2020届晋冀鲁豫中原名校高三第三次联考数学(理)试题Word版含解析
河南郑州市2020届高三第三次统一考试数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π34．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣15．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．1710．设双曲线C：x 2a −y2b=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．5411．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω＞14，x∈R)，若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（）A．[12，54]B．[12，2]C．(14，54]D．(14，2]12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为 ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ ． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ．（请将所有正确结论的序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝（4c ﹣b ）cos A ． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若b ＝4，点M 在线段BC 上，且AB →+AC →=2AM →，|AM →|=√6，求△ABC 的面积．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价x i 和月销售量y i （i ＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据： 月销售单价x i （元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量y i （万件）1110865（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．19．如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为2，∠B 1BA =π3． （Ⅰ）证明：B 1C ⊥AC 1；（Ⅱ）若平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，M 为A 1C 1的中点，求B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝（a+2）x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2−2x3，若∀x1∈（0，1]，∃x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）3成立，求实数a的取值范围．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数1．2（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过坐标原点O的直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C上异于A，B的点P满足．直线AP的斜率为−32（ⅰ）求直线BP的斜率；（ⅱ）求△ABP面积的最大值．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（φ为参数），将曲线C1 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＜x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【分析】先解出A＝{x|﹣1＜x＜2}，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（z﹣1）i＝3+i，得z=3+i i+1=(3+i)(−i)−i2+1=2−3i，∴z=2+3i．则z的虚部为3．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π3【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得α的范围以及正切值，可得α的值．解：角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，α为第三象限角，则tanα=cos7π6sin7π6=cot7π6=cotπ6=√3，∴α＝π+π3=4π3，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1【分析】设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，运用等差数列的求和公式，以及等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简整理，解方程可得首项和公差，即可得到所求值．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由S5＝﹣5，可得5a1+12×5×4d＝﹣5，即a1+2d＝﹣1，①由a3，a4，a6成等比数列，可得a42＝a3a6，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+5d），化为a1d+d2＝0，由d≠0，可得a1＝﹣d，②由①②解得d＝﹣1，a1＝1，则a7＝1+（7﹣1）×（﹣1）＝﹣5．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．解：函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，就是方程x12=x﹣1，log12x＝x﹣1，(12)x=x﹣1方程的的解，在坐标系中画出函数y=x12，y=log12x，y=(12)x，与y＝x﹣1的图象，如图：可得b＜c＜a，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题．6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行【分析】采用举反例方式，逐一排除，从而可得到正确答案．解：由题可知，直线l和平面α要么相交，要么平行．当平面α与直线l平行时，在α内就不存在直线与直线l相交，则A错；当平面α与直线l相交时，在α内就不存在直线与直线l平行，则C错；当平面α与直线l相交时，过直线l的平面与平面α都会相交，则D错；不论直线l和平面α相交还是平行，都会在α内存在直线与直线l异面，则B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了点线面位置关系，考查了学生的直观想象能力，属于基础题．7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3【分析】根据（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），求得含x4的项的系数．解：∵（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），含x4的项的系数为3﹣6×3+12＝﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π【分析】直接利用三视图，判断几何体的构成，进一步利用几何体的表面积公式求出结果．解：根据几何体的三视图：该几何体是由底面半径为3，高为4的圆柱，挖去一个底面半径为3，高为4的倒圆锥构成的几何体．所以：S＝32•π+6π×4+12×6π×5＝48π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．17【分析】显然取法总数为C83，要取出的球的编号互不相同可先选编号数C43，再定颜色有C21C21C21，则有C43C21C21C21种取法，相比即可．解：从8个球中随机取出3个的取法有C83=56种；其中取出的球的编号互不相同的取法有C43C21C21C21=32种，则取出的球的编号互不相同的概率P=3256=47．故选：A．【点评】本题考查乘法原理，组合数公式与概率相结合，属于基础题．10．设双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．54【分析】设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理可得|PF1|＝4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式计算即可得到结果．解：设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，则|OM|＝a，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|＝|F1F2|＝2c，则NF2⊥PF1，|NP|＝|NF1|，由|NF2|＝2|OM|＝2a，则|NP|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即4b2＝（c+a）2＝4（c2﹣a2），整理得3c＝5a，则e=ca=53．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形的三线合一、中位线定理、勾股定理及双曲线的定义、离心率计算，属于中档题．11．已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω＞14，x ∈R)，若f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54]B ．[12，2]C ．(14，54]D ．(14，2]【分析】先利用辅助角公式，将函数f （x ）化简为f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，观察选项，可以找两个特殊值ω＝2和ω=13，进行试验排除．具体做法是，将ω＝2和ω=13分别代入函数f （x ），求出对称轴，给k 赋值，判断对称轴是否能在区间(π2，π)即可得解．解：f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，∵f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，∴T2=πω≥π−π2=π2，∴ω≤2，即14＜ω≤2，若ω＝2，则f(x)=√2sin(2x +π4)，令2x +π4=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π8+kπ2，k ∈Z ， 当k ＝1时，对称轴为x =5π8∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠2，排除选项B 和D ，若ω=13，则f(x)=√2sin(13x+π4)，令13x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=3π4+3kπ，k∈Z，当k＝0时，对称轴x=3π4∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠13，排除选项C．故选：A．【点评】本题考查辅助角公式和正弦函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力、分析能力和运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】先由对称性求出g（x），然后由已知可设f（x1）＝g（x2）＝a，则分别表示x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），代入后结合导数及极值存在的条件可求．解：由题意可得g(x)=e x2+1．设f（x1）＝g（x2）＝a，则x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），∴2x1﹣x2＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，令h（a）＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，则h′(a)=2e a−2−2a−1=2（e a−2−1a−1）在（1，+∞）上单调递增且h′（2）＝0，故当a＞2时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当1＜a＜2时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，故当a＝2时，h（a）取得极小值h（2）＝2﹣2k，由题意可知2﹣2k ＝﹣2， 故k ＝2． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数极值存在的条件，解题的关键是利用已知表示出极值的条件． 二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为2π3．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，由数量积的运算性质可得a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2，变形解可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，若a →•（b →−a →）＝﹣2，则a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2， 即2cos θ﹣1＝﹣2，解可得cos θ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3； 故答案：2π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题． 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ 8 ． 【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的项即可． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），n ＝1时，2a 1﹣S 1＝1．可得a 1＝1，n ＝2时，2a 2﹣S 2＝1，即2a 2﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 2＝2，n ＝3时，2a 3﹣S 3＝1，即2a 3﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 3＝4， n ＝4时，2a 4﹣S 4＝1，即2a 4﹣a 4﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 4＝8，故答案为：8．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，是基本知识的考查． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 √2 ．【分析】根据题意作图，结合抛物线性质可得|PA||PF|=1sin ∠PAM，则当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，即当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大，设P （a ，a 24），利用导数求得斜率求出a 的值即可解：由题意可得，焦点F （0，1），A （0，﹣1），准线方程为y ＝﹣1 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |， 则|PA||PF|=|PA||PM|=1sin ∠PAM，∠PAM 为锐角．故当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，故当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大可设切点P （a ，a 24），则PA 的斜率为k =14a 2−1a，而函数y =x 24的导数为y ′=x2，则有a2=14a 2−1a，解得a ＝±2，可得P （2，1）或（﹣2，1），则|PM |＝2，|PA |＝2√2， 即有sin ∠PAM =|PM||PA|=√22， 则|PA||PF|=√2，故答案为：√2【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．（请将所有正确结论的序号都填上）【分析】①取DC的中点N，连接NM、NB，可得MN∥A1D，NB∥DE，且MN、NB 和∠MNB均为定值，由平面与平面平行的判定可得面MNB∥面A1DE，则MB∥面A1DE；②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾；③由①可知MN，NB，∠MNB，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB，计算得线段BM的长是定值；④当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，得CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，由勾股定理求外接球的半径OE，．代入球的表面积公式可得外接球的表面积为13π3解：如图，∵AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，∠BAD＝60°，∴△ADE（A1DE）为等边三角形，则DE＝1．①取DC的中点N，连接NM、NB，则MN∥A1D，且MN=1=A1D=12；2NB∥DE，且NB＝DE＝1，∵MN⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，则MN∥平面A1DE，同理NB∥平面A1DE，又NM∩NB＝N，∴平面NMB∥平面A1DE，则MB∥平面A1DE，故①正确；②假设存在某个位置，使DE⊥A1C．∵DE＝1，可得CE=√3，∴CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，∵A1C∩CE＝C，∴DE⊥面A1CE，∵A1E⊂面A1CE，∴DE⊥A1E，与已知∠DA1E＝60°矛盾，故②错误；，NB＝1．③由①知，∠MNB＝∠A1DE＝60°，MN=12由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB=1+1−2×12×1×12=34，4，故③正确；∴BM的长为定值√32当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，∴CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，则外接球的半径OE=(3)2+(32)2=√1312，3∴外接球的表面积S＝4π×(√13)2=13π3，故④正确．12∴正确命题的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝（4c﹣b）cos A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）若b＝4，点M在线段BC上，且AB→+AC→=2AM→，|AM→|=√6，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝4sin C cos A，结合在△ABC中，sin C≠0，可求cos A的值．（Ⅱ）解法一：由AB→+AC→=2AM→，两边平方，利用余弦定理可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，由AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段，利用余弦定理中点，|AM→|=√6，可求CN=2√6，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（Ⅰ）因为a cos B＝（4c﹣b）cos A，由正弦定理得：sin A cos B＝（4sin C﹣sin B）cos A，即sin A cos B+sin B cos A＝4sin C cos A，可得sin C＝4sin C cos A，在△ABC中，sin C≠0，．所以cosA=14（Ⅱ）解法一：∵AB→+AC→=2AM→，两边平方得：AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2=4AM→2，，由b＝4，|AM→|=√6，cosA=14可得：c2+2c⋅4⋅1+16=4×6，解得c＝2或c＝﹣4（舍）．4，又sinA=√1−cos2A=√154所以△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，∵AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段中点，|AM→|=√6，∴CN=2√6，又∵b＝4，cosA=14，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14，∴CN2＝AC2+AN2﹣2AC•AN•cos∠CAN，即24=16+c2−2c⋅4⋅(−14)，解得：c＝2或c＝﹣4（舍），又sinA=√1−cos2A=√154，∴△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式以及平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价x i（元/件）99.51010.511月销售量y i （万件） 11 10 8 6 5（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．【分析】（Ⅰ）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）利用过后直线方程，求出当该产品月销售单价为7元/件时，求出预测数据，通过判断由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值说法超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，说明（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想．（Ⅲ）设销售利润为M ，则M ＝（x ﹣5）（﹣3.2x +40）（5＜x ≤11）M ＝﹣3.2x 2+56x ﹣200，求解x ＝8.75时，M 取最大值，得到结果．解：（Ⅰ）因为x =15(11+10.5+10+9.5+9)=10，y =15(5+6+8+10+11)=8． 所以b ̂=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2，所以a ̂=8−(−3.2)×10=40，所以y 关于x 的回归直线方程为：y ̂=−3.2x +40． （Ⅱ）当x ＝7时，y ̂=−3.2×7+40=17.6，则|17.6﹣18|＝0.4＜0.5，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M，则M＝（x﹣5）（﹣3.2x+40）（5＜x≤11）M＝﹣3.2x2+56x ﹣200，所以x＝8.75时，M取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=π3．（Ⅰ）证明：B1C⊥AC1；（Ⅱ）若平面ABB1A1⊥平面ABC，M为A1C1的中点，求B1C与平面AB1M所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．证明B1C⊥BC1．B1D⊥AB，CD⊥AB．得到AB⊥平面B1CD．推出AB⊥B1C．即可证明B1C⊥平面ABC1，得到B1C⊥AC1．（Ⅱ）说明DB，DB1，DC两两垂直，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DB1为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面AB1M的法向量，利用空间向量的数量积求解B1C与平面AB1M所成的角的正弦值即可．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．∵三棱柱的所有棱长均为2，∠B1BA=π3，∴△ABC 和△ABB 1是边长为2的等边三角形，且B 1C ⊥BC 1． ∴B 1D ⊥AB ，CD ⊥AB ．∵B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ，B 1D ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面B 1CD ． ∵B 1C ⊂平面B 1CD ，∴AB ⊥B 1C ．∵AB ，BC 1⊂平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．（Ⅱ）∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知B 1D ⊥AB ，∴B 1D ⊥平面ABC ．