2020年春胡不归与阿氏圆专题学习
胡不归与阿氏圆
11胡不归和阿氏圆1.1 胡不归胡不归问题识别条件：动点P 的运动轨迹是直线（或线段） 方法：1、将所求线段和改为n AP BP m +的形式（1nm<） 2、作CAD θ∠=，使sin nmθ=3、过点B 作BE AD ⊥交AC 于点P4、nAP BP m+的最小值转化为垂线段的长例1．在直角三角形ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，P 是边AC 上的一个动点，则21P A +PB 的最小值是_______．例2．如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则55CD BD +的最小值是_______．例2图 例3图例3．如图，AC 是圆O 的直径，AC ＝4，弧BA ＝120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么12OD BD +的最小值为（ ） A ．32B ．3C ．312+D ．13+ABCDE2例4．（19下 二中学区二模）如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且22OC OA ==，点D 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求出抛物线的解析式；213222y x x =-- （2）连接AD 和BC ，AD 交BC 于点E ，当:5:4ABE BDE S S ∆∆=时，求点D 的坐标； （3）点F 为y 轴上的一点，且D （2，﹣3），求10DF 的最小值．33练习1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-+的顶点为A 点，且与x 轴的正半轴交于点B ，P 点为该抛物线对称轴上一点，则12OP AP +的最小值为 .练习2．已知二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于A 、C 两点，点C （3，0），与y 轴交于点B （0，-3）．P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD 2PD PC +的最小值是________．4练习3．（18下 广西二模）如图1，抛物线223y x bx c =-++经过(3,0)B ，(0,4)C 两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在一点E ，使得BDE ∆是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，P 为抛物线在第一象限内一动点，过P 作PQ BC ⊥于Q ，当PQ 的长度最大时，在线段BC 上找一点M 使45PM BM +的值最小，求45PM BM +的最小值．551.2 阿氏圆阿氏圆问题问题：求解“AP nPB +”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值 ②造：根据线段比，构造母子型相似 ③算：根据母子型结论，计算定点位置 ④转：“AP nPB +”转化为“AP PM +”问题关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数 ②系数小于1：内部构造母子型 ③系数大于1：外部构造母子型6例1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A 、B ，则所有符合PBPA=k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点C （m ，0），D （0，n ），点P 是平面内一动点，且OP ＝r ，设ODOP=k ，求PC +kPD 的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得OM ：OP ＝OP ：OD ＝k ；第二步：证明kPD ＝PM ；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD 上取点M ，使得OM ：OP ＝OP ：OD ＝k ， 又∵∠POD ＝∠MOP ，∴△POM ∽△DOP ． 任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为△ABC 内一动点，满足CD ＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+32BD 的最小值．77例2．如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点P 是正方形ABCD 内部的一点，且满足4BP =，则12PD PC +的最小值是（ ）A. 6B.8C. 10D.12例3．已知扇形COD 中，90COD ∠=︒，6OC =，3OA =，5OB =，点P 是CD 上一点，求2PA PB +的最小值．练习1．在三角形ABC 中，45B ∠=︒ ，4BC =，点D 在BC 边上且30BAD ∠=︒，点P 是AD 上任意一 点，连接CP ，则12CP AP +的最小值是_________．练习2．如图，在Rt△ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，则12AP BP +的最小值为_________．。
第3章圆 题型解读11 线段和差最值中的“胡不归”问题和“阿氏圆”-北师大版九年级数学下册
题型全解11 线段和差最值中的“胡不归”问题和“阿氏圆”【知识梳理】 1.“胡不归问题”（1）题型特点：出现“PA ±kPB ”形式的线段和差最值题型，且动点在直线上运动。
（2）解题思路：紧盯“k ”的数学特点，利用特殊角的边角关系、或构造“共角模型”的相似三角形，寻找到一条与“kPB ”相似的线段，把“PA ±kPB ”结构转化成“将军饮马问题”的“PA+CD ”结构，利用“将军饮马问题”的“化曲为直”的思路解题。
2.阿氏圆（1）题型特点：出现“PA ±kPB ”形式的线段和差最值题型，且动点运动轨迹为圆形（或圆弧形）。
阿氏圆，全称为阿波罗尼期圆，是古希腊名叫阿波罗尼斯的数学家发现的。
他发现：已知平面上两定点A 、B ，则所以满足“PA PB=k(k ≠1)”的点P 的轨迹是一个圆，取名为阿波罗尼期圆，简称为阿氏圆。
当k =1时，PA =PB ，则点P 到线段两端的距离相等，它的轨迹是线段AB 的垂直平分线。
当k ≠1时，点P 运动轨迹如图所求，易知图中隐藏着“共角型”相似三角形，若OA OP=OP OB=K ，△OPA ∽△OBP ，则有PA PB=OA OP=K ，即PA =k ∙PB 。
（2）解题思路：当遇到“PA +kPB ”型最值时，解题关键是能否把“kPB ”转化成某条线段，这样就转化成了典型的“将军饮马问题”，而把“kPB ”转化成某条线段，最关键是能够构造出点A ：只要使被构造的点A 与圆心O 的距离与半径之比等于半径与圆心到定点B 的距离之比即可，即OA:r =r:OB =k【典型例题】1.如图，Rt △ABC 中，，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=√3，P 是边AC 上的一个动点，则12PA +PB 的最小值为________.A BCP MB`PC BA解析：利用30°角把12PA 转化成某一条线段，这样就把12PA +PB 转化成两条线段和差的最小值，典型的“将军饮马问题”.过P 作PM ⊥AB 于点M ，则PM=12PA ，则求12PA +PB 的最小值，即是求PM+PB 的最小值，属“一定两动”情形。
胡不归-阿氏圆问题-5.31(2)
胡不归-阿氏圆问题已知定点A 、B ，要求找一点P ，使aPA+PB 值最小(a 为大于0且不为1的常数)；点P 在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P 在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.垂线段最短；构造出新的线段，使其等于aPA ；构造方法：1.作∠α，使sin α=a ；一般a=21、22和23时，作相应30°、45°和60°角，构造出特殊直角三角形；2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA 转化；注意：一般系数a 满足0＜a ＜1时直接构造；a ＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（21PA+PB ），PA+2PB=2（22PA+PB ）.一．胡不归问题1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA ”转化已知：如图，A 为直线l 上一点，B 为直线外一点；要求：在直线l 上找一点P ，使得21PA+PB 最小.【分析】利用sin30°=21构造出PH=21PA ，当B 、P 和H 共线时，PH+PB 取得最小值BH ，又当BH ⊥AH 时，BH 取得最小值【解答】过点A 作射线AM ，使∠A=30°（B 、M 位于l 异侧），过点B 作BH ⊥AM 于H ，交直线l 于点P ， 则点P 即为所求，此时21PA+PB 最小，最小值即为 线段BH 的长.问题概述方法原理解题思路【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线；2.系数a 为22、23时，作45°和60°角.