小学奥数三年级第44讲整数的分拆例题
组合数学幻灯片44整数的拆分课件
定义4.7 1. 用 Pk(n) 表 示 n 拆 分 成 1,2,… ， k 的 允 许 重 复的方法数。 2.用Po(n)表示n拆分成奇整数的方法数。 3.用Pd(n)表示n拆分成不同的整数的方法数。 4.用Pt(n)表示n拆分成2的不同幂(即1，2，4， 8，…)的方法数。
由上面的讨论和定理4.2即可得
,1
x2
1 1
x4 x2
1
x3
1 1
x6 x3
,1
x4
1 1
x8 x4
,
(1
x)(1
x2
)(1
x3
)(1
x4
)
1 x2 1 x
1 1
x4 x2
1 1
x6 x3
1 1
x8 x4
上式的左端正好是Pd(n)的普通母函数(由定理4.3 的推论1)，而上式的右端，可将分子分母的所有偶 次幂约去就得到
1 22
1 32
1
1
1 x2 dx
2
故有log f ( x) 2x 1 x
而f ( x) p(n)xn p(n)xn n0
故有log p(n) log f ( x) n log x 2x n log x 1 x
而对于w>1时，有 log w w 1
• 于是有 log x log 1 1 1 1 x
1 (1 x )(1 x3 )(1 x5 )(1 x7 )
这正好是P0(n)的普通母函数(由推论4)。
∴Po(n)=Pd(n)
以上我们证明了把n拆分成奇整数的和的方 式数等于把n拆分成不相同的整数的和的 方式数。
• 7=5+1+1
7=6+1
7=3+3+1
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1.电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
例2：有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3：把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
三年级数的拆分练习题
三年级数的拆分练习题题目一：十以内的数的拆分1. 将以下数按照两个数相加的形式拆分：a) 7 = __ + __b) 5 = __ + __c) 8 = __ + __d) 9 = __ + __2. 将以下数按照三个数相加的形式拆分：a) 9 = __ + __ + __b) 6 = __ + __ + __c) 7 = __ + __ + __d) 8 = __ + __ + __3. 将以下数按照四个数相加（可以有相同的数）的形式拆分：a) 10 = __ + __ + __ + __b) 8 = __ + __ + __ + __c) 6 = __ + __ + __ + __d) 9 = __ + __ + __ + __题目二：百以内的数的拆分1. 将以下十位数为1的百位数按照两个数相加的形式拆分：a) 136 = __ + __b) 110 = __ + __c) 154 = __ + __d) 120 = __ + __2. 将以下十位数为1的百位数按照三个数相加的形式拆分：a) 107 = __ + __ + __b) 111 = __ + __ + __c) 138 = __ + __ + __d) 121 = __ + __ + __3. 将以下十位数为2的百位数按照四个数相加（可以有相同的数）的形式拆分：a) 210 = __ + __ + __ + __b) 242 = __ + __ + __ + __c) 214 = __ + __ + __ + __d) 232 = __ + __ + __ + __题目三：千以内的数的拆分1. 将以下百位数为3的千位数按照两个数相加的形式拆分：a) 3296 = __ + __b) 3301 = __ + __c) 3337 = __ + __d) 3389 = __ + __2. 将以下百位数为4的千位数按照三个数相加的形式拆分：a) 4240 = __ + __ + __b) 4412 = __ + __ + __c) 4384 = __ + __ + __d) 4593 = __ + __ + __3. 将以下百位数为5的千位数按照四个数相加（可以有相同的数）的形式拆分：a) 5556 = __ + __ + __ + __b) 5793 = __ + __ + __ + __c) 5355 = __ + __ + __ + __d) 5132 = __ + __ + __ + __各位同学，尽量独立完成，祝你们取得好成绩！。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
学而思奥数 三年级下学期 第四讲.整数拆分.基础巩固篇
第四讲
整数的分拆
拔高篇
1、把18拆成两个自然数（0除外）相加的形式，有几种拆法？
2、把17拆成3个不大于9的不同的自然数相加的形式（0除外）．
3、把7拆成几个自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？
4、将80拆分成不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成个数之和．请写出
其中一种．
5、把71拆成两个数之和，使这两个数的积最大，请问是哪两个数？它们的积又是多少？如
果用同样的要求来拆分98情况又是如何？
6、把23拆分成若干个不同的自然数的之和，使这些自然数的乘积达到最大，请问拆分方法
如何？它们的乘积又是多少？
7、将54表示成两个自然数相乘的形式，要使这两个自然数的和最大，请问它们分别是多少？
最大的和是？。
二年级奥数习题：整数的分拆题型归纳