则DB ，DB 1，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，DB 1为z 轴， 建立空间直角坐标系．则D （0，0，0），A （﹣1，0，0），B 1(0，0，√3)，C(0，√3，0)，C 1(−1，√3，√3)，A 1(−2，0，√3)∵M 为A 1C 1的中点，∴M(−32，√32，√3)，∴B 1C →=(0，√3，−√3)，AB 1→=(1，0，√3)，AM →=(−12，√32，√3)，设平面AB 1M 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{AB 1→⋅n →=x +√3z =0AM →⋅n →=−12x +√32y +√3z =0，取z ＝1，得n →=(−√3，−3，1)． 设B 1C 与平面AB 1M 所成的角为α，则sinα=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=4√3√6⋅√13=2√2613．∴B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值为2√2613．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝（a +2）x 2+ax ﹣lnx （a ∈一、选择题）． （Ⅰ）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）设g （x ）＝x 2−23x 3，若∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝0时，求出f ′(x)=4x −1x，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ．求出g '（x ）＝2x ﹣2x 2，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解函数的最小值，同理求解f （x ）min ，利用转化不等式，构造函数，转化求解即可．解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝2x 2﹣lnx ，f ′(x)=4x −1x，则f （1）＝2，f '（1）＝3，故曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为3x ﹣y ﹣1＝0．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ． 由g(x)=x 2−23x 3得g '（x ）＝2x ﹣2x 2，由g '（x ）＝2x ﹣2x 2≥0得0≤x ≤1，所以在[0，1]上，g（x）是增函数，故g（x）min＝g（0）＝0．f（x）定义域为（0，+∞），而f′(x)=2(a+2)x+a−1x =2(a+2)x2+a−1xx=(2x_1)[(a+2)x−1]x．当a≤﹣2时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，1]上是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；当a＞﹣2时，由f'（x）＜0，得0＜x＜1a+2；由f'（x）＞0，得x＞1a+2，所以f（x）在(0，1a+2)单调递减，在(1a+2，+∞)单调递减．若1a+2＞1，即﹣2＜a＜﹣1时，f（x）在（0，1]是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；若0＜1a+2≤1，即a≥﹣1时，f（x）在x=1a+2处取得最小值，f(x)min=f(1a+2)=1+ ln(a+2)−1a+2，令h(a)=1+ln(a+2)−1a+2(a≥−1)，则h′(a)=1a+2+1(a+2)2=a+3(a+2)2＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，所以h（a）在[﹣1，+∞）是增函数且h（a）min＝h（﹣1）＝0，此时f(x)min=f(1a+2)≥0成立，满足条件．综上所述，a≥﹣1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值的求法，转化思想的应用，是难题．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数12．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为−32． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求△ABP 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点M （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和它到直线x ＝4的距离的比是常数12，列出方程化简求解即可．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，利用平方差法求解AP 的斜率，BP 的斜率即可．（ⅱ）说明S △ABP ＝2S △OAP ，设直线AP ：y =−32x +m ，代入曲线C ：x 24+y 23=1化简得：3x 2﹣3mx +m 2﹣3＝0，设A （x 1，y 1），P （x 2，y 2），利用韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离公式，转化求解三角形面积的表达式，然后求解最值即可． 解：（Ⅰ）由已知得√(x−1)2+y 2|x−4|=12，两边平方并化简得3x 2+4y 2＝12，即点M 的轨迹C 的方程为：x 24+y 23=1．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，①设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，②由①﹣②得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，∵k AP =y 1−y 2x 1−x 2−=−32，k BP =y 1+y2x 1+x 2，∴k BP =y 1+y2x 1+x 2=12．（ⅱ）∵A，B关于原点对称，∴S△ABP＝2S△OAP，设直线AP：y=−32x+m，代入曲线C：x24+y23=1化简得：3x2﹣3mx+m2﹣3＝0，设A（x1，y1），P（x2，y2），由△＞0得：m2＜12，x1+x2＝m，x1x2=m2−33，|AP|=√1+94|x1−x2|=√1+94√(x1+x2)2−4x1x2=√1+94√4−m 23，点O到直线AP的距离d=√1+94，∴S△ABP =2S△OAP=2×12×|AP|⋅d=|m|√4−m23=√4m2−m43，∴S△ABP =√−m43+4m2=√−13(m2−6)2+12，当m2＝6时，∴S△ABP取到最大值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法以及距离公式的应用，三角形面积的最值的求法，是中档题．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ（φ为参数），将曲线C1向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）由题意：{x =1+cosφy =sinφ⇒{x −1=cosφy =sinφ⇒(x −1)2+y 2=1．∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 因曲线C 1是圆心为（1，0），半径为1的圆， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． （Ⅱ）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），则|AB|=|ρ1−ρ2|=2|sinα−cosα|=2√2|sin(α−π4)|=√2． 所以sin(α−π4)=±12，因为2kπ＜α＜2kπ+π2，所以α−π4=2kπ±π6(k ∈Z)．所以α=2kπ+π12(k ∈Z)或α=2kπ+5π12(k ∈Z)．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |（a ＞0，b ＞0）． （Ⅰ）当a ＝b ＝1时，解不等式f （x ）＜x +2； （Ⅱ）若f （x ）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．【分析】（Ⅰ）由绝对值的定义分段脱绝对值求解．（Ⅱ）由绝对值不等式求函数f （x ）的值域可确定a +b ＝2，再配凑均值不等式的形式，两次用均值不等式即可证明．解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，不等式为|x﹣1|+|x+1|＜x+2，当x＜﹣1时，不等式化为−2x＜x+2⇒x＞−23，此时不等式无解；当﹣1≤x＜1时，不等式化为2＜x+2⇒x＞0，故0＜x＜1；当x≥1时，不等式化为2x＜x+2⇒x＜2，故1≤x＜2．综上可知，不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（Ⅱ）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，当且仅当x﹣a与x+b同号时，f（x）取得最小值|a+b|，∵f（x）的值域为[2，+∞），且a＞0，b＞0，故a+b＝2．故1a+1+1b+1+1ab=14(1a+1+1b+1)[(a+1)+(b+1)]+1ab=14(2+b+1a+1+a+1 b+1)+1ab≥14(2+2√b+1a+1⋅a+1b+1)+(2a+b)2=1+1=2（当且仅当a＝b＝1时取等号）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式，属于中低档题．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (全国卷III) word版试题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数113i-的虚部是 A. 310-B. 110-C. 110D. 3103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ====4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.695. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b +=A. 3135- B. 1935-C. 1735D. 19357. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 238. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．812. 已知5458<，45138<，设5a log 3=，8b=log 5，13c log 8=，则 A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省中原名校2020届高三下学期质量考评数学(理)试题 Word版含答案
中原名校2019-2020学年下学期质量考评高三数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}2|1x B x e -=≤，则A B ⋃=（ ） A ．(,4)-∞ B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2]3．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为84．已知向量(,1)a m =r ，(3,2)b m =-r ，则3m =是a b r r∥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．已知角a 的终边经过点(4,3)(0)P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是（ ） A ．1或1- B ．25或25- C ．1或25- D ．1-或25- 6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．甲被录用B ．乙被录用C ．丙被录用D ．无法确定被录用7．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,300i =⋯），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是（ ） A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量ˆˆ(1,2,,300),i i x i bx a =+L 的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 8．已知x ，y 满足条件0,020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ） A ．16- B ．6- C ．274-D ．2749．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．422+．811．已知,a b 为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则对任意正实数x ，22()(ln )x a x b -+-的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-12．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若22nx ⎫-⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是__________．14．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，若b =1c =，则ABC △的面积为___________．15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为_________．16．已知点(0,1)A -是抛物线22(0)x py p =>的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且||||PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．如图1，在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =．将ADE △沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥．（1）证明：BE ∥平面1A FG ；（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值．19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，0的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额． （参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈； (33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．）20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数()(1)ln ()f x a x x ex a R =-+∈，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若不等式()0xf x e -≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．[选做题）请考生在第22～23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN △的面积． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|||1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()|5|f x x ≤-的解集包含[0,2]，求实数a 的取值范围．中原名校2019-2020学年下期质量考评一高三数学（理）参考答案一、选择题1．【解析】因为1(1)(12)33112(12)(12)555i i i i z i i i i ++--====-++-，所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限．故选D ．2．【解析】{}4|0log 1{|14}A x x x x =<<=<<，{}2|1{|2}x B x e x x -=≤=≤，则(,4)A B ⋃=-∞．故选A ．3．【解析】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=，方差为2228⨯=．故选D ．4．【解析】当a b r r∥时，(2)130m m --⨯=，即2230m m --=，解得：1m =-或3m =，∴3m =是a b r r∥的充分不必要条件．故选A ．5．【解析】由题意得点P 与原点间的距离5||r m ==． ①当0m >时，5r m =，∴33sin 55m a m ==，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，∴33sin 55m a m ==--，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上，2sin cos a a +的值是25或25-．故选B ． 6．【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，但两人的说法相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了．故选A ．7．【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则ˆˆbx a +的值与i y 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．故选D．8．【解析】画出x，y满足的0,020x yy xx y k⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„（k为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y=+的最大值为9，可得直线0y=与直线93x y=+的交点(3,0)B，使目标函数3z x y=+取得最大值，将3x=，0y=代入20x y k++=得：6k=-．故选B．9．【解析】三棱锥P ACD-的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD-，PB⊥底面ABCD，可知四边形ABCD为矩形，且3AB=，4BC=．矩形ABCD的外接圆直径225AC AB BC=+=，且2PB=．所以，三棱锥P ACD-外接球的直径为22229R PB AC=+=，因此，该三棱锥的外接球的表面积为224(2)29R Rπππ=⨯=．故选C．10．【解析】由题意得：1122PF F F c==，设椭圆方程为()2211221110x ya ba b+=>>，双曲线方程为()2222222210,0x ya ba b-=>>，又∵1212PF PF a+=，2122PF PF a-=．∴2122PF c a+=，2222PF c a-=，∴122a a c-=，则()22222112212222923393633333c a a c e c a a a c a c e a c ca ca c a ++++=+===++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a cc a =，即23e =时等号成立．则2133e e +的最小值为8． 11．【解析】由题意得所求为曲线ln y x =上的点与以(2,3)C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心(2,3)C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(,ln )(0)M m m m >，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1k m '=，从而有1CM k k '⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心(2,3)C -的距离为d ==21)19=-D ．12．【解析】由题意，函数1,0()ln ,0x xf x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点．当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x =，要使()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()x g x x =有两个交点，又由312ln ()xg x x-'=，令12ln 0x -=，可得x =x ∈时，()0g x '>，则()g x单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调速减，且()0g x >，所以当x =时，max 1()2g x e=，若直线y k =和2ln ()x g x x =有两个交点，则10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．当0x <时，y kx =和1()g x x =有一个交点，则0k >．综上，实数k 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ． 二、填空题 13．1 14．2 15．3π16113．【解析】22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴展开式中共有11项，10n =．令1x =，则展开式中各项系数和为10(12)1-=．14．【解析】A ，B ，C 成等差数列，∴2A C B +=，又180A B C ++=︒， ∴3180B =︒，即60B =︒． 由正弦定理sin sin c b C B =，所以1sin 2C =，因为c b <，所以6C π=，故2A π=，所以122ABC S bc ==△．故答案为：2． 15．【解析】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=，所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为21121sin 326π⨯⨯⨯=，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为3π．16．【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1)． 当直线PA 和抛物线相切时m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k -=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即(2,1)P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b -=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故22221,1a b b a =+=-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1c a ==+． 三、解答题 17．【解析】（1）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得12n n n a a a +-=，13(2)n n a a n +=≥． 又21213a S =+=，所以213a a =．故数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=．因为点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=． 则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列． 所以1(1)221n b n n =+-⋅=- （2）因为1213n n n n b n c a --==， 所以0121135213333n n n T --=+++⋯+． 则123111352321333333n n nn n T ---=+++⋯++ 两式相碱得：21222221133333n n nn T --=+++⋯+-整理得：21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM ．∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点，又F 为CD 的中点，∴FG DM ∥．依题意可知DE BM =∥，则四边形DMBE 为平行四边形，∴BE DM ∥，从而BE FG ∥．