典型例题1-1（1）如图1，直线y=x-3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上一动点，连接PB ，当P 点坐标为_________时，21PA+PB 取得最小值，最小值为__________； （2）如图2，直线y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为y 轴上一动点，连接PA ，当P 点坐标为________时，2PA+√2PB 取得最小值，最小值为_________.图1 图2【分析】（1）根据模型构造出21PA 找出P 点，借助含30°角的直角三角形解出OP 长和BH长，从而求出P 点坐标和21PA+PB 的最小值；（2）2PA+√2PB=2（PA+22PB ），与（1）类似的方法求解.【解答】（1）如图，过点A 作射线AC ，与y 轴正半轴交于点C ，使∠OAC=30°，过点B 作BH ⊥AC 于H ，交x 轴于P ，则PH=21PA ，此时12 PA+PB 取得最小值，即为BH 长；已知∠OBP=30°， ∴OP=3OB =3,则P （3，0） 又OC=3OA =3，∴BC=3+3， ∴BH=23BC=2333+，即12 PA+PB 的最小值为2333+；（2）如图，过点B 作射线BC ，与x 轴的正半轴交于点C ，使∠OBC=45°，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交 y 轴于点P ，此时2PA+√2PB 取得最小值，∵∠BCO=45°，∴AH=√22AC=2√2，∴2PA+√2PB=2AH=4√2，又OP=OA=1，∴P （0，1）；即当P 点坐标（0，1） 时，2PA+√2PB 取得最小值42.【小结】 1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.典型例题1-2如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，AB ＝2，则AP ＋BP ＋CP 的最小值为（ ）A ．2＋5B ．2＋6C ．4D ．32【分析】由于AP=CP ，AP ＋BP ＋CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三角形和等面积法可解出该最小值.【解答】∵正方形ABCD 为轴对称图形，∴AP=PC ，∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），∴即求PA+21PB 的最小值，连接AE ，作∠DBE=30°，交AC 于E ，过A 作AF ⊥BE ， 垂足为F ，在Rt △PBF 中，∵∠PBF=30° ，∴PF=21PB ， ∴PA+21PB 的最小值即为AF 长，易得∠PAO=30°， ∴OP=3AO=36，AP=2OP=362，BP=OB-OP=2-36， ∴PF=21BP=22-66，∴AP+PF=262 ，AP+BP+CP 的最小值为2＋6 ，故选B.【小结】1.求解AF 也可放到△ABE 中，用等面积法计算；2.点P 为△ABC 的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.变式训练1-1如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)135lBA变式训练1-2如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为___________2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化 典型例题2-1如图，△ABC 在直角坐标系中，AB=AC ，A （0，22）， C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为线段AD 、DC ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为_______ 【分析】设CD 上速度为v ，AD 上速度为3v ，则全程时间t=v CD vAD+3=)(311CD AD v +，当31AD+CD 最小时，总时间最少；分析条件知CO=31AC ，过点D 作DH ⊥AC 于H ，构造△ADH 和△ACO 相似，则DH=31AD ，又CD=BD ，则需DH+BD 最小，此时B 、D 、H 共线且BH ⊥AC ，借助相似易得点D 坐标.【解答】如图，作DH ⊥AC 于点H ，交AO 于D ，此时整个运动时间最少，易证△BOD ∽△AOC ，则OAOB OC OD ==221，∴OD=221OC =42，∴D （0，42）【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；2.找出图中含有两边之比等于系数a 的三角形；3.构造相似三角形求解.变式训练2-1如图，抛物线y=﹣x 2+x+3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，当△DQB 面积最大时，在x 轴上找一点E ，使QE+EB 的值最小，求E 的坐标和最小值．二．阿氏圆问题一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化典型例题3-1如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 为直角边AC 上一 点，且CD=2，将CD 绕着点C 顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为 点D 的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+21BD'的最小值是________. 【分析】D'在以C 为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B 中，CD'=21BC ，据此在CB 上截取CF=21CD'=1，构造△CFD'∽△CD'B ，将21BD'转化为D'F ，即求AD'+D'F 的最小值，A 、D'、F 共线时其值最小，由勾股定理易求该值.【解答】在线段CB 上截取CF=21CD'=1，∴21==''CBD C D C CF ，又∵∠FCD'=∠D'CB ，∴△CFD'∽△CD'B ，∴21=''B D FD ,即D'F=21BD'，要使AD'+21BD'最小，则需AD'+D'F 最小，此时A 、D'、F 三点共线，AD'+D'F 的最小值即为AF 长，在Rt △ACF 中， AF=22CF AC +=2213+=10， 即AD'+21BD'的最小值是10.变式训练3-1如图1，抛物线y=ax 2﹣6ax+6（a ≠0）与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）分别求出直线AB 和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2=36：25，求m 的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ． ①在x 轴上找一点Q ，使△OQE ′∽△OE ′A ，求出Q 点坐标．②求BE ′+AE ′的最小值.变式训练3-2在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是．1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是s．2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其对称轴与x轴交于点D。
2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)
2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。
动态几何之胡不归阿氏圆 旋转相似问题
“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。
（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。
中考数学压轴题突破—胡不归-阿氏圆问题(共19张PPT)
不要忘记乘2.
胡不归问题
1.构造含特殊角直角三角形，将“a PA”转化
胡不归问题
1.构造含特殊角直角三角形，将“a PA”转化
胡不归问题
变式一：胡不归问题来自变式二：胡不归问题2.构造相似三角形，借助相似比将“a PA”转化
中考数学压轴题突破胡不归阿氏圆问题问题产生的原因?已知定点ab要求找一点p使apapb值最小a为大于0且不为1的常数问题产生的原因?1
中考数学压轴题突破 胡不归-阿氏圆问题
问题产生的原因
• 已知定点A、B，要求找一点P，使 a PA+PB值最小(a为大于0且不为 1的常数)
问题产生的原因
• 1.点P在直线上运动型称为“胡不归”问题， 点P在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题；
胡不归问题
2.构造相似三角形，借助相似比将“a PA”转化
胡不归问题
2.构造相似三角形，借助相似比将“a PA”转化
解答：
胡不归问题
变式练习：
阿圆问题
构造子母型相似三角形，借助相似比将a PA转化
阿圆问题
构造子母型相似三角形，借助相似比将a PA转化
解析：
阿圆问题
构造子母型相似三角形，借助相似比将a PA转化
• 2.点P在直线上运动型称为“胡不归”问题， 点P在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.