二年级奥数习题：整数的分拆题型归纳1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法?(此题是美国小学数学奥林匹克试题).7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法?8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分?9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分?10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚?(此题是美国小学数学奥林匹克试题).11.(1，1，8)是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把(1，1，8)与(1，8，1)及(8，1，1)看成是相同的三元自然组.那么和为10的自然数组共有多少个?习题解答1.解：共有2种不同的分拆方式：15=9+615=8+72.解：共8种.3.解：共12种.4.解：共6种.15=9+3+2+115=8+4+2+115=7+5+2+1=7+4+3+115=6+5+3+1=6+4+3+25.解：同第4题答案.6.解：同第4题答案.7.解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87-64=23个苹果;再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果;再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：87=64+16+4+2+1.8.解：从已有经验中可知66=36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.即得100=64+6+6+6+6+6+6.9.解：仿例7解法，得下列分拆式：1000=888+88+8+8+8.10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：253=75(分).所以其余的7枚硬币的价值是：100-75=25(分).将25分拆成7个数之和，(注意没有各数不同的限制)25=1+1+1+1+1+10+10.所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.11.解：共8个.它们是(1，1，8)，(1，2，7)，(1，3，6)，(1，4，5)，(2，2，6)，(2，3，5)，(2，4，4)，(3，3，4).。
小学奥数数论试题：整数的拆分
小学奥数数论试题：整数的拆分
导读：本文小学奥数数论试题：整数的拆分，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
1.某运输部门规定：办理托运，当一件物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费3元;为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过16千克时，除了付基础费和保险费外，超过部分每千克还需付3元超重费.在托运的50千克物品可拆分(按整数千克拆分)的情况下，使托运费用最省的拆分方案是_________.
2. 把10拆分成三个数的和(0除外)有_____种拆分方法.
3. 将100拆分成若干个不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成多少个数之和?。
学而思奥数 三年级下学期 第四讲.整数拆分.强化挑战篇
第四讲整数拆分
篇
强化挑战篇
强化挑战
1、将10拆分成4个自然数相加的形式，问共有多少种拆分方法？请全部写出。
（0除外）
2、有3个工厂共订300份《广州日报》，每个工厂最少订99份，最多订101份。
问：共有多少种不同的订法？
3、有一部25集的电视剧，分6天播出。
如果每天至少播一集，且每天播的数量都互不相同，问一共有多少种分法？
4、小玲用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册。
已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本。
那么，共有多少种不同的购买方法？
5、将2013拆分成2个自然数相加的形式，使这两个自然数的乘积最大，请问是哪两个自然数？如果将2013拆分成7个自然数相加的形式，使这些自然数的乘积最大，请问是哪7个自然数呢？
6、将2013拆分成若干个自然数相加的形式，使得这些自然数的乘积最大，请写出你的拆分方法。
7、将2013拆成若干个不同的自然数相加的形式，使得这些自然数之积最大，请写出你的拆分方法。
小学奥数09数的拆分(最新整理)
1.7数的拆分1.7.1整数的拆分 整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同支付方法？ 分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有 23=15+（2+2+2+2）， 23=15+（2+2+2+1+1）， 23=15+（2+2+1+1+1+1）， 共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有 23=20+（2+1）， 23=20+（1+1+1）， 共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3 把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
组合数学-第七节：整数的分拆
组合数学-第七节：整数的分拆2.6 正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将⼀个正整数分成⼏个正整数的和。
在本章的前⼏节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有⼀类分配问题就是“分拆问题”。
分拆问题也是组合论的重要内容之⼀，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其⼀些最基本的性质，在2.7节中再将本节的⼀些结果应⽤到⼀类分配问题。