又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ，∴BE ∥平面1A FG （2）∵1DE A D ⊥，DE DC ⊥，且1A D DC D ⋂=， ∴DE ⊥平面1A DC ，又∵1A F ⊂平面1A DC ，∴1DE A F ⊥， ∵1A F DC ⊥，且DE DC D ⋂=，∴1A F ⊥平面BCDE ，如图，以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =．则(0,0,0)F，1A ，(1,4,0)B ，(1,2,0)E -，(1,1,0)G，1FA =u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r，1(1,2,A E =-u u u r ，(2,2,0)EB =u u u r ．设平面1A FG 的法向量为()111,,n x y z =r ，则100n FA n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即11100x y =+=⎪⎩，令11x =，得(1,1,0)n =-r ． 设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则100m A E m EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即2222220220x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得(1,1,m =-u r ．从而cos ,m n <>==u r r ， 故平面1A FG 与平面1A BE19．【解析】（1）由已知频数表得：5304050452010()3545556575859565200200200200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.5210=>，所以14σ≈，则X 服从正态分布(65,14)N ，所以(22)()(5193)(2)2P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.68270.81862+==． （2）显然，()()0.5P X P X μμ<=≥=，所以所有Y 的取值为15，30，45，60，121(15)233P Y ==⨯=，111227(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=，1211122(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1111(60)23318P Y ==⨯⨯=， 所以Y 的分布列为：Y 15 30 45 60P13 718 29 118所以1721()1530456030318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， 需要的总金额为：200306000⨯=20．【解析】（1）12AF F △，则：bc =，又c e a ==，222a b c =+，解得：24a =，21b =． ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=． （2）假设y 轴上存在点(0,)M t ，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ， 由2214x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：2258440x mx m ++-=，()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得：25m <， ∴1285m x x +=-，212445m x x -=， ∴120425x x m x +==-，005m y x m =+=，∴4,55m m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥．由MN l ⊥可得：5114015mt m -⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，可得：35m t =-，由AM BM ⊥可得：12121y t y t x x --⋅=-， ∵11y x m =+，22y x m =+，代入上式化简可得：()212122()()0x x m t x x m t +-++-=， 则：()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1m =±． 当1m =时，点30,5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． 故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形．21．【解析】（1）因为()(1)ln ,0f x a x x ex x =-+> 所以1()ln x f x a x e x -⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 因为(1)f e '=，且(1)f e =，所以切线方程为(1)y e e x -=-，即y ex =（2）设()()(1)ln (1)x x g x f x e a x x ex e x =-=-+-≥， 则1()ln 1x g x a x e e x ⎛⎫'=+-+- ⎪⎝⎭， ①若0a ≤，则()g x '在[1,)+∞上单调递减，又(1)0g '=，∴()0g x '≤恒成立， ∴()g x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0g =，∴()0g x ≤恒成立．②若0a >，令1()()ln 1x h x g x a x e e x ⎛⎫'==+-+- ⎪⎝⎭， ∴211()x h x a e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，易知()h x '在[1,)+∞上单调递减， 且(1)2h a e '=-，（ⅰ）当20a e -≤即02e a <≤时，()0h x '≤在[1,)+∞上恒成立，∴()h x 在[1,)+∞上单调递减，即()g x '在[1,)+∞上单调递减， 又(1)0g '=，∴()0g x '≤恒成立，∴()g x 在[1,)+∞上单调递减， 又(1)0g =，∴()0g x ≤恒成立（ⅱ）当20a e ->即2e a >时，0(1,)x ∃∈+∞使()0h x '=，∴()h x 在()01,x 递增，此时()(1)0h x h >=，∴()0g x '>，∴()g x 在()01,x 递增，∴()(1)0g x g >=，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是2e a ≤22．【解析】 （1）由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，则sin cos ρθθ=， ∴3πθ=，所以直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ．点23P π⎫⎪⎝⎭到直线l的距离为2sin 33d ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ （2）由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得220ρρ--=， 所以121ρρ+=，122ρρ=-， 所以12||3MN ρρ=-==，则PMN △的面积为11||322PMN S MN d =⨯=⨯=△23．【解析】 （1）当2a =时，()|2||1|8f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-．所以不等式的解集为：(,3][7,)x ∈-∞-⋃+∞（2）依题意即()|||1||5|f x x a x x =++-≤-在[0,2]x ∈时恒成立， 当[0,1]x ∈时，||15x a x x ++-≤-，即||4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[0,1]x ∈恒成立，∴4014a a--≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤；当(1,2]x ∈时，||15x a x x ++-≤-，即||62x a x +≤-，2662x x a x -≤+≤- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(1,2]x ∈恒成立， ∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩，∴40a -≤≤． 综上，40a -≤≤（其它解法酌情给分）。
中原名校第三次大联考数学试题
2019—2020学年中原名校中考第三次大联考九年级数学第1页(共6页)精品文档！2019—2020学年中原名校中考第三次大联考数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.2,本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.一、选择题(每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的)1.下列四个数中，绝对值最小的是6.方程(％+2)2=3%+5的根的情况是A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根\J %7.如图，一次函数％=x +b 与y 2=kx -1的图象的交点坐标为(-2,3)，则关于*的不等式x+b^kx--1的解集为/\XA.%W —2B.A2/'__C.先D.%W3\;，*II II 螺LI I IA.0B.-1C.-2D.-32.众所周知，病毒是非常小的微生物,它的大小经常用纳米作为度量单位，1纳米=10”米,某病毒长1250纳米,则用科学记数法表示该病毒的长为A. 1.25xlO 3米C.1.25xlO -7米 B.1.25X1012米D.1.25x 10_6米3.下列各式计算正确的是A.(a +6)(-a -b)=a 2-b1B.3+2/5=5/5C.2、岑=、伝D.31+3°=-24.如图，依次连接任意四边形ABCD 四条边的中点得到四边形EFCH,添加下列条件能判断四边形EFGH 是菱形的是A.AB =BC B.AB1BCC.AC1BDD.AC ^BD5.如图是一个由小正方体搭成的几何体，若添加一个小正方体,使得添加后的几何体与原来几何体的主视图相同，则添加方法共有A.3种 B.4种C.5种D.6种8.某学习小组的6名同学在复学后第一次数学测试中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、90分,则下列结论正确的是A.中位数是90分B.众数是94分C.平均数是91分D.方差是209,如图，菱形的边8C在％轴上，点D的坐标为（5,4）,分别以点4,3为圆心，大于10.已知△48C的面积为1,如图1,点D,E分别是边BC,AC的中点，图中阴影部分的面积为S|,如图2,点。
晋冀鲁豫名校2020届高三上学期期末联考数学(理)试题Word版含解析
晋冀鲁豫名校2020届高三上学期期末联考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.若直线平分圆，则实数的值为（）A. B. C. D. 或4.2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A. 45B. 47C. 48D. 635.已知双曲线的离心率为；关于的方程（）有两个不相等的实数根，则下列为假命题的是（）A. B. C. D.6.若，且是第三象限角，则（）A. B. C. D.7.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A. B. C. D.8.我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（）A. 斤B. 斤C. 斤D. 斤9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. 2 D. 410.已知函数，若，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.11.已知过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，若四边形的面积是，则抛物线的方程是（）A. B. C. D.12.已知函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知，则向量与夹角的正弦值为______________．14.已知实数满足不等式组，则的最小值是______________．15.的展开式中的常数项为______________．16.已知数列的前项和为，若对成立，则实数的取值范围是______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.在中，角的对边分别为．（1）求证：；（2）若，求的周长．18.如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值．19.“共享单车”的操控企业无论是从经济效益，还是从惠及民生都给人们带来一定方便，可是，国人的整体素养待提高，伤痕累累等不文明行为也遍及大江南北．某市建立了共享单车服务系统，初次交押金时个人积分为100分，当积分低于60分时，借车卡将自动锁定，禁止借车．共享单车管理部门按相关规定扣分，且扣分规定三条如下：i．共享单车在封闭式小区、大楼、停车场、车库等区域乱停乱放，扣1分；ii．闯红灯、逆行、在机动车道内骑行，扣2分；iii．损坏共享单车、私自上锁、私藏，扣5分．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次：甲、乙扣1分的概率分别是0.4和0.5；甲、乙扣2分的概率分别是0.4和0.3；租用共享单车人均触规定三条中一条，且触规定三条中任一条就归还车．（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；（2）若甲、乙两人在初次租用共享单车一次后所剩下的积分之和为X，求随机变量X的数学期望．20.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由．21.定义：若函数的导函数是奇函数（），则称函数是“双奇函数”．函数．（1）若函数是“双奇函数”，求实数的值；（2）假设．（i）在（1）的条件下，讨论函数的单调性；（ii）若，讨论函数的极值点．22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点的极坐标为，且点是直线与圆的一个公共点．（1）求实数的值；（2）判断直线与圆的位置关系．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意成立，求实数的取值范围．晋冀鲁豫名校2020届高三上学期期末联考数学（理）试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后求解其并集即可.【详解】．本题选择D选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意，故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.若直线平分圆，则实数的值为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】由题意可知直线经过圆心，据此得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值. 【详解】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心在直线上，所以，解得．本题选择A选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A. 45B. 47C. 48D. 63【解析】【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可.【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63，最中间的数为：45，所以，中位数为45．本题选择A选项.【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知双曲线的离心率为；关于的方程（）有两个不相等的实数根，则下列为假命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程求解双曲线的离心率可知p为假命题，由判别式为正数可知命题q为真命题，然后考查选项中所给的复合命题的真假即可.【详解】双曲线中，，所以，，离心率为为假命题；对于命题q:，所以方程（）有两个不相等的实数根，为真命题，考查所给的命题：A .是真命题，B.是真命题，C.是假命题，D.是真命题.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，一元二次方程根的个数的判定，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.若，且是第三象限角，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意结合诱导公式首先求得，然后结合同角三角函数基本关系求得，最后由诱导公式求解的值即可.【详解】是第三象限角，所以，．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定流程图的功能为计数的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为，，.本题选择C选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．8.我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（）A. 斤B. 斤C. 斤D. 斤【答案】C【解析】【分析】由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.【详解】设首项为，公差为，则根据题意可得，解得．则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题.9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】首先由三视图还原所给的几何体为三棱锥，然后结合体积公式求解其体积即可.【详解】据三视图分析知，该几何体是如图所示的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥，且是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积．【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10.已知函数，若，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得，然后结合函数区间上单调递增比较p,q,r的大小即可.【详解】因为，所以，，又，，又因为函数在区间上单调递增，所以，即．【点睛】本题主要考查函数的单调性，均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，若四边形的面积是，则抛物线的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，联立直线方程与抛物线方程可得，结合韦达定理有．则四边形的面积为，据此得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程.【详解】据题意，得直线的方程为．由，得．设，则．所以，所以，解得，所以抛物线的方程为．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，由题意可知函数的图象与函数的图象有且只有三个交点，据此确定实数t的取值范围即可.【详解】令，得，作出函数的图象，据题设分析可知，函数的图象与函数的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查分段函数的零点问题，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知，则向量与夹角的正弦值为______________．【答案】【解析】【分析】由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值，然后结合同角三角函数基本关系求解其正弦值即可.【详解】，．【点睛】本题主要考查平面向量的夹角，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知实数满足不等式组，则的最小值是______________．【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，由几何意义可知当取得最小值时，直线系方程的截距最大，即目标函数在点C处取得最小值，求得点C的坐标，代入目标函数求解其最小值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即，由几何意义可知当取得最小值时，直线系方程的截距最大，则目标函数在点C处取得最小值，联立直线方程：，可得点C的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故答案为：-43．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y 轴上截距最小时，z值最大.15.的展开式中的常数项为______________．【答案】【解析】【分析】由题意首先写出展开式的通项公式，然后结合所给的式子求解其常数项即可.【详解】三项式展开式的通项公式为，所以的展开式中的常数项为：【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．16.已知数列的前项和为，若对成立，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】由题意首先将递推关系式整理为关于的形式，然后结合等比数列通项公式可得，由前n项和公式确定通项公式，计算可得，结合恒成立的条件可得恒成立，据此讨论可得实数a的取值范围.【详解】据题意，得：．又，．当时，；当时：，．又当时，恒成立，对，且成立，．又成立．综上，所求实数的取值范围是．【点睛】给出与的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.在中，角的对边分别为．（1）求证：；（2）若，求的周长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意，切化弦整理可得，然后利用正弦定理边化角，逆用两角和差正余弦公式即可证得题中的结论.（2）据（1）可知，结合余弦定理有，据此求得a,b的边长，然后确定△ABC的周长即可. 【详解】（1）由题得，所以．又因为，所以，所以，所以，所以，又因为为的角，所以．（2）据（1）可知，，所以，又因为，所以，所以．所以的周长．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由几何关系可知四边形是平行四边形，则．由线面平行的判定定理可得平面．由中位线的性质可知，则面利用面面平行的判定定理即可证得平面平面．（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量．而平面的一个法向量为．据此可得，然后结合同角三角函数基本关系求解二面角的正切值即可.【详解】（1）因为是的中点，，所以．又因为，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．因为分别是的中点，所以．又因为平面平面，所以面又因为平面平面，所以平面平面．（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以．设平面的一个法向量为，则，令，得，所以．易知平面的一个法向量为．所以．又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值．【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理，空间向量处理面面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.“共享单车”的操控企业无论是从经济效益，还是从惠及民生都给人们带来一定方便，可是，国人的整体素养待提高，伤痕累累等不文明行为也遍及大江南北．某市建立了共享单车服务系统，初次交押金时个人积分为100分，当积分低于60分时，借车卡将自动锁定，禁止借车．共享单车管理部门按相关规定扣分，且扣分规定三条如下：i．共享单车在封闭式小区、大楼、停车场、车库等区域乱停乱放，扣1分；ii．闯红灯、逆行、在机动车道内骑行，扣2分；iii．损坏共享单车、私自上锁、私藏，扣5分．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次：甲、乙扣1分的概率分别是0.4和0.5；甲、乙扣2分的概率分别是0.4和0.3；租用共享单车人均触规定三条中一条，且触规定三条中任一条就归还车．（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；（2）若甲、乙两人在初次租用共享单车一次后所剩下的积分之和为X，求随机变量X的数学期望．