方法原理
• 1.两点之间，线段最短； • 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边； • 3.垂线段最短；
解题思路
胡不归问题
1.构造含特殊角直角三角形，将“a PA”转化
胡不归问题
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归”一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
“PA + k·PB”型的最值问题之“胡不归”何以归“阿氏圆”如何圆
“PA + k·PB”型的最值问题之“胡不归”何以归“阿氏圆”如何圆中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2020）08-084-02【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点，如2019年天津中考的第25题的第3问考察到“a·PA+b·PB”的形式，可用提公因式的方法将“a·PA+b·PB”的形式转化为“PA+k·PB”模型。
于是，我们可以把这类问题分为以下几类：当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以通过作轴对称来处理。
当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，可借助三角函数值或相似的相关内容进行思路转换。
此类问题除上述k值不同的分类外，还需注意动点P轨迹不同带来的分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【关键词】胡不归；阿氏圆；最值问题；数学模型【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；一、“胡不归”模型1、问题初探点P在直线上运动，即“胡不归”问题如图1所示，已知sin∠MBN=k，点P为∠MBN一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”的最小时，点P的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的长度，可以通过转化的思路找到与“k·PB”对应相等的线段，具体方式为过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,此时，“PA+k·PB”的最小值转化为“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小，进一步计算出线段AQ即为所求的最小值。
胡不归与阿氏圆问题精讲(已印)
中考数学培优之胡不归与阿氏圆问题精讲一、胡不归问题模型话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．如图，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为a米/秒，砂土速度为b米/秒），小伙子需要在AC上选取一点D，再折往至B．例题：2019年长沙中考数学第12题二、胡不归问题典型题目汇总1.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(-1.0)、B )3,0(-)、C(2,0)，其对称轴与X 轴交于点D 。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标。
（2）若P 为y 轴上的一动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为_____ 。
（3）()t s M ,为抛物线对称轴上的一个动点。
①若平面内存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有_____个。
②连接MA 、MB ，若AMB ∠不小于 60，求t 的取值范围。
2.二次函数c x ax y +-=22的图象与x 轴交于A 、C 两点,点C （3，0）,与y 轴交于点B （0，－3）. (1)a=_____,c=_____.(2)如图1,P 是x 轴上一动点,点D （0，1）在y 轴上,连接PD,求PC PD +2的最小值;(3)如图2,点M 在抛物线上,若3=∆MBC S ,求点M 的坐标.3.如图1,在平面直角坐标系中,直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，3）,点A 为x 轴负半轴上一点,BC AM ⊥于点M 交y 轴于点N,满足4CN ＝5ON.已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C. (1)求抛物线的函数关系式;(2)连接AC,点D 在线段BC 上方的抛物线上,连接DC 、DB,若BCD ∆和ABC ∆面积满足ABC BCD S S ∆∆=53,求点D 的坐标;(3)如图2,E 为OB 中点,设F 为线段BC 上一点(不含端点),连接EF.一动点P 从E出发,沿线段EF 以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC 以每秒35个单位的速度运动到C 后停止.若点P 在整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点F 的坐标.4.如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+-=x y 交于A ，B 两点，交x 轴与D ，C 两点，连接AC ，已知A(0,3),C(3,0)。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归” 一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
胡不归与阿氏圆
30
Q’
Q
Q
作求OPPQ+P⊥Q最A小B值, （P为12直AP线上PQ动点）
胡不动点归在模直线型上
（2sPinD 2 P2C）
2
sin 2 45
2
构造：①含ɑ ②以CP为斜边的直角三角形
关键步骤
找到sinɑ=k 作垂线构造直角三角形转化
胡不归问题技巧
阿氏圆模型转化
基础步骤
求AP+kBP最小，将kBP转化
胡不归？ 阿氏圆？
线段和差的最值问题 最值问题的原理探究 识别胡不归与阿氏圆 胡与阿问题解决方法与步骤
线段和差最值
将军饮马
p134【1】
两定一 动
定点对 称
两点之 间
线段最 短
p134【2】
c‘
两动一 定
定点对 称
垂线段 最短
p134【3】
CAPQE AP PQ QE AE
CCAAPPQQEE最小AP 2A'QQEQE2最1小7
将k值看作相似比，构造以BP为对应边， 半径为公共边的子母型相似
两点之间线段最短，得出结论
k1 2
阿氏动点圆在模圆上型
CP r
Q
CQ 1 CP 1 r
2
2
构造CPQ ∽CBP 相似比k 1 2 CQ PQ 1 CP BP 2
Q
PQ 1 BP 2
AP 1 BP最小 2
AP PQ最小
线段系数不为1
动点在直线上--胡不归 动点在圆上--阿氏圆
系数不为1的线段转化技巧
胡不归模型转化
基础步骤
求AP+kBP最小，将kBP转化
将k值看作sinɑ，构造含ɑ以BP为斜边的直 角三角形
阿氏圆问题专题知识解读
阿氏圆专题知识解读【专题说明】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。
【方法技巧】阿氏圆问题问题：求解“AP nPB+”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“AP nPB+”问题+”转化为“AP PM关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型【典例分析】【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P 是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为．【答案】【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案为：．【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为．【答案】2．【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【变式2-1】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．【答案】【解答】解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值为13，∴PC+PD的值最小值为．故答案为：．【变式2-2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，连接BF．（1）如图①，当θ＝60°时，求EF的长；（2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值．【解答】解：（1）∵将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，如图，∴∠BAD＝θ，AB＝AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵θ＝60°，∴∠DAC＝120°∴∠ADC＝∠ACD＝30°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE＝30°，∴∠EDA＝∠EAD，∠CAE＝90°，∴DE＝AE＝，∵AB＝AC＝6，∴DE＝AE＝AC•tan30°＝2，∴CE＝4，∴CD＝CE+DE＝6，∵DF＝2CF，∴CF＝CD＝2，∴EF＝CE﹣CF＝2；（2）如图，过F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中点M，连接FM，则AM＝CM＝3，∴△CFH∽△CDA，∴，∵DF＝2FC，∴，∴CH＝FH＝2，∴MH＝3﹣2＝1，∵，，∴，∵∠FHM＝∠AHF，∴△FHM∽△AHF，∴，∴FM＝AF，∴当B、F、M三点共线时，BF+FM＝BF+AF的长最小，如图，此时BM⊥AC，∴BM＝，∴BF+AF的最小值为3．。
