C的横坐标为﹣10,当x=﹣10时,y=1400(x-80)2+16=1400(-10-80)2+16=﹣174,∴C(﹣10,﹣174),∴桥面离水面的高度AC为174m.故选:B.二、细心填一填11. 22; 12. 19.6; 13. 25;14. 20; 15. 75;6.11.某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为______元时,该服装店平均每天的销售利润最大.解答:设定价为x元,根据题意得:y=(x﹣15)[8+2(25﹣x)]=﹣2x2+88x﹣870∴y=﹣2x2+88x﹣870,=﹣2(x﹣22)2+98∵a=﹣2<0,∴抛物线开口向下,∴当x=22时,y最大值=98.故答案为:22.12.一个足球被从地面上踢出,它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h=at2+19.6t,已知足球被踢出后经过4s落地,则足球距地面的最大高度是_____________m.解答:由题意得:t=4时,h=0,因此16a+19.6×4=0,解得:a=﹣4.9,∴函数关系为h=﹣4.9t2+19.6t,足球距地面的最大高度是:24( 4.9)019.64( 4.9)⨯-⨯-⨯-=19.6(m),故答案为:19.6.13.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为________元.解答:设最大利润为w元,则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,∵20≤x≤30,∴当x=25时,二次函数有最大值25,故答案是:25.14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t -5t2,当遇到紧急情况时,司机急刹车,但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.解答:依题意:该函数关系式化简为S=﹣5(t﹣2)2+20,当t=2时,汽车停下来,滑行了20m.故惯性汽车要滑行20米.故答案为:20.15.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间有一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为________m2.解答:设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x,则总面积S=x(30﹣3x)=﹣3x2+30x=﹣3(x﹣5)2+75,故饲养室的最大面积为75平方米,故答案为:75.16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽为4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面宽度为________米.解答:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),到抛物线解析式得出:a=﹣0.5,所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:当y=﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出:﹣1=﹣0.5x2+2,解得:x6,所以水面宽度增加到6米,故答案为:6.三、解答题17.九年级数学兴趣小组经市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:100 110 120 130 …售价(元/件)月销量200 180 160 140 …(件)已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是_______________元;②月销量是________________件;(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?解答:(1)①销售该运动服每件的利润是(x﹣60)元;②设月销量W与x的关系式为w=kx+b,由题意得,100200110180k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得:2400kb=-⎧⎨=⎩,∴W=﹣2x+400;(2)由题意得,y=(x﹣60)(﹣2x+400)=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2(x﹣130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.18.某商场有A,B两种商品,若买2件A商品和1件B商品,共需80元;若买3件A 商品和2件B商品,共需135元.(1)设A,B两种商品每件售价分别为a元、b元,求a、b的值;(2)B商品每件的成本是20元,根据市场调查:按(1)中求出的单价销售,该商场每天销售B商品100件;若销售单价每上涨1元,B商品每天的销售量就减少5件.①求每天B商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系?②求销售单价为多少元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是多少?解答:(1)根据题意得:280 32135a ba b+=⎧⎨+=⎩,解得:2530ab=⎧⎨=⎩;(2)①由题意得:y=(x﹣20)[100﹣5(x﹣30)]∴y=﹣5x2+350x﹣5000,②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5(x﹣35)2+1125,∴当x=35时,y最大=1125,∴销售单价为35元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是1125元.19.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?解答:(1)∵三块矩形区域的面积相等,∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍,∴AE=2BE,设BE=a,则AE=2a,∴8a+2x=80,∴a=﹣14x+10,2a=﹣12x+20,∴y=(﹣12x+20)x+(﹣14x+10)x=﹣34x2+30x,∵a=﹣14x+10>0,∴x<40,则y=﹣34x2+30x(0<x<40);(2)∵y=﹣34x2+30x=﹣34(x﹣20)2+300(0<x<40),且二次项系数为﹣34<0,∴当x=20时,y有最大值,最大值为300平方米.20.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?解答:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),∴20.50.850.8 3.5c a c =⎧⎨+⨯+=⎩, 解得:251612a c⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴抛物线的解析式为:y =﹣2516t 2+5t +12, ∴当t =85时,y 最大=4.5; (2)把x =28代入x =10t 得t =2.8,∴当t =2.8时,y =-2516×2.82+5×2.8+12=2.25<2.44, ∴他能将球直接射入球门.21.如图,正方形ABCD 的边长为3a ,两动点E ,F 分别从顶点B ,C 同时开始以相同速度沿边BC ,CD 运动,与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ,对应边EG =BC ,B ,E ,C ,G 在一条直线上.(1)若BE =a ,求DH 的长;(2)当E 点在BC 边上的什么位置时,△DHE 的面积取得最小值?并求该三角形面积的最小值.解答:(1)连接FH ,∵△EGH ≌△BCF ,∴HG =FC ,∠G =∠BCF ,∴HG ∥FC ,∴四边开FCGH 是平行四边形,∴FH ∥CG ,且FH =CG ,又∵EG =BC ,∴EG -EC =BC -EC ,即CG =BE ,∴FH=BE,∵FH∥CG,∴∠DFH=∠DCG=90°,由题意可知:CF=BE=a,在Rt△DFH中,DF=3a-a=2a,FH=a,∴DH;(2)设BE=x,△DHE的面积为y,根据题意得:y=S△CDE +S梯形CDHG-S△EGH=12×3a(3a-x)+12(3a+x)x-12×3a×x,∴y=12x2-32ax+92a2=12(x-32a)2+278a2,∴当x=32a,即E为BC的中点时,y取得最小值,即△DHE的面积取得最小值,最小值是278a2.。

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【课时训练】21.4二次函数的应用
1.已知函数y=21x 2-x-12,当函数y 随x 的增大而减小时,x 的取值范围是( ) A. x <1 B. x >1 C. x >-4 D. -4<x <6
2.某商店购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,如果提高售价,才能在半月内获得最大利润?
3.某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花
形柱子OA ,O 恰在水面中心,安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水,
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA 的任一
平面上,抛物线形状如图(1)所示.图(2)建立直角坐标系,水流
喷出的高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系是
4
522++-=x x y .请回答下列问题: (1) 柱子OA 的高度是多少米?
(2) 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米?
(3) 若不计其他因素,水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?
4.当运动中的汽车撞到物体时,汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击
影响可以用公式I=2v 2来表示,其中v (千米/分)表示汽车的速度.
① 列表表示I 与v 的关系;
② 当汽车的速度扩大为原来的2倍时,撞击影响扩大为原来的多少倍?
5.如图,正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上,若AE=x ,正方形EFGH 的面积为y.
(1) 求出y 与x 之间的函数关系式;
(2) 正方形EFGH 有没有最大面积?若有,试确定E 点位置;若没有,说明理由.
答案:1、A 2、售价为35元时,在半月内可获得最大利润 3、(1)45 (2)49 (3)
25 4、①略 ②4倍 5、(1)y=2x 2-2ax+a 2 (2) 有.当点E 是AB 的中点时,面积最大.。

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