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）记“甲扣1分、2分、3分”，“乙扣1分、2分、3分”为事件，由题意可知各个事件相互独立，且易知每个事件的概率，据此计算甲、乙两人所扣积分相同的概率即可. （2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之后所扣积分之和为，易知的可能取值为2，3，4，6，7，10．求得相应的概率值得到分布列，然后计算数学期望即可.【详解】（1）记“甲扣1分”为事件，“甲扣2分”为事件，“甲扣5分”为事件，．记“乙扣1分”为事件，“乙扣2分”为事件，“乙扣5分”为事件，．据题设知，彼此相互独立．记“甲、乙两人所扣积分相同”为事件，则．（2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之后所扣积分之和为，则的可能取值为2，3，4，6，7，10．所以的分布列为：故．【点睛】本题主要考查独立事件概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）据题意，得，求解方程组确定a,b的值即可求得椭圆方程；（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．与椭圆方程联立，结合韦达定理有．假设存在点M满足题意，则，结合韦达定理求解实数m的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点M存在.【详解】（1）据题意，得解得，所以椭圆的标准方程为．（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由，得．设，则．设，则直线的斜率分别满足．又因为直线的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以，所以，所以．若对任意恒成立，则，当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数．综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.定义：若函数的导函数是奇函数（），则称函数是“双奇函数”．函数．（1）若函数是“双奇函数”，求实数的值；（2）假设．（i）在（1）的条件下，讨论函数的单调性；（ii）若，讨论函数的极值点．【答案】（1）0；（2）（i）见解析；（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意结合“双奇函数”的定义可知对任意且成立，据此计算实数a的值即可；（2）（i）由题意结合(1)的结论可知，．由导函数的符号讨论函数的单调性即可；（ii）由函数的解析式可知当时，．令，则据此结合函数的单调性讨论函数的极值即可.当时，，据此分段讨论函数的极值的情况即可.【详解】（1）因为，所以．又因为函数是“双奇函数”，所以对任意且成立，所以，解得．（2）（i）（，且）．由（1）求解知，，则，所以．令，得；令，得，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（ii）．当时，．令，则（舍去）．分析知，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点，不存在极大值点．当时，当时，．令，得（舍）．若，即，则，所以在上单调递增，函数在区间上不存在极值点；若，即，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上存在一个极小值点，不存在极大值点．．当时，．令，得，记．若，即时，，所以在上单调递减，函数在上不存在极值点；若，即时，则由，得．分析知，当时，；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数存在两个极值点．综上，当时，函数存在两个极值点，且极小值点，极大值点；当时，函数无极值点；当时，函数的极小值点，无极大值点．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点的极坐标为，且点是直线与圆的一个公共点．（1）求实数的值；（2）判断直线与圆的位置关系．【答案】（1），，；（2）相交【解析】【分析】（1）将点A的极坐标代入极坐标方程可得的值；参数方程化为直角坐标方程可得实数b的值；由极坐标为的点在圆上计算可得c的值；（2）由（1）求解知，直线的直角坐标方程是，圆的直角坐标方程是，由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.【详解】（1）因为极坐标为的点在直线上，所以．所以直线的直角坐标方程是．参数方程为（为参数）的圆的普通方程为，所以．又因为极坐标为的点在圆上，所以，解得．（2）由（1）求解知，直线的直角坐标方程是，圆的直角坐标方程是，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离．因为，所以直线与圆相交．【点睛】本题主要考查直角坐标方程与参数方程互化的方法，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将函数转化为分段函数，由此求解出不等式的解集.（2）将原不等式等价转化为对任意成立，利用含有一个绝对值的不等式的解法，求得的取值范围.【详解】（1）当时，不等式可化为．当时，，解得，故；当时，，解得，故；当时，，解得，故．综上，当时，不等式的解集为．（2）因为对任意成立，所以任意成立，所以对任意成立，所以对任意成立，又当时，，故所求实数的取值范围是．【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查含有一个绝对值的不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2020届河南省中原名校高三上学期第三次质量考评数学(理)试题(解析版)
第 1 页 共 18 页2020 届河南省中原名校高三上学期第三次质量考评数学 （理）试题一、单选题1 ．已知集合 A ＝ {x|x 2﹣ 3x ﹣ 10≥ 0，} B ＝ {x|3﹣x>0}，则（ ? R A ） ∩B ＝（ ） A ． （﹣ ∞ ，﹣ 2] B ． （﹣ 2， 3） C ． （﹣ ∞ ，3） D ． （﹣ 5， 3）【答案】 B 【解析】 先化简集合 A , B ,再利用运算法则直接求解即可 .【详解】A {x|x 2 3x 10⋯ 0} {x|x, 2 或 x ⋯ 5} ,B {x| x 3},(e R A) B {x| 2 x 5} x x 3{x| 2 x 3},故选 :B. 【点睛】本题考查集合的混合运算及不等式的求解 ,属于基础题 2．已知复数 a i 是纯虚数，则实数a ＝（ ）1 2iA ．﹣1 B ．3 C ． 25,再利用纯虚数的定义求解D ．﹣ 2先利用复数的运算法则进行化简 (a i)(1 2i) a 2 (2a 1 2i (1 2i)(1 2i)1）i）是纯虚所以 a 2 0且 2a 1 0,故实数a2 ,故选 :C.本题考查复数的运算法则以及纯虚数的定义,属于基础题r r rr r r r r 3．已知向量a与b 满足a b 1， |ar b |＝ 2 且 |r 2 bA． 3 B． 9 C． 2 D． 4r r r r2 由 |ar b |＝2，平方r r r rrr ra 2ab b 4 ，再根据 a b 1，且第 2 页共 18 页第 3 页 共 18 页5．已知 a ＝ log 25， b ＝ log 38， c ＝ 0.20.3，则 a ， b ， c 的大小关系（根据对数函数的单调性有log 25> log 24=2，所以a> 2，同理1= log 33 < log 38本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题 r a ，r r r r 2 r rr r | a 2 b |= a2b a 24a b 4b 2求解.|ar br |＝ 2，r 2 r r | a b a 2a b b 4，ar br 1 ，且 | br |＝ 1 ，r a 1，r |a rArb2b4 br4a4．已知 tan1，则 3 A ． -53 B ．5C ．4D ．利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式将 cos2化为1tan t 2an 21 ,再代数求解即可 .Q tancos222cos sin 22sin cos1 tan2 tan 2 1 11 9 14 5,故选 :D.本题主要考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用 , 属于基础题 .A ． c< b < aB ． c< a< bC ． a < b< cD ． b< c< a<log39=2，所以 1 <b <2，再由指数函数的单调性有c<1，得到结论.第 4 页共 18 页第 5 页 共 18 页【详解】 因为 l og 25>log 24=2， 所以 a > 2 因为 1= log 33 < log 38 <log 39=2， 所以 1 <b <2 又因为 c ＝ 0.20.3<1 所以 c < b< a 故选： A 【点睛】 本题主要考查了利用函数单调性比较大小，还考查了转化问题的能力，属于基础题.6． |1﹣ x 2|dx ＝（ ） 2 A ． 4B ． 4C ． 8D ． 163 33【答案】 B 【解析】 根据函数 |1 x 2 |为偶函数 ,将原式转化为 [0 , 2]上的定积分 ,再分别转化为 [0 ,1]和[1, 2] 上的定积分之和即可 . 【详解】 Q 函数 y |1 22 2|1 x |dx x 2| 为偶函数, 222 |1 x 2|dx 1 0(12x )d x2221(x 2131 13 21)dx 2(x x 3) | 2( x 3 x) | 4303 1故选 :B. 【点睛】本题考查了定积分的计算 ,考查了计算能力 ,难度不大 . 7． 已知命题 p ： “?x> 1， x 2﹣ x ﹣ 1> 0”的否定是 “?x ≤1 ，x 2﹣ x ﹣ 1≤ 0”； 命题 q ： 在 △ ABC 中， “sinA> sinB ”是 A> B ”的充分条件，则下列命题是真命题的是（ ）A ． p ∧ qB ． p ∨（￢ q ）C ． （￢ p ）∧（￢q ） D ． p ∨ q 【答案】 D 【解析】 分别判定命题p , q的真假 ,再利用复合命题之间的关系即可得到结论.【详解】命题p: “ x 1, x2x 1 0”的否定是“ x 1 ,x2 x 1, 0”;所以命题p 是假命题, p 为真命题;命题q:因为在ABC中 ,若sinA sin B,则2RsinA 2RsinB,即 a b,则A B ,所以“sin A sin B”是A B”的充分条件,故命题q为真命题,命题q 是假命题 ;故选 :D.【点睛】本题主要考查复合命题之间的真假关系,根据不等式的性质分别判定命题p , q的真假是解决本题的关键.8．将函数g（ x）＝﹣4sin2（x ） +2 图象上点的横坐标缩短到原来的 1 倍（纵坐2 12 2标不变），再向右平移个单位长度，得到函数（ f x）的图象，则下列说法正确的是（）4A ．函数f（ x）在区间[ 2 ，7 ]上单调递减36B ．函数f（ x）的最小正周期为2πC ．函数f（ x）在区间[ 4 ， 3 ]的最小值为3 D． x 12 是函数 f（ x）的一条对称轴【答案】 C【解析】利用倍角公式降幂,再由伸缩与平移变换求得 f （x）的解析式,然后逐一核对四个选项的正误即可得答案 .【详解】2x xg（x） 4sin （） 2 2[1 cos2（）] 2 2cos（ x ） ,2 12 2 12 61函数g（x）图象上点的横坐标缩短到原来的 1 倍（纵坐标不变）,再向右平移个单位长第 6 页共 18 页24度,得到函数f (x) 2cos[2( x ) ] 2sin(2 x ) ,46 62 7 35 27由剟 x ,得 2x [ , ] ,可知函数f(x)在区间[ , ]上单调递增,故A 错3 6 6 22 36误;2由T 2 ,可知函数 f (x) 的最小正周期为,故 B 错误 ;3 4 5 17 5由剟 x ,得 2x [ , ] , 当 2x 时 , f (x) 有最小值为3 ,故 C 正4 3 6 36 63第 7 页共 18 页确;由 f( ) 2sin(2 ) 2sin 3 2,可知x 不是函数 f (x)的对称轴 ,故 D12 12 6 3 12错误.故选:C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查 y Asin( x )型函数的图象与性质,考查计算能力,属于中档题 .9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5 尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度( )A． 5.5尺B． 4.5尺C． 3.5尺D． 2.5尺【答案】 A【解析】先设等差数列a n ，首项为a1 ，公差为 d ，根据题意有a1 a4 a7 3a1 9d 31.5，S9 9a1 36d 85.5，然后由两式求解.【详解】设等差数列a n ，首项为a1 ，公差为d ，根据题意得a1 a4 a7 3a1 9d31.5，S9 9a1 36d 85.5 ，解得a1 13.5, d1 ，所以a9 a1 8d 5.5 .故选： A【点睛】第 8 页共 18 页本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10 ．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点 M 是对角线AC 的靠近 C 点的三等分点，x+4y 的最小值是( )uuur过点 M 的直线分别与射线AB 、 AD 交于 EF 两点 .已知uAuEur xAuuBur ，AF uuur yAD第 9 页共 18 页第 10 页 共 18 页uuuruuur uuur uuur AE xAB , AFyAD ,Q M , E , F 共线 ,【解析】 先由题意画出函数f （x ）的大致图象 ,再由方程求出 f（x ） 的解 ,将方程的根的情况转化函数图像的交点问题 ,则要使有 3个根,就是 f（x ） 与 y m 再有 1 个交点 ,从而得出B ． 3C ． 4D ． 2结合已知及向量共线基本定理可得113 2 11x y 2,而 x 4y 3(x 4y)(x y ),展开后利用基本不等式即可求解uuuu r , AM2 uuur 2 uuur uuurAC (AB AD)2 1uuur 1 uuur 3(x AE y AF),21 3(x1) 1,即 1yx 2 1 1 2 4y 则 x 4y (x 4y)( ) (53 xy 3 x x2)⋯(4) 6, 4y x 2 1 1且 ( ) 1 ,即 x 2, y 1故选 :A.本题考查了平面向量线性运算的应用及平面向量共线定理 ,结合了基本不等式的应用 ,属 于中档题 .xe， x > 0 x11 ．已知函数 f( x) x，若关于 x 的方程 2[f（ x ） ]2﹣（7+2m ） f （ x ）0 +7m ＝ 0有 3 个不等的实数根，则实数 m 的取值范围是（A ． {m|m> e}B ． {m|m ＝﹣ 2 或 0< m< e}C ． {m|m ＝﹣ 2 或 0≤ m ≤ e}D ． {﹣ 2， 0， e}A ． 6m 的值 .又关于 x 的方程2[f （x ）]2（7 2m ）f （x ）7m 0,解得f （x ） 7 或 f （x ） m ;2Q 7e,其与函数 f （x ） 已经有两个交点 ,要使有3 个交点只需 m 2或0 或 e, 2 故选 :D. 【点睛】本题考查方程的根的问题 ,考查数形结合思想 ,属于中档题 .12 ．奇函数 f （ x ）在 R 上存在导数f x ，当 x < 0时， f x < 2 f （ x ） ，则使得x（ x 2﹣ 1） f （ x ）<0 成立的 x 的取值范围为（ ）x 0时 , f (x) x xxe gx e e (x 1)所以 x (0,1), f (x) 0, f(x) 单调递减 ,x (1, ), f (x) 0, f(x)单调递增 ,ef(x)⋯ f (1) e ;124(1 x 2) 4x(2x)4(1 x)(1x)22 x (, 1), f (x) 0 , f (x)单调递减 ,x ( 1,0), f (x) 0, f (x)单调递增,4f (x) f( 1) 24 2;A ． （﹣ 1 ， 0）∪（ 0， 1）B ． （﹣∞，﹣ 1）∪（ 0， 1）【解析】根据当x< 0 时，求导得h x x（xf x f￠(x)<22 f（ x）的结构特征，构造函数h x x f 2f x ），由当 x< 0 时，f￠(x) <2f（ x），得x22h x x f x 在，0 上是减函数，再根据f（ x）奇函数，则h x x f x 也是奇函数，h x x2f x 在0，+ 上也是减函数，又因为函数f（ x）在R 上存在导数f￠（x），所以函数f（ x）是连续的，所以函数h（ x）在R 上是减函数，并且h x 与f x 同号，将（x2﹣1）f（x）< 0 转化为x21 h（x）0求解 .【详解】2设hx xfx，所以h x x（xf x 2f x ），因为当x< 0 时，f￠（x）< 2 f（ x），即xf x 2f x 0 ，所以h x x（xf x 2f x ） 0 ，2所以h x x f x 在，0 上是减函数.又因为 f（ x）奇函数，2所以h x x f x 也是奇函数，所以h x x2f x 在0，+ 上也是减函数，又因为函数f（ x）在R 上存在导数f ￠（x），C ．（﹣ 1 ， 0）∪（1，+∞ ）D ．（﹣∞ ，﹣ 1）∪（1， +∞ ）所以函数f（ x）是连续的，所以函数h（ x）在R 上是减函数，并且h x 与f x 同号，x21 0 x21 02 2所以（x2﹣ 1） f（ x）< 0 x 1 h（x） 0 或h（x） 0 h（x） 0解得x 1 或 1 x 0 故选： C【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题 .2x， x 013 ．已知函数 f （ x ） ，则f （log 3x ， x > 0f （ 3 ） ，再求 f （ f（ 3 ） ） .所以 f （ f （3)) =f 32x sin2x2axx1 2x sin 2x 令 g(x) x 2 1 ax ,易知 ,函数g(x) 为奇函数 ,在区间 [ b ,b] 上 g(x)max g(x)min 0 ,即 m 1 n 1 0,故 m n 2. 故答案为 :2. 【点睛】f( 3 ) =log 3 3333log 33故答案为： 题. 14 ．已知函数 f （ x ） 2(x 1) sin2x ax 在区间[﹣ b ， b]上的值域为[m ， n]，则m+n2.化简函数 f (x) ,得 f (x) 12x sin2x 2x sin 2x2 ax ,令 g(x) 2 ax ,其为奇函 x1 x1数 ,则由奇函数的性质可得g(x) max g(x) min 0 ,进而求得 mn .f(x ) 2x 1 2x sin2x x 21 2xsin2x x 2 1ax,f( 3 ) )＝从内到外，根据函数的定义本题主要考查了分段函数求值故 f(x) 1本题考查奇函数的性质,考查化简运算能力,难度不大.15．已知 f （x ） 是函数y ＝ （f x ） 的导函数，定义 f （x ） 为 f （x ）的导函数，若方程 f（x ）＝ 0 有实数解 x0，则称点（ x 0， f （ x 0） ）为函数 y ＝ f（ x ）的拐点，经研究发现，所有的三次函数 f （ x ）＝ ax3+bx 2+cx+d （ a ≠0 ）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心， 设 f （ x ） ＝ x 3﹣ 3x 2﹣ 3x+6， 则 f （ 1 ）+f （ 2 ） +⋯⋯+ f （ 4037 ） ＝ ．20192019 2019【答案】 4037 【解析】 对 f （ x ）＝ x 3﹣ 3x 2﹣ 3x+6 ，求导得 f（x ） ＝3x 2﹣ 6x ﹣3＝3（ x 2﹣ 2x ﹣ 1 ） ，再对f （x ） 求导得 f （x ） ＝ 6x ﹣ 6，并令 f （x ）＝ 6x ﹣ 6＝ 0，求得对称中心，再利用对称性 求解 . 【详解】∵ f( x)＝ x 3﹣ 3x 2﹣ 3x+6，∴ f (x) ＝ 3x 2﹣ 6x ﹣ 3＝ 3( x 2﹣ 2x ﹣ 1 ) ， f (x) ＝ 6x ﹣ 6，f (x) ＝ 6x ﹣ 6 ＝ 0 可得 x ＝ 1 ，而 f ( 1)＝ 1，根据已知定义可知， f （ x ）的对称中心（ 1， 1） ，【点睛】 本题主要考查了函数的对称性及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题 . 16． 已知 S n 是正项数列 {a n }的前 n 项和， 且满足 a 1＝4， 6S n ＝ a n 2+3a n +λ（ n ∈ N ，λ ∈ R ） ，设 bn ＝（ n ﹣ μ） a n ，若 b 2是数列{b n }中唯一的最小项，则实数 μ 的取值范围是.10 16【答案】 （ ， ）33【解析】 先根据数列满足 a 1 4, 6S n a n 2 3a n （nN*, R ） ,求出其通项公式 ,进而求从而有 f（ 2﹣ x ） +f （ x ）＝ 2， 所以 f （ 1 ） +f （ 2 ） +⋯⋯ 2019 2019f (4037 201940374037．出 b n （n ）a n的通项公式,再结合b2是数列{b n} 中唯一的最小项,即可求出实数的取值范围 .【详解】∵ S n 是正项数列{a n}的前n 项和,且满足a1=4,6S n=a n2+3a n+λ (n∈ N,λ∈ R),∴ 6×4=42+3×4+λ ?λ =﹣ 4,∴ 6S n=a n2+3a n﹣ 4,①6S n﹣1=a n﹣12+3a n﹣1﹣ 4, ②①﹣② ? 6a n=a n2+3a n﹣ 4﹣(a n﹣12+3a n﹣1﹣4)? (a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1﹣ 3)=0,an>0? a n﹣ a n﹣1﹣ 3=0?数列{ a n}是首项为4,公差为 3 的等差数列a n=4+3(n﹣ 1)=3n+1,b n=(n﹣μ)a n=(n﹣μ)(3 n+1)=3 n2+(1 ﹣ 3μ)n﹣μ;b2 是数列 { b n}中唯一的最小项其对称轴1 3 ∈ (3,5)?10<23 22 3163故答案为:(130, 136).本题主要考查数列通项公式的求法以及二次函数性质的应用,属于中档题17．已知公差不为零的等差数列{a n}前 5项的和为35，且 a1，a， a成等比数列，数列{ b n}满足b n 2an．（ 1）求数列{a n}的通项公式；（ 2）求数列{b n}的前n 项和S n．23n 1 【答案】（ 1） a n＝ 3n﹣ 2；（2）S n2 7【解析】（ 1）设等差数列{a n}的公差为d，由（ 2）根据b n2an得b n 23n 2，有b n 1b n再利用等比数列前n 项和公式求解.【详解】（ 1）设等差数列{a n} 的公差为d，5 4d5a1 35由题意， 2 ，解2．75 4d5a1353n 123a1 1d3A ，B ，C 的对边，且（ 2b ﹣ c ） cosA ＝ acosC ．1）求 A ； 2）若△ ABC 的面积为 3 ，求 a 的最小值．（ 1） A ． （ 2 ） a 的最小值为 2．3（ 1 ） 由正弦定理将 （2b ﹣ c ） cosA ＝acosC ，转化为 （ 2sinB ﹣ sinC ）cosA ＝ sinAcosC ，bc ＝ 4，a 2＝b 2+c 2﹣ 2bccosA ＝ b 2+c 2﹣ bc ≥2 bc ﹣ bc ＝ bc ＝ 4，3n 1bb n n 1223n2238b 1 ＝ 2， 数列 {bn }是以 2 为首项，以 8 为公比的等比数列， 则数列{b n }的前 n 项和 S n2 1 8n 1823n 1 2 77本题主要考查了等差数列的通项公式， 等比数列的定义及前 n 项和公式， 还考查了运算求解的能力，属于中档题18 ．在△ ABC 中， a ， b ， c 分别为内角再利用两角和的正弦公式求解2）根据A 和 △ ABC 的面积为 3 bcsinA 3 bc ，求得 bc ＝ 4，由余弦定理4得 a 2＝ b 2+c 2﹣ 2bccosA ＝ b 2+c 2﹣ bc ，再利用基本不等式求解1) ∵ ( 2b ﹣ c) cosA ＝ acosC ，由正弦定理可得： （ 2sinB ﹣ sinC ） cosA ＝ sinAcosC ， 2sinBcosA ＝ sinCcosA+sinAcosC ＝ sin( A+C)＝ sinB ， sinB ≠0 ， cosA 1 ， 2A ∈ （ 0， π ） ，2)∵ A， △ ABC 的面积为3 31 bcsin A23bc ，解得 a≥2 ，当且仅当 b＝ c＝ 2 时等号成立，a 的最小值为 2． 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题 .119． 已知幂函数 f （ x ） ＝ （ 3m 2﹣ 2m ） x m 2在 （ 0， +∞ ） 上单调递增， g （ x ） ＝ x 2﹣4x+t. （ 1）求实数 m 的值； （ 2）当 x ∈ [1 ， 9]时，记 f （ x ） ， g （ x ）的值域分别为集合 A ， B ，设命题 p ： x ∈ A ，命 题q ： x ∈ B ，若命题 q 是命题 p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】 （ 1） m ＝ 1（ 2）﹣ 42≤ t ≤5 【解析】 （1）利用幂函数的性质即可求解 ;（2）先求出 f （x ） ,g （x ） 的值域 A ,B ,再利用命题 q 是命题p 的必要不充分条件可以推出“A? B, ”,由此即可求解 . 