婆罗摩笈多、胡不归、阿氏圆——中考几何穿云箭4大专题
婆罗摩笈多、胡不归、阿氏圆——中考几何穿云箭4大专题
婆罗摩笈多、胡不归、阿氏圆，这些名词对于一般的学生确实比较陌生，但是你要问一下学霸，保证给你说得一套一套的。
今天介绍几个比较综合难度较大的几何模型专题：
①平分面积：通过面积之间的等量代换，解决直线平分图形面积的问题。
②胡不归：通过作辅助线构造直角三角形，根据直角三角形中的边角关系转化线段，运用垂线的性质解决线段和的最小值问题。
③阿氏圆：构造共边共角型（母子型）相似模型，运用相似三角形的判定与性质将线段进行转化，根据“两点之间，线段最短”及勾股定理解决两线段和或差的最值问题。
④婆罗摩及多：（以印度数学家命名的）通常运用全等（相似）三角形的判定与性质，已知中点证垂直或已知垂直证中点。
666。
中考复习压轴之胡不归和阿氏圆 导学案设计(无答案)
这是一个故事从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
方法总结“胡不归”问题中会涉及到三个点。
其中两个定点（A ，B ），一个动点C ，且动点是在直线（AM ）上运动。
1、在系数不为1的线段的定端点处作一个角，使其的正弦值等于此此线段的系数（关注你题目中有无特殊角，产生链接使用起来）2、过动点作上一步的角的边的垂线，构造直角三角形3、根据两点之间线段最短或定点到定直线垂线段最短，找到最小值的位置4、准确计算射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A-D-C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标为（ ）例2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点A （-1，0），B （0，-3），C （2，0），其中对称轴和x 轴交于点D 。
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标； （2）若点P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为 。
（3）M （s,t ）为抛物线对称轴是的一个动点。
①若平面内存在点N ，使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有 个。
②连接MA 、MB ，若∠AMB 不小于60°,求t 的取值范围。
练习巩固：1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°，则PA+PB+PD 的最小值为 。
2、如图，在△ACE 中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
胡不归及阿氏圆
浅谈线段之和“胡不归”仃灯破故事,说的兄卜身在他乡的小伙子,得知父弟•. 一的消息后便II仪辻路回-• 然|厲当他气喘吁吁地来到父亲的面前时.老人別刚咽气了人们告诉仙.・右:弥・老人在不断喃喃地叨念：“胡不归?胡不归? ”早期的科学家曾为这则占老的传说中的小伙子设想了一*路线。
(如卜•图)A是出发地，B 是H的地：AC &•条驿(・而驿|r徉H的地的・侧是沙地。
为了急切回家.小秋了选择了直线路程AB。
但足，他忽略了在驿道上行走要比任妙土地•苦“•走快的迖•囚素c如果他能选择•乂介适的路线(尽管这条珞线长一些.但是违度町以加快)，足可以提前抵迖栄门的，那么.址' 支足那条路线呢？显然.根4W两种路廊的棚伽在共上街左的速度值•町以右AC I•选定点D,小伙了从A走到D,然厉从D折往B,可电最早到达B・用现代的科学语言表迖，就是：石在驿道I •彳J走的速度为％,化沙地I.I JA L的速度为V：,即求^+― 的故小仇例題1、如图.P为止方形ABCD对角纹BD I.动点.若AB — 2・则AP I BP CP的最小值为_____解析:•••正方形ABCD为轴对称图形• •/\P=PCAAP+BPK：P=2AP+BP= 2(AP+- BP)2•••即求AP+丄BP的最小値2J接卜尢就是套路我们要构造一个丄3P；I俅2连接AU,作ZDBE=3()。
，交AC于&过A作AHI BE・垂足为I； ffiRtA PBF 中,・.・ZPBI；=3()>2山此我们把构造出來了—•••解R 角M AO=B(>=72AP^-BP 的展小値即为AF 线段的KMVVZlL\ll=45\ ZAEIi=6()恨据面枳注.丄人£・B0二丄〃£2 2求出 A V^yfl-y/b（此外本題费马点亦可）例题2【题21】如图1所示.点川为口线/外一定点，点伏C 为比线/上M 宦点.且,1〃 = 2・ZJZ?C = 15°.点〃为口线/上的动点，请确定点P 的 位世.便"+丄/炉址小.并求出这个*4小値 7B AB住初二〃"彳从 总结步骤:【解析】如图2,将II 线/绕点〃逆时针旋转30°貳厂的位歆 过点 A^ADL 厂交/于点P',在宜线/上収任意点P,作PELT 于点E,在 直角三角形〃妙中，PE =丄3P,冋理刖2 2AP+丄 BP = AP + PE 工 AD = AP4 严D 二人P4 ' BP',当点 P 与点2 2P'重合时取等号•在RZPD 中.BP'= “ 屮=2&cos 30° y/3 3T范当列建时，gp'重合，如悴取得虽小值®笫 步：将所求线段和改写为PA+’PB 的形式（上VI ） ni m小••炽/1PB 的」偵.PA #J 畀侧.构進-•个如度cu 便得sina=一 m第三步：过A 作第二妙所构适的角的 边匝线，该匝线段即为所求赧小伯 第四步,计算即诃模型具体归纳如下:茨:PA+n/mPB(问JS关键处H摊n/m 这个分数梅造岀sinzCBP=n/mlK94« PA4-n/mPB= AP・PD再利用垂线段最炷即可练习1如岸，条笔直的公路I穿过草原，公路边存消防站A，加离公路5 T•米的也方居尺点B・A、B的直线距离13 TX.吠，居尺点B看火，消防员受命欲前往救火,若消防车右:介路I的杲快速度是80 T米〃卜时・而右:草地I •的呆快速度是40 T米〃卜时.则•消防车在出发臥加快经___ 小时町到达居尺点B.S怙琨酥：汨鮎河从公路的沖逵入草如了絞.)练习2【题22】如图I,在平面直角坐标系中，己知A (0.4),〃(-10),在皿上有-动点G,求BG+护的最小值.练习3（北京东城区1观年离考備25》如囤假设河的一令岸边为言线X/iCl.vr;于c, s B. 2＞在"V上，现离将货切心处运（£月处，经陆路3与水路DB・已知4C=[0公塾BC=SO 公里，又陆跻单位距离的运扫罡水路运捻的2倍.为使运腰少，D点应选在蹈5C卢耳多运M?・练习4如用，AABC &&f（]坐杯系屮，AB-AC, A （0, 2近）.C（1, 0）, D 为射线AO卜.一点.一动点P从A出发.运动路径为ATDTC.点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍•咚使整个运动时间最少•则点D的坐标应为________________练习5 如图,菱形ABCD的对角线AC上有-动点P・BC=6, ZABCJ50•，则线段AP+BP+PD 的最小值为练习6如图.在丫商直角坐标系中，二次函数y=ax2-bx^c的图象经过点A （-1, 0〉. B CO. ■近）• C （2. 0）,其对称轴九I交丁点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；2）若P为y轴上的一个动点，连接PD.则±PB+PD的最小值为 :练习7如I絹&AACE屮.CA=CE, ZCAE=30% G）0经过点C,且圆的直径AB任线段AE上.（1）试说明CE是O0的切线：（2＞若厶ACE«；'AE边上的高为h,试用含h的代数式衣示©0的直径AB：（3）设点D是线段AC上任总一点（不介端点），连接0D,为丄CD+OD的最小2值为6E・J・求GO的直径AB的长.附加（阿氏圆问题）何氏冏也是彤WA Y—PB的形式（上VI）瓜终还是化分为整。
胡不归+阿氏圆练习