定义2.6.1正整数n 的⼀个k 分拆是把n 表⽰成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥ （2.6.1）的⼀种表⽰法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。
如果表达式（2.6.1）是⽆序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表⽰法都只视为⼀种表⽰法，这样的分拆叫做⽆序分拆，或简称为分拆。
反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，⽽且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表⽰法，这样的分拆叫做有序分拆。
这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。
n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。
例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。
在4的第⼀个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。
⽽：4211=++ 是4的唯⼀⼀个3分拆。
2.6.1 有序分拆在这⼀⼩节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在⼏类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。
定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -??-。
证明正整数n 分成k 个分部量的⼀个有序分拆：12k n n n n =+++ ，等价于⽅程：12k x x x n +++= 。
的正整数解()12,k n n n ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -?? ?-??。
整数的分拆(六年级奥数题及答案)
整数的分拆
有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：
①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；
②把6分拆成两个自然数之和有3种方式
6=5+1=4+2=3+3；
③把6分拆成3个自然数之和有3种方式
6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；
④把6分拆成4个自然数之和有2种方式
6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；
⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式
6=2+1+1＋1＋1；
⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式
6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.
学而思老师提示：本题是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.。
小学五年级奥数：整数分拆例析
小学五年级奥数：整数分拆例析例1 将_分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，应该如何分拆？分析与解不考虑加数顺序，将_分拆成两个自然数的和，有1+_，2+_，3+_，4+_，5+9，6+8，7+7共七种方法。
经计算，容易得知，将_分拆成7+ 7时，有积7_7=49。
例2 将_分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，如何分拆？分析与解不考虑加数顺序，可将_分拆成下列形式的两个自然数的和：1+_，2+_，3+_，4+_，5+_，6+9，7+8。
显见，将_分拆成7+8时，有积7_8=56。
注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有积m_m=m2；如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+（m+1）时，有积m_（m+1）。
例3 将_分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积，如何分拆？分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小（比如是0或1），这样得到的积才。
这样不难想到将_分拆成4+5+5时，有积4_5_5=1_。
例4 将_分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积，如何分拆？分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。
其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。
比如5=2+3，但5比2_3=6小。
又因为4=2_2，因此，可以考虑将_分拆成若干个2或3了。
注意到2+2+2=6，2_2_2=8；3+3=6，3_3= 9.因此，分拆成的数中如果有三个2，还不如换成两个3。
这样可知，分拆成的数中至多只能有两个2，其余都是3。
综合上述结果，应该将_分拆成四个3与一个2之和，即_=3+3+3+3+2，这样可得到五个数的积3_3_3_3_2=_2。
上述几例是关于如何将一个自然数分拆成若干个自然数的和，并使它们的积的问题。