【详解】1（1）∵ f （x ）=（3m 2﹣ 2m ）x m 2 为幂函数 ,且在 （0,+ ∞） 上单调递增 ;23m 2m 1 ∴ 1 m=1;m >021(2)由 (1)可得 f (x) x 2 ,当 x ∈ [1,9]时 ,f(x)值域为 :[1,3], g(x)=x 2﹣ 4x+t 的值域为 :[t ﹣ 4,t+45], ∴ A=[1,3], B=[ t ﹣ 4,t+45];∵ 命题 p:x ∈ A,命题 q:x ∈ B,且命题 q 是命题 p 的必要不充分条件 ∴ A? B,故实数 t 的取值范围为 [ 42,5] .t41t 45 342 t 5,【点睛】本题考查了幂函数的性质以及条件的充分性与必要性,考查学生分析与推理能力,属于中档题 .2x1 220．已知函数f（ x）， g（ x）1．2x1 f x 1（ 1）若f（ a）＝2，求实数a的值；x x 2）判断 f （ x ）的单调性，并证明； （ 3）设函数 h （ x ）＝ g （ x ） （ x> 0） ，若 h （ 2t ） +mh（ t ） +4> 0对任意的正实数 t 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案】 （ 1） a ＝ log 23； （ 2）函数 f （ x ）在（﹣ ∞ ， 0） ， （ 0，+∞）上单调递减，证明见解析（ 3） [﹣ 3， +∞ ） ． 【解析】 （ 1）根据f （ a ）＝2，代入解析式求解 .（ 2）函数 f （ x ）在（﹣∞， 0） ， （ 0， +∞ ）上单调递减，用单调性的定义证明 .1（ 3）化简得到h x 2x x> 0 ，将 2x2t1t1h 2t mh t 4 22t 2t m 2t t4> 0对任意的正实数 t 恒成立，通过换22t2tt12元 2 2t t>0 ， μ∈ （ 2，+∞），转化为μ +m μ+2>0 对任意 μ∈ （ 2， +∞）恒成22 立，即m >对任意 μ∈ （ 2，+∞ ）恒成立，再求解 y最大值即可. 【详解】2a＝ 3， a ＝ log 23；2）函数 f （ x ）在（﹣ ∞， 0） ， （ 0， +∞ ）上单调递减， 证明如下：函数的定义域为（﹣ ∞，0） ∪ （ 0， +∞ ） ，1) ∵ f a2a1 2a12，fx2x 1 22 x1x所以 f （ x ）是奇函数 任取 x 1 , x 2 0, 且 x 1 x 2f （ -x ）2x 1 2x 12x 1 2x 1fx因为 x 1 , x 2 0,所以 2x1 1 0,2x2 1 0因为 x 1 x 2所以 2x2 2x1 0所以 f x 1 f x 2 0所以f （ x ）在（ 0， +∞ ）上单调递减，又因为 f （ x ）是奇函数 故函数f （ x ）在（﹣ ∞， 0） ， （ 0， +∞）上单调递减；μ 2+m μ +2> 0 对任意 μ∈ （ 2， +∞）恒成立，2即 m >对任意 μ∈ （ 2， +∞ ）恒成立，22又 y 在（2， +∞ ）上单调递减，故< 3 ，则 m ≥ ﹣ 3，即实数m 的取值范围为 [﹣ 3， +∞ ） ．本题主要考查了函数的单调性及不等式恒成立问题，解的能力，属于中档题 . 21 ．已知函数f （ x ）＝ lnx ﹣ ax+1 （ a ∈ R ） ．1）求 f （ x ）的单调区间；x32 2x22x1f x 1 f x 22x1 2x2 1 2x 11 2x21g3）2x 1 2x 12x x 0， hx 2t1t1 ∴ h 2t mh t 4 22t2t m 2tt 22t 2tt1令 2 t t> 0 ，则 μ∈ （ 2，x12 2x x> 0 ，4> 0 对任意的正实数还考查了转化化归的思想和运算求（2）设g（x）＝lnx ，若对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使4 4x得f（ x1）< g（ x2）成立，求实数 a的取值范围．【答案】（ 1）当 a≤0 时，f（x）单调递增区间是（0，+∞）；当 a> 0 时，f（x）单调递解得 a > e3增区间是（ 0，1） ，1， +∞ ） .（ 2）a >e解.（ 1 ）函数求导得 f'x 1x1 ax，然后分 a ≤0 和 a ＞ 0两种情况分类求2）根据对任意的 x 1∈ 0， +∞ ） ，存在 x 2∈ （ 1， +∞） ，使得 f （ x 1）＜ g （ x 2）成立， 等价于 f （ x ） max < g （ x ） max ，然后分别求最大值求解即可1） f' x 11axax ， xa ≤0 时， f ′（ x ）＞ 0， f （ x ）单调递增，a ＞ 0 时，在区间（ 0， 1）上， f ′（ x ）＞ 0， f （1在区间（ ， +∞ ）上， f ′（ x ）＜ 0， f （ x ）单综上：当 a ≤0 时， f （ x ）单调递增区间是（ 0， +∞） ， a> 0 时， f （ x ）单调递增区间是（1 0， 1 ， +∞ ） a2） g ' x1314 4 x 22x 4x 3 x 1 4x 2 4xx32， 在区间（ 1 ， 3）上， g ′（ x ）＞ 0， g x ）单调递增， 在区间（ 3， +∞）上， g ′（ x ）＜ 0， g （ x ）单调递减，所以 g （ x ）1max ＝ g （ 3）＝ ln3 x 1∈ （ 0， +∞ ） ，存在 x 2∈ （ 1 ， +∞） ，使得 f （ x 1）＜ g （ x 2）成立， 等价于 f （ x ）max ＜ g （ x ） max ，1）知当 a ≤0 时， f （ x ）无最值， a> 0 时，f （ x ） max ＝ f （）＝﹣1所以﹣ lna< ln32 所以 lna > lne，3本题主要考查了导数与函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．已知函数f( x)＝( x﹣1) e x+ax2( a∈ R) .( 1)讨论函数f( x)的单调性；( 2)若函数f( x)有两个零点x1，x2( x1< x2) ，证明：x1+x2< 0.【答案】 ( 1)答案不唯一，具体见解析( 2)证明见解析【解析】(1)对函数求导,根据a 的取值进行分情况讨论,判断函数的单调性;(2)先判断函数f(x) 有两个零点时 a 的取值范围为 a 0,再利用极值点偏移法,构造函数g(x) f(x) f( x),x 0,证明即可.【详解】(1)f(x)=(x﹣ 1)e x+ax2,f′(x)=x(e x+2a),①当 a≥0 时 ,e x+2a>0,故当 x∈ (﹣∞ ,0)时 ,f'(x)<0,当 x∈(0,+ ∞) 时,f'(x)>0,所以函数f(x)在 (﹣∞ ,0)上单调递减,在 (0,+ ∞) 上单调递增;②当 a<0 时,由 f'(x)=x(e x+2a)=0,得 x=0,或 x=ln(﹣2a),1i 当﹣ 2a>1 即a< 时 ,ln(﹣ 2a)>0,故当x∈(﹣∞ ,0),(ln(﹣ 2a),+ ∞) 时,f'(x)>0,f(x)递增,当x∈(0,ln(﹣ 2a))时,f'(x)<0,f(x)递减;ii 当 0<﹣ 2a<1 即1 < a<0 时 ,ln(﹣ 2a)<0, 2故当x∈ (﹣∞,ln(﹣2a)),(0,+ ∞)时 ,f'(x)>0,f(x)递增,当x∈(ln( ﹣ 2a),0)时,f'(x)<0,f(x)递减;iii 当﹣ 2a=1 即 a 1 ,ln(﹣ 2a)=0,f'(x) ≥ 0f(,x)在 R上递增 ; 2(2)函数f'(x)=x(e x+2a),由 (1)可知:①当 a=0 时 ,函数f(x)=(x﹣ 1)e x只有一个零点,不符合题意;1②当 a< 时 ,f(x)的极大值为f(0)=﹣ 1,f(x)极小值为 f (ln( 2a)) f(0) 1,2故最多有一个零点,不成立;1﹣③当2< a<0时 ,f(x)的极大值为f(ln( ﹣2a)=[ln( ﹣ 2a)﹣ 1] e ln( 2a)+aln2(﹣ 2a)=a[ln2(﹣ 2a)﹣ 2ln(﹣ 2a)+2]=a[(ln(﹣ 2a)﹣ 1)2+1]<0,故最多有一个零点,不成立;1④当 a 时 ,f(x)在 R 上递增 ,2故最多有一个零点不成立③ 当a>0,函数f(x)在 (﹣∞ ,0)上单调递减,在 (0,+ ∞) 上单调递增.又 f(0)= ﹣ 1,f(1)=a>0,故 f (x) 在 (0,1)存在一个零点x2,因为 x<0,所以x﹣ 1<0,0<e x<1,所以e x(x﹣ 1)>x﹣ 1,所以f(x)>ax2+x﹣ 1,1 1 4a取x0 ,显然x0<0 且 f(x0)>0,2a所以f(x0)f(0)<0,故f(x) 在 (x0,0)存在一个零点 x1,因此函数f(x)有两个零点 ,且 x1<0<x2,要证x1+x2<0, 即证明x1<﹣ x2<0,因为 f(x)在 (﹣∞ ,0)单调递减,故只需f(x1)=f(x2)>f(﹣x2)即可,令g(x)=f(x)﹣ f(﹣ x),x>0,g'(x)=x(e x+2a)﹣ xe﹣x﹣ 2ax=x(e x﹣ e﹣x)>0,所以g(x)在0， + 上单调递增,又 g(0)=0, 所以 g(x)>0,故f(x1)=f(x2)>f(﹣ x2)成立,即x1+x2<0 成立 .【点睛】本题考查导数法判断函数的单调性,考查函数的零点,极值点偏移问题,难度较大,综合性较强 .。
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】 【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+23【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C r n r rr n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】23π 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：3433V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 33 37空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-， 设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：()2283111405185185811d⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ=++-=∴APQ面积为：1518522185=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可. 【详解】（1）因为'2()3f x x b =+， 由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 则34b =-； （2）由（1）可得33()4f x x x c =-+， '2311()33()()422f x x x x =-=+-， 令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'()0f x <，得1122x -<<， 所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增， 且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+， 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <， 即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷(理科)含答案解析
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF 与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A． +1 B．C．D．6．已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.47727．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π8．若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．306910．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11．已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．1612．某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=_______．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=_______．15．已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为_______．16．已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为_______．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可确定出交集的子集个数．【解答】解：∵A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，∴A∩B={2，4}，则集合A∩B的元素个数为22=4，故选：B．2．已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由=4+2i，得，∴复数z在平面上的对应点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p ∧q真￢q∧p假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF 与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A． +1 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出F（c，0），A（0，b），双曲线C的一条渐近线y=x，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），A（0，b），若AF与双曲线C的一条渐近线y=x垂直，可得•=﹣1，即为ac=b2，由b2=c2﹣a2，即有c2﹣ac﹣a2=0，由e=可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故选：C．6．已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；二项式定理的应用．【分析】根据二项式定理求出a，进而根据正态分布的对称性，结合已知中的公式，得到答案．【解答】解：（+x6）4展开式中通项为：x﹣2（4﹣r）•x6r=x8r﹣8，令8r﹣8=0，则r=1，故a==4，∵X～N（1，1），则P（﹣1＜X＜3）=95.44%，则P（﹣2＜X＜4）=99.74%，∴P（3＜X＜4）=（99.74%﹣95.44%）=0.0215，故选：B．7．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．8．若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）【考点】函数的值域．【分析】由题意画出图形，得到0＜a＜1且，求出log a2的范围，则f（2）的取值范围可求．【解答】解：由f（x）=作出函数图象如图，由图象可知，0＜a＜1且，即．又f（2）=，∴f（2）∈[﹣，﹣）．故选：D．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．3069【考点】数列递推式．【分析】由a1=1，a n a n+1=2n，可得：n=1时，a2=2．n≥2时，==2，数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n a n+1=2n，∴n=1时，a2=2．n≥2时，==2，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．则S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=+=3×1023=3069．故选：D．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用余弦函数的图象和性质，求得ω=1，再根据当x∈（﹣，）时，sin（x+φ）＞恒成立，可得﹣+φ≥，且+φ≤，由此求得φ的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，∵=2π，ω=1，f（x）=2sin（x+φ）．当x∈（﹣，），即x+φ∈（﹣+φ， +φ）时，f（x）＞1恒成立，∴sin（x+φ）＞恒成立，∴﹣+φ≥，且+φ≤．求得≤φ≤，故选：B．11．已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．16【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，将直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦定理表示出x1+x2及x1x2进而求得y1y2和y1+y2，由•=0即可求得k的值，由弦长公式即可求得|AB|．【解答】解：由抛物线C：y2=8x可得焦点F（2，0），直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∴x 1+x 2=，x 1x 2=4．∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣16，M （﹣2，4），═（x 1+2，y 1﹣4），=（x 2+2，y 2﹣4），•=（x 1+2，y 1﹣4）•（x 2+2，y 2﹣4）=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+y 1y 2﹣4（y 1+y 2）+16=0， 整理得：k 2﹣2k +1=0，解得k=1， ∴x 1+x 2=12，x 1x 2=4． |AB |=•=•=16，故答案选：D ． 12．某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M ，N 分别为B 1B ，B 1C 1的中点，F 点在A 1C 1上，且FC 1=，则该截面为AMNF ．利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M ，N 分别为B 1B ，B 1C 1的中点，F 点在A 1C 1上，且FC 1=，则该截面为AMNF ．连接MN ，并延长交CC 1的延长线于点E ，交CB 的延长线于点D ，三棱柱的体积为×2×4=4，设截去的部分和剩余的部分的体积分别为V 1，V 2，EC 1=2，BD=1， ∴=×2=．V M ﹣ABD =×2=．V A ﹣DCE ==3．∴V1=3﹣﹣=，V2=﹣=，∴=．二、填空题13．已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=383．【考点】等差数列的性质．【分析】由数列{a n}、{b n}均为等差数列，可得数列{a n+b n}是等差数列，由已知求出数列{a n+b n}的公差，代入等差数列的通项公式求得a100+b100．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d1，数列{b n}的首项为b1，公差为d2，∴a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=a1+b1+（d1+d2）n﹣（d1+d2），∴数列{a n+b n}是以d1+d2为公差的等差数列．由a5+b5=3，a9+b9=19，得，∴a100+b100=a5+b5+95（d1+d2）=3+95×4=383．故答案为：383．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．15．已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为13．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A，C的坐标，令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，通过图象求出|a|的最大值即z的最大值即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：三角形ABC的三边及其内部部分：联立⇒得：A（4，3）．联立⇒得：B（2，0）．令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，显然直线过A（4，3）时，a最大，此时a=13，直线过B（2，0）时，a最小，此时a=﹣4，故z=|a|，故z的最大值是13，故答案为：13．16．已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为（﹣∞，1）．【考点】函数的零点．【分析】分离参数a=x，利用导数判断单调性，画出图象，求解极值，利用y=a，y=x﹣交点个数判断即可．【解答】解：x3﹣ax2﹣x+1=0，a=x，令y=x，y′=，x3+x﹣2=0，x=1x＜0时y′＞0，x＞1时，y′＞0，0＜x＜1时，y′＜0，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，x=1时，函数取的极小值为1﹣1+1=1∴y=a，与y=x交点为1个时，a＜1，故答案为：（﹣∞，1）．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．18．已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，由此利用对立事件能求出甲、乙两人所取球的颜色不同的概率．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，甲每次所取的两球颜色相同的概率为=，乙每次所取的两球颜色相同的概率为，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=++×=，P（X=3）=+=，P（X=4）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4PEX==．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞0，综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]．21．已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）问题等价于lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出F（x）的范围，得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）原不等式等价于＞恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，根据函数的单调性求出λ的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：a x=x在（0，+∞）上有2个解，即xlna=lnx⇔lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，F′（x）=，∴x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）递减，故x＞0时且x→0时，F（x）=lnx→﹣∞，x→+∞时，lnx＜x，F（x）=lnx→0，故F（x）的最大值是F（e）=，要使方程lna=有2个解，需满足0＜lna＜，解得：1＜a＜；（Ⅱ）由lnx1=x1lna，lnx2=x2lna，作差得：ln=（x1﹣x2）lna，即lna=，故原不等式等价于＞恒成立，∵0＜x1＜x2，∴ln＜恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=，0＜λ≤1时，即λ2t﹣1＜0时，h′（t）＞0，h（t）在（0，1）大致，又h（1）=0，h（t）＜0在（0，1）恒成立，符合题意，λ＞1时，t∈（0，）上大致，在t∈（，1）上递减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）不能恒小于0，不合题意，舍去，综上，若不等式lna＞恒成立，只需0＜λ≤1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=•；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=•；（Ⅱ）解：∵AD•DE=BD•CD，，∴DC=，∵△ADC∽△ABE，∴，∴AD•AE=AB•AC，∴AD•（AD+DE）=AB•AC，∴AD2=AB•AC﹣AD•DE=AB•AC﹣BD•DC=3×=，∴AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得：=，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得：==．∴•=．当时，取等号．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时， +≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．2020年9月15日。
2020届全国大联考高三第三次联考数学试题(解析版)
（1）当 时， ，所以 ；
当 时，由 ①，得 ②，
①-②得， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故数列 为常数列；
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查 的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.