胡不归问题一．填空题（共1 小题）1．如图，抛物线y =x2 - 2x - 3 与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E ，且tan ∠EBA =4，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，3再以1.25 单位/s 的速度沿着DE 爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是s ．二．解答题（共7 小题）2．如图，已知抛物线y =m(x +1)(x -2)(m 为常数，且m > 0) 与x 轴从左至右依次交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ，经过点B 的直线与抛物线的另一交点D 在第二象限．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若∠DBA = 30︒，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1 个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2 个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？2 3．如图，抛物线 y = 1 x 2 + mx + n 与直线 y = - 1x + 3 交于 A ， B 两点，交 x 轴与 D ， C 两22点，连接 AC ， BC ，已知 A (0, 3) ， C (3, 0) ． （1）求抛物线的解析式； （2）求 tan ∠BAC 的值；（3）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE ，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒 个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？4．如图1，抛物线y =ax2 + (a + 3)x + 3(a ≠ 0) 与x 轴交于点A(4, 0) ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E(m ，0)(0 <m < 4) ，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设∆PMN 的周长为C ，∆AEN 的周长为C ，若C1 =6，求m 的值；1 22（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α(0︒<α<90︒)，连接E'A 、E'B ，求E'A +2E'B 的最小值．3C55．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax2 +bx +c 的图象经过点A(-1, 0) ，B(0, - 3) ，C(2, 0) ，其对称轴与x 轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则1PB +PD 的最小值为；2（3）M (x, t) 为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；②连接MA ，MB ，若∠AMB 不小于60︒，求t 的取值范围．6．如图，在∆ACE 中，CA =CE ，∠CAE = 30︒， O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是 O 的切线；（2）若∆ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示 O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当1CD +OD 的最小值为6 时，2求 O 的直径AB 的长．7．如图，在∆ACE 中，CA =CE ，∠CAE = 30︒， O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）证明：CE 是 O 的切线；（2）设点D是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当AB=8时，求1CD+OD的2最小值．8．如图，已知抛物线y =k(x + 2)(x - 4)(k 为常数，且k > 0) 与x 轴从左至右依次交于A ，B8两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y =-3x +b 与抛物线的另一交点为D ．3（1）若点D 的横坐标为-5 ，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与∆ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1 个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2 个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？胡不归问题参考答案与试题解析一．填空题（共 1 小题）1．如图，抛物线 y = x 2 - 2x - 3 与 x 轴交于 A 、 B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E ，且tan ∠EBA = 4，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，3再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是 649 s ．【解答】解：过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线相交于点 H ，如图，EH / / AB ，∴∠HEB = ∠ABE ，∴tan ∠HED = tan ∠EBA =DH = 4， EH 3设 DH = 4m ， EH = 3m ，则 DE = 5m ，∴蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间= 5x1.25= 4(s )若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位 /s ，则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间=4m= 4(s ) ，1∴蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，∴蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位 /s 的速度爬到 D 点，再从 D 点以 1 单位/s 速度爬到 H 点的时间，作 AG ⊥ EH 于G ，则 AD + DH AH AG ， ∴ AD + DH 的最小值为 AQ 的长，当 y = 0 时， x 2 - 2x - 3 = 0 ，解得 x = -1 ， x = 3 ，则 A (-1, 0) ， B (3, 0) ，12⎨ 直线 BE 交 y 轴于C 点，如图， 在Rt ∆OBC 中， tan ∠CBO =CO = 4， OB 3∴OC = 4 ，则C (0, 4) ，设直线 BE 的解析式为 y = kx + b ，⎧3k + b = 0⎧k = - 4把 B (3, 0) ， C (0, 4) 代入得⎨⎩b = 4，解得⎪3 ，⎪⎩b = 4∴直线 BE 的解析式为 y = - 4x + 4 ，3⎧ y = x 2 - 2x - 3⎧x = - 7 解方程组⎪ 得⎧x = 3 或⎪ 3 ，则 E 点坐标为(- 7 ， 64) ， ⎨ y = - 4 x + 4 ⎨ y = 0⎨ 64 3 9 ⎪⎩ 3∴ AQ =64 ，9⎩ ⎪ y =⎩ 964∴蚂蚁从 A 爬到G 点的时间= 9 = 64(s ) ，1 9 即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为 64 s ． 9故答案为64．9二．解答题（共 7 小题）2．如图，已知抛物线 y = m (x +1)(x - 2)(m 为常数，且m > 0) 与 x 轴从左至右依次交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点C ，且OA = OC ，经过点 B 的直线与抛物线的另一交点 D 在第二象限．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若∠DBA = 30︒，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1 个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2 个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线y =m(x +1)(x - 2)(m 为常数，且m > 0) 与x 轴从左至右依次交于A 、B 两点，令y = 0 ，解得x =-1 或x = 2 ，则A(-1, 0) ，B(2, 0) ，OA =OC ，∴C(0, -1) ，点C(0, -1) 在抛物线y =m(x +1)(x - 2) 上，∴m ⨯(0 +1) ⨯(0 - 2) =-1 ，解得m =1 ．