下面两例则是如何将一个自然数按题目要求拆成若干个连续自然数的问题。
(完整版)小学奥数09数的拆分
1。
7数的拆分1.7.1整数的拆分整数的拆分,就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中,整数分拆的问题常常以各种形式出现,如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天?分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多,所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出.由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如,各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7,8或1，2，3,4,5，6,9都可以.所以最多可以播7天。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币.当使用3枚5分币时，5×3=15，23—15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+(2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20,23—20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用,从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3 把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解:37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
三年级奥数有几种不同的分法
字典法则(字典排列法、整数分拆)知识图谱字典法则知识精讲一．字典排列法所谓字典排序法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．例如：用数字4、5、6可以组成多少个不同的三位数．用字典排列法枚举时，每个位置都按从小到大排列，枚举的顺序是：456、465、546、564、645、654．二．整数分拆1．概念：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．2．方法：在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．将一个整数拆分成三个数相加，其实可以先固定第一个数，那剩下两个数的和也是固定的，这样问题就转化成将一个新的整数拆分成两个数相加．3．分人与分堆的区别：整数分拆时，分堆无顺序，分人有顺序．4．枚举中的至多、至少问题：根据至多、至少的条件用字典排列法进行分类枚举．三．分类计数枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举．在分类时，一定要注意类与类之间有没有重复和遗漏的情况．三点剖析本讲主要培养学生的实践应用能力，其次培养学生的运算能力．本讲内容是在基本整数分拆的基础上，进一步学习字典排列．能够有顺序的去枚举出符合条件的所有情况，对于情况较多的问题，能够进行合理的分类等．后续课程还会进一步讲解树形图．课堂引入例题1、语文老师给大家留了一篇阅读练习．这天，柯小南在家做作业，发现文章里有好多生僻字，就找来字典用部首检字表查一下．查完后，小南又往拼音音节索引翻了翻，这些拼音音节索引都是按照一定的顺序来的，比如，声母是p，韵母先是a，然后是ai ，an，ang，ao，a为开头的结束后，是e，按照顺序有ei，en，eng．然后再是韵母是i……想到这里，小南想起来以前学过的整数分拆，在数比较大时，总会出现重复或遗漏的情况，如果学习字典上的这种有序排列方式来做题，是不是会好一些呢？例如，高斯先生拿8颗糖分给艾小莎和柯小南，两人都要有，可能有多少种情况呢？例题2、三个整数之和等于7，共有________组这样的三个数．字典排列例题1、满足下面性质的数称为好数：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且相邻两位数字的差不超过2．例如1346、3579为好数，而1456就不是好数，那么一共有________个四位数是好数．同学们可以根据要求，从最高位上依次枚举．例题2、高斯先生计划在下周要去3次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去．高斯先生一共有多少种满足条件的时间安排？可以周一、周三、周五去，还可以……例题3、小包子每个5角钱，大包子每个2元钱．艾小莎一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买包子，一共有________种不同的买法．我可以买大包子，也可以买小包子，或者两个都买吧．随练1、唐小虎拿着10元钱去买冰激凌，店里有单价为1元5角和2元的两种冰激凌．如果唐小虎两种冰激凌都要买，并且刚好要把10元钱花完，那他一共可以买多少个冰激凌？分几人例题1、高斯先生给柯小南12个相同的练习本，如果柯小南把这些本子全都分给唐小果和艾小莎，有多少种不同的分法？我可以先给唐小果，那剩下的就都是艾小莎的了．例题2、唐妈妈把9颗糖分给小虎和小果，使得他俩每人都有糖，有________种不同的分法．我先拿，剩下的给姐姐就行了吧？所以我能拿几个有多少种情况，那就有几种不同的分法．例题3、唐小果把6个相同的笔记本分给唐小虎、柯小南和艾小莎三个人，有人可能没分到，共有________种不同的分法．我可以先给小虎拿，问题就变成小南和小莎两个人去拿了．例题4、两个海盗分20枚金币．请问：如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有________种不同的分法．