19．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）判断 的形状；
（2）若 ， 的周长为16，求 外接圆的面积.
综上可得，实数 的取值范围 .
【点睛】
本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）证明：数列 为常数列.
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，又由 ，即可得到本题答案；
（2）由（1）得， ，即可得到本题答案.
②是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②存在，
【解析】（1）由题，得 ，即可得到本题答案；
（2）①由 ，得 ，所以 ，恒等变形得， ，由此即可得到本题答案；
②由错位相减求和公式，得 的前n项和 ，然后通过求 的解，即可得到本题答案.
由此可知 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象与性质的应用，考查学生的分析能力及运算能力.
12．数列 满足 ，且对任意的 ，有 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据递推关系式运用累和的方法，结合等比数列前 项和公式进行求解即可.
【详解】
因为 ，
所以
.
故选：C
河南、河北两省重点高中2020届高三上学期阶段性考试(三)——数学(理)
河南、河北两省重点高中2020届高三阶段性考试（三）数 学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：复数，集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角与向量，数列，不等式．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{x ｜1≤x ≤4，x ∈N }，B ＝{x ｜6＜2x ＜33，x ∈N }，则（CU A ）∩B ＝A ．{0，5，6}B ．{0，5}C ．{1}D ．{5} 2．复数321i z i＝＋的虚部为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．在公比为2的等比数列{n a }中，前n 项和为n S ，且7S －62S ＝1，则1a ＋5a ＝A ．5B ．9C ．17D ．334．已知向量m ＝（λ＋1，1），n ＝（λ＋2，2），若（2m ＋n ）∥（m －2n ），则λ＝A ．－1B ．0C ．1D ．25．已知sin 2cos αα＝，2k πα≠，k ∈Z ，则cos2α＝ A ．34 B ．－34 C ．12 D ．－12 6．“a ＜－1”是“00sin 10x R a x ∃∈，＋＜”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()()sin 1f x x ωϕ＝＋＋（ω＞0，｜ϕ｜＜2π）的部分图象如图所示，将f （x ）的图象向右平移4π个单位长度后得函数g （x ）的图象，则g （x ）＝A ．2sin 23x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ B ．sin 23x π⎛⎫ ⎪⎝⎭－ C ．sin 213x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋ D ．sin 213x π⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋ 8．函数f （x ）＝x 2019＋a －1－3sinx 是R 上的奇函数，则f （x ）的零点的个数为A ．4B ．3C ．2D ．19．已知a ，b ∈（0，＋∞），且291ab a b＋＝＋，则a ＋b 的取值范围是 A ．[1，9] B ．[1，8] C ．[8，＋∞） D ．[9，＋∞）10．已知正△ABC 的边长为1，EF 为该三角形内切圆的直径，P 在△ABC 的三边上运动，则PE ·PF 的最大值为A ．1B ．12C ．13D ．1411．方程log 6（4x ＋5x ）＝log 4（6x －5x ）的实根个数为A ．0B ．1C ．2D ．412．设首项为1的数列{n a }的前n 项和为n S ，且11122121n n n a n k k N a a n k k N **⎧⎪⎨⎪⎩－－＋，＝，∈，＝＋，＝＋，∈．若m S ＞2020，则正整数m 的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若x ，y 满足约束条件1005y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥，＋－≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值为__________．14．已知α为第二象限角，则2cos sin __________． 15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且b ＝acosC ＋csinA ，则sin b B c＝__________． 16．已知直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝e x 的一条切线，则k ＋b 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{n a }的公比q ＞0，其前n 项和为n S ，且5S ＝62，4a ，5a 的等差中项为33a ．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设()()2221log log n n n b a a ＋＝，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．（12分） 已知函数()41000140x x x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－－，＞，＝，＝，－，＜．（1）判断f （x ）在（－∞，＋∞）上的奇偶性，并证明之；（2）求不等式－1＜f （log 4x ）≤3的解集．19．（12分）已知函数()2sin 4f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－． （1）若126f α⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，tan βα∈[－2π，2π]，求()tan 2αβ＋的值； （2）若动直线x ＝t （t ∈[0，π]）与函数f （x ）和函数()cos 44g x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋ 的图象分别交于P ，Q 两点，求线段PQ 长度的最大值，并求出此时t 的值．20．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB1，BC1，CA ＝3，且角D 与角B 互补，AD ·CD ＝32．（1）求△ACD 的面积；（2）求△ACD 的周长．21．（12分）设a ∈R ，命题p ：函数y ＝log a （x 3－ax ）（a ＞0，a ≠1）在区间（－12，0）内单调递增；q ：函数()4321411432a f x x x x ＝＋＋＋仅在x ＝0处有极值． （1）若命题q 是真命题，求a 的取值范围；（2）若命题()p q ⌝∨是真命题，求a 的取值范围．22．（12分）已知a ＞0，函数f （x ）＝xln x －ax ＋1＋a （x －1）2，()1ln 32x g x x＋＝－． （1）求g （x ）的单调区间．（2）讨论f （x ）零点的个数．。
2020届河南省中原名校高三上学期第三次质量考评数学（理）试题
2020届河南省中原名校高三上学期第三次质量考评数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣10≥0}，B ＝{x |3﹣x ＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，﹣2] B ．（﹣2，3）C ．（﹣∞，3）D ．（﹣5，3）【答案】B【解析】先化简集合A ,B ,再利用运算法则直接求解即可. 【详解】2{|3100}A x x x =--{|2x x =-或5}x ,{|3}B x x =<,{}(){|25}3{|23}R A B x x x x x x ∴⋂=-<<⋂<=-<<,故选:B. 【点睛】本题考查集合的混合运算及不等式的求解,属于基础题. 2．已知复数12a ii-+是纯虚数，则实数a ＝（ ） A ．﹣1 B ．35C ．2D ．﹣2【答案】C【解析】先利用复数的运算法则进行化简,再利用纯虚数的定义求解. 【详解】 因为()(12)2(21)12(12)(12)5a i a i i a a ii i i -----+==++-是纯虚数, 所以20a -=且210a +≠, 故实数2a =, 故选:C. 【点睛】本题考查复数的运算法则以及纯虚数的定义,属于基础题.3．已知向量a 与b 满足a b ⋅=1，|a b +|＝2且|b |＝1，则|a +2b |＝（ ） A ．3 B ．9C ．2D ．4【答案】A【解析】由|a b +|＝2，平方()22224a ba ab b +=+⋅+=，再根据a b ⋅=1，且|b |＝1，求得a ， 然后代入|a +2b |=2244a a b b =+⋅+求解.【详解】 因为|a b +|＝2， 所以|()22224a ba ab b +=+⋅+=，又因为a b ⋅=1，且|b |＝1， 所以1a =， 所以|a +2b 22443a a b b =+⋅+=.故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知1tan 3α=-，则cos2=α（ ） A ．35B ．35C ．45-D ．45【答案】D【解析】利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式将cos2α化为221tan tan 1αα-+,再代数求解即可. 【详解】1tan 3α=-,22222211cos sin 1tan 49cos 21sin cos tan 1519ααααααα---∴====+++, 故选:D. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用,属于基础题. 5．已知a ＝log 25，b ＝log 38，c ＝0.20.3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】A【解析】根据对数函数的单调性有log 25> log 24=2，所以a > 2，同理1= l og 33 < l og 38 <log 39=2，所以1 <b <2，再由指数函数的单调性有c <1，得到结论.【详解】因为log 25> log 24=2， 所以a > 2因为1= l og 33 < l og 38 <log 39=2， 所以1 <b <2 又因为c ＝0.20.3<1 所以 c ＜b ＜a 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，还考查了转化问题的能力，属于基础题.6．22-⎰|1﹣x 2|dx ＝（ ）A ．43B ．4C ．83D ．163【答案】B【解析】根据函数2|1|x -为偶函数,将原式转化为[0,2]上的定积分,再分别转化为[0,1]和[1,2]上的定积分之和即可. 【详解】函数2|1|y x =-为偶函数,∴221222223320011211|1|2|1|2(1)2(1)2()|2()|40133x dx x dx x dx x dx x x x x --=-=-+-=-+-=⎰⎰⎰⎰, 故选:B. 【点睛】本题考查了定积分的计算,考查了计算能力,难度不大.7．已知命题p ：“∃x ＞1，x 2﹣x ﹣1＞0”的否定是“∀x ≤1，x 2﹣x ﹣1≤0”；命题q ：在△ABC 中，“sinA ＞sinB ”是A ＞B ”的充分条件，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p ∧q B ．p ∨（￢q ）C ．（￢p ）∧（￢q ）D ．p ∨q【答案】D【解析】分别判定命题p ,q 的真假,再利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【详解】命题p :“1x ∃>,210x x -->”的否定是“1x ∀>,210x x --”; 所以命题p 是假命题,p ⌝为真命题;命题q :因为在ABC ∆中,若sin sin A B >,则2sin 2sin R A R B >,即a b >,则A B >, 所以“sin sin A B >”是A B >”的充分条件, 故命题q 为真命题,命题q ⌝是假命题; 故选:D. 【点睛】本题主要考查复合命题之间的真假关系,根据不等式的性质分别判定命题p ,q 的真假是解决本题的关键.8．将函数g （x ）＝﹣4sin 2（212x π+）+2图象上点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度，得到函数f （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）在区间[23π，76π]上单调递减 B ．函数f （x ）的最小正周期为2πC ．函数f （x ）在区间[34π，43π]的最小值为D ．x 12π=是函数f （x ）的一条对称轴【答案】C【解析】利用倍角公式降幂,再由伸缩与平移变换求得()f x 的解析式,然后逐一核对四个选项的正误即可得答案. 【详解】2()4sin ()22[1cos2()]22cos()2122126x x g x x πππ=-++=--++=+,函数()g x 图象上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向右平移4π个单位长度,得到函数()2cos[2()]2sin(2)466f x x x πππ=-+=+,由2736xππ,得352[,]622x πππ+∈,可知函数()f x 在区间2[3π,7]6π上单调递增,故A 错误;由22T ππ==,可知函数()f x 的最小正周期为π,故B 错误;由3443x ππ,得52[63x ππ+∈,17]6π,∴当5263x ππ+=时,()f x 有最小值为故C 正确;由()2sin(2)2sin 2121263f ππππ=⨯+==,可知12x π=不是函数()f x 的对称轴,故D错误. 故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象与性质,考查计算能力,属于中档题.9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ） A ．5.5尺 B ．4.5尺C ．3.5尺D ．2.5尺【答案】A【解析】先设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，根据题意有14713931.5a a a a d ++=+=，9193685.5S a d =+=，然后由两式求解.【详解】设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ， 根据题意得14713931.5a a a a d ++=+=， 9193685.5S a d =+=，解得113.5,1a d ==-， 所以918 5.5a a d =+=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是对角线AC 的靠近C 点的三等分点，过点M 的直线分别与射线AB 、AD 交于EF 两点.已知AE xAB =，AF y AD =，则x +4y 的最小值是（ ）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】A【解析】结合已知及向量共线基本定理可得1132x y+=,而2114(4)()3x y x yx y+=++,展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】AE xAB=,AF y AD=,由题意可得,22()33AM AC AB AD==+211()3AE AFx y=+,M,E,F共线,∴211()13x y+=,即1132x y+=,则2112424(4)()(5)(54)6333y xx y x yx y x y+=++=+++=,当且仅当4y xx y=且211()13x y+=,即2x=,1y=时取等号,故选:A.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的应用及平面向量共线定理,结合了基本不等式的应用,属于中档题.11．已知函数f（x）241xexxxxx⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪+⎩，＞，，若关于x的方程2[f（x）]2﹣（7+2m）f（x）+7m＝0有3个不等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．{m|m＞e} B．{m|m＝﹣2或0＜m＜e}C．{m|m＝﹣2或0≤m≤e} D．{﹣2，0，e}【答案】D【解析】先由题意画出函数()f x的大致图象,再由方程求出()f x的解,将方程的根的情况转化函数图像的交点问题,则要使有3个根,就是()f x与y m=再有1个交点,从而得出m的值.【详解】0x >时,22(1)()x x x e x e e x f x x x --'==, 所以(0,1)x ∈,()0f x '<,()f x 单调递减,(1,)x ∈+∞,()0f x '>,()f x 单调递增,()f x f ∴(1)11e e ==;0x ,222224(1)4(2)4(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-+-'==++,(,1)x ∴∈-∞-,()0f x '<,()f x 单调递减, (1,0)x ∈-,()0f x '>,()f x 单调递增,4()(1)22f x f -∴≥-==-; 函数图像如图所示:又关于x 的方程22[()](72)()70f x m f x m -++=,解得7()2f x =或()f x m =; 72e >,其与函数()f x 已经有两个交点,要使有3个交点只需2m =-或0或e , 故选:D. 【点睛】本题考查方程的根的问题,考查数形结合思想,属于中档题.12．奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2x-＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C ．（﹣1，0）∪（1，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C【解析】根据当x ＜0时，fx 2x-＜f （x ）的结构特征，构造函数()()2h x x f x =，求导得()()()(2)h x x xf x f x ''=+，由当x ＜0时，f x 2x-＜f （x ），得()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数，再根据f （x ）奇函数，则()()2h x x f x =也是奇函数，()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导数f x ，所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，将（x 2﹣1）f （x ）＜0转化为()21()0x h x -<求解. 【详解】设()()2h x x f x =，所以()()()(2)h x x xf x f x ''=+， 因为当x ＜0时，fx 2x-＜f （x ），即()()20xf x f x '+>，所以()()()(2)0h x x xf x f x ''=+<，所以()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数. 又因为f （x ）奇函数，所以()()2h x x f x =也是奇函数，所以()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导数f x ，所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，所以（x 2﹣1）f （x ）＜0()21()0x h x ⇔-<210()0x h x ⎧->⇔⎨<⎩或210()0x h x ⎧-<⎨>⎩ 解得1x >或10x -<< 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题13．已知函数f （x ）3200x x log x x ⎧≤=⎨⎩，，＞，则f （f（3））＝_____．【答案】2【解析】从内到外，根据函数的定义域，先求f，再求f （f））. 【详解】因为f（3）=12331332log log -==-，所以 f （f（3））=121222f -⎛⎫-==⎪⎝⎭.故答案为：2【点睛】本题主要考查了分段函数求值及指数，对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．已知函数f （x ）22(1)21x sin xx ++=++ax 在区间[﹣b ，b ]上的值域为[m ，n ]，则m +n ＝_____. 【答案】2.【解析】化简函数()f x ,得22sin 2()11x x f x ax x +-=++,令22sin 2()1x xg x ax x +=++,其为奇函数,则由奇函数的性质可得max min ()()0g x g x +=,进而求得m n +. 【详解】22212sin 22sin 2()111x x x x xf x ax x x ++++==++++,故22sin 2()11x xf x ax x +-=++, 令22sin 2()1x xg x ax x +=++,易知,函数()g x 为奇函数, ∴在区间[b -,]b 上max min ()()0g x g x +=,即110m n -+-=,故2m n +=.故答案为:2. 【点睛】本题考查奇函数的性质,考查化简运算能力,难度不大.15．