2∴抛物线的函数表达式为：y =1(x +1)(x - 2) ；2（2） ∠DBA = 30︒，∴设直线BD 的解析式为y =-3x +b ，3B(2, 0) ，∴0 = -3 ⨯ 2 + b ，解得b = 2 3 ，3故直线 BD 的解析式为 y = -⎧ y = - 33 x + 2 3 ， 3 3x + ⎪⎪ 联立两解析式可得⎨ 33 ， ⎪ y = 1 (x +1)(x - 2)⎛⎪ 2⎧ 2 3 + 3x = - ⎧x = 2 ⎪⎪ 3 解得⎨ y = 0 ， ⎨+3 ． ⎩ ⎪ y =⎩3则 D (-2 3 + 3 ， 2 3 +) ，3 3如图，过点 D 作 DN ⊥ x 轴于点 N ，过点 D 作 DK / / x 轴， 则∠KDF = ∠DBA = 30︒．过点 F 作 FG ⊥ DK 于点G ，则 FG = 1DF ．2由题意，动点M 运动的路径为折线 AF + DF ，运动时间： t = AF + 1DF ，2∴t = AF + FG ，即运动的时间值等于折线 AF + FG 的长度值．由垂线段最短可知，折线 AF + FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段． 过点 A 作 AH ⊥ DK 于点 H ，则t 最小 = AH ，AH 与直线 BD 的交点，即为所求的F点．2 3 32 33 2 ⎪ 2⎨ ⎨ A 点横坐标为-1，直线 BD 解析式为： y = - 3 x + 2 3 ，3 3∴ y = -3 ⨯(-1) +2 3 = ，33∴ F (-1, 3) ．综上所述，当点 F 坐标为(-1, 3) 时，点M 在整个运动过程中用时最少．3．如图，抛物线 y = 1x 2 + mx + n 与直线 y = - 1x + 3 交于 A ， B 两点，交 x 轴与 D ， C 两22点，连接 AC ， BC ，已知 A (0, 3) ， C (3, 0) ． （1）求抛物线的解析式； （2）求 tan ∠BAC 的值；（3）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE ，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒 个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？【解答】解：（Ⅰ）把 A (0, 3) ， C (3, 0) 代入 y = 1x 2 + mx + n ，得2⎧1⨯ 9 + 3m + n = 0 ⎨ ． ⎪⎩n = 3 ⎧m = - 5 解得⎪ 2 ．⎪⎩n = 3∴抛物线的解析式为 y = 1 x 2 - 5x + 3 ．2 2⎧y = - 1 x + 3 （2）联立⎪ ⎪ y = ⎩ 2 1 x 2 -5 22 ， x +32 2 23 2 2⎩ ⎩ 解得： ⎧x = 0 （不符合题意，舍）， ⎧x = 4，⎨ y = 3 ⎨ y = 1∴点 B 的坐标为(4,1) ．过点 B 作 BH ⊥ x 轴于 H ，如图 ．C (3, 0) ， B (4,1) ，∴ BH = 1 ， OC = 3 ， OH = 4 ， CH = 4 - 3 = 1 ，∴ BH = CH = 1． ∠BHC = 90︒ ，∴∠BCH = 45︒ ， BC = ．同理： ∠ACO = 45︒ ， AC = 3 ，∴∠ACB = 180︒ - 45︒ - 45︒ = 90︒ ， ∴tan ∠BAC =BC == 1 ；AC3（3）过点 E 作 EN ⊥ y 轴于 N ，如图 ．在Rt ∆ANE 中， EN = AE sin 45︒=2AE ，即 AE = 22EN ，∴点 M 在整个运动中所用的时间为 DE + EA= DE + EN ．1 作点 D 关于 AC 的对称点 D ' ，连接 D 'E ，则有 D 'E = DE ， D 'C = DC ， ∠D 'CA = ∠DCA = 45︒ ，∴∠D 'CD = 90︒ ， DE + EN = D 'E + EN ．根据两点之间线段最短可得：当D'、E 、N 三点共线时，DE +EN =D'E +EN 最小．此时， ∠D'CD =∠D'NO =∠NOC = 90︒，∴四边形OCD'N 是矩形，∴ND'=OC = 3 ，ON =D'C =DC ．对于y =1x2 -5x + 3 ，当y = 0 时，有1x2 -5x + 3 = 0 ，2 2 2 2解得：x1= 2 ，x2 = 3 ．∴D(2, 0) ，OD = 2 ，∴ON =DC =OC -OD = 3 - 2 = 1，∴NE =AN =AO -ON = 3 - 1 = 2 ，∴点E 的坐标为(2,1) ．4．如图1，抛物线y =ax2 + (a + 3)x + 3(a ≠ 0) 与x 轴交于点A(4, 0) ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E(m ，0)(0 <m < 4) ，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设∆PMN 的周长为C ，∆AEN 的周长为C ，若C1 =6，求m 的值；1 22（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α(0︒<α<90︒)，连接E'A 、E'B ，求E'A +2E'B 的最小值．3【解答】解：（1）令y = 0 ，则ax2 + (a + 3)x + 3 = 0 ，∴(x + 1)(ax + 3) = 0 ，∴x =-1或-3 ，aC5⎨4k + b = 0 ⎨ 抛物线 y = ax 2 + (a + 3)x + 3(a ≠ 0) 与 x 轴交于点 A (4, 0) ，∴- 3= 4 ，a∴ a = - 3．4A (4, 0) ，B (0, 3) ，设直线 AB 解析式为 y = kx + b ，则⎧b = 3 ，⎩⎧k = - 3 解得⎪ 4 ，⎪⎩b = 3∴直线 AB 解析式为 y = - 3x + 3 ．4（2）如图 1 中，PM ⊥ AB ， PE ⊥ OA ，∴∠PMN = ∠AEN ， ∠PNM = ∠ANE ， ∴∆PNM ∽∆ANE ， ∴PN = 6 ，AN 5NE / /OB ， ∴AN = AE ，AB OA ∴ AN = 5(4 - m ) ，4 抛物线解析式为 y = - 3 x 2 + 9x + 3 ，44∴ PN = - 3 m 2 + 9 m + 3 - (- 3 m + 3) = - 3m 2 + 3m ，4 4 4 4- 3m 2 + 3m ∴ 4 = 6 ，5(4 - m ) 5 4解得m = 2 ．（3）如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M ' 使得OM '= 4，连接 AM ' ，在 AM ' 上取一点 E ' 使得3OE '= OE ．OE '= 2 ， OM ' OB = 4⨯ 3 = 4 ，3∴OE '2 = OM ' OB ，∴ OE ' = OB ， ∠BOE '= ∠M 'OE ' ， OM ' OE '∴△ M 'OE '∽ △ E 'OB ，∴M 'E ' = OE ' = 2 ，BE ' OB 3∴ M 'E '= 2BE ' ，3 ∴ AE '+ 2 ' = AE '+ E 'M ' = AM ' ，此时 AE '+ 2BE ' 最小（两点间线段最短， A 、 M ' 、 E '3 共线时），最小值= AM = 4 3310 ．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象经过点 A (-1, 0) ，B (0, -3) ，C (2, 0) ，其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD ，则 1PB + PD 的最小值为3 3 ；2 4（3） M (x , t ) 为抛物线对称轴上一动点3 3 3 3 ⎨ ⎩ b ⎨①若平面内存在点 N ，使得以 A ， B ， M ， N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有个；②连接 MA ， MB ，若∠AMB 不小于60︒ ，求t 的取值范围．⎧a - b + c = 0 ⎧ ⎪a =⎪ 2 【解答】解：（1）由题意⎪c = - ⎪4a + 2b + c = 0 解得⎪= - 3 ， ⎪2 ⎪c = - ⎪ ⎪⎩∴抛物线解析式为 y =3x 2 - 3x - ， 2 2y = 3 x 2 - 3 x - = 3 (x - 1 )2 - 9 3，2 2 2 2 8∴顶点坐标(1， - 9 3 ) ．2 8（2）如图 1 中，连接 AB ，作 DH ⊥ AB 于 H ，交OB 于 P ， 此时 1PB + PD 最小．2理由： OA = 1 ， OB = ， ∴tan ∠ABO = OA = 3，OB 3∴∠ABO = 30︒ ，∴ PH = 1PB ，2 ∴ 1PB + PD = PH + PD = DH ， 2∴此时 1PB + PD 最短（垂线段最短）．2在Rt ∆ADH 中， ∠AHD = 90︒ ， AD = 3， ∠HAD = 60︒ ，23 33 34 ∴sin 60︒=DH，AD∴ DH = ，∴ 1PB + PD 的最小值为 3 3 ． 