最少分到5枚金币，那就是说最多分到15枚．例题5、三个同学分6个高思积分，每个同学至多分到4个高思积分，也有可能分不到，共有________种不同的分法．先看看6可以拆成哪三个数相加．例题6、老师要求唐小虎把一篇英语课文抄写4遍，每天至少写1遍．那么唐小虎完成这些课文共有________种不同的可能．小虎，怎么又被罚抄了？认真写哦~随练1、把9块蛋糕分给果果、蕊蕊、莹莹三个小朋友，每位小朋友至少要有2块蛋糕，共有多少种不同的分法？随练2、猴子小孙从山上采来10个桃子．如果小孙把这些桃子全部分给猴爸和猴妈，并且猴爸和猴妈都要分到桃子，那么小孙共有多少种不同的分法？分几堆例题1、现在有7束玫瑰花，要把它们分成2堆，一共有多少种不同的分法？注意分两人和分两堆的区别哦~例题2、艾小莎有20块巧克力，如果她要把这些糖果分成2堆，且每堆最少有2块巧克力，那么一共有多少种不同的分法？分两堆，是不计次序的．小莎，要注意一下．例题3、小刘去地里挖红薯，一共挖了11个红薯，现在要把它们分成3堆，一共有多少种不同的分法？分三堆，是不是不能为0呢？例题4、 15个苹果分3堆，每堆至少放3个苹果，至多放7个苹果，共有________种不同的分法． 例题5、 有19本书，分成5份．如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，有多少种分法？ 随练1、 把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？随练2、 科学老师让大家观察蚂蚁的习性，唐小虎在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只．这3堆蚂蚁可能各有________只．分类枚举法例题1、 艾小莎要从苹果、梨、橘子、桃中挑2个水果来吃，每种水果都有很多个，共有________种不同的挑法． 例题2、 从1～8这八个自然数中， 任取三个数，其中没有连续自然数的取法有________种．例题3、 高斯先生拿来三块木板，上面分别写着数字1，2，3．唐小虎可以用这些木板拼出多少个不同的数？例题4、 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法有多少种？例题5、 一个骰子，各面点数已画好，分别为1~6；从空间一点看，能看到的不同点数的组合一共有________种．随练1、 把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？随练2、 1997的数字和是199726+++=，在小于2000的四位数中，数字和为26的除了1997外还有几个？可以分类枚举，如果有4，那就不能有3和5了．题目中没有说3块木板都要用……这些鸡蛋最少吃1天，最多就吃3天吧．从每个面、每条棱、每个点看过去的都不一样哦~易错纠改例题1、 从3个1，2个2，1个3中选出3个数字可以组成________个不同的3位数．拓展1、 从1，2，3，4，5，6中任意选出三个不同的数字，使它们的和为偶数，一共有______种不同的选法． A.6 B.9 C.10 D.122、 如图，一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A 出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个顶点再回到顶点A ．这只小蚂蚁一共有___________种不同的走法．3、 白雪公主要吃完10个相同的苹果，每天至少吃3个苹果，所吃天数不限，一共有__________种不同的吃法．4、 小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元．他今天一共卖出了5个木偶．小李今天一共可能卖了多少钱？5、 （1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10个．现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法？ （2）如果小明有两袋糖豆，每袋10个．要把这两袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5个，一共有多少种不同的分法？6、 18个苹果分成3堆，每堆至少放4个苹果，至多放9个苹果，共有__________种不同的分法．7、 在所有四位数中，各位数字之和超过32的共有多少个？8、 分析并口述题目的做题思路及方法．盘子里一共有20颗花生，唐小虎和唐小果一起吃．每人一口吃2颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃一口）．请列举出他们吃花生数量的所有情况．1、2、3组成三位数有6个！不对不对，小虎，是3个1，2个2，1个3．那3、1、2、2、1、3组成的三位数有24个．也不对，认真审题哦~DABC。
二三年级奥数：整数的拆分习题与解析答案
第十讲拆数游戏【思维策略】按要求把一些数分解成几个数相加的形式，这不仅可以提高运算能力，更能促进你积极地去思考问题，分析问题，使你的头脑更聪明。
怎样才能找到全部答案，不出现差错呢？分析数的时候，一定要弄懂题中要求，使分析的过程按一定的顺序进行，如果要拆成规定的个数，可以按从大到小的顺序拆；如果没有规定个数，可以按从少到多的顺序拆。
只有这样，才能的找到符合题意的所有分拆方式。
【例题1】像15+51＝66这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，而和是66的两位数一共有多少对？思路导航：个位与十位两个数相加是6，即（）+（）＝6，不难得出这样的情况：1+5＝6，2+4＝6，如果是3+3＝6，则个位数与十位数相同，不合要求。
解：这样的两位数有两对：15+51＝66，24+42＝66。