已知()f x '是函数y ＝f （x ）的导函数，定义()f x ''为()f x '的导函数，若方程()f x ''＝0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y ＝f （x ）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设f （x ）＝x 3﹣3x 2﹣3x +6，则f （12019）+f （22019）+……+f （40372019）＝_____．【答案】4037【解析】对f （x ）＝x 3﹣3x 2﹣3x +6，求导得()f x '＝3x 2﹣6x ﹣3＝3（x 2﹣2x ﹣1），再对()f x '求导得()f x ''＝6x ﹣6，并令()f x ''＝6x ﹣6＝0，求得对称中心，再利用对称性求解. 【详解】∵f （x ）＝x 3﹣3x 2﹣3x +6，∴()f x '＝3x 2﹣6x ﹣3＝3（x 2﹣2x ﹣1），()f x ''＝6x ﹣6， 由()f x ''＝6x ﹣6＝0可得x ＝1，而f （1）＝1， 根据已知定义可知，f （x ）的对称中心（1，1）， 从而有f （2﹣x ）+f （x ）＝2， 所以f （12019）+f （22019）+……+f （40372019）＝240372⨯=4037． 故答案为：4037 【点睛】本题主要考查了函数的对称性及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．已知S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝4，6S n ＝a n 2+3a n +λ（n ∈N ，λ∈R ），设b n ＝（n ﹣μ）a n ，若b 2是数列{b n }中唯一的最小项，则实数μ的取值范围是_____. 【答案】（103，163） 【解析】先根据数列满足14a =,263(*,)n nn S a a n N R λλ=++∈∈,求出其通项公式,进而求出()n n b n a μ=-的通项公式,再结合2b 是数列{}n b 中唯一的最小项,即可求出实数μ的取值范围. 【详解】∵S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且满足a 1=4,6S n =a n 2+3a n +λ(n ∈N ,λ∈R ), ∴6×4=42+3×4+λ⇒λ=﹣4, ∴6S n =a n 2+3a n ﹣4,① 6S n ﹣1=a n ﹣12+3a n ﹣1﹣4,②①﹣②⇒6a n =a n 2+3a n ﹣4﹣(a n ﹣12+3a n ﹣1﹣4)⇒(a n +a n ﹣1)(a n ﹣a n ﹣1﹣3)=0,∵a n >0⇒a n ﹣a n ﹣1﹣3=0⇒数列{a n }是首项为4,公差为3的等差数列,∴a n =4+3(n ﹣1)=3n +1,∴b n =(n ﹣μ)a n =(n ﹣μ)(3n +1)=3n 2+(1﹣3μ)n ﹣μ;∵b 2是数列{b n }中唯一的最小项,∴其对称轴1323μ--⨯∈(32,52)⇒101633μ＜＜. 故答案为:(103,163). 【点睛】 本题主要考查数列通项公式的求法以及二次函数性质的应用,属于中档题.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{a n }前5项的和为35，且a 1，a 2，a 6成等比数列，数列{b n }满足2n an b =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ． 【答案】（1）a n ＝3n ﹣2；（2）S n 312277n +=-． 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由()12111545352()5d a a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩求解.（2）根据2n a n b =得322n n b -=，有3131322282n n n n b b ++-===，所以数列{b n }是等比数列，再利用等比数列前n 项和公式求解.【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，()12111545352()5d a a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴a n ＝1+3（n ﹣1）＝3n ﹣2；（2）∵3222n a n n b -==，3112n n b ++=∴3131322282n n n n b b ++-===，又b 1＝2， ∴数列{b n }是以2为首项，以8为公比的等比数列，则数列{b n }的前n 项和S n ()31218221877n n +-==--． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的定义及前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ． （1）求A ；（2）若△ABCa 的最小值．【答案】（1）A 3π=．（2）a 的最小值为2．【解析】（1）由正弦定理将（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，转化为（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，再利用两角和的正弦公式求解.（2）根据A 3π=和△ABC12=bc sinA 4=bc ，求得bc ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，再利用基本不等式求解.【详解】（1）∵（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，∴由正弦定理可得：（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，∴2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ＝sin （A +C ）＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A 12=， ∵A ∈（0，π），∴A 3π=．（2）∵A 3π=，△ABC的面积为12=bc sinA =bc ， ∴bc ＝4， ∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ＝bc ＝4，解得a ≥2，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立，∴a 的最小值为2．【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x 12m -在（0，+∞）上单调递增，g （x ）＝x 2﹣4x +t . （1）求实数m 的值；（2）当x ∈[1，9]时，记f （x ），g （x ）的值域分别为集合A ，B ，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】（1）m ＝1（2）﹣42≤t ≤5【解析】(1)利用幂函数的性质即可求解;(2)先求出()f x ,()g x 的值域A ,B ,再利用命题q 是命题p 的必要不充分条件可以推出“A ⫋B ,”,由此即可求解.【详解】(1)∵f (x )=(3m 2﹣2m )x 12m -为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增; ∴2321102m m m ⎧-=⎪⎨-⎪⎩＞⇒m =1; (2)由(1)可得12()f x x =,当x ∈[1,9]时,f (x )值域为:[1,3],g (x )=x 2﹣4x +t 的值域为:[t ﹣4,t +45],∴A =[1,3],B =[t ﹣4,t +45];∵命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,且命题q 是命题p 的必要不充分条件,∴A ⫋B ,∴41453t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.【点睛】本题考查了幂函数的性质以及条件的充分性与必要性,考查学生分析与推理能力,属于中档题.20．已知函数f （x ）2121x x +=-，g （x ）()21f x =+-1． （1）若f （a ）＝2，求实数a 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并证明；（3）设函数h （x ）＝g （x ）()1g x +（x ＞0），若h （2t ）+mh （t ）+4＞0对任意的正实数t 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）a ＝log 23；（2）函数f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，证明见解析（3）[﹣3，+∞）．【解析】（1）根据f （a ）＝2，代入解析式求解.（2）函数f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，用单调性的定义证明.（3）化简得到()()1202x x h x x =+＞，将()()22112422422t t t t h t mh t m ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭＞0对任意的正实数t 恒成立，通过换元()1202t t t μ=+＞，μ∈（2，+∞），转化为μ2+m μ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立，即2m μμ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞对任意μ∈（2，+∞）恒成立，再求解2y μμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最大值即可.【详解】（1）∵()21221a a f a +==-， ∴2a ＝3，∴a ＝log 23；（2）函数f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，证明如下：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），因为f （-x ）()21212121x x x x f x --++==-=--- 所以f （x ）是奇函数任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <()212212121x x x f x -+==+--，()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫-=+-+= ⎪----⎝⎭ 因为()12,0,x x ∈+∞所以12210,210x x->->因为12x x <所以21220x x ->所以()()120f x f x ->所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减，又因为f （x ）是奇函数故函数f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减； （3）()()212021121x x x g x x =+=≠+--，()()1202x x h x x =+＞， ∴()()22112422422t t t t h t mh t m ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭＞0对任意的正实数t 恒成立， 令()1202t tt μ=+＞，则μ∈（2，+∞）， ∴μ2+m μ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立， 即2m μμ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞对任意μ∈（2，+∞）恒成立， 又2y μμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在（2，+∞）上单调递减，故23μμ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜， 则m ≥﹣3，即实数m 的取值范围为[﹣3，+∞）．【点睛】本题主要考查了函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间；（2）设g （x ）＝lnx 344x x-+，若对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当a ≤0时，f （x ）单调递增区间是（0，+∞）；当a ＞0时，f （x ）单调递增区间是（0，1a ），单调递减在区间是（1a ，+∞）.（2）a ． 【解析】（1）函数求导得()11'ax f x a x x-=-=，然后分a ≤0和a ＞0两种情况分类求解.（2）根据对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成立，等价于f （x ）max ＜g （x ）max ，然后分别求最大值求解即可.【详解】（1）()11'ax f x a x x-=-=， 当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当a ＞0时，在区间（0，1a ）上，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在区间（1a，+∞）上，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减． 综上：当a ≤0时，f （x ）单调递增区间是（0，+∞），当a ＞0时，f （x ）单调递增区间是（0，1a ），单调递减在区间是（1a，+∞）. （2）()()()222213113143'4444x x x x g x x x x x-+--+-=--⨯==， 在区间（1，3）上，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，在区间（3，+∞）上，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （3）＝ln 312-， 因为对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成立， 等价于f （x ）max ＜g （x ）max ，由（1）知当a ≤0时，f （x ）无最值，当a ＞0时，f （x ）max ＝f （1a ）＝﹣lna ， 所以﹣lna ＜ln 312-，所以3lna ＞ln ，解得a 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．已知函数f （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2（a ∈R ）.（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），证明：x 1+x 2＜0.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】(1)对函数求导,根据a 的取值进行分情况讨论,判断函数的单调性;(2)先判断函数()f x 有两个零点时a 的取值范围为0a >,再利用极值点偏移法,构造函数()()()g x f x f x =--,0x >,证明即可.【详解】(1)f (x )=(x ﹣1)e x +ax 2,f ′(x )=x (e x +2a ),①当a ≥0时,e x +2a >0,故当x ∈(﹣∞,0)时,f '(x )<0,当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0,所以函数f (x )在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;②当a <0时,由f '(x )=x (e x +2a )=0,得x =0,或x =ln(﹣2a ),i 当﹣2a >1即a 12-＜时,ln(﹣2a )>0, 故当x ∈(﹣∞,0),(ln(﹣2a ),+∞)时,f '(x )>0,f (x )递增,当x ∈(0,ln(﹣2a ))时,f '(x )<0,f (x )递减; ii 当0<﹣2a <1即12-＜a <0时,ln(﹣2a )<0,故当x ∈(﹣∞,ln(﹣2a )),(0,+∞)时,f '(x )>0,f (x )递增,当x ∈(ln(﹣2a ),0)时,f '(x )<0,f (x )递减; iii 当﹣2a =1即a 12=-,ln(﹣2a )=0,f '(x )≥0,f (x )在R 上递增; (2)函数f '(x )=x (e x +2a ),由(1)可知:①当a =0时,函数f (x )=(x ﹣1)e x 只有一个零点,不符合题意;②当a <12-时,f (x )的极大值为f (0)=﹣1,f (x )极小值为(ln(2))(0)1f a f -<=-, 故最多有一个零点,不成立;③当12-＜a <0时,f (x )的极大值为f (ln(﹣2a )=[ln(﹣2a )﹣1]e ln(﹣2a )+a ln 2(﹣2a )=a [ln 2(﹣2a )﹣2ln(﹣2a )+2]=a [(ln(﹣2a )﹣1)2+1]<0,故最多有一个零点,不成立;④当a 12=-时,f (x )在R 上递增, 故最多有一个零点不成立;③当a >0,函数f (x )在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.又f (0)=﹣1,f (1)=a >0,故()f x 在(0,1)存在一个零点x 2,因为x <0,所以x ﹣1<0,0<e x <1,所以e x (x ﹣1)>x ﹣1,所以f (x )>ax 2+x ﹣1,取x 0=,显然x 0<0且f (x 0)>0, 所以f (x 0)f (0)<0,故()f x 在(x 0,0)存在一个零点x 1,因此函数f (x )有两个零点,且x 1<0<x 2,要证x 1+x 2<0,即证明x 1<﹣x 2<0,因为f (x )在(﹣∞,0)单调递减,故只需f (x 1)=f (x 2)>f (﹣x 2)即可,令g (x )=f (x )﹣f (﹣x ),x >0,g '(x )=x (e x +2a )﹣xe ﹣x ﹣2ax =x (e x ﹣e ﹣x )>0,所以g (x )在()0+∞，上单调递增, 又g (0)=0,所以g (x )>0,故f (x 1)=f (x 2)>f (﹣x 2)成立,即x 1+x 2<0成立.【点睛】本题考查导数法判断函数的单调性,考查函数的零点,极值点偏移问题,难度较大,综合性较强.。
2020届河南、河北两省重点高中高三上学期段性考试(三) 数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年河南、河北两省重点高中高三上学期段性考试（三） 数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{|14,}A x x x =∈N 剟，{}|6233,x B x x =<<∈N ，则()U A B =ð（ ） A ．{}0,5,6 B ．{}0,5C ．{}1D ．{}5【答案】D【解析】先求括号中U A ð，再求()U A B ⋂ð即可 【详解】因为{}1,2,3,4A =，{}3,4,5B =，所以{}0,5,6U A =ð，(){}5U A B ⋂=ð. 答案选D 【点睛】本题考察集合交并补的基本运算，求解补集时，看清原集与补集的关系是正确解题的前提2．复数32i 1iz =+的虚部为（ ）．A.1-B.1C.i -D.i【答案】A【解析】化简复数得到答案. 【详解】32i 2i 22i 1i 1i 1i 2z ---====--++虚部为-1 故答案选A 【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查计算能力，属于简单题型.3．在公比为2的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且7621-=S S ，则15a a +=（ ）A ．5B ．9C ．17D ．33【答案】C【解析】可由公式11n n S a qS +=+，表示出762S S -，再进行求解 【详解】由11n n S a qS +=+，761661221S S a qS S a -=+-==，所以45216a ==，所以1517a a +=.答案选C 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本用法，需记住mn m m n S S q S +=+4．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()22m n m n +-u r r u r rP ，则λ=（ ）A.1-B.0C.1D.2【答案】B【解析】根据题意，首先求出2,2m n m n +-，然后利用向量平行的坐标运算，写出λ的关系式，计算求解即可. 【详解】因为2m n +()34,4λ=+，2m n -u r r()3,3λ=---，且(2)//(2)m n m n +-，所以()()()334430λλ-⋅+-⋅--=，0λ=．【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，以及向量平行的坐标运算，属于基础题. 5．已知sin 2cos αα=，2k πα≠，k ∈Z ，则cos2=α（ ） A ．34B ．34-C ．12D ．12-【答案】C【解析】观察sin2cos αα=，可将sin2α表示成2sin cos αα，再进行化简，结合二倍角公式进行求值 【详解】由sin2cos αα=，则2sin cos cos ααα=，因为2k πα≠，k Z ∈，故1sin 2α=，所以21cos212sin 2αα=-=.答案选C 【点睛】三角恒等变换是常考类型，考生需熟记二倍角公式的基本形式sin 2α=2sin cos ααcos2=α2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-，解题时需从公式的基本形式去分析如本题中21cos212sin 2αα=-=6．“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】把题设0x R ∃∈，0sin 10a x +<进行化简，求出a 的范围，再根据充分必要条件进行判断即可 【详解】必要性：设()sin 1f x a x =+，当0a >时，()[]1,1f x a a ∈-+，所以10a -<，即1a >；当0a <时，()[]1,1f x a a ∈+-，所以10a +<，即1a <-.故1a >或1a <-. 充分性：取02x π=，当1a <-时，0sin 10a x +<成立.答案选A 【点睛】对于充分必要条件的判断的一般思路为：对于每一个命题进行化简，去伪存真，若最终判断问题为范围问题，则可简单记为：小范围推大范围成立；大范围推小范围不成立7．函数()()()sin 102f x x πωϕωϕ=++><，的部分图像如图所示，将()f x 的图像向右平移4π个单位长度后得函数()g x 的图像，则()g x =（）A.2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.sin 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D.sin 213x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图像可知，代入点,26π⎛⎫⎪⎝⎭和30,2⎛⎫⎪⎝⎭则可计算出()f x 表达式，再根据平移知识点左加右减即可得出()g x 表达式。