2 4故答案为3 3． 4（3）①以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点， 以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点， 线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点 M 有 5 个，即满足条件的点 N 也有 5 个， 故答案为 5．②如图， Rt ∆AOB 中， tan ∠ABO =OA= 3， OB 3∴∠ABO = 30︒ ，作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E ，连接 EA ，则∠AEB = 120︒ ， 以 E 为圆心， EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F 、G ． 则∠AFB = ∠AGB = 60︒ ，从而线段 FG 上的点满足题意，ABEB = 2 = 2 3 ，cos 30︒ 3∴OE = OB - EB = 3，3F (1 ， t ) ， EF 2 = EB 2 ，2∴(1 )2 + (t + 3 )2 = ( 2 3 )2 ， 2 3 3 解得t =-2 3 + 6 39或 -2 3 - 639 ， 故 F (1 ， -2 3 + 39 ， G (1 ， -2 3 - 39 ) ，2 6 2 6 ∴t 的取值范围-23 - 39 t -2 3 + 396 66．如图，在∆ACE 中，CA =CE ，∠CAE = 30︒， O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是 O 的切线；（2）若∆ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示 O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当1CD +OD 的最小值为6 时，2求 O 的直径AB 的长．【解答】解：（1）连接OC ，如图1，CA =CE ，∠CAE = 30︒，∴∠E =∠CAE = 30︒，∠COE = 2∠A = 60︒，∴∠OCE = 90︒，∴CE 是 O 的切线；（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，连接OC ，如图2，由题可得CH =h ．在Rt∆OHC 中，CH =OC sin ∠COH ，∴h=OC sin 60︒=3OC ，2∴OC =2h=2 3h ，3 3∴AB = 2OC =4 3h ；3（3）作OF 平分∠AOC ，交 O 于 F ，连接AF 、CF 、DF ，如图3，则∠AOF =∠COF =1∠AOC =1(180︒- 60︒) = 60︒． 2 2OA =OF =OC ，∴∆AOF 、∆COF 是等边三角形，∴AF =AO =OC =FC ，∴四边形AOCF 是菱形，3 3 3 ∴根据对称性可得 DF =DO ． 过点 D 作 DH ⊥ OC 于H ，OA = OC ，∴∠OCA = ∠OAC = 30︒ ，∴ DH = DC sin ∠DCH = DC sin 30︒= 1 DC ， 2∴ 1 CD + OD = DH + FD ．2根据垂线段最短可得：当 F 、 D 、 H 三点共线时， DH + FD （即 1CD + OD ) 最小，2 此时 FH = OF sin ∠FOH=3 OF = 6 ， 2则OF = 4 ， AB = 2OF = 8 ．∴当 1 CD + OD 的最小值为 6 时， O 的直径 AB 的长为8 ． 27．如图，在∆ACE 中，CA = CE ，∠CAE = 30︒ ， O 经过点C ，且圆的直径 AB 在线段 AE 上．（1）证明： CE 是 O 的切线；（2）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当 AB = 8 时，求 1CD + OD 的2 最小值．【解答】（1）证明：连接OC ，如图 1 所示：CA = CE ， ∠CAE = 30︒ ，∴∠E = ∠CAE = ∠OCA = 30︒ ， ∠COE = 2∠CAE = 60︒ ，∴∠OCE = 180︒ - 30︒ - 60︒ = 90︒ ，即CE ⊥ OC ，∴CE 是 O 的切线；（2）解：作OF 平分∠AOC ，交 O 于 F ，连接 AF 、CF 、 DF ，如图 2 所示， 则 ∠AOF = ∠COF = 1 ∠AOC = 1(180︒ - 60︒) = 60︒ ． 2 2OA = OF = OC ，3 3 ∴∆AOF 、 ∆COF 是等边三角形，∴ AF = AO = OC = FC ，∴四边形 AOCF 是菱形，∴根据对称性可得 DF =DO ． 过点 D 作 DH ⊥ OC 于H ，OA = OC ，∴∠OCA = ∠OAC = 30︒ ，∴ DH = DC sin ∠DCH = DC sin 30︒= 1 DC ， 2∴ 1 CD + OD = DH + FD ．2根据两点之间线段最短可得：当 F 、 D 、 H 三点共线时， DH + FD （即 1 CD + OD ) 最小，2OF = OA = 4 ，∴此时 FH = DH + FD = OF sin ∠FOH =3⨯ 4 = 2 ，2 即 1 CD + OD 的最小值为2 ．28．如图，已知抛物线 y = k(x + 2)(x - 4)(k 为常数，且k > 0) 与 x 轴从左至右依次交于 A ，B8 两点，与 y 轴交于点C ，经过点 B 的直线 y = - 3x + b 与抛物线的另一交点为 D ．3 （1）若点 D 的横坐标为-5 ，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P ，使得以 A ，B ，P 为顶点的三角形与∆ABC 相似，3 3 求 k 的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF ，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F ，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线 y = k (x + 2)(x - 4) ，8 令 y = 0 ，解得 x = -2 或 x = 4 ，∴ A (-2, 0) ， B (4, 0) ．直线 y = - 3 x + b 经过点 B (4, 0) ，3∴- 3 ⨯ 4 + b = 0 ，解得b = 4 3 ，3 ∴直线 BD 解析式为： y = - 33 x +4 3 ．3 3当 x = -5 时， y = 3 ，∴ D (-5 ， 3 3) ．点 D (-5 ， 3 3) 在抛物线 y = k(x + 2)(x - 4) 上， 8∴ k (-5 + 2)(-5 - 4) = 3 ，8 ∴ k = 8 3 ．9∴抛物线的函数表达式为： y =3(x + 2)(x - 4) ． 9 即 y = 3 x 2 - 2 3 x - 8 3 ．9 9 9（2）由抛物线解析式，令 x = 0 ，得 y = -k ，4 55 ∴C (0, -k ) ， OC = k ．因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是∆ABC ∽∆APB 或∆ABC ∽∆PAB ．①若∆ABC ∽∆APB ，则有∠BAC = ∠PAB ，如答图2 - 1所示． 设 P (x , y ) ，过点 P 作 PN ⊥ x 轴于点 N ，则ON = x ， PN =y ．tan ∠BAC = tan ∠PAB ，即： k = 2 y ，x + 2 ∴ y = k x + k ．2∴ P (x , k x + k ) ，代入抛物线解析式 y = k (x + 2)(x - 4) ，2 8得 k (x + 2)(x - 4) = k x + k ，整理得： x 2 - 6x - 16 = 0 ，8 2解得： x = 8 或 x = -2 （与点 A 重合，舍去），∴ P (8, 5k ) ．∆ABC ∽∆APB ，∴ AC = AB ，即 = 6 ，AB AP 6 解得： k = ．②若∆ABC ∽∆PAB ，则有∠ABC = ∠PAB ，如答图2 - 2 所示． 设 P (x , y ) ，过点 P 作 PN ⊥ x 轴于点 N ，则ON = x ， PN =y ．tan ∠ABC = tan ∠PAB ， 即 ： k = y，4 x + 2∴ y = k x + k ．4 22 2 4 5 52 3 ∴ P (x , k x + k ) ，代入抛物线解析式 y = k (x + 2)(x - 4) ，4 2 8得 k (x + 2)(x - 4) = k x + k ，整理得： x 2 - 4x - 12 = 0 ，8 4 2解得： x = 6 或 x = -2 （与点 A 重合，舍去），∴ P (6, 2k ) ．∆ABC ∽∆PAB ，AB = CB ， AP AB∴ 6 = ， 6解得k = ± ，k > 0 ，∴ k = ，综上所述， k =或k = ．