练习11.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，各是55，问这样的两位数有多少对？2.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数叫做倒序数，像这样的和是88的倒序数共有多少对？3.有这样一道算式，16+61＝77，把16和61这样的两个数叫做倒序数，像这样的和在100以内的倒序数有多少对？【例题2】五个连续自然数的和是40，这五个数按从小到大排列的顺序是怎样的？思路导航：五个连续自然数的和是40，应该先找到五个数中间的一个数，用40÷5＝8，8是中间数，比8小的两个数是6、7，比8大的两个数是9、10。
解：这五个连续自然数按从小到大的顺序排列是：6，7，8，9，10。
练习21.四个连续自然数的和是18，这四个数按从小到大排列的顺序是怎样的？2.小明用5天时间做了25道数学题，他每天都比前一天多做一道，这五天里，小明每天各做几道题？3.15个网球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？【例题3】把10分拆成三个不同的数相加的形式（0除外），共有多少种不同的分拆方法？思路导航：分拆时，可以按从大到小顺序排列，由题意可知，所拆的三个数必须不同，因此最大数为7，最小数为1。
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大， 应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最 后一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
简单啊，从分成两个数 的情况开始考虑。
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
12÷2=6 6×6=36
12÷3=4 4×4×4=64
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
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12÷4=3 3×3×3×3=81 12÷5=2……2 2×2×2×3×3=72
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
2
3
36
18
12
37
20
15
4
6
9
6
13
12
小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
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例6：试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。 1999÷8=249......7 1999=250×7+249 答：把1999分拆成7个250和249，乘积最大。
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
四年级下册数学思维拓展训练 整数的分拆 全国通用
例3：张大伯想用60米长的竹篱笆围一个长方形的院子，准备利用他家的一 面墙，如图。请问：这个院子面积最大是多少?
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整数的分拆
整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题 。
所谓整数的分拆 ， 就是 把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便 一 。
是这个自然数的个分拆 核心思想：有序、全面
将 12 分 成三 不同的正整数相加之和 共 多少 不同的分 【例 1 】 ( ★★ )
拆个 ， 拆 有种 方式，请把它们一一列出。
将 15 分拆成不大于 9 的三个不同的自然数【 0 除外】之和有多少种 【例 2 】 ( ★★★ )
不同分拆方式，请一一列出。
古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子
【例 3 】 ( ★★★ )
中取梨，每个 盘 子中分别装 有 1 个、 2 个、 3 个、 5 个、 6 个、 7 个和 9 个梨 . 她要从这些盘子中取出 15 个
梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿 ， 要么都不拿 。
共有多少种不同的拿法 ？
1
100
这个数最多能写成多少个不同的正整数之和？
【例 4 】 ( ★★★ )
电视台要播放一部 30 集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互
【 拓展 】 ( ★★★ )
不相等 ， 则该电视连续剧最多可以播几天 ？
⑴两个非零自然数的和是 14 ，这两个数分别是多少时，它们的积
【例 5 】 ( ★★★★ )
最大？最大是 多少 ？
⑵两个自然数的积为 40 ，
这两个数分别为多少时，它们的和最小？ 最小为多少 ？ 这两个数分别为多时 ， 它们 的和最大 ， 最大是多 少？
⑴将 10 分成若干个自然数的和 ( 允许有相同的 ) ，使得这些自然数 【例 6 】 ( ★★★★★ )
的乘积达到最大 ， 这个乘积是什么 ？
⑵将 10 分成若干个自然数的和 ( 不允许有相同的 ) ，使得这些自然 数的乘积达到最大 ， 这个乘积是什么 ？
⑶将 13 分成若干个自然数的和 ( 不允许有相同的 ) ，使得这些自然 数的 积达 大 这 积是 么？
乘到最， 个乘什 一、概念
【本讲总结】
整数的拆分：
把一个自然数 (0 除外 ) 拆分成几个自然数相加的形式
核 心 思想 ： 有序、全面 二 、 基本型
三、告知最大数 四、求加数的最多 数 个 五、拆成两个数
1 ．和一定，差小积大
2 ． 积 一 定 ， 差小和 小 六、拆成多个数，乘积最大
1 ． 相同 ： 多 3 ， 少
2 ， 无 1 2 ．不相同：
2。