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2020届晋冀鲁豫中原名校高三第三次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}24,2A x x B x x =<=<-，则A B =U （ ）A ．{}22x x -<<B ．{}2x x < C ．{}1x x >-D ．{}2x x >-【答案】B【解析】解不等式可得集合,A B ，根据并集的概念即可得结果. 【详解】由{}{}2422A x x x x =<=-<<，{}{}21B x x x x x =<-=<，则{}2A B x x ⋃=< 故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题. 2．设i 为虚数单位，则3(1)(12)i i --=（ ） A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】C【解析】化简题目所给表达式为a bi +的形式，由此得出正确选项. 【详解】()31(12)(1)(12)3i i i i i --=+-=-.故选C.【点睛】本小题主要考查复数乘法的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知α是第四象限角，3sin 5α=-，则tan()4πα-=（ ） A ．5- B ．5 C ．7- D ．7 【答案】D【解析】先根据α的正弦值和角所在的象限，求得cos ,tan αα的值，根据两角差的正切公式求得所求表达式的值. 【详解】 因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，则4cos 5α=，3tan 4α=-，故选D. 所以1tan tan 41tan πααα-⎛⎫-=⎪+⎝⎭3147314⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于基础题.4．设,x y 满足约束条件210320360x y x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则z 的最小值为（ ）A ．1 B．5 C．13D【答案】D【解析】画出可行域，利用z 的几何意义，求得z 的最小. 【详解】由图知z (0,0)到直线210x y -+==.故选D.【点睛】本小题主要考查非线性目标函数的最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 5．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【解析】根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系. 【详解】由3log 1a e =<，335log log 2b a e =<=，ln31c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.6．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为32+，则a 的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B【解析】根据三视图还原为原图.利用几何体的表面积列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱ABE DCF -， 其中3AB BC BE a ===，2232AE AB BE a=+=，则292ABE CDF S S a ∆∆==，292ADFE S a =长方形，所以该几何体的表面积为22227929(32)32a a a +=+=+，得13a =.故选B.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题. 7．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率是（）A 3B ．34C ．23D ．2 【答案】C【解析】在直角三角形BCE 中，求得,a b 的表达式，利用CDE ABCDS P S ∆=梯形计算出所求的概率.【详解】在直角BCE ∆中，cos15a c =︒，sin15b c =︒，则22121()2CDE ABCDc S P S a b ∆==+梯形()222121sin 303cos15sin15c c ===+︒︒+︒，故选C.【点睛】本小题主要考查几何概型，考查三角形的面积公式，考查梯形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.8．若函数32()231f x x ax =-+在区间(0,)+∞内有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,1) D ．(1,2)【答案】B【解析】先求得函数的导数，对a 分成0,0a a ≤>两种情况，根据函数的单调区间以及零点存在性定理列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】2'()666()f x x ax x x a =-=-.①当0a ≤时，若(0,)x ∈+∞，则'()0f x >，此时函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点；②当0a >时，函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，因为(0)10f =>，若函数()f x 在区间(0,)+∞内有两个零点，有333()23110f a a a a =-+=-<，得1a >.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】由S=0,n=1,第一次循环:S=0+21log 2,n=2;第二次循环:S=21log 2+ 22log 3=21log 3,n=3;第三次循环:S=21log 3+23log 4=21log 4,n=4; 第四次循环:S=21log 4+24log 5=21log 5,n=5; 第五次循环:S=21log 5+25log 6=21log 6, n=6;第六次循环:S=21log 6+ 26log 7=21log 7,n=7; 第七次循环:S=21log 7+27log 8=21log 38=-,n=8;符合题意输出n=8,故选C.10．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x =+上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB⋅u u u r u u u r 的最小值为（） A ．2 B ．52C ．3D ．72【答案】B【解析】将PA PB ⋅u u u r u u u r 转化为2||2PC -u u u r ，利用圆心到直线的距离求得||PC uuu r 的取值范围求得PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2222||||||222PC CA PC =-=-≥-u u u r u u u r u u u r 52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 是线段11C D 上的动点，点P 为正方体对角线1AC 上的动点，若三棱锥11A B PQ -的体积为正方体体积的19，则直线1A P 与底面1111D C B A 所成角的正切值为（）A 2B 3C ．2D 5【答案】A【解析】根据线面角的定义作出直线1A P 与底面1111D C B A 所成的角，根据三棱锥11A B PQ -的体积和正方体的体积关系列方程，求得P 到底面1111D C B A 的距离，进而求得线面角的正切值. 【详解】设正方体的边长为1，连11A C ，在11A C 上取一点H ，使得1PH A A P .由1A A ⊥底面1111D C B A ，得PH ⊥底面1111D C B A ， 直线1A P 与底面1111D C B A 所成的角为1PA H ∠，记为θ， 则11111113A B PQ P A B Q A B Q V V PH S --∆==⨯111326PH PH =⨯=. 又由11111ABCD A B C D V -=，则1169PH =，得23PH =，可得111123A H A C ==，则123tan 223PHA H θ===.故选A.【点睛】本小题主要考查线面角的正切值的求法，考查线面角的概念，考查空间想象能力，属于中档题.12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且11:||:2:3:4PF PQ QF =，则椭圆的离心率为（） A ．177B 17C ．519D ．176【答案】C【解析】不妨设12=PF ，3PQ =，14QF =，根据椭圆的定义求得a ，2PF 的值.在1PF Q ∆中由余弦定理求得cos QPF ∠，在12PF F ∆中，由余弦定理求得12F F ，由此求得椭圆的离心率. 【详解】设12=PF ，3PQ =，14QF =，则222PF a =-，224QF a =-，(22)(24)3a a -+-=，得94a =，则252PF =.在1PF Q ∆中，由余弦定理有22212341cos 2234QPF +-∠==-⨯⨯.在12PF F ∆中，由余弦定理有221255151222224F F ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则椭圆的离心率为51512992=.故选C. 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查利用余弦定理解三角形，考查椭圆的定义，属于中档题.二、填空题13．已知向量(,1)a x =v，(4,2)b =-r ，若a b r r P ，则a b +=r r ______.【解析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得x 的值，由此求得a b +r r 的坐标，进而求得a b +r r的模. 【详解】由a b r r P ，得24x -=，即2x =-，则(2,1)a b +=-r r ，所以a b +=v v .【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量加法的坐标运算，考查向量模的计算，属于基础题.14．函数22sin cos 02y x x x x π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域为______.【答案】[1,2]-【解析】利用降次公式和辅助角公式化简函数，根据x 的取值范围，求得y 的取值范围. 【详解】由(1cos 2)212sin 26y x x x π⎛⎫=-=-+⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[1,2]y ∈-.【点睛】本小题主要考查降次公式、辅助角公式的应用，考查三角函数求值域的方法，属于基础题. 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos Ccos cos cos 2ab Ac A B +=，ABC ∆的ABC ∆周长的最小值为______. 【答案】6【解析】根据正弦定理化简题目所给表达式，求得cos A 的值，由此求得A 的大小，根据三角形的面积公式得到4bc =，利用基本不等式和余弦定理求得,b c a +的最小值，进而求得a b c ++的最小值. 【详解】由1cos cos ccos cos 2b C A A B a +=，得1cos (sin cos sin cos )sin 2A B C C B A +=，即1cos sin sin 2A A A ⋅=， 因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2A =，所以3A π=.由1sin 23bc π=4bc =，4b c +≥=（当且仅当b c =时，“=”成立），则22224a b c bc bc bc bc =+-≥-==，可得2a ≥，故6a b c ++≥.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用基本不等式求和的最小值，属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)2f =，则不等式()2xf x e <的解集为______. 【答案】(0,)+∞【解析】根据()2f x +为偶函数可得()f x 图像关于2x =对称.由此求得()02f =，构造函数()()()x ef xg x x R =∈，利用导数研究()g x 的单调性，由将原不等式()2x f x e <转化为()(0)g x g <，由此求得x 的取值范围. 【详解】∵(2)y f x =+为偶函数，∴(2)y f x =+的图象关于0x =对称，∴()y f x =的图像关于2x =对称，∴(4)(0)f f =.又(4)2f =，∴(0)2f =.设()()()x e f x g x x R =∈，则()2'()()'()()'()x x x x f x e f x e f x f x g x e e --==. 又∵'()()f x f x <，∴'()()0f x f x -<，∴'()0g x <，∴()y g x =在R 上单调递减.∵()2xf x e <，∴()2xf x e<，即()2g x <.又∵0(0)(0)2f g e ==，∴()(0)g x g <，∴0x >. 【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数图像变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解不等式，综合性较强，属于中档题.三、解答题17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2115log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值.【答案】（1）32nn a =⨯（2）22922n n nT =-+；最大值为105. 【解析】（1）利用基本元的思想将已知转化为1,a q 的形式，由此求得1,a q ，进而求得数列的通项公式.（2）先求得n b 的表达式，根据等差数列前n 项和公式求得n T ，再利用二次函数的性质求得n T 的最大值. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，若1q =，有414S a =，212S a =，而4490236S S =≠=，故1q ≠，则()()()()21242211411811119011a q S q a q a q q S q q ⎧-⎪==-⎪⎨-+-⎪===⎪--⎩，解得162a q =⎧⎨=⎩.故数列{}n a 的通项公式为16232n nn a -=⨯=⨯. （2）由215log 215nn b n =-=-，则2(1415)29222n n n n n T +-==-+. 由二次函数22922x x y =-+的对称轴为292921222x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 故当14n =或15时n T 有最大值，其最大值为14151052⨯=. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解等比数列的通项公式，考查等差数列的识别，考查等差数列前n 项和公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.18．某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元..现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：记x 表示一台仪器使用期内维修的次数，y 表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，n 表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数.（1）若6n =，求y 与x 的函数关系式；（2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求68x ≤≤的概率. （3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断购买7次还是8次维修服务？【答案】（1）6000,6()15003000,6x y x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩（2）0.7（3）应该购买7次维修服务. 【解析】（1）分别求得6x ≤和6x >时，y 关于x 的表达式，由此求得y 与x 的函数关系式.（2）利用6,7,8x x x ===的频数和除以500，得到所求的概率.（3）分别计算出购买7次和8次所需费用的平均数，由此判断出应该购买7此维修服务. 【详解】解：（1）当6x ≤时，610006000y =⨯=；当6x >时，60001500(6)15003000y x x =+-=-.故y 与x 的函数关系式为6000,6()15003000,6x y x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩. （2）68x ≤≤的概率为1001501000.7500++=.（3）购买7次维修服务所需的平均费用为1(3007000100850010010000)7900500⨯+⨯+⨯=. 购买8次维修服务所需的平均费用为1(40080001009500)8300500⨯+⨯=. 因为79008300<， 故应该购买7次维修服务. 【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查古典概型概率计算，考查平均数的计算，考查阅读与理解能力，属于中档题.19．如图，在多面体ABCDFE 中，AB CD EF ∥∥，四边形ABCD 和四边形ABEF 是两个全等的等腰梯形.（1）求证：四边形CDFE 为矩形；（2）若平面ABEF ⊥平面ABCD ，2AB =，6CD =，22AD =ABCDFE 的体积. 【答案】（1）见证明；（2）283【解析】（1）根据全等的等腰梯形和已知条件得到EF CD =且CD EF P ，由此证得四边形CDFE 为平行四边形. 分别取DF ，CE 的中点M ，N ，连接MN ，通过证明,,,A B N M 四点共面，且,DF AM DF BN ⊥⊥，且,AM BN 相交，由此证得DF ⊥平面ABNM ，从而证得DF EF ^,由此证得四边形CDFE 为矩形.（2）连结AC ，CF ，作AH CD ⊥，垂足为H ，则AH AB ⊥.先证明CD ∥平面ABEF ，然后证明AH ⊥平面ABEF ，由此求得点C 到平面ABEF 的距离、点F 到平面ABCD 的距离，分别求得F ACD V -和C ABEF V -的体积，由此求得多面体ABCDFE 的体积.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形ABEF 是两个全等的等腰梯形， ∴EF CD =且CD EF P ，∴四边形CDFE 为平行四边形. 分别取DF ，CE 的中点M ，N .∵AD AF =，M 为DF 的中点，∴AM DF ⊥，同理BN CE ⊥，∴DF BN ⊥. ∵M 为DF 的中点，N 为CE 的中点，∵MN EF CD AB P P P ，且MN EF CD ==. ∴A ，B ，N ，M 四点共面，且四边形ABNM 是以AB ，MN 为底的梯形.∵DF AM ⊥，DF BN ⊥，且AM ，BN 是平面ABNM 内的相交线，∴DF ⊥平面ABNM .∵MN ⊂平面ABNM ，∴DF MN ⊥，又MN EF ∥，∴EF DF ⊥. ∴四边形CDFE 为矩形.（2）解：连结AC ，CF ，作AH CD ⊥，垂足为H ，则AH AB ⊥. ∵2AB =，6CD =，∴2DH =. 在Rt AHD ∆中，22842AH AD DH =-=-=.∵CD AB P ，CD ⊄平面ABEF ，AB Ì平面ABEF ，∴CD ∥平面ABEF .∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，AH AB ⊥，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AH ⊂平面ABCD ， ∴AH ⊥平面ABEF ，∴点C 到平面ABEF 的距离为2，同理，点F 到平面ABCD 的距离为2，则162ACD S AH CD ∆=⨯=，16243F ACD V -=⨯⨯=； 1()282ABEF S AB EF =+⨯=梯形，1168233C ABEF V -=⨯⨯=.故多面体ABCDFE 的体积为1628433+=.【点睛】本小题主要考查证明一个四边形为矩形的方法，考查四点共面的证明，考查线面平行的证明，考查面面垂直的性质定理，考查分割法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，综合性较强，属于中档题.20．已知椭圆2:2(0)C y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3x-4y+3=0的距离为d 1，焦点F到抛物线C 的准线的距离为d 2，且1235d d =。