（3）方法一：如答图 3，由（1）知： D (-5 ， 3 3) ，如答图2 - 2 ，过点 D 作 DN ⊥ x 轴于点 N ，则 DN = 3 ， ON = 5 ， BN = 4 + 5 = 9 ，∴tan ∠DBA = DN = 3 3 = 3 ，BN 9 3∴∠DBA = 30︒ ．过点 D 作 DK / / x 轴，则∠KDF = ∠DBA = 30︒ ．3 过点 F 作 FG ⊥ DK 于点G ，则 FG = 1DF ．2 由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF + DF ，运动时间： t = AF + 1DF ，2∴t = AF + FG ，即运动的时间值等于折线 AF + FG 的长度值． 由垂线段最短可知，折线 AF + FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段．过点 A 作 AH ⊥ DK 于点 H ，则t 最小 = AH ， AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点．A 点横坐标为-2 ，直线 BD 解析式为： y = - 3 x + 4 3 ，3 3∴ y = - 3 ⨯ (-2) + 4 3 = 2 ， 3 3∴ F (-2 ， 2 3) ．综上所述，当点 F 坐标为(-2 ， 2 3) 时，点 M 在整个运动过程中用时最少．方法二：作 DK / / AB ， AH ⊥ DK ， AH 交直线 BD 于点 F ，∠DBA = 30︒ ，∴∠BDH = 30︒ ，∴ FH = DF ⨯ sin 30︒= FD，2∴当且仅当 AH ⊥ DK 时， AF + FH 最小， 点 M 在整个运动中用时为： t =AF + FD = AF + FH ， 1 2l BD : y = - 3 x + 4 3 ，3 3∴ F X = A X = -2 ，∴ F (-2, 2 3) ．。
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“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【模型初探】（二）点P 在圆上运动 “阿氏圆”问题如图所示2-1-1，⊙O 的半径为r,点A 、B 都在⊙O外，P 为⊙O 上的动点，已知r=k ·OB.连接PA 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图2-1-2）在线段OB 上截取OC 使OC=k ·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB=PC 。
∴本题求“PA+k ·PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即A 、P 、C 三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。
动态展示：见GIF 格式！【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA=kPB （k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比OP k=；OB第四步：在OB上取点C，使得OC OP=；OP OB第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题②“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB∽△CAP推出2=PA AB AC即：半径的平方=原有线段⨯构造线段1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则AM+12BM 的最小值为 .分析：如何将12BM 转化为其他线段呢？即本题k 值为12即转化为30°角的正弦值。
思考到这里，不难发现，只要作MN 垂直于BC ， 则MN=12BM ，即AM+12BM最小转化为AM+MN 最小，本题得解。
详解：如图，作AN ⊥于BC 垂足为N, ∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC=60°， ∴∠DBC=30°， 即sin ∠DBC=12=MNBM， ∴12BM=MN ，∴AM+12BM=AM+MN ，即AM+12BM 的最小值为AN. 在RT △ABN 中，AN=AB ·sin ∠ABC=6=∴AM+12BM 的最小值为变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM ”的最小值你会求吗？(2) 本题如要求“AM+BM+CM ”的最小值你会求吗？答案：（1）2）本题也可用“费马点”模型解决哦！！！！----详见：本公众号前文！BD2．(阿氏圆问题) 如图，点A 、B 在☉O 上，且OA=OB=6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD=4，动点P 在☉O 上，则2PC PD +的最小值为__________． 分析：如何将2PC 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即2倍关系 就出现了。
套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段⨯构造线段 详解：∴连接OP,在射线OA 上截取AE=6. 即：2OP OC OE =⨯ ∴△OPC ∽△OEP∴2PE PC =∴2PC PD PE PD +=+,即P 、D 、E 三点共线最小. 在即2PC PD +的最小值为变式思考：(1)本题如要求“1PC PD 2+”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“3PC PD 2+”的最小值你会求吗？答案：（1）2）【变式训练】(胡不归问题)1.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC 运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短为秒.2.如图，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+PB+PD的最小值为 .答案：本题也可用“费马点”模型解决哦！！！【中考真题】 (胡不归问题)1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。
若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为 。
2.（2014.成都）如图，已知抛物线2)(4)y x x =+-与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y x =D （-5，。
设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为 时，点M 在整个运动过程中用时最少？，(- 课外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不归”问题。
要好好专研哦！！！(胡不归问题变式)【变式训练】(阿氏圆问题)2（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为___________．13.2.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A，点M坐标为（6,3），点N坐标为（8,0），点P在圆上运动，求1的最小值PM PN2为__________．3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值为__________．答案：5【中考真题】 (阿氏圆问题) （2017·甘肃兰州）如图，抛物线2y x bx c 与直线AB 交于4,4A ，0,4B两点，直线1:62AC yx 交y 轴与点C ，点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF x 轴交AC于点F ，交抛物线于点G . (1)求抛物线2yx bx c 的表达式；(2)连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；(3)①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以,,,A E F H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点,E H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E ⊙上一动点，求12AM CM 的最小值.答案：(1) y=﹣x 2﹣2x+4；(2) G （﹣2，4）；(3)①E （﹣2，0）．H （0，﹣1）；②2．写在最后：“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取 k去构造某角的正弦值等于1